CC BY
19
УДК 62.752, 621.8.02 Елисеев Сергей Викторович,
д. т. н., профессор, г. н. с., директор научно-образовательного центра современных технологий, системного анализа и моделирования, Иркутский государственный университет путей сообщения, тел /факс: 8(3952) 59-84-28, e-mail: [email protected] Артюнин Анатолий Иванович, д. т. н., профессор, первый проректор, Иркутский государственный университет путей сообщения, тел /факс: 8(3952)59-84-26, e-mail: [email protected] Каимов Евгений Витальевич, м. н. с. научно-образовательного центра современных технологий,
системного анализа и моделирования, Иркутский государственный университет путей сообщения, тел /факс: 8(3952) 63-38-26, e-mail: [email protected]
УСТРОЙСТВА ДЛЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ В РЫЧАЖНЫХ СТРУКТУРАХ
S. V Eliseev, A. I. Artyunin, E. V Kaimov
DEVICES FOR MOVEMENT TRANSFORMATION IN LEVER STRUCTURES
Аннотация. Предлагается метод построения математических моделей для механических колебательных систем, содержащих в своей структуре механические цепи для преобразования движения. Механическая цепь представляет собой две симметричные двухповодковые группы Ассура, соединенные между собой упругим элементом и устройством для преобразования движения типа несамотормозящегося винтового механизма. Показаны особенности динамических свойств системы при силовом и кинематическом возмущениях. Получены аналитические соотношения, определяющие зависимость приведенных масс и жесткостей от параметров вводимых механизмов.
Получены аналитические условия возможного изменения вида амплитудно-частотных характеристик при кинематических возмущениях. Показано, что вводимые устройства для преобразования движения могут использоваться для настройки параметров динамического гашения колебаний и изменения частот собственных колебаний.
Ключевые слова: устройства для преобразования движения, динамическое гашение колебаний, механизмы в колебательных структурах, рычажные механизмы как дополнительные связи.
Abstract. The method of creation of mathematical models for the mechanical oscillatory systems containing in the structure m e-chanical chains for movement transformation is offered. The mechanical chain represents two symmetric Assur groups connected among themselves by an elastic element and the device for transformation of movement of type of not self-slowing down screw mechanism. Features of the system's dynamic properties are shown at power and kinematic indignations. The analytical ratios defining dependence of the specified masses and rigidity from parameters of entered mechanisms are received.
Analytical conditions of possible amplitude-frequency characteristics type change are received at kinematic indignations. It is shown that the devices for movement transformation can be used for control ofparameters of dynamic blanking out of oscillations and free oscillations frequencies change.
Keywords: devices for movement transformation, dynamic blanking out of oscillations, mechanisms in oscillatory structures, lever mechanisms as additional ties.
Введение
Развитие робототехники в таких её реализациях, как шагающие и прыгающие машины, манипуляторы и манипуляционные системы, инициирует внимание к вопросам динамики механических колебательных структур, содержащих различные механизмы, в частности, рычажные и устройства для преобразования движения. Ряд подходов, связанных с формированием теоретического базиса и технологий математического моделирования рассматривался в работах зарубежных и отечественных специалистов [1-4]. В меньшей степени в литературе нашли отражение результаты исследований в области динамики механических систем, элементы которых взаимодействуют в колебательных движениях относительно положения статического или динамического равновесия, хотя в динамике машин известны работы по колебаниям механизмов и робототехнических си-
стем в частности [5-7]. Малые колебания элементов робототехнических систем характерны для объектов с вибрационными принципами перемещения по поверхности, что расширило представления о возможностях и особенностях движения в системах с неудерживающими связями и устройствами для преобразования движения [8-10].
Близки по динамическому содержанию задачи, в которых развиваются методологические позиции в поиске и разработке способов и средств изменения состоянием колебательных систем, что нашло отражение в работах по анализу и динамическому синтезу систем вибрационной защиты технических объектов [4, 11, 12].
Общность задач динамики в определенной степени предопределяет, целесообразность развития обобщенных подходов, связанных в том числе, с попытками введения в рассмотрение новых типовых элементов и новых типов связей, привно-
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
сящих в динамику взаимодеиствия элементов особенности, представляющие интерес для разработки оригинальных конструктивно-технических средств изменения и управления динамическим состоянием.
В предлагаемой статье развивается метод структурных преобразований механических колебательных систем с использованием устройств для преобразования движения в виде специальных механизмов, участвующих в работе упруго-механической системы, состоящей, в свою очередь, из стержней с кинематическими вращательными парами.
1. Общие положения. Постановка задачи исследования. Рассматривается система вибрационной защиты, состоящая из основного блока, в состав которого входит объект защиты М с пружиной к0, и специального механического колебательного контура, образованного шарнирно-рычажными механизмами, в шарнирах А и В которых закреплены массоинерционные элементы т. Кроме того, точки соединены между собой упругим элементом с жесткостью к (точкиА и В) (рис. 1).
)
Рис. 1. Расчетная схема виброзащитной системы с настраиваемыми упруго-массовыми параметрами
Шарнирно-рычажные механизмы симметричны и имеют соответственно звенья в виде невесомых жестких стержней 11 и 12. Углы а ив определяются конфигурацией системы по отношению к положению статического равновесия. Все движения элементов системы рассматриваются как малые, силы сопротивления в относительных движениях элементов считаются малыми. Кроме упругого элемента с жесткостью к точки А и В связаны между собой устройством для преобразования движения; Ь представляет собой приве-
денную массу устройства для преобразования движения, которая формирует инерционные взаимодействия между тт. A и B. В качестве такого устройства может быть, например, использован несамотормозящийся винтовой механизм [10].
Возникающие инерционные силы определяются параметрами относительного движения тт. A и B. Полагается, что масса устройства для преобразования движения (L) мала и не учитывается при определении кинетической энергии системы.
В качестве внешних возмущений рассматривается силовое гармоническое воздействие Q, которое приложено к объекту защиты (M), а также кинематическое - в виде известного гармонического движения основания или опорной поверхности z(t).
При рассмотрении особенностей движения элементов системы (рис. 1) учитывается, что в ней одновременно реализуется одно из внешних воздействий - силовое или кинематическое. Что касается совместного действия двух возмущений, то задача может быть решена в линейной постановке на основе метода суперпозиции. Однако в таком случае необходимо установление определенных соотношений, определяющих условия взаимодействия двух факторов [13, 14].
Задача исследования заключается в разработке метода построения математических моделей для виброзащитных систем, в состав которых вводятся механизмы, создающие дополнительные контуры для динамических взаимодействий и новые физические эффекты и режимы динамического состояния.
2. Силовое возмущение системы (Q ф 0, z(t) = 0). Принципиальная схема кинематических соотношений в относительных движениях элементов системы представлена на рис. 2.
Скорость точки B может быть определена
с помощью мгновенного центра скоростей O1
•
(рис. 2). В данном случае вектор скорости будет ^ O1B. На рис. 2 введена вспомогательная система координат x0By0 (рис. 2), которая имеет параллельные оси с системой координат неподвижного базиса: из кинематических соотношений на рис. 2 следует, что
V в = y■ a . где a определяется в виде
i ■ cos р
a = -
(1)
(2)
sin а ■ (cos а + i ■ cos р) здесь i = l2 / l1 - передаточное отношение рычажных связей.
о—
(мгн. центр скоростей )
Рис. 2. Принципиальная схема кинематических соотношений при силовом возмущении
ую (/ = ) - комплексная переменная
Для определения горизонтальных отклонений тт. А и В в относительных смещениях в направлении оси х0 можно ввести следующие соотношения:
(3)
v0 B
= y ■ a ■ cos a .
Суммарная деформация пружин к в данном случае определится как
отн AB
= y ■ 2a ■ cos a
Скорости относительных движений тт. определяются соотношениями
T = - M ■ 2
y I + 2 ■— m ■ Vl +—L ■ 2 B 2
1 2 - 2
П = - ко У +- кх^в
(6) (7)
С учетом (4), (5) полученные выражения (6) и (7) можно представить в форме
T =1M ■ 2
У
+-L ■
2
„ 1
+ 2 ■—m ■ 2
2 ya ■ cos a
У^a I +
(8)
П = - k о y
2 + — k | 2 ya ■ cos a
(9)
Уравнение движения системы запишется в виде
О
y^M + 2ma2 + 2La2 cos2 a)+
+ у
■k о
+ 2kaz ■cos2 a)= Q
(10)
После преобразований Лапласа передаточная функция системы на рис. 1 определится:
_ 1
W (p ) = У:
Q
1M
+ 2a2 ■ (m + L ■ cos2 a)]+ + k0 + 2ka2 cos2 a,
, (11)
(4)
и B
xотн AB = У ■ 2a ■ cos a . (5)
Кинетическая и потенциальная энергии при силовом возмущении могут быть представлены в виде
где р = [4, 11].
Для оценки возможностей изменения динамических свойств системы на рис. 3 (а-е) приведены варианты построения структурных схем.
Отметим, что элемент с передаточной функцией 2та2р2 отражает массоинерционные свойства присоединенных масс во вращательных шарнирах А и В. В данном случае динамические свойства механических линейных колебательных систем в представлениях структурной теории виброзащитных систем [11]. В рамках такой теории упругие и диссипативные элементы, а также массои-нерционные элементы, не являющиеся объектами вибрационной защиты, рассматривают как обобщенные пружины, то есть такие элементы в структурных интерпретациях формируют обратные отрицательные связи по отношению к объекту защиты. Варианты таких связей, которые показаны на рис. 3, можно было бы расширить, что в конечном итоге создает определенные возможности в задачах динамического синтеза виброзащитных систем [4].
Передаточная функция системы при силовом возмущении, представленная выражением (11), дает возможность определить частоту собственных колебаний:
k0 + 2ka2 cos2 a M + 2a2 (m + L cos2a
)
(12)
Из (12) следует, что частота собственных колебаний системы существенным образом зависит от конфигурации механизмов (углы а и Р), отношения длин звеньев 11 и 12, а также массоинер-ционных свойств дополнительных масс и устройства для преобразования движения.
При силовом возмущении исходная расчетная схема по существу сводится к механической колебательной системе обычного вида. При этом параметры такой системы обладают возможностями настройки за счет изменения формы механизмов и условий динамического взаимодействия между собой их элементов. Такого рода устрой-
2
х
AB
2
2
2
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
а)
в)
д)
2ka ■cos а
La2 ■ cos2 а-p2
к0
)
Г") 1
{М + 2ma2 )p2
Q
-1
a2 ■ cos2 а-{к + Lp2) —»
-O-
к о
)
1
{М + 2ma2 )p2
Q
- 1
k0
б)
г)
е)
Q
Q
t 1
)- {м + 2maz )p2
2La ■ cos a-p
1 \
V-) {M + Ima2 )p2
4 1
) M + 2a2 -{m + L■ cos2 a)J- p2 + 2ka2 ■ cos2 a
Рис. 3. Варианты взаимного расположения элементов на структурной схеме механической колебательной
системы по рис. 1: а) устройство для преобразования движения как обратная отрицательная связь по абсолютному отклонению объекта (M + ma2); б) устройство для преобразования как параллельное звено к0 в базовом контуре; в) устройство для преобразования движения и пружина 2ка2 co^a как параллельная цепь для к0 в базовом контуре; г) элементы системы в параллельных обратных отрицательных связях по отношению к объекту защиты (M + 2ma2); е) обобщенная структурная схема
ства могут применяться в шагающих и прыгающих роботах, а также транспортных средствах специального назначения.
3. Кинематическое возмущение системы
(Q = 0, z Ф 0). В этом случае принципиальная схема кинематических соотношений (рис. 4) будет отличаться от схемы на рис. 2 использованием еще одного мгновенного центра скоростей О2 и представлениями о том, что точки A и B будут участвовать в двух видах движения: относительное, которое связано с движением объекта защитыM, и переносное -создаваемое движением основания z(t) Ф 0).
Используя схему на рис.4, найдем, что •
Vb = z- a, (13)
^пер -1
где коэффициент определяется выражением
cos а
Полная скорость точки В при V в^ ^ А202,
Vв„ А\0\ (рис. 4) может быть найдена через проекции на оси координат у0Вх0 (рис. 4):
VBm = VB„ + VB„ep = y- a ■cosa- г- ai ■ cosP ,(15)
X0 °mHXQ ПерХ0
• •
VB = VB + VB = - y-a ■ sin а- г- a ■ sinP .(16)
y0 отнУ0 пеРуо
Преобразуем (15) и (16) к виду
(17)
sin Р ■ {
cos a +i ■ cos
Р)"
(14)
VB =^ya cos a-г- a1 ■ cos PJ +
f • • У
+1 y-a ■ sin a + г- a ■ sin P| . Произведем ряд выкладок и получим
2 2
2
ai =
Ai
Oi
(мгн. центр скоростей)
Рис.4. Принципиальная схема кинематических соотношений при кинематическом возмущении z(t)
VB = | ya J + | zfli J -
• •
-2 yzaa -(sin a-sin p-cos a-cos P). Примем, что
b = sin a - sin p - cos a - cos P.
Тогда
(18)
(18')
y- (M + 2ma2 + 2L ■ a2 ■ cos2 a) + +y ■(k0 + ka2 ■ cos a) =
= z(2L ■ aa ■ cos a^ cos P- 2maaxb ) +
+z ■(k0 + 2kaa ■ cosa^ cosP). После преобразований Лапласа (22) примет вид
(M + 2ma2 + 2L ■ a2 ■ cos2 a) ■ p2
(22)
У-
+k0 + ka1 - cos a
= z -
(2L ■ aa ■ cos a ■ cos P - 2maaxb) ■ p2
+k0 + 2kaa ■ cos a ■ cos P Передаточная функция системы при кине-
(23)
Ув2 = ^yaJ + J - 2 угаах • Ь . (18")
Тогда для определения скоростей относительного движения устройства преобразования движения используем горизонтальные составляющие скоростей движения тт. А и В. Что касается горизонтальных смещений тт. А и В, формирующих деформацию упругого элемента к, то такое матическом в°:шущении со ст^шы опоржй по смещение:
хсум = 2 • (уа • со8а - 2а1 • со8р). (19)
Запишем выражения для кинетической и потенциальной энергий системы по рис. 1 при кинематическом возмущении:
верхности (рис. 1) принимает вид
2maa— ■ | L cos a ■ cos P - b I ■ p2 +
^ m
+ к0 + 2kaa— ■ cos a ■ cos P (24)
W (p) = У = ■ z
1
+2 — m 2
T=2м{yJ + ya I +| za I -2yzaa -b
(20)
Г M+2ma2+ ^ + 2L-a2 - cos2 a
■p2 +
+ k + ka2 - cos a
Из передаточной функции (24) можно сделать определенное заключение о возможных динамических свойствах системы. В частности, в системе возможен режим динамического гашения колебаний, а также «запирание» на высоких частотах при определенных соотношениях пара-(21) метров.
4. Оценка динамических свойств системы при кинематическом возмущении. Отметим, что получим уравнение движения системы при кине- система имеет частоту собственных колебаний
1 I • •
+2 - —- L -I y-a - cos a- z- a - cos p
1 2
П = 2 ko-(У - z) +
1 2
+2 -— k -(ya - cos a- zax cos P) ;
матическом возмущении:
2 k0 + 2ka2 - cos2 a
1x6 M + 2a2 - (m + L - cos2 a) что совпадает с выражением (12).
(25)
2
2
»
• *
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
В отличие от случая силового возмущения (раздел 1) в данном случае в системе может быть определена частота динамического гашения: 2 £0 + 2кааг - cos а - cos Р
L
2maa -1 — cos а - cos Р - Ъ
^ m
При p ^ да система при кинематическом возмущении «запирается» и отношение амплитуд колебаний на входе и выходе системы принимает значение
W {p ) = y =
- 2maa -I L cos a- cos P- b
y
m
M + 2ma2 + 2L ■ a2 ■ cos2 a
p—
L
Рассмотрим соотношение —cos a- cos P- b
m
m
или
(26)
(27)
что с учетом (18') можно обозначить в виде R = — cos a ■ cos P + cos a ■ cos P - sin a ■ sin P (28)
R = \— +11 cos a ■ cos P - sin a ■ sin P (28')
^m J
На рис. 5 представлены зависимости между функцией R, углами установки a и Р, а также значениями параметра L/m.
Функция R может принимать критическое значение, равное нулю, откуда можно найти необходимые соотношения. Если R = 0, то
а)
L Л sin a-sin P „
- +1|=-P = tga-tgP . (29)
m J cos a ■ cos P
Если условие выполняется, то оно определяет такой вид передаточной функции (24), при котором исключается режим динамического гашения колебаний. Поскольку рассматриваемая система соотносится с задачами поиска и разработки способов и средств описания вибрационных возмущений, то интерес представляет сопоставление амплитудно-частотных характеристик при различных значениях параметра R (рис. 6).
Амплитудно-частотные характеристики существенным образом зависят от соотношения параметров вводимых дополнительных связей тем, что динамические режимы виброзащитных систем могут выбираться, а их параметры регулироваться соответствующим подбором значений, характеризующих конфигурацию системы и наличие в структуре определенных элементов.
В физическом смысле такая ситуация отражает проявления динамических взаимодействий, создаваемых переносными силами инерции, создающими условия для компенсации внешних воздействий. Вместе с тем реализация таких возможностей требует определенных усилий при настройке системы.
Заключение
На основании теоретических исследований можно заключить, что введение в структуру меха-
б)
в)
Рис. 5. Зависимости между функцией Я, углами установки а
и р, а также параметром Ь/ш: а) семейство кривых Я при фиксированных значениях угла а и Ь/ш; кривая 1 - а = 15°, Ь/ш = 0,1; кривая 2 - а = 30°, Ь/ш = 0,5; кривая 3 - а = 45°,
Ь/ш = 1; кривая 4 - а = 60°, Ь/ш = 5; кривая 5 - а = 75°, Ь/ш = 0; б) зависимости между углами а и р в случае Я = 0 при фиксированных значениях Ь/ш: кривая 1 - Ь/ш = 0,1; кривая 2 - Ь/ш = 0,5; кривая 3 - Ь/ш = 1; кривая 4 - Ь/ш = 5; кривая 5 - Ь/ш = 0; в) зависимости между углом а и значением Ь/ш при фиксированном значении угла р: кривая 1 - р = 15°; кривая 2 - р = 30°; кривая 3 - р = 45°; кривая 4 - р = 60°;
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
А(и)
Л\
■* V \ л
ч\ Z1
4
ш, Герц
О 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 15 30 о5 30 95 100 105 110115 120 125 130 135 1« 145 150
Рис. 6. Сопоставление видов амплитудно-частотных характеристик при разных значениях параметра Я: кривые 1, 2 - Я > 0; кривая 3 - Я = 0; кривая 4 - Я < 0
нических колебательных систем дополнительных связей в виде механических цепей существенно изменяет динамические свойства в задачах обеспечения динамического состояния. Такие задачи характерны для транспортной динамики, защиты различных объектов от вибрации, обеспечения движения робототехнических систем.
1. Показано, что при выделенном объекте, динамическое состояние которого определенным образом оценивается и контролируется, в качестве инструментария настроечных процессов могут выступать специально вводимые механические цепи или механизмы.
2. Динамические свойства, привносимые дополнительными связями, зависят от вида внешних возмущений. При кинематическом возмущении возможно создание режимов частичной компенсации внешних возмущений за счет переносных сил инерции.
3. Устройства для преобразования движения, так же как и дополнительные массы, могут выступать в качестве настроечных элементов
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Вукобратович М. Шагающие роботы и антроморф-ные механизмы. М. : МИР. 1976. 543 с.
2. Лилов Л.К. Моделирование связанных тел. М. : Наука, 1993. 273 с.
3. Елисеев С.В., Свинин М.М. Математическое и программное обеспечение в исследованиях манипуля-ционных систем. Новосибирск : Наука, 1992. 296 с.
4. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов / С.В. Елисеев и др. Иркутск : Изд-во ИГУ, 2008. 523 с.
5. Кобринский А.Е. Механизмы с упругими связями. М. : Наука, 1964. 252 с.
6. Левитский Н.И. Колебания в механизмах М. : Наука, 1988. 356 с.
7. Елисеев С.В., Кузнецов Н.К., Лукьянов А.В. Упругие колебания промышленных роботов. Новосибирск : Наука, 1990. 231 с.
8. Блехман И.И., Джанилидзе Г.Ю. Вибрационное перемещение. М. : Наука, 1964. 410 с.
9. Яцун С.Ф., Волкова Л.Ю. Моделирование динамических режимов вибрационного робота, перемещающегося по поверхности с вязким сопротивлением // Спецтехника и связь. 2012. № 3. С. 25-29.
10. Eliseev S.V., Lukyanov A.V., Reznik Yu. N., Khomen-ko A.P. Dynamics of Mechanical Systems with Additional Ties. Irkutsk : publishing Irkutsk State University, 2006. 316 p.
11. Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Хоменко А.П. Ме-хатронные подходы в динамике механических колебательных систем. Новосибирск : Наука, 2011. 394 с.
12. Фролов К.В., Фурман Ф.А. Прикладная теория виброзащитных систем. М. : Машиностроение, 1985. 286 с.
13. Хоменко А.П., Елисеев С.В. О связи режимов динамического гашения колебаний со структурой системы внешних воздействий // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2011. № 1 (29). С. 8-14.
14. Елисеев С.В., Лонцих П.А. Влияние управляющей силы в структуре внешних возмущений // Вестн. Иркут. гос. техн. ун-та. 2011. Т. 51, № 4. С. 26-33.
