Уточнённая математическая модель поверхностного эффекта в многослойной земле Текст научной статьи по специальности «Физика»

Математическое моделирование

УДК 621.311.1

В.Г.Гольдштейн, Н.В.Сайдова, А.К.Танаев

УТОЧНЁННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОВЕРХНОСТНОГО ЭФФЕКТА В МНОГОСЛОЙНОЙ ЗЕМЛЕ

Рассматривается уточнённый подход к математическому моделированию электромагнитных ква-зистационарных процессов в многокомпонентных системах и устройствах с учётом всех составляющих векторов напряженностей магнитного и электрического полей на примере исследования поверхностного эффекта в проводах многопроводной воздушной линии электропередачи и проводящей земле, имеющей неоднородную горизонтальную многослойную структуру.

Электротехнические многокомпонентные системы и устройства (многопроводные воздушные и кабельные линии, заземляющие устройства, линии и кабели связи и др.) работают в сложных сочетаниях физических сред (воздух, неоднородная земля с большим диапазоном изменения проводимости, твердые, жидкие и газообразные диэлектрики, например в кабельных конструкциях и др.). При анализе их работы в импульсных и высокочастотных процессах [1] определение интегральных выражений, учитывающих влияние поверхностного эффекта в многослойной земле и проводах, а также продольных токов смещения в земле, производится с допущениями Карсона [2].

В ряде электротехнических приложений требуется более точное решение этих задач без названных допущений. Здесь можно применить методику, сформулированную Гринбергом и Бонштедтом [3] для однопроводной и Перельманом [4] для многопроводной линий электропередач над однородной землей. Для упрощения изложение проводится сначала для однопроводной линии и далее для многопроводной задачи [4,5], где они во многом аналогичны. Решение в этом случае производится методом последовательных приближений, так как выражения [1], учитывающие влияние земли на текущей частоте ш, зависят от определяемой постоянной распространения Г. Однако зависимость эта проявляется слабо, так что достаточно точным оказывается первое приближение [4], полученное при допущении

г 0= а>2 m oe o, а)

которое используется для однородной земли Карсоном [2] и для многослойной земли. Здесь f 0 и s 0 - магнитная и диэлектрическая проницаемости ( индекс 0 - для воздуха).

Рассмотрим точное решение для двухслойной земли при допущении (1). Сохраняя обозначения и используя постановку задачи [1], при последующем рассмотрении не будем пренебрегать у и z - составляющими векторами электрической напряженности в земле. При этом общее решение для z - составляющей электрической напряженности в воздухе и двух слоях земли может быть записано в виде

Ez = —X j eh(z—h) cos lydl — XIM(l)e~hz—hh cos lydl, h > z > 0;

0 0

El = X jM/ehiz—mh coslydl + X jM/ (l)e~hiz—hh cos lydl, 0 > z > -d; (2)

0 0

Ef = X jMa (l)ehliz—hh cos lydl, -d > z >-

0

2 ГС —

где множители X =---------т и e ~hh выделены для упрощения произвольных функций

pm

M(l),M[ (l),Ml/ (l),MII (l), подлежащих определению; Г- постоянная распространения, а С

- постоянная, определяемая из граничных условий на границе провод-воздух аналогично [5].

Выражение для составляющей в воздухе записано в виде двух частей, первая из которых

Е°0 = -X|ец(г~Н) соб 1уё1 (3)

о

является интегральным представлением г - составляющей электрического поля провода в ограниченной однородной среде при симметричном распределении тока по сечению [6]. Вторая составляющая отвечает вторичному полю земли.

Для определения неизвестной функции могут быть использованы следующие граничные условия на поверхностях раздела г = 0 и г = - ё:

- Е - Е1 - Е1 Л Е11

г = 0, е 'Ег = е/Е/ ; г = - ё, е/Е/ = е[Е ; г = 0, ; г = - ё, , (4)

, I 771 „ I 77II

- ; z = и. - , _

8 z 8 z 8 z 8 z

где два первых условия для нормальной составляющей поля на границах раздела сред с различными характеристиками хорошо известны [1], а два последних вытекают при этом из уравнения ёгу Е = 0. Участвующие в (4) выражения типа Є[ = Єі — / (С представляют собой

комплексные диэлектрические проницаемости сред.

Подставляя (2) в (4), получим после упрощений систему уравнений

— 1 — М (1) = [мі (1)+М/ (1)]; — 1 + М (1) = [мі (1) — М/ (1)];

Є ц

МЦ)e-hld + М/(А )ehid = —л-Міі (l)e-hlld ; МЦ)e-hld -M"(X )ehid = hlLMii (l)e~hiid ,(5)

—i hi

решая которую и подставляя результаты в (2), получим Ez = -X jeh(z-h) coslydl -X j—e—(z+h) coslydl;

0 о x

— ii + h ii — ii — hj¿

¥ I ¥ I

г/ = -X j—---------------^ ehi(z+d)e~hh cos lydl - X f —-------— e

x 0 x

Ei = -X f ^eh(z+d)e~hh coslydl - X f—-—e(z+d)e~hd coslydl; (6)

x * x

¥ ehii(z+d)

E^ = -2X j------------e~hh coslydl,

x

0

где X = (¡í + ^)chh,d + (Щ- + )shh,d, ~ = (% - )chh,d + (Щ - )shh,d.

e h hi e £jh e h hi e e/h

Общие решения для y - составляющих в рассматриваемых средах будем искать в виде [3]

Ey = X j eh(z-h) - sin lydl - X j N(l)e~h(z+h)l sin lydl;

0 h 0

Ey = X j Ni (l)1ehiz-mh sin lydl + X j N" (l)1e~hiz-hh sin lydl; (7)

0 0

Ey = X j Nu (l)ehiiz-mhl sin lydl.

0

Построение выражений (7) аналогично (2). Для определения N(l), Ni(1), Nl¡ (l), Nii (l) можно использовать известные граничные условия для тангенциальных составляющих поля на границе сред с различными характеристиками z = 0 и z = —d:

Ey = Ey (z = 0), Ey = Ey (z = -d). (8)

Еще одна пара условий может быть получена с помощью определенных выше z - состав-

ляющих из уравнения Максвелла rot E = - ja^H для x - составляющей вектора магнитной напряженности

^ ^ = -jwmHx. (9)

dy dz

Составляя выражение типа (9) для всех сред и учитывая непрерывность Hх на границе раздела, имеем

1 dEv 1 8E[ d 1 1 i

---- ---------^ = — (— Ez —— EÍ) (10)

Ij dz dy m ¡hi

и аналогичное уравнение для границы z = —d. Используя (6) в (10) и полагая для наиболее

распространенного случая ¡1 = ¡lj = ¡ljj = ¡10, получим

E — E = 2X f C е“П sin Ayd>.; E — dE- = 2X (4—1)J ^ sin lydy , (11)

dz dz 0 c dz dz ej J0 х

где X = (% -Ц-)chhJd +(h-- - — )shhid.

е е 1 цI е ц

На основании (7), (8), (11) можно записать систему уравнений для функций

N (1), N/(1), N/(1), Кц (1):

1 - N (1) = N (1) + N (1), 1 + ц N(1) = Г N (1) - N (1) V + 2 ;

ц ^ л с

^(Л)е-Ц1а + ^(ЛУ1* = ^(Х)в-Ц11й, ц1 [N/(1^* -^(ЛУ1*] = ця<(Л)в-Ц1й . (12)

Имея после решения (12) все неизвестные произвольные функции, запишем необходимое для дальнейших рассуждений выражение

1 2с

N (1) =--------(ц 1екц 1ё + ц IIshц 1й) - 2с 3 якц 1й,

ц ццI с

-1 -1

(hi -h)(-Jr - 1)shhjd -Jr

-j e i

где X2 = 1 + —---------------------------------------------7~t-, , 2-Г~,-"7 , Хз

hj (h + hjj )chhjd + (hj + hhjj )shhjd hjX

1

Теперь из уравнения *гуЕ = 0 могут быть определены х - составляющие вектора электрической напряженности, например

1 Ж 8Е„

Ex = — (-

).

(1з)

77 dy dz

Подставляя сюда выражения Ег из (6) и Еу из (7), с учетом (13) получим после преобразований, аналогичных [3], интегральные выражения для учета в матрице продольных сопротивлений влияния двухслойной земли:

f,, = 2Í-

e 1 hh¡rcthhrd + hh-12 - j cthh ,d + (- 1)cth(h¡d + y) + — _ - j hj _ e

h (% + -n_ h - )cthhId + h jj - \ + - 'jjhj hj - -h _

-(hk +К )l

coslydl, (14)

где y = arcth

hj_

h

.hlL h j

h i

= 1 ,n (hj + h)(hj + hjj) 2 (hj - h )(hj - hjj)

1 + ^-ц

Полагая здесь для проверки параметры слоев земли одинаковыми, получаем совпадение с решением [3]:

ццI -12

f-,=2Í

- hj + - h

-/e (К+K)COslydy.

Решение, подобное изложенному, может быть выполнено и для многослойной земли, однако выкладки в этом случае весьма громоздки. Поэтому здесь становится оправданным применение численных методов. Учитывая, что конструкция решения и граничных условий для многослойной земли подобна (2) и (4), для z - составляющей электрической напряженности

131

0

можно представить систему (5) для п - слоев земли с границами (г = 1,2, ...п) в матричном виде

Аг* М = В, (15)

где Лг =

е' е! е! 0 . . 0 0

Ц -Ц I Ц I 0 . . 0 0

0 е/е^ е [е^1 е / e~ЦIIdI е ^ eЦIIdI сIIе сле . .0 0

0 Ц уцА —ц ул —ЦIyЦIIdI ЦДеПш^ 0 0

0 0 0 0 еіе^ е п—еп—1 ^— — е п е~цЛ—1

0 0 0 0 Цпіе-Цп—Л—1 —Цп_уп—А— —Цпе^п—1

- квадратная ленточная матрица системы алгебраических уравнений для определения произ-

вольных функций М в решении типа (2); М = М (1) М[ (1) М!/ (1).. .Мп (1)

- столбец не-

известных; Бг =|— е' Ц 0... 0|г - столбец свободных членов (т - операция транспонирования).

Решая (15) для фиксированных значений 1, можно численно определить искомые функции. При определении у - составляющих электрического поля в рассматриваемом случае удобно представить дифференциальные соотношения на границах раздела di (і = 1,2, п), аналогичные (10) и (11), в виде

ЯЕ Яр! ”, ,

----^ = X \\М(1) +1 -М[(1 )е~ЦА — М!(А)еЦ ] е-ф18І^у^;

дг дг 0

Е — -Еу^- = —{\\міі(11Л + М/(ЯУЛ -Ми(Х)е~лЛ -М^Це^] е~фХsinAydА; (16)

дг дг і

дЕп дЕп

у У

дг дг

= —Х—1(Я)е %—Л—1 + М'ЦУп—А—1 — Мп(А)е ТіА—1 ] е фХ^іп^у^,

а соотношения для самих составляющих могут быть взяты в виде (8).

Принимая решения для у - составляющих в виде, аналогичном (7), и используя (16) и (8), можно записать в матричном виде

ЛуХ N =Бу,

(17)

где Лу =

1 1 1 0 . .0 0

Ц -Ці Ц 0 . . .0 0

0 е-Ц^ еЦ^ e~ЦIIdI -eЦIIdI . . .0 0

0 Ц уцА —ц УА —Цпе-Ц^ ЦиеЦп^1 . . . . 0 0

0 0 0 0 ... е~Цп—А—1 еЦп—Л—1 е Цп dn_'

0 0 0 0 ... Цп^п—1 —Ц^-1 ЦпецА—1

- квадратная ленточная матрица для определения произвольных функций N в решении типа (7); N = N(1) N(1) N'1 (1) ...Нп(1 )| - столбец неизвестных;

By =

1

h

1+m (A) - м/(1) - м'Ц) 0

-M/(X)e-hldl -M"(A )eh,dl + M'n(A)e~%dl + M"(A)eh,d

- столбец свободных членов.

-МП _1(А ^п-Л-1 _ м"п_х (1 )е^-1 + мп (1 )е^-1

Теперь из (13) можно определить х - составляющую вектора электрической напряженности и, учитывая, что

S+

ez_

Sz

XJ eh(z-h) cos

0 h

AydA - X J A2N(A)e~h(z+h) cos AydA;

■ X Jheh(z h) cos AydA - X JhM(A)e h(z+h) cos AydA;

1

N (A) = — N/ (A) - N' (A) ,hM (A) = h + h M (A) - h M' (A) , h

получим интегральное выражение, отражающее влияние многослойной земли:

fzm = J {, \м!! (A) - M, (A)]- - (A) - N- (A)}}+ cos A+dA,

0

где выражения M,(A),M, (A), N, (A), N, (A) могут быть найдены для любого значения A при численном решении систем (15) и (17).

Данное выражение можно использовать для получения уточненных данных о влиянии поверхностного эффекта и токов смещения в многослойной земле.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. М.: Энергоатомиздат, 2001. 320 с.

2. Carson J.R. Wave propagation in overhead wires with ground return // BSTJ. V. 5. №4. 1926. С. 31-37.

3. Г.А.Гринберг, Б.А.Бонштедт. Основы точной теории волнового поля линии передачи // ЖТФ. Т. XXXIV. Вып. 1. 1954. С. 61-68.

4. Перельман Л.С. Уточнение теории распространения волн вдоль многопроводной линии в связи с некоторыми техническими задачами// Известия НИИПТ. 1963. Вып. 10. С. 46-58.

5. КостенкоМ.В., Перельман Л.С. К расчёту волновых процессов в многопроводных линиях// Изв. АН СССР. Сер. Энергетика и транспорт. 1963. №6. С. 71-80.

6. ЗоммерфельдА. Электродинамика. М.: ИИЛ, 1968. 462 с.

Поступила 21.02.2003 г.