CC BY
64
3. Функциональный анализ и дифференциальные уравнения
УДК 519.676
©Г.А. Аеериш
УСТОЙЧИВЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В СМЫСЛЕ СТРАТОНОВИЧА1
В статье построены новые устойчивые численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений в смысле Стратоновича.
Ключевые слова: стохастические дифференциальные уравнения, устойчивые численные методы.
ТА. Averina
NUMERICAL METHODS FOR SOLVING STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATIONS IN THE STRAATONOVICH SENSE
In this article we construct new stable numerical methods for solving stochastic differential equations in the Straatonovich sense.
Keywords: stochastic differential equations, stable numerical methods.
Введение
Многие модели динамических систем в самых различных областях науки: радиотехнике, статистической механике, автоматическом управлении, химии, медицине, теории надежности и т.д., можно описать стохастическими дифференциальными уравнениями (СДУ). Сложность получаемых моделей затрудняет аналитическое исследование решений таких систем. Кроме того, для получения некоторых вероятностных характеристик решения, необходимых на практике, слабо развиты аналитические методы. В этих условиях на первый план стали выходить численные методы.
Как отмечено в работе [1], многие физические задачи, связанные с анализом быстропр от екающих процессов в сильно неравновесных средах, таких как термоядерная, лазерная, газоразрядная и космическая плазма, также можно описать с помощью СДУ. Причем, предельный переход к модели корректен только для СДУ в смысле Стратоновича. Актуальность построения устойчивых методов решения СДУ в смысле Стратоновича обсуждается в работе [2]. В работе [3] было предложено семейство численных методов для решения СДУ в смысле Стратоновича. В данной статье построен устойчивый численный метод из этого семейства. Построенный метод имеет 2-й порядок среднеквадратической сходимости для систем СДУ с одним шумом и 1 -й порядок - в общем случае. Построенный метод рекомендуется для решения задач физики плазмы.
1. Семейство численных методов решения СДУ в смысле Стратоновича
Пусть на вероятностном пространстве (Q,F,P) заданы: поток <т -алгебр {!•, },S|0 7|: nw- мерный стандартный винеровский процесс w(t), I е |0.7'|. согласованный с {!',},^(t 7 |. приращения которого w(t + .v) - w(t) при \ 0 не зависят от <т -алгебры Ft; F0 - измеримый пу -мерный случайный вектор у0, независимый с w(t) при t > О, причем Е(\ у012) < да.
Задача Коши для системы СДУ в смысле Стратоновича ставится следующим образом: найти пу -мерный случайный процесс y(i), для которого
t t
У(0 = Уо + { f(y(T))dT+ | <T(y(T))odw(T),y(0) = y0,te[0,T], (1)
о 0
где f(y(t)) - измеримая по совокупности переменных ny -мерная вектор-функция. a(y(t)) - измеримая по совокупности переменных матричная функция размера п xnw .
Для статистического моделирования траекторий решения систем СДУ в смысле Стратоновича (1) будем использовать семейство численных методов [3] вида
1 Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ (проекты № 11-01-00282 и № 12-01-00490)
91
Уп+1
Уп Р\к\ Р2^2 + "\/Л(я\ {'() ^ ЧI 2^'\ Ч13^2)Сп’
Г
К =
/_/201Ч (V+ Ч1^с0сп +^^<тф,
ду) 2 ду
к2 —
О0 = а(уп), С1 = а(уп + ахкх + Чъ4ЙС^П +^-^~<2),
2 ду
/-*41 +а2к1+Ч5^0 £п+^^-°£п)+ +Ч1^1Сп+^’-^-
ду) 2 ду 2 ду
°2 = &(Уп + аъК + аАг + д9 4к}£п + ^ ^ е<2 ).
2 5у
Здесь все функции, у которых не указан аргумент, вычисляются в точке уп, где уп - значения приближекнного решения системы СДУ (1) в узлах сетки по времени 1п: /? - шаг интегрирования; а,/?г,</г,аг - вещественные параметры метода; С„ - -мерный вектор независимых гауссовских случайных величин с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией; Сп - независимы с уп. Данное семейство является обобщением методов Розенброка на случай стохастических дифференциальных уравнений. Методы Розенброка являются А-устойчивыми. Наличие параметра а в обобщенных методах Розенброка также позволяет улучшать их свойства устойчивости. Приведем необходимые определения. Для простоты полагаем, что й = *и+1 -гп = Т/К; п=0, = 0.
Определение 1 [4]. Численный метод аппроксимирует точное решение задачи Коши для СДУ (1) с порядком р в среднеквадратическом смысле, если для условного математического ожидания выполняется равенство
™ах Е(| уЦп+1) - уп+1 |2 / уп = уЦп )) = Офр+1), к -» 0 .
0<п<К-1
Определение 2 [4]. Численный метод сходится с порядком р в среднеквадратическом смысле, если
пвкЕ(\у(;„)-у„\2/у0=у(!0)) = О(!гр), /г-»0 .
\<п<К
Как показано в [4], численный метод решения СДУ имеет р-й порядок сходимости в средне-квадратическом смысле, если он аппроксимирует точное решение с порядком р в среднеквадратическом смысле и также аппроксимирует математическое ожидание с порядком с/ > р/2.
Определение 3 [4, 5]. Численный метод называется асимптотически несмещеннъш (или устойчивым) с шагом 1г>0, если при его применении с этим шагом к скалярному линейному СДУ
У( 0 = У о ~ а | у(т)с1 т +1 сг о 0^т),у( 0) = у0,ге [0, Т], (3)
о о
где а, ст - вещественные коэффициенты, а > 0, распределение численного решения уп при п —> да сходится к нормальному распределению с нулевым математическим ожиданием и дисперсией а21(2 а).
Определение 4 [4, 5]. Интервал (х0,0) называется интервалом асимптотической несмещенности (или устойчивости) метода, если метод является асимптотически несмещенным с любым шагом И 0. для которого - аИ е (х0,0).
Определение 5 [4, 5]. Численный метод называется у -асимптотически смещеннъш (или у -устойчивым) при 0 </г</г0, если при его применении с фиксированным шагом И к скалярному СДУ (3) с а > 0 распределение численного решения уп при п—> со сходится к нормальному распределению с нулевым математическим ожиданием и дисперсией с1 , причем
Т. А. Аверина. Устойчивые численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений в смысле Стратоновича
а2 /2а
-1
<у .
Понятие асимптотической несмещенности (или устойчивости) метода можно определить и для систем СДУ [6].
2. Асимптотическая несмещенность, аппроксимация и сходимость методов Теорема 1. Семейство численных методов (2) содержит асимптотически несмещенные и у -асимптотически смещенные численные методы. Асимптотически несмещенные численные методы из семейства (2) могут иметь только бесконечный интервал асимптотической несмещенности, и их параметры должны удовлетворять уравнениям
аР=РгЧь’ Р\ + Р2 ~ ^ а2/г2 - а = 1/2. (4)
При
а/3 = Р2%,Р\ + Р2 =1> а(Л + Р?) + а2Р2 =1/2,1/4<а<1/2 (5)
для любого сколь угодно малого у возможно построение у -асимптотически смещенного метода
Интервал у - асимптотической смещенности будет определяться из неравенства:
[г(а-а2р2д1) +1]2
-1
<у.
[г2 (а -1 / 2)2 + 2г(а -1 / 4) +1] [2г(а -1 / 4) +1]
Доказательство теоремы основано на применении метода (2) к уравнению (3) и сравнении вероятностных характеристик полученного решения и точного решения (3).
Теперь найдем условия, при которых численный метод из семейства численных методов (2) сходится в среднеквадрагическом смысле.
Теорема 2. Семейство численных методов (2) содержит подмножество численных методов, имеющих первый порядок среднеквадратической сходимости для произвольных систем СДУ и второй порядок для систем СДУ с одним шумом, а также в случае систем СДУ с постоянной матрицей сг. Параметры этих методов удовлетворяют уравнениям
Р1+Р2= 1, РхЧ1 + Р2Ч1 + Чх 1 + Чхг + Чхъ = \ (6)
Р&г+РгЧъ + + ^ + ?12 ) + д13 (азЧ1 + а4д7 + д9 ) = ^.
(7)
Доказательство теоремы основано на сравнении разложений точного и численного решений в ряд Тейлора и применении теоремы сходимости [4].
Построенные численные методы решения СДУ
В работе [3] приведены некоторые численные методы решения СДУ в смысле Стратоновича из семейства (2).
Выделим из семейства методов (2) подсемейство
Уп+\ =Уп+ РА + Р2к2 + у[Ьд(ст(у1,) + ст{урп )Хп, (8)
(
К =
I -ка — ду
V
(¥(Уп) + ^(у„К„1
к2
I -ка —
дУ.
ту?+1)+4к*(ур+1кп)1 Уп+1 - Уп
с пятью параметрами. В записи методов (8) учтена возможность построения у -асимптотически смещенного метода. Параметры методов выберем так, чтобы метод имел 1-й порядок аппроксимации первых двух моментов в общем случае и 2-й - для систем с одним шумом. Приведем три таких метода с параметрами:
а = 3 / 8, /)2=1/8, рх=1!%, д = 3 / 8, 5 = 1; а — 1 / 3, р2 —1/6, рх- 5/6, д = 1 / 3, 5 = 1; а = 1 /4, р2 =1/4, рх = 3/4, <7 = 1/4, 5 = 1.
Если параметры численного метода удовлетворяют (4), (6) и (7), то это асимптотически несме-
щенный метод с 1-м порядком среднеквадратической сходимости для произвольных систем СДУ и 2-м - для систем СДУ с одним шумом, а также в случае систем СДУ с постоянной матрицей а. Приведем пример такого метода:
уп+1 = уп + [^~ “j | (f(yn) + f(yLi)) + ^ (o'O&i) + &(Уп )K„, yLi = yn + Jb<r(yn ■
Этот асимптотически несмещенный метод не требует вычисления производной матрицы сг и рекомендуется, в частности, для решения задач, рассматриваемых в [1,2].
Литература
1. Змиевская Г.И. Стохастические аналоги неравновесных столкновительных процессов // Физика плазмы. 1997. Т. 23. №4. С. 368-382.
2. Змиевская Г.И, Бондарева A.JL Островки тонкой пленки полупроводника и численный эксперимент // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 2010. № 10. С. 50-58.
3. Аверина Т.А., Артемьев С.С. Новое семейство численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1986. Т. 288. № 4. С. 777-780.
4. Артемьев С. С. Численные методы решения задачи Коши для систем обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений. - Новосибирск: Изд. ВЦ СО РАН, 1993- 156 с.
5. Артемьев С. С. Численное решение обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений. -Новосибирск: НГУ, 1995- 103 с.
6. Аверина Т.А., Артемьев С.С., Некоторые вопросы построения и использования численных методов для решения систем стохастических дифференциальных уравнений. Новосибирск, 1987. (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние. ВЦ; 728).
Аверина Татьяна Александровна, канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, пр. акад. Лаврентьева, 6, г. Новосибирск, 630090, Россия; тел. (+7 3 83)3 3 0-77-21. e-mail: [email protected].
Averina Tatyana Aleksandrovna, candidate of physical and mathematical sciences, Senior Scientist of Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, pr. Akademika Eavrentjeva, 6, Novosibirsk, 630090, Russia; ph. (+7 383)330-77-21, E-mail: [email protected].
