Увеличение отношения сигнал-шум в акустооптическом анализаторе спектра с использованием астигматической оптики Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

;-►

Телекоммуникационные системы и компьютерные сети

УДК 535.241.13:534:621.391.83.2

С.А. Рогов, Д.С. Сергеев, В.В. Скороход

УВЕЛИЧЕНИЕ ОТНОШЕНИя СИГНАЛ-ШУМ В АКУСТООПТИЧЕСКОМ АНАЛИЗАТОРЕ СПЕКТРА

с использованием астигматической оптики

Для повышения дифракционной эффективности акустооптических модуляторов (АОМ), работающих на высоких частотах, используют концентрацию энергии ультразвуковой волны в узком пучке [1, 2], что требует согласования размеров этого пучка и лазерного луча, освещающего модулятор. Обычно для этой цели применяют фокусировку света с помощью цилиндрической линзы, однако, как показывают эксперименты [3], в такой системе происходит снижение отношения сигнал-шум. Для уменьшения этого эффекта в акустооптическом анализаторе спектра авторами предложено [3] использовать вынос АОМ из плоскости фокусировки, как изображено на рис. 1.

Отличие этой схемы от аналогичной без выноса АОМ из фокуса состоит в том, что плоскость фокусировки освещающего светового пучка является плоскостью пространственных частот зависимости входного сигнала от переменной у где

а)

Л1 АОМ

распределение шумов существенно шире распределения сигнала. Линзы Л2 и Л3 переносят это распределение в плоскость фотоприемника, при этом отношение сигнала к шумовому фону в плоскости фотоприемника увеличивается. Рост отношения сигнал-шум при увеличении выноса наблюдается до тех пор, пока световой пучок, освещающий АОМ, не становится шире ультразвукового.

Ниже приводится теоретическая оценка выходного отношения сигнал-шум анализатора спектра, построенного по указанной схеме для случаев с выносом и без выноса АОМ. Для упрощения расчетов модулятор считается тонким транспарантом, а шум в области первого порядка в соответствии с экспериментальными данными определяется, в основном, аддитивным входным шумом от светового пучка нулевого порядка. Этот шум будем считать стационарным, с нулевым средним значением [4].

Л2 ЛЗ

б)

Л1 АОМ

Л2 ЛЗ

Х0

Рис. 1. Акустооптический анализатор спектра с выносом АОМ из фокуса цилиндрической линзы

1. Преобразования когерентного оптического сигнала в астигматической оптической системе

Основные соотношения при распространении когерентного светового пучка света в системах оптической обработки получены для сферической оптики. Эти результаты могут использоваться и в оптических схемах с цилиндрическими линзами, если оптический сигнал на входе системы является функцией с разделяющимися переменными [5, 6]. Однако при расчете прохождения через астигматическую оптическую систему двумерных случайных сигналов, для которых данное условие не выполняется, требуется дополнительное теоретическое рассмотрение, приведенное в данном разделе статьи. На основе предложенного подхода в разделах 1 и 2 проводится расчет отношения сигнал-шум в анализаторе спектра.

В случае входного сигнала с разделяющимися переменными, учитывая, что воздействие на оптический сигнал участка свободного пространства, а также сферических и цилиндрических линз независимо по двум ортогональным координатам, двумерный выходной сигнал можно получить перемножением одномерных выходных сигналов по ортогональным координатам [6].

Так, при распространении света в свободном пространстве на расстояние С от плоскости (х, у) до плоскости п) для входной функции с разделяющимися переменными и(х, у) = и1(х)Ц2(у), выходной сигнал можно представить в виде

где

где

V (5, п) = VI (ОВД,

ВД = Л— е 2 1 ад е кС —ж

V2(n) = \/г"7е 2 1 и2 (у) е

I кС —ж

Сх;

Су,

(1)

где г - мнимая единица; X - длина световой волны. Произведение этих функций равно известному выражению для двумерных распределений.

Для схемы, осуществляющей преобразование Фурье с помощью сферической линзы, в которой входная плоскость (х, у) расположена на расстоянии С0 перед линзой, а выходной сигнал наблюдается в фокальной плоскости (£, п), расположенной на расстоянии /позади линзы, выходной сигнал можно представить в виде

V ((, п) = вдад,

Г~ -,МС±Л ./(/—ч?2 ж

=Ее 2 е"

| и1 (х) е Сх; —ж

, а 1)п2 ж

I 2 к/ /

е

V2(n) = Л—е ' е- 1 и (у) е Су.

I к/ —ж

Для схемы формирования изображения, в которой входная плоскость расположена на расстоянии С0 перед сферической линзой, а выходная -на расстоянии С1 позади нее, имеем:

где

V (5, п)=тоад,

л £ (С0+С1) !—52 (1+—)

1 5 2 2С1 М

^¡(5) = ~т= и,^-) е е ; •4М М

ади ) е

ыМ М

,к(Со+С1) ¡-^-п2 (1+—)

2 2 С, М

(3)

Запишем это выражение для увеличения М = 1:

•к-(2 —гкС1 С1

=^ V (4)

-¡кС V

ВД = и2(п)е е .

Выражения (2)-(4) справедливы, если оптическая система пропускает без искажений все пространственные частоты входного сигнала.

Одномерные выходные сигналы в приведенных выражениях соответствуют преобразованию одномерных входных сигналов с помощью цилиндрической линзы (с точностью до постоянного фазового множителя, связанного с конечной толщиной линзы, который был опущен).

В общем случае, когда входной сигнал не является функцией с разделяющимися переменными, удобно представить его в виде разложения по 5-функциям, аналогично тому, как это сделано в работе [7]:

и (х, у) = 1 и (х, у ')5( у — у') Су'.

(5)

Поскольку оптическая обработка информации - это линейная операция, можно рассмотреть воздействие на систему сигнала с разделяющимися переменными вида и(х, у')5(у — у'), а затем проинтегрировать выходной результат по параметру у' [7].

Рассмотрим применение приведенных формул для получения сигнала на выходе часто используемой системы, состоящей из сферической и цилиндрической линз, вплотную примыкающих друг к другу (рис. 2). Данная система является частью рассматриваемых в статье анализаторов спектра.

Для сигналов с разделяющимися переменны-

4

Телекоммуникационные системы и компьютерные сети

Щх, у)

Рис. 2. Оптическая схема с расположенными рядом сферической и цилиндрической линзами

ми рассматриваемая схема осуществляет одномерное преобразование Фурье по координате х и формирование изображения по координате у. Ее выходной сигнал в этом случае можно получить, используя выражения (2) и (4):

ТЛ/Г ч 1 -1кГ е /

V (5, П) = ,— е е

\Х/ —да

| и (х, п) е йх. (6)

Покажем, используя предлагаемый подход, что в случае входного сигнала, не являющегося функцией с разделяющимися переменными, эта формула при общих условиях также справедлива.

Представив входной сигнал как линейную комбинацию функций с разделяющимися переменными по формуле (5), получим на выходе

оптической системы в соответствии с принци-

да

пом суперпозиции V(5, п) = | Ьх [и(х0, у')] х

—да

] Ьу [5(у — у ')]йу', где Ьх и Ьу - операторы астигматической оптической системы, действующей независимо на распределение входного сигнала по координатам х и у. При отсутствии виньетирования оператор Ьх осуществляет преобразование Фурье по координате х, а оператор Ьу формирует изображение по координате у. В общем случае отклик системы, формирующей изображение по координате у на 5-функцию, равен ф(у):

Ьу [5( у — у')] = ф(п — у').

Внесем под знак оператора Ьх функцию ф(у — у ), не зависящую от переменной х:

да

V(5, п) = 1 Ьх [и(х, у')ф(п — у')] йу'. (7)

—да

Учитывая ограниченность размеров входного транспаранта и величины максимума в квадратных скобках, можно поменять порядок интегрирования в (7) [8]:

V (5, п) = Ьх

1 [и (х, у') ф( п— у ')]йу'

(8)

Интеграл по йу' представляет собой свертку двух функций, которая, как известно, равна обратному произведению Фурье от произведения спектров этих функций. Если система пропускает без искажений спектр по координате у' в пределах, превышающих ширину спектра входного сигнала, то в выражении (8) функцию ф можно заменить на 5-функцию, при этом на выходе получаем выражение V(5, п) = Ьх [и(х, п)], совпадающее с формулой (6).

Таким образом, если система, показанная на рис. 1, пропускает без искажений при формировании изображения все его пространственные частоты, то она осуществляет одномерное преобразование Фурье двумерного входного сигнала по вертикальной координате и формирование изображения по горизонтальной.

2. Отношение сигнал-шум в схеме без выноса АОМ

Рассмотрим отношение сигнал-шум для схемы, представленной на рис. 1, когда вынос АОМ из фокуса отсутствует (/0 = 0). В этом случае схема преобразования входного оптического сигнала совпадает со схемой, показанной на рис. 1, и для нахождения выходного сигнала можно воспользоваться выражением (6).

Входной оптический сигнал первого порядка в плоскости АОМ будем считать равным

Е— Рх(х)л/Зе " и2НорМ(у), где (х у) - координаты входной плоскости астигматической системы, совпадающей в данном случае с плоскостью АОМ; |Е0| - максимальная величина амплитуды света, освещающего модулятор; Рх(х) - функция пропускания входной апертуры по оси х (окно шириной Х); В - дифракционная эффективность

2"50х

е "и

модулятора;

V

пространственная частота гар-

монического входного сигнала; и1норм(у) - нормированная на максимум спадающая функция в фокусе собирающей цилиндрической линзы, которая определяет распределение по оси у амплитуды света, освещающего АОМ.

Из выражения (6) имеем на выходе системы, с точностью до фазового множителя:

•ТВ ■ ■

(5, п) =

V

№

Ео X

яп 1-х (5 —5о)

и2норм(п) п

х (5 —5о)

0

Отсюда получаем интенсивность сигнала в максимуме дифракционного порядка:

I =А|е ? X2

с шах л г \ 0 | к/

(9)

Интенсивность шумового фона на выходе можно найти аналогично тому, как это было сделано в работе [9]. При этом получается следующее выражение:

1ф(5, п) = ст2(5, п) = Ео |2

( 2*0

к/

и2 (п),

2 норм 4 1''

где ст2(5, п) - дисперсия выходного шума;

Г

( 2*0 к/

к/

= 1 К (Дх,0) е С (Дх) - одномерное

(по оси () распределение энергетического спектра входного шума; К (Дх, Ду) - корреляционная функция входного шума.

Для сравнения результатов вычислений отношения сигнал-шум удобно нормировать распределение энергетического спектра на его максимум, равный Дкст2, где Дк - ширина корреляционной функции входного шума; ст2 - его дисперсия. Для фона в точке максимального сигнала (5 = 50, п = 0) при этом получаем:

(10)

Из выражений (9) и (10) получаем отношение сигнал-шум на выходе для схемы анализатора спектра без выноса АОМ:

ст Л Ш

п к пх норм

'МЛ

V

(11)

3. Отношение сигнал-шум в схеме с выносом АОМ

Входной сигнал первого порядка в плоскости модулятора (х0, у0) в данном случае может быть записан как

и (хо> уо) =

(12)

I I I- к/ к/0

= Е>| Рх (х0 N Зе Ру (у0 )е ,

где /0 - вынос звукового столба АОМ из плоскости фокусировки лазерного луча цилиндрической линзой Л1; Рх(х0) и Ру(у0) - функции пропускания апертуры.

Действие квадратичного фазового множителя

2

"у0 к/0

е эквивалентно установке цилиндрической линзы с фокусным расстоянием /0 непосредственно за

АОМ при его освещении плоской волной с амплитудой |Е0|. Полагая, что используется именно такая схема, представляем ее входной сигнал в виде интеграла от произведения функций с разделяющимися переменными и (х0, у0) = и1 (х0) и2 (у0),

•2 п(0х0 к/

где и^) = Рх (хо ^л/З | Е о| е ' , и2(уо) = Ру (уо).

Отклик системы на входной сигнал и1(х0) будет таким (см. (2)):

ГГ (-1 I -к(С0+7) -к/(у—1«2 ^(5) 0|е 2 е ^

^ / , (13)

8т|к/Х (5 — 50)

к/

х (5 — 50)

Находим отклик в задней фокальной плоскости входной цилиндрической линзы Л1 на входной сигнал и2(у0):

— / — ¡^у2

и '2 (у) = I-У е 2 е к/0

Б1П

у

пу

ук/0 у

пу

к/0

у

Линзы Л2 и Л3 переносят это распределение в выходную плоскость системы с единичным увеличением в соответствии с выражением (4).

С точностью до фазового множителя выходной отклик по оси п будет

(

Б1П

^г(п) =

Л

ук/0

уп

л/к/Г

(14)

к/0

уп

Распределение сигнала в выходной плоскости по двум координатам, с точностью до фазового множителя, определяем через произведение (13) и (14):

ХУ , Е01 х

V (5, п) =

к/,

¡¡Ш| —X(5 — 50) 181п

(

\

чк/0

уп

-X (5 — 50)

Уп

к/ " к/0 Отсюда получаем интенсивность сигнала в

максимуме:

I

ЗХ2У2 , Е к2/ /0 Е1

(15)

71

4

Телекоммуникационные системы и компьютер ные сети^

Находим теперь распределение интенсивности шумового фона в выходной плоскости системы /ф(5, п). Шум во входной плоскости представляем в виде интеграла от функции с разделяющимися переменными (см. (5)):

и(хо, уо) = |Ео | рх (хо)РУ (уо)п(хо, уо) = да

= 1 Ео I Рх (хо) Ру (у X хо, у ')5( уо — у (' =

—да

да

= 1 и,(х0, у') • и2(у0, у ')йу',

—да

где их(хо,у') = |Ео|Рх(хо)п(хо,у'); и 1(уо,у') =

= Ру (у') 5( уо — у').

Находим выходной отклик системы по координате 5 на входной сигнал и1(хо,у') (см. (1)):

Г (Мо+f) k МЛ _1|;2

т'У') = f o|п" 2 п ffJ X

(16)

X J n(x, y') п Mx.

Отклик в плоскости фокусировки лазерного луча линзой Л1 по координате у на сигнал и2( уо, у') находим, используя теорему смещения для преобразования Фурье от 5-функции:

1

/ _i^y2

U '2 (У, У') = JfPY (У')п 2 П f

I Л/о

2яуу'

Выражение для выходного отклика по координате п на входной сигнал Ц/2(уо,у') получаем из распределения и '2 (у, у') , как его изображение, формируемое с помощью линз Л2 и Л3 (см. (4)). С точностью до фазового множителя, не зависящего от у, оно равно

V2O1, y') PY (y') п

.2nny'

(17)

Зависимость шума на выходе от двух координат с точностью до фазового множителя получаем из (16) и (17), проинтегрировав отклик системы по всем y':

да

Vп) и J V¿%,y ')V2(n, уM' и

x

I Т-. I —

E° 2 А

—. • J Мхп X

i/ _ х

xJ PY (y') n(x, y') п 0 My' и

(18)

E

X Y 2 2

2n^x 2ппу

' "я/о"

J J n(x, y) п п MxMy.

х4м — х —у 11

Из выражения (18) следует, что среднее значение шума в выходной плоскости V (5, п) = о, поскольку п( х, у) = о .

Корреляционная функция случайного процесса в выходной плоскости определяется следующим выражением:

^(51,51,п„п1) = V(5„п,) V (51,п1).

Учитывая, что при стационарном процессе на входе п(х, у) его корреляционная функция зависит только от разности координат (х, - х1, у1 - у1), получаем:

^ых^ 51, nl, п1) =

J J п

г f° f _Y

2 2

x Y

22 _

J J Kn (x1 _ x2 , У1 _ У2 ) п

_ X _ Y 2 2

Mx2 My2

(19)

f1x1+f

Mx1My1.

Второй интеграл в выражении (31) можно упростить, если область корреляции входного процесса, т. е. ширина функции Кп (х1 - х1, у1 - у1) значительно меньше размера сигнала хУ [4]. Тогда этот интеграл будет равен энергетическому спектру входного случайного процесса

W„

(2л 2п ^

я ^ Т П1 у

. При этом получаем из (19):

^вых^ ^ Пр П2) и

sin

(xÍ2п£ _ 2п

x [я/ ^ я/ 2

(

я2 f° f

-w„

2п „ 2п

А

я/ ^ я/оП1 у

I 2п „ 2п „

x| .я/ * ^

2

sin

( (2п 2п ^

—п1--п2

vV0 V0 у

(2п 2п ^

—п1--п2

у

2т?

x

2

2

jj

X

Поскольку среднее значение процесса на выходе равно нулю, то средняя интенсивность фона может быть найдена, как

: КВых(|Р ^ Пр П2) =

Fol * Y

fo f

(

W„

2* 2п

—I, — П

Л

Вводя, аналогично предыдущему, нормировку энергетического спектра на его максимум, равный стП • Д^, получаем для интенсивности фона:

\Ер\ * Y

к 2 fo f

W

(

2л 2п

— -П

Л

2*2 А ^

(20)

где 1норм - нормированный энергетический спектр

(^норм (0,0) 1)1

Отношение сигнал-шум в максимуме сигнала находим из (15) и (20):

X YÛ

WL

2л

V

M

(21)

-2.2

4. Обсуждение результатов

Значение нормированных функций в выражениях (11) и (21) IV и IV совпадают, от-

4 ' 4 ' пх норм п норм '

куда следует, что отношение сигнал-шум в схеме

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

анализатора спектра с выносом АОМ из фокуса

цилиндрической линзы выше, чем в схеме без вы-

у

носа АОМ в - раз. Это объясняется тем, что

Дк

шум в плоскости регистрации схемы с выносом

у

АОМ распределен по оси п в — раз шире, чем

Дк

сигнал, а в схеме без выноса шум и сигнал как во входной, так и в выходной плоскости распределены на одном участке оси. По оси Е в обеих схемах распределение шума шире, чем распределение

сигнала в раз. Увеличение площади распре-

Дк

деления шума при той же его энергии приводит к снижению его плотности мощности и увеличению отношения сигнал-шум.

Результаты экспериментальных исследований, описанные в работе [3], подтверждают приведенные выше теоретические выводы. Полученные формулы отношения сигнал-шум могут использоваться при расчете чувствительности и динамического диапазона рассмотренных схем. Предложенная методика расчета может применяться для исследования не только аку-стооптических анализаторов спектра, но и других когерентных астигматических оптических систем.

1. Янг, Э. Расчет акустооптических устройств [Текст] / Э. Янг, ЯО Шикай // ТИИЭР. -1981. -Т. 69. -№ 1. -С. 62-74.

2. Зюрюкин, Ю.А. Дефлекторы лазерного пучка для акустооптической обработки радиосигналов [Текст] / Ю.А. Зюрюкин, С.В. Заварин, Л.А. Шехтман // Проблемы оптической физики: Матер. VI Между-нар. молодежной науч. шк. по оптике, лазерной физике и биофизике. -Саратов: ГосУНЦ «Колледж». -2003. -С. 38-43.

3. Рогов, С.А. Увеличение отношения сигнал-шум широкополосных акустооптических устройств [Текст] / С.А. Рогов, Д.С. Сергеев, В.В. Скороход // Сб. докладов XXI Междунар. конф. Лазеры. Измерения. Информация. -СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2011. -Т. 1. -С. 268-279.

4. Кондратенков, Г.С. Обработка информации ко-

герентными оптическими системами [Текст] / Г.С. Кондратенков. -М.: Сов. радио, 1972.-208 с.

5. Marks, R. Astigmatic coherent processor analysis [Text] / R. Marks, S. Bell // Opt. Eng. -1978. -Vol.17. -№ 2. -P. 167-169.

6. Тарасов, Л.В. Когерентнооптическая обработка радиосигналов [Текст] / Л.В. Тарасов, В.А. Ежов // Зарубежная электроника. -1980. -№ 2. -С. 3-36.

7. Гудмен, Дж. Введение в фурье-оптику [Текст] / Дж. Гудмен. -М.: Мир, 1970. -364 с.

8. Бронштейн, И.Н. Справочник по математике [Текст] / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. -М., 1967. -608 с.

9. Рогов, С.А. Прохождение случайного сигнала через астигматичекую оптическую систему [Текст] / С.А. Рогов, И.А. Водоватов // Автометрия, 1986. -№ 1. -С.86-87.

ф

ф