Уточненный расчет индуктивного сопротивления крыла в дозвуковом потоке методом дискретных вихрей Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XIV 1983

№ 5

УДК 533.6.011

УТОЧНЕННЫЙ РАСЧЕТ ИНДУКТИВНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ КРЫЛА В ДОЗВУКОВОМ ПОТОКЕ МЕТОДОМ ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ

Г. И. Васильева, 3. С. Пашкова, В. П. Савин

В работе предлагается способ уточнения индуктивного сопротивления крыла при расчете его аэродинамических характеристик методом дискретных вихрей. Сущность способа состоит в изменении боковой координаты концевых свободных вихрей.

Приведено сопоставление предлагаемого способа с предложенным в работе [2] и с точным решением для эллиптического распределения циркуляции по размаху крыла, а также приведены примеры расчета для прямоугольного, треугольного крыльев и крыла сложной формы в плане.

1. Метод дискретных вихрей, разработанный в работе [1], в настоящее время является одним из основных расчетных методов определения аэродинамических характеристик крыльев при дозвуковых скоростях потока.

Сущность метода состоит в моделировании крыла сеткой П-образных дискретных вихрей и удовлетворении граничных усло: вий в конечном числе точек. После определения циркуляции скорости, создаваемой этими дискретными вихрями, силы и моменты, действующие на крыло (У, Мг, Мх), легко определяются по теореме Н. Е. Жуковского (в малом).

Однако при расчете индуктивного сопротивления крыла с подсасывающей силой, вследствие дискретности вихрей и связанной с этим бесконечной скорости на оси вихря, приходится использовать некоторые дополнительные допущения или специальные приемы. Обычно решение задачи об определении индуктивного сопротивления крыла сводится к определению вертикальных составляющих скоростей, индуцированных дискретными вихрями в плоскости Трефтца (скосов потока).

Формула для силы индуктивного сопротивления, взятая из [1], имеет вид:

Г

г/2

где XI — сила индуктивного сопротивления крыла; — плотность невозмущенного потока; I—размах крыла; Г (г) — циркуляция в сечении крыла с боковой координатой г; шу(г) — вертикальная составляющая скорости, индуцированная свободными вихрями в плоскости Трефтца на вихревой пелене в точке с боковой координатой г.

При этом можно выделить два основных подхода к этой задаче:

а) использование непрерывных функций, аппроксимирующих изменение циркуляции по размаху, например, тригонометрических рядов [1]. После определения аппроксимирующих функций задача вычисления индуктивного сопротивления решается точно, поэтому погрешности расчета связаны главным образом с точностью аппроксимации. Недостатком такого подхода являются сравнительно большая громоздкость вычислений и зависимость результата от выбранного вида аппроксимации;

б) использование предположения о том, что величина вертикальной скорости на отрезке между двумя свободными вихрями постоянна и равна вертикальной скорости в точке, расположенной на равном расстоянии между ними [2]. Достоинством этого метода, который в дальнейшем будем называть исходным методом, является его простота, а основным недостатком — значительная погрешность в концевых сечениях крыла.

В работе [2] была также предложена модификация этого метода, заключавшаяся в значительном увеличении числа свободных вихрей, путем введения дополнительных свободных вихрей, циркуляция скорости которых определялась при помощи квадратичной интерполяции циркуляции скорости вихрей, найденной при расчете подъемной силы крыла.

Однако для получения хорошей точности требуется использовать большое число дискретных вихрей {при числе вихрей на полуразмахе А^ = 80 ошибка в определении величины шу в конце крыла может достигать 27% (рис. 1, а), при УУг=160 она уменьшается до 3% [2]}. Эти ошибки, по-видимому, связаны с неточностью использованной в работе [2] квадратичной интерполяции. Отклонения эти носят знакопеременный характер и достигают наибольших величин у конца крыла, где циркуляция стремится к нулю. Поэтому суммарная ошибка в определении индуктивного сопротивления крыла при 160 вихрях по полуразмаху не превышает 196 -

В то же время существенное увеличение числа свободных вихрей по размаху значительно увеличивает объем вычислений, связанный с расчетом индуктивного сопротивления крыла (примерно пропорционально квадрату числа вихрей по размаху).

2. Как показали расчеты, для случая эллиптического распределения циркуляции по размаху крыла использование исходного метода приводит к монотонному занижению значения шу (по сравнению с точным решением) по мере приближения к концу крыла (рис. 1, а). Вследствие этого расчетные значения коэффициентов индуктивного сопротивления крыла сх1 оказываются также заниженными.

В настоящей работе предлагается при определении параметров скоса потока в плоскости Трефтца концевые свободные вихри

Зллилтическая циркуляция ь работа. [<?] ',N^ = 60

э яг-о

х

9

0,135

0,124-

0,137}

Эллиптическая форма

В1 =0,137 ;Ыг -20

N^20

Рис. 1

— г

т. е. вихри, имеющие относительную боковую координату г=у = 1

смещать ближе к контрольной точке (т. е. ближе к корню крыла) на некоторую величину DZ, определенную эмпирически для случая эллиптического распределения циркуляции.

Методика подбора величины DZ состоит в следующем. Непрерывное эллиптическое распределение циркуляции по размаху крыла заменяется ступенчатым путем замены вихревой пелены системой П-образных вихрей, циркуляция которых принимается равной значениям эллиптической циркуляции в сечениях, равноотстоящих от свободных вихрей каждого П-образного вихря. Затем подсчитывается величина шу в этих сечениях при условии, что концевой (последний) свободный вихрь меняет свое положе-

ние, приближаясь к контрольной точке на величину DZ=—t—

в пределах от 0 до 0,25, где 1п — расстояние между свободными вихрями концевого (последнего) П-образного вихря.

При этом значения DZ, обеспечивающие наиболее близкие к теоретическим величины скоса потока и сопротивления, заключены в пределах 0,124—0,137 для числа вихрей по размаху 10—50.

На рис. 1, а приведены величины относительной вертикальной скорости ту (отношение расчетной величины к точной) при эллиптическом распределении циркуляции для значений DZ = 0; 0,124; 0,135 и значения шу из работы [2].

Видно, что предлагаемый метод (при 20 вихрях по полуразмаху) обеспечивает получение более точных значений скоса, чем исходный и метод работы [2] (при 80 вихрях по полуразмаху).

Проанализирована зависимость отношения расчетной величины коэффициента индуктивного сопротивления к точной (сх1) от параметра DZ для крыла с эллиптическим распределением циркуляции. Как следует из этого анализа, точность определения индуктивного сопротивления крыла в диапазоне значений DZ = 0,124 -н 0,137 является наилучшей и не превышает 1,2—0,1% при числе вихрей по полуразмаху = 5-^70, хотя оптимальное значение DZ несколько меняется в зависимости от 7Уг.

На рис. 1, б приведена величина <оу, рассчитанная по предла гаемому методу для крыла с эллиптическим распределением циркуляции по размаху и для крыла эллиптической формы в плане с удлинением А =14 при 20 вихрях по полуразмаху и 7 по хорде и значении DZ = 0,137.

По мере приближения к концу крыла разница в величинах скоса для этих крыльев увеличивается и достигает примерно 10% при 2 = 0,975. Причина такого расхождения объясняется прежде всего отличием расчетного распределения циркуляции от эллиптического для крыла эллиптической формы в плане. Это в свою очередь связано как с приближенным представлением формы эллиптического крыла (оно заменялось комбинацией из 20 трапеций на полукрыле), так и с неточностью самого метода дискретных

вихрей. При этом теоретическое и расчетное сопротивления отличаются всего лишь на 0,04%.

На рис. 2 показана зависимость относительной ошибки в определении коэффициента индуктивного сопротивления сх1 крыла

с эллиптической циркуляцией по размаху при расчете методом дискретных вихрей от числа вихрей по полуразмаху крыла (при числе вихрей по хорде, равном 7). Как следует из этого рисунка, при DZ = 0 (исходный метод) и М2 = 10 ошибка в значении сх1 составляет 3,5%. При этом расчетные значения сх1 Меньше точных. При максимальном использованном числе вихрей Л^ = 73 ошибка составляет 0,5%. Переход к DZ — 0,135 уже при УУг=10 уменьшает ошибку до 0,5% (при этом сх1 расчетное выше точного), а переход к DZ = 0,124 при уУг— 10 уменьшает ошибку до 0,1%. При Л^ = 73 ошибка как при DZ = Q,\'?)Ъ, так и при 1^ = 0,124 не превышает 0,07%.

Представляет интерес проверить точность предлагаемого метода при расчете индуктивного сопротивления крыльев с циркуляцией, отличной от эллиптической, например, для прямоугольных, треугольных и сложной формы в плане.

На рис. 3, а показано, как изменяется в зависимости от числа вихрей на полуразмахе крыла Ыг параметр сопротивления В для

прямоугольного крыла с удлинением /. = 9. Параметр сопротивления В (согласно [1]) представляет собой отношение индуктивного сопротивления данного крыла к индуктивному сопротивлению крыла с эллиптической циркуляцией при равной подъемной силе.

Исходный метод при /Уг<14 дает значение 5<1, т. е. ниже теоретического минимума, а при N. = 73 значение В возрастает до В = 1,028.

При DZ = 0,135 значение В изменяется от 1,078 при Л/г —7 до 5 = 1,043 при А^ = 73, т. е. диапазон изменения параметра В при DZ = 0,135 (как и при 02 = 0,124) меньше, чем у исходного метода.

Оценка точности обоих методов затруднена отсутствием точного решения для прямоугольного крыла. Однако; если проэкстра-полировать полученные зависимости В(А/г) при помощи функции

В — —Ь с, где к и с — константы, и определить значение с при

Д/2ОО, то с точностью до 0,06% мы получим один и тот же предел, а именно, 5пр = 1,036. Отметим, что это значение 5=1,036 заметно отличается от Б =1,1, приведенного для этого же крыла в [1], что, возможно, связано с неточностью использованных в [1] аппроксимационных зависимостей.

Приняв это значение Впр за точное, определим ошибку исходного (£)2Г = 0) и предлагаемого (DZ=:0,124 и ¿^ = 0,135) методов.

Как доказано на рис. 3, б, максимальная ошибка в определении сх1 при £^ = 0,124 у прямоугольного крыла Х = 9 не превышает 3,1%, тогда как у исходного метода при N¿ — 7 ошибка составляет около 7% (со знаком минус).

При ^ = 28 ошибки обоих методов (по абсолютной величине) не превышают 2% (при DZ = 0,124—'1%), а при = 73 оба метода дают практически одинаковую (по абсолютной величине) ошибку | Асх,|=0,8 + 0,7%.

Ошибка в определении сх1 треугольного крыла с удлинением X= 9 и прямой задней кромкой, найденная аналогичным образом, при исходном методе изменяется от 2% при = 7 практически до нуля при Лгг>56 (рис. 4, а).

Ошибки при £>г = 0,124 и 0,135, как показано на том же рисунке, близки между собой и изменяются от 0,7—0,5% при N¿ = 7 также практически до нуля при > 28.

Для крыла более сложной формы в плане (рис. 4, б) ошибка исходного метода изменяется от 11% при Л’г = 4 до 0,77% при УУг = 72, тогда как при DZ = 0,124 она уменьшается до 2,1% при N2 —А, до 0,8% при = 28 и до 0,42% при N¿ = 72.

Таким образом, на основе предложенной модификации метода дискретных вихрей можно, не увеличивая времени счета, существенно уменьшить ошибку при расчете индуктивного сопротивления крыльев, близких по форме к рассмотренным в работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Б е л о ц е р к о в с к и й С. М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа. — М.: Наука, 1965.

2. Му зычен к о Т. М. Расчет индуктивного сопротивления деформированного крыла сложной формы в плане. —Труды ЦАГИ, 1970, вып. 1286.

Рукопись поступила 171IV 1982 г.