Устойчивость решений систем линейных интегральных уравнений первого рода с двумя независимыми переменными Текст научной статьи по специальности «Математика»

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №11-4/2016 ISSN 2410-700Х

В примере 2, как видим, ротор векторного поля равен нулю, поэтому данное поле является безвихревым. Если вычислять дивергенцию в конкретной точке, то можно делать вывод о наличии в этой точке источника или стока поля.

К рассмотрению векторных полей приводят многие задачи физики, электротехники, математики, механики и других технических дисциплин. Поэтому важно уметь применять программные продукты, например, MathCAD, для облегчения расчётов характеристик векторных полей и их наглядного изображения. MathCAD - система, позволяющая решать задачи, поставленные перед студентами в рамках технических дисциплин.

Список использованной литературы:

1. MathCAD — это просто! Часть 8. Графики векторных полей и анимированные графики: [Электронный ресурс] // URL: http://www.nestor.minsk.by/kg/2008/20/kg82007.html. (Дата обращения: 23.11.2016).

2. Волченко Ю.М. Работа и циркуляция: [Электронный ресурс] // URL: http://yura.volchenko.com/Education/WorkCirc.pdf. (Дата обращения: 22.11.2016).

© Ершова И.В., Минеева Т.А., 2016

УДК 517.968

Каденова Зууракан Ажимаматовна - к.ф.-м.н., доцент, Заместитель министра труда, миграции и молодежи

Кыргызской Республики e-mail: [email protected]

УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО РОДА С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

Аннотация

В настоящей статье доказана теорема о оценки устойчивости решений систем линейных интегральных уравнений первого рода с двумя независимыми переменными в неограниченных областях.

Ключевые слова

Линейные интегральные уравнения, первого рода, с двумя независимыми переменными, единственность.

Kadenova Zuurakan Ajimamatovna

the candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, Deputy ministry of labor, migration and youth of the Kyrgyz Republic

STABILITY OF THE SYSTEMS LINEAR INTEGRAL EQUATIONS OF THE FIRST KIND WITH TWO VARIABLES

In the present article the theorem about an assessment of stability of solutions of systems of the linear integral equations of the first t with two independent variables in unlimited areas is proved.

Key words and phrases linear integral equations, first kind, two variables, solution and uniqueness.

Постановка задач. В настоящей статье на основе метода неотрицательных квадратичных форм для систем линейных интегральных уравнений первого рода с двумя независимыми переменными в

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №11-4/2016 ISSN 2410-700Х

неограниченных областях получены оценки устойчивости решений. Рассмотрим систему уравнений

b t да b

Ku = | K (t, x, y )u(t, y )dy +1H (t, x, s )u(s, x)dx + j j C (t, x, s, y )u(s, y )dy =

где

= f(t, x), (t, x)e G, G =j(t, x)e R2, t0 < t <да, a < x < b}

( ч |A(t, x, y), to < t < да, a < y < x < b; K (t, x, y ) =

(1)

(2)

В(t, х, у), t0 < t < да, а < х < у < Ь,

у), ^ У^ Н(t, ^ 5^ С^ 5 у) - известные П X П-мерные матричные функции, определенные соответственно в области

G1 = {(/, х, у): 10 < t < да, а < у < х < Ь},

G2 = {(/, х, у): t0 < t < да, а < х < у < Ь},

Gз = {(/, х, 5): t0 < 5 < t < да, а < х < Ь}, G2 = G х G,

х) -известная, и(?, х) -неизвестная П -мерные вектор-функции. Основополагающие результаты для интегральных уравнений Фредгольма первого рода получены в [1,2], где для решения линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода построены регуляризирующие операторы по М.М. Лаврентьеву. В данной работе получены оценки устойчивости решений систем линейных интегральных уравнений первого рода с двумя независимыми переменными в неограниченных областях в классе L2 (G). Введем следующие обозначения:

1) Совокупность всех матриц, действующих в R" обозначим М, < . , . > - скалярное произведение в Я", ||А||, ||и|| - нормы соответственно П X П - мерной матрицы А = (агу ) ^ М и " - мерного вектора и

, т.е. для любых и = (и^ u2,..., и" ), з = (з 1,32,...,3п)е Я" (и,3) = и131 + и232 +...+ипЗп,

,1/2

vuu>,

£ £ к )2

V i=1 j=1

т.е. для

2) L2 n (G) - пространство n - мерных векторов с элементами из l2(G), ||- ||l2 "н°рма в L2,n(G) -любого u(t, x) e L2n (G)

да b

\\u(t,x= ГЦU(t,x) dxdt

3) l2 iig

ч v

((G 2 ) ; M) -

пространство П X n - мерных матриц с элементами из L2(G2),

L -норма в l2

L2 ((g2)M) - т.е. для любого A(t, x, s, y) e L2 ((g2 ) ; m)

s ^

да да b b

||A(t, x, s, y ^ = jjjjll A(t, x, s, y ) 2 dydxdsdt

V 'o 'o

0

1

2

2

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №11-4/2016 ISSN 2410-700Х_

Предполагается, что ядро \C(t,x,s,y|eL2(g2) и C(t,x,s,y) = C*(s,y,t,x), (t,x,s,y)eG2, где

С * - сопряженная матрица к матрице С . Тогда матричное ядро C(t, x, s, y) разлагается в ряд в смысле

сходимости в норме пространстве ^

Ln (G2):

V )(t, x)

c (t, X, y ) =

i=1

V )(t, x)

(V '(s,y),..., vi\s,y)) l < m <re,

(3)

где )(?, ^))—, х))} - ортонормированная последовательность собственных вектор -

функций из Ь2п (С), {Я } - последовательность соответствующих ненулевых собственных значений

интегрального оператора С, порожденного матричным ядром С(:, х, у), причем элементы {Я, } расположены в порядке убывания их модулей т.е.

Я *....

Обозначим

P(s,у,z) — Л(ь>,у,z)+ В*(у,г,у), (у,у,z)е(4)

где В* (5, г, у) - сопряженная матрица и матрице г, у ) Потребуем выполнения следующих условий: 1) у,г)— Р(5,у,г),(5,у,г)е Ох.

2) Матрицы P(s,b,a), limH(t,y,t0), Pz'(s,b,z), limH'T(t,y,r)-

t^re

t^re

неотрицательны

5 e [to, re), y e [a, b] (5, z), (r, y) e G,

соответственно при всех значениях

||p(s,b,a) ec[to,re), ||мH(t,y,to) eC[a,b], ||P;(s,b,z)eC(G), limH[(t,y,r) eC(g);

3)Матрицы Py(5, y, a), H5(5, y, to ), Pzy (5, z), Hr (5, r) - неположительны при всех значениях соответственно (5, y) e G, (5, y, z) e Gi, (s, y, r) e G3 ,

p;(s,y,a)eC(G), ¡H's(s,y,to)eC(G), P(5,y,z)eC(Gi), \fi'B(s,y,r)eC(G3);

4) Выполняется хотя бы одно из следующих четырех условий:

а) при почти всех (s, y) e G матрица (5, y, a) - отрицательны;

б) при почти всех (s, z) e G матрица Pz (5, b, z) - положительны;

в) при почти всех (5, y )e G матрица H[ (5, y, to) - отрицательны;

г) при почти всех (r, y) e G матрица lim H'r fo У, r) -

í^re

■ положительны

и для любого

л и l

v(t, x) e L2n (G), J A(t, x, y)v(t, y)dy, J B(t, x, y)v(t, y)dy, JH(t, x, s)v(s, x)ds e L^ (G),

o

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №11-4/2016 ISSN 2410-700Х где C[to,да), C(g), C(Gj) и C(G3)-пространство всех непрерывных и ограниченных функций области [to, да), G, G и G3;

соответственно в

№ )(t, x ^

n

C (t,xs y )=£л;.

)(t, x ),

№ Ks, y ),...,№ )(s, y))

(5)

где

{(р^ х)) = (р^ х))} - ортонормированная последовательность собственных вектор -функций из Ь2 (о2), {Яг } - последовательность соответствующих ненулевых собственных значений интегрального оператора С, порожденного матричным ядром С^, х, 5, у), причем элементы {Дг } расположены в порядке убывания их модулей — 1^21 — ....

Будем считать, что все собственные значения Лу, матричного ядра С({, х, 5,у) положительны.

В силу вполне непрерывности и самосопряженности оператора С, порожденного матричным ядром С(*, х, 5, у) ортонормированная последовательность собственных вектор - функций {р"^,х))= (р(у)(^х))}- полна в Ьгп (О). Очевидно, что если и(^х)е Ь2 п(О), то

b да

где ||u(t,x)|2 =£\Uv2, u(v) = jj(u(t,x),^(v)(t,x))dtdx, (v = 1,2,...).

v=1 a to

Семейство множеств корректностей Ma выделим следующим образом:

M =ju(t,x)e L2n(g): u(v) 2 < с[,где с>o, o <а<да,

v=1

u

(v)

да b

= JKu(t,x),№(v)(t,xfjdxdt, (v = 1,2,...).

Обе части системы (1) скалярно умножим на и(, х) и интегрируем по области G. Далее, используя формулы Дирихле и учитывая (3), имеем

2 Др(5,Ь,а)}и(5,у^у,|и(5,у)1у\ё5 --IЩру(5,у,а^и^у^у, ju(5,у)dуШ? +

¿0 \ а а I ^ а \ а а /

1 да Ь I Ь Ь \

— } Д Рг'(5, Ь, г)} и(5, у^у,} и(5, у^у \dzd5

+ -11(ms.

'o a

да b y

1 да b y I y y \

v — j j Д P"y (s, y, z )j u(s, v)d v, j u(s, v)d v jdzdyds +

м и i да да \

2 Д jim h (', y, 'o)j u(^, y te j u(e, y )dA dy v

a \ 'o 'o I

1 b да I s s \

- j Д H's(s, y, to)j ufe y fe j u(£, y )dA dsdy

+

o

o

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №11-4/2016 2410-700Х

+ 2'

ч Ь ад / ад ад \

- Щ ^ н; (/, у, г)/и(£, у|и(£, утdтdy -

'0

Ь ад 5

г

5

и ад ¡> I ¡> ¡> у

- ЯД н; (5, у, т )/ и({, у / и({, у ^ У тdsdy

+

+

ад 2 Ь ад

2 Я и} — / / ( f (/, х), и(/, х))¿/¿х.

" / ^ /, х), и!/1, х )

у—1 а /о

Отсюда, используя неравенства Гельдера, имеем

2 Я, и2 <||f (/, хЦ|и(/, х).

У—1

Если /(/, х) — 0 у(/, х) е в, то из (6) имеем и(/, х) — 0 У(/, х) е в.

С другой стороны

, " ( I (у)|2 ^1+а

ад . . . ( ад . . |2 \1+а ад 'и^

2 иу2 <|Ея,

»1'

2

1 я:

Пусть и(/, х) е Ма. Тогда, учитывая (6), из (7) имеем

2 |и (у)| <(/(/, х| |и(/, х)||)1+« С1+«

у—1

Из (8) получим следующую оценку устойчивости:

а 12+а

(6)

(7)

(8)

(9)

||и(/, х)|^ < С 2+а||/(/, х) ^

Таким образом, теорема доказана.

Теорема. Пусть выполняются условия 1)-2), К(Ма) С (С) - образ Ма при отображении К.

Тогда на решение системы (1) единственно ^2,п (С) и множестве К(М^) существует равномерно

непрерывный оператор К-1, обратный к К, т.е. справедлива оценка (9). Список использованной литературы:

1. Лаврентьев М.М. Об интегральных уравнениях первого рода. // ДАН СССР. 1959. Т.127, № 1. с. 31-33.

2. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.

© Каденова З.А., 2016

Г

ад

V—1

V—1

V

УДК 621.373.826

Стаценко Павел Анатольевич

младший научный сотрудник, г. Новосибирск, РФ

МОЩНАЯ СО2 ЛАЗЕРНАЯ СИСТЕМА ГЕНЕРАТОР-УСИЛИТЕЛЬ ДЛЯ ЛАЗЕРНО-

ПЛАЗМЕННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Аннотация

Создана лазерная система генератор-усилитель (СГУ) с пространственной фильтрацией луча генератора на основе самофильтрующего неустойчивого резонатора. СГУ обладает большей устойчивостью