Устойчивость малого плоского пылевого кластера при наличии внешнего магнитного поля Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.9

УСТОЙЧИВОСТЬ МАЛОГО плоского ПЫЛЕВОГО КЛАСТЕРА ПРИ НАЛИЧИИ ВНЕШНЕГО

МАГНИТНОГО ПОЛЯ

Н.Г. Гусейн-заде1, Д. Н. Клочков

В данной работе анализируются колебания и устойчивость плоских симметричных пылевых кластеров в виде правильного многоугольника и правильного многоугольника с частицей в ■центре при наличии внешнего однородного магнитного поля. Была рассмотрена устойчивость структур относительно малых возмущений. Для, этого было линеаризовано уравнение движения, относительно малых вариаций координат. В результате было получено дисперсионное уравнение (алгебраическое уравнение четвертой степени), которое исследуется, численно для, конкретных типов взаимодействия между частицами. Сравнение областей устойчивости для, 4-угольника и 3-угольника с частицей в ■центре, а также для, 5-угольника и ¿-угольника с частицей в центре, показывает, что существуют области параметров, где устойчивы конфигурации без частицы, в центре и неустойчивы, конфигурации с частицей в центре, и наоборот.

Ключевые слова: пылевая плазма, симметричные плоские кластеры, устойчивость, малые колебания.

До настоящего времени много усилий как экспериментаторов, так и теоретиков направлены на изучение структур, образованных пылевыми частицам, и законов взаимодействия между ними (см. напр.. обзоры [1] и [2]). В большинстве экспериментов квазикристаллические структуры наолюдаются во внешнем параболическом удерживающем потенциале. В некоторых экспериментах также наблюдают плоские пылевые

Учреждение Российской академии наук Институт общей физики им. A.M. Прохорова РАН, 119991 Москва, ул. Вавилова, 38, Россия.

1 E-mail: [email protected]

кластеры во внешнем магнитном поле (см.. напр.. [3, 4]). В данной работе анализируются колебания и устойчивость симметричных пылевых кластеров в виде правильного многоугольника и правильного многоугольника с частицей в центре при наличии внешнего однородного магнитного поля.

Рассмотрим систему из N одинаковых частиц с массами т и зарядами q, взаимодействие между которыми описывается парным потенциалом и (г). Сила взаимодействия между двумя частицами равна

ди (г) и'(г)

Г = —^ = ^г = / (г)г. (1)

Удержание вдоль оси 0г осуществляется внешним потенциалом (гравитационный плюс электрический). Как показали эксперименты [5, 6], в узкой области локализации кристалла он хорошо аппроксимируется параболической формой иг = ^¿2, где а - параболический коэффициент. Внешнее однородное магнитное поле В считается направленным вдоль оси г.

Тогда уравнение движения и-ой частицы запишется как

N

- г ±п х В - ати^ ггп - V г + ^ / (гик )(гп - г к), (2)

тг,, = 1 㱄 х В - г„ - VГ+ > /(Гпкмгп -

с к.1

к=п

где и,к = 1 гп = (хп,уп, ¿п), г±_п = (хп,уп, т - масса макрочастицы, а V -

коэффициент трения частицы при ее движении относительно среды.

Для исследования колебаний и устойчивости удобно перейти к новым переменным

гп - (рп; ¿п) , (3)

где рп - комплексная величина, равная рп — хп + гуп, 1 < и < N.

Уравнение для. новых переменных принимает вид!

N

рп + (№ + V)рп — т ^С / (Гпк)(Рп - Рк),

к=1

п N

к=п

'¿п + а^гп + vzn = т Е /(гпк)(гп - ¿к),

к=1

к=п

I ю 1В

где гпк = \гп - гк\,И =--циклотронная частота.

тс

Из экспериментов и результатов численного моделирования известно, что небольшое число макрочастиц образует правильные кластеры треугольник, четырехугольник.

пятиугольник, шестиугольник с частицей в центре и так далее. Поэтому будем рассматривать случай, когда частицы располагаются в вершинах правильного ^угольника. В нулевом приближении координаты частиц равны

Рп = рпо) = е(2тп^) Ее

(5)

Условие баланса сил, определяющее равновесный размер кластера, имеет вид

и)2 + (-П + IV )и + — 51 = 0.

т

(6)

к

ствительно вращаются с одинаковой частотой. Здесь, для того чтобы упростить встречающиеся выражения для сумм, было введено следующее обозначение:

N-1

81(1) = 2^ /(^к)*Ш2(Пр) к=1 ^ '

(7)

чисто вещественная величина; г^к = 2Е вт ^ПN цами. Решение уравнения (6) дает две частоты:

расстояние между двумя части-

и = 2\ М - %V ±у М2 - V2 - 4 т - 2г^

(8)

Так как в системе имеет место диссипация, то устойчивого положения нет. Тем не менее, если интервал времени наблюдения удовлетворяет условию VА1 1, мы можем считать радиус кластера Е ПОСТОЯННЫМ. Частота вращения кластера в общем случае при М2 ^ V2 имеет два значения:

и' = ± М М2 - 4 88^ 2 \ V т

0)

а условие стационарности

81 (1) ^ т^м2.

(10)

1

Знак равенства в условии (10) соответствует одной частоте вращения и' = 2М- Так как сумма 81(1) зависит от радиуса Е кластера, то неравенство (10), по сути, является условием на размер многоугольника. Если взаимодействие является притяжением, то сумма 81 (1) отрицательна, и мы получаем стационарность нулевого приближения при

любом радиусе Я. Если взаимодействие отталкивающее, то сумма ^(1) положительна. В этом случае существует критическое значение радиуса Я*, превышение которого

Я ^ Я* дает стационарную картину кластера. Отметим, что с увеличением дально-

Я*

рЯД П0Т6НЦИШ10В : Дебай, Кулон,

взаимодействие с логарифмическим законом дают возрастающую последовательность

Я*

В дальнейшем мы будем считать, что условие (9) выполнено, и рассмотрим устойчивость многоугольника относительно малых возмущений

Гп + Ьгп = (рп + 6рп; 8гп),

(П)

где 5рп = Ьхп + гбуп-

Линеаризуем уравнение (4) по малым отклонениям от положения равновесия бгп и брп. Линеаризованное уравнение, описывающее малые колебания в плоскости (Х,У), (рп = Рп0 + брп и \брп\ ^ \р(п) |) имеет вид:

N

брп + (г0 + V )6 рп = — У^

т '

к=1

к=п

/(гпк) +2Г (гпк)Гпк

(брп - брк) +

— N /'(Г (0)) _

Е /Л-Ш1 (Рп - Рк)2(брп - брк).

2т

(0)

к=1 1пк

к=п

Черта означает комплексное сопряжение. Полагая 8рп = е уравнение (12) относительно шп\

(12)

(2пг'а/]Я) шп е шперепишем

ШОп +

г(0 - 2ш) + V

Шп - [ш2 + (-0 + IV)ш]тп-

т

N

Е

к=1

к=п

/(гпк) +2 / (гпк)Гпк

Я2

N

2т

11 Г (гпк ) (— - е2пг( к-п

0)

( —

К - шк е2жг(к-п)^)-

(шп - шк e2жг(k-n)/N) = 0.

к=1 пк

к=п

(13)

Решение для шп ищем в виде суммы двух сопряженных гармоник [7] (хорошо известная в теории молекулярных спектров подстановка):

Шп = ие2жгп1^ + уе-2жгп1^,

(14)

1

2

где и, V — произвольные функции времени, с учетом условия цикличности 5гп = Sгn+N

все колебания классифицируются целым числом /, лежащим в первой зоне Бриллюэна N

1 ^ I ^ Подстановка (14) в уравнение (13) приводит к

и + [г(М - 2и) + и\и + — [81(1) - 82(I + 1)]и + — 83(1 - = 0,

тт

V + \-г(М - 2и) + V^ + — [81(1) - 82(I - 1)\V + — 83(1 - 1)и = 0.

тт

(15)

Здесь

N-1

82(т) = 2 £ к=1

/ (гNk ) + 2 /' (г N к )гNk

2к вт | ПNm

^ ( к \ ( к \ 8з(т) = 22 /1 (г^квт ( ПN'm) вт ( ^(т + 2)) .

(16)

Решение системы уравнений (15) ищем в виде и^ ~ е гаЬ. Условие нетривиальности решения дает дисперсионное уравнение:

а + аа3 + Ьа2 + еа + ( = 0. (17)

Здесь

а = 2гv,

Ь = -\ (М - 2и)2 + V2 + — [281(1) - 82(1 - 1) - 82(1 + 1)\

т

М 2 ■ ^

е = ^^ [82(1 + 1) - 82(1 - 1)\ - - [281(1) - 82 (I - 1) - 82(1 + 1)\,

тт

( = т72 {[81(1) - 82(1 - 1)\[81(1) - 82(I + 1)\ - 8*(1 - 1)} .

Для колебаний по оси г (8гп = КеЖ(I) ехр(г^0 и8)) получаем уравнение:

]¥ + гvW +(0,81(1) - 811)Ш = 0. (19)

Интересуясь вопросами устойчивости системы, мы в дальнейшем будем полагать

V = 0.

Тогда критерий устойчивости колебаний по г (Ж ~ ехр -гаЬ) примет вид:

а > 81 /81. (20)

Рассмотрим частные случаи.

Мода / = 0 соответствует сдвигам Ж-угольника как целого, при которых отсутствует его деформация. В этом случае Н = е = 0 и дисперсионное уравнение (17) принимает вид: а2(а2 + Ь) = 0. Частоты устойчивых колебаний

^1,2 = 0,

/-2- (21)

аз,4 = ±\ П2 - -[81 (1) + 82(1)] V т

имеют место при условии И-1

Е

к=1

2/(тмк) + 2 / '(тМк )тМк

(4) ^ ^ • (22)

Если 2/(г) + 1 /'(г)г ^ /(г), то выполнение условия (10) влечет за собой выполнение условия (22). Этому удовлетворяют все отталкивающие потенциалы (/(г) > 0), спадающие с расстоянием по закону

/ (г) ^ г-2 или и (г) ^ 1п(г) (23)

или быстрее ? т.е. все потенциалы, спадающие как логарифмический или быстрее. Кроме этого, подбором магнитного поля всегда можно добиться выполнения неравенства (22). Частоты а1>2 отвечают поступательному движению, а частоты а3,4 соответствуют колебательным степеням своооды.

Мода I = 1 соответствует деформациям Ж-угольника, при которых сохраняется его форма. В этом случае дисперсионное уравнение (17) распадается на два квадратных уравнения:

а2 - (П - 2^)а - —81(1) - в2(2)] = 0,

а2 + (П - 2^)а - ^ = 0^ т

Первое уравнение имеет решения:

1

а =2

П - 2^ ± а/П2 - — в2(2) т

(25)

Данные частоты соответствуют вращательным степеням свободы Ж-угольника как целого. Условие устойчивости малых возмущений все частоты вещественны имеет вид:

N -1

2

к=1

/ (гик) + 2 / '(гик )гик

81П2 ( 2пЖ) ^ ^ (26)

В условиях f (г) + ^ 1'(г)г ^ 0 неравенство (26) будет заведомо выполнено при любом П. Последнему удовлетворяют все отталкивающие потенциалы (г) > 0), спадающие с расстоянием по закону (23) или быстрее. Кроме этого, как и в случае с неравенством (22). неравенство (26) может быть удовлетворено подбором магнитного поля. Второе уравнение (24) дает частоты:

а — (П — 2и)]. (27)

Данные частоты соответствуют растяжениям и сжатиям Ж-угольника по радиусу, когда его форма не деформируется. Условие устойчивости определяется неравенством (10) и обсуждено выттте.

Таким образом, все известные отталкивающие потенциалы : логарифмический потенциал взаимодействия нитей, кулоновский и дебаевский потенциалы, дают устойчивость нулевой и первой мод. Из сказанного вытекает, что при N < 4 система устойчива для всех отталкивающих потенциалов, удовлетворяющих условию (23).

Рассмотрим теперь устойчивость мод с I ^ 2. Вначале остановимся на случае предельно слабого магнитного поля, так называемом бриллюэновском пределе, когда П — 2ш = 0 и П2 = 48\(1)/т. В этом случае е = 0, и дисперсионное уравнение становится биквадратным. Решение принимает вид:

1

а2 = 2

—Ь ±^Ь2 — 4А

(28)

Условие устойчивости все частоты реальны принимает вид:

Ь2

0 <й< —, Ь< 0. (29)

Условие Н < Ь2/4 выполняется всегда, так как приводит к тождественному неравенству

—з2(1 — 1) < -АЫ1 + 1) — 82(1 — 1)]2. (30)

Два других неравенства дают

281(1) — 82(1 + 1) — 82(1 — 1) > 0, (31)

82(1 — 1) < [81(1) — 82(1 + 1)][81(1) — 82(1 — 1)]. (32)

Так как в левой части неравенства (32) стоит положительная величина, то необходимым условием выполнения неравенств (31), (32) является требование 81(1) — 82(1 ± 1) > 0.

Последнее условие будет заведомо выполнено, если 81(1) > 0 82(1 ± 1) ^ 0 ил и f (г) > 0 f (г) +— f'(г)г ^ 0. Последнему удовлетворяют все отталкивающие потенциалы, спадающие с расстоянием по закону (23) или быстрее. Таким образом, остается рассмотреть только условие (32).

А

В качестве примера рассмотрим критерий (32) для потенциала Дебая и (г) = — е-аг. Вычисления показывают, что 4-угольник устойчив при любом значении параметра а. Мода I = 2 устойчива для пятиугольника при условии т = 2Ка < 6.64, в случае 6-угольника при условии т < 4.17, 7-угольника при условии т < 2.82, 8-угольника при условии т < 1.91, 9-угольника при ус ловии т < 1.16. Начиная с N = 10, мода I = 2 всегда неустойчива. Моды с I ^ 3 всегда неустойчивы. Следовательно, все многоугольники с N ^ 6 неустойчивы в бриллюэновском пределе.

В общем случае решение дисперсионного уравнения (17) выражается через корни кубической резольвенты:

£3 + 2Ь£2 + (Ь2 — — е2 = 0, (33)

которая имеет вещественные корни (к = 0,1, 2)

6 = — 2 (ь + 3рсоз (| + 2пк)) (34)

в условиях:

Здесь

27

Б = —4Н(Ь2 — 4д)2 + е2(Ь3 — 36ЬН) + — е4 ^ 0. (35)

1 / 27 \

р = Г —Ь3 + 36ЬН — — е2) л/Ь2 + Ш,

3

р = агссоэ

|Ь3 — 36ЬН + 27 е2| (Ь2 + 12Н)3/2

(36)

Выполнение условия (35) ведет за собой Ь2 + 12Н > 0. Частоты а уравнения (17) будут вещественны при дополнительном условии ^ 0 или

Ь + ^п ^—Ь3 + 36ЬН — 27е2^ \/Ь2 + Ш со^| + 3пк^ ^ 0. (37)

Ь < 0

281(1) + 82(1 — 1) + 82(1 + 1) <тП2. (38)

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

(I

Рис. 1: Область устойчивости (выделена штриховкой) для моды I = 2 пятиугольника в случае дебаевского взаимодействия между частицами.

Условия устойчивости (35), (37) в общем случае зависят от величины магнитного поля. На рис. 1 в координатах т-д, где л = 8шЯ3/А, представлена область устойчивости для моды I = 2 пятиугольника в случае дебаевского взаимодействия между частицами. Область устойчивости выделена штриховкой.

Рассмотрим предельный случай сильного магнитного поля ^ — оо. Тогда Ь — — и ф — 0. Неравенство (37) в этом пределе выполняется тождественно, т.к. для к = 0 дает (е/Ь)2 ^ 0, а для к = 1, 2 в левой части (37) стоит отрицательное число —1.5^2. Дискриминант В является полиномом 4 степени относительно величины Чтобы при ^ — о выполнялось условие (35) необходимо, чтобы коэффициент при главной степени был отрицательным. Это дает условие устойчивости:

2|зз (I — 1)1 < \2вх (1) — 82 (I — 1) — 82 (I + 1)|. (39)

Отметим, что условие (39) является менее сильным, чем условие (32). В этом проявляется стабилизирующее действие магнитного поля.

При /(г) + 1 /(г)г ^ 0 и /(г) > 0 получаем 82(I ± 1) ^ 0 и в1 (1) > 0, поэтому 2в\(1) — 82(I — 1) — 82(I + 1) > 0, и неравенство (39) выполнено при 83(I — 1) = 0. Пусть

Рис. 2: Область устойчивости (выделена штриховкой) для моды I = 2 4-угольника с частицей в центре для дебаевского взаимодействия между частицами. Линия определяет предельное значение критерия (48) (бриллюэновский предел).

в3 (I — 1) > 0, тогда неравенство (39) переходит в

^ ^(гмк) + f'(гмк)гмк] с°й2 ^ < ^ f (гт) '

к= к=1 (40)

которое при f (г) + f,(г)г ^ 0 и f (г) > 0 выполняется для всех / и N. Пусть 83(I — 1) < 0, тогда неравенство (39) переходит в

к=1 ff (гМк)гМк < — к^ f (г^к) б1п2 (пк/) сОБ(2пк) 7 ^

которое требует проверки для различных /и N. Для I = 0 получаем 83 (—1) > 0 для всех потенциалов, удовлетворяющих условию f,(г)г < 0. Поэтому мода I = 0 устойчива для всех отталкивающих потенциалов с f (г) +— f (г)г ^ 0. Для I = 1 получаем

2

83 (0) = 0, и неравенство (39) тождественно для всех отталкивающих потенциалов с

^(г) + 2/(г)г ^ 0.

В случае I = 2, N = 4 условие устойчивости (39) переходит в

(Я^2) — ЛГ(2Я)\ < (Я^2) + (2Я)\. (42)

В частности, неравенство выполняется для всех функций f'(г), не меняющих знака. Этому условию удовлетворяют все потенциалы, являющиеся монотонными функциями

Рис. 3: Область устойчивости (выделена штриховкой) для моды I = 2 5-угольника с частицей в центре для дебаевского взаимодействия между частицами. Линия определяет предельное значение критерия (48) (бриллюэновский предел).

без точек перегиба. Таким образом, 4-угольник устойчив в случае, когда величины /7(Ял/2) и /7(2Я) имеют одинаковые знаки.

Рассмотрим случай I = 2, N = 5. Чтобы выполнялось условие з3(I — 1) > 0, необходимо выполнение функционального неравенства /7(г) — 2со^(п/5)/7(2г соб(п/5)) > 0. Для степенных функций /(г) = Сга при условиях /(г) + 2/'(г)г ^ 0 и /(г) > 0 последнее невозможно. Таким образом, мы получаем (I — 1) < 0. Условие (41) принимает вид

/(гм 1) + /7(ГN 1 )ГN 1 ео8 2П

2п ,

С08 — < 4 5

П'

/ (гм2) — / (гм2)гм2 С08- С0$3 -. (43)

5

П

5

Последнее неравенство выполняется для всех убывающих функций: /(г) > 0 /7(г) < 0. Следовательно, 5-угольник устойчив для всех отталкивающих потенциалов, спадающих с расстоянием по закону (23) или быстрее.

Рассмотрим I = 3 N = 6. Неравенство 53(I — 1) < 0 выполняется при условии /'(г) — л/3/'(л/3г) < 0, которое, например, имеет место для всех степенных функций / (г) = Сга (С > 0). Условие устойчивости (41) принимает вид:

М/'(П^3) < . (44)

Для степенных функций / (г) = С га (С > 0) условие (44) будет выполнено только если —2.9673 < а < 0. Следовательно, все убывающие отталкивающие степенные потенциалы и (г) = Агм с ¡1 < —0.967 дают неустойчивость 6-угольника.

532353535323232348484848535353232323484848485353532323232348

Рис. 4: Область устойчивости (выделена штриховкой) для моды I = 1 3-угольника с частицей в центре для дебаевского взаимодействия между частицами. Линия определяет предельное значение критерия (48) (бриллюэновский предел).

Численные расчеты условия (39) для дебаевского взаимодействия показали, что четырех- и пятиугольники всегда устойчивы, а все моды с I ^ 3 неустойчивы. Следовательно, все многоугольники с N ^ 6 неустойчивы.

Полученные результаты могут быть напрямую применены также к отталкивающе-притягивающим потенциалам взаимодействия, например, таким как Дебай плюс Ле-саж, если в области 2Я sin(п/N) ^ т ^ 2Я последние ведут себя как монотонно убывающие функции. В обратном случае необходимо проверять неравенства (35), (37).

Рассмотрим устойчивость ^угольника с частицей в центре. Уравнение движения

1 М 1

рп + г^рп = — V" / (тпк)(рп - рк) + — / (Гп0)(рп - ро),

т т

к=1 к=п

N

(45)

ро + Шро = — V" /(тко)(ро - рк). т

к=1

В нулевом приближении, когда рп дается формулой (5), а р0 дисперсионное уравнение:

и2 - Пи + —[51 (1) + /(Я)] = 0. т

(0) р0

=0

(46) 21

Рис. 5: Область устойчивости (выделена штриховкой) для моды I = 2 4-угольника для дебаевского взаимодействия между частицами.

Решение

^ = 1 & — А[«1 (1) + / (Я)]

является вещественным при условии устойчивости

81 (1) + /(Я) < ^

4

(47)

(48)

/(Я) > 0 нитного поля, чем условие (10).

Полагая, что малые возмущения 8рп = рп — рП\ 6р0 = р0 оставляют неизменными координаты центра масс системы:

N

(49)

к=1

и повторяя вышеприведенные выкладки, получаем дисперсионное уравнение малых колебаний (17), в котором коэффициенты уже равны:

а = 0,

1

+— т

Ь = —П2+

281 (1) + 82 (I — 1) + 82 (I + 1) + 2/(Я) + [/ (Я) + 2/' (Я)Я][84 (I — 1) + 84 (I + 1)]

Q - 2и

e =-

S2(l + 1) - S2(l - 1) + [f (R) + 1 f'(R)R][84(l + 1) - S4(l - 1)]

Здесь

d = т ([Я1(1) - в2(! - 1) + / (я) + [/(Я) + 2№№4(/ - 1)]х т2 [ 2

ХЫ1) - 82(1 + 1) + /(Я) + [/(Я) + 2/'(Я)Я]в4(1 + 1)]--М - 1) - 2/'(Я)Я84(1 - 1)][8э(/ - 1) - 2/'(Я)Я84(1 + 1)^ . (50)

84(т) = 1 + ]ТГ = { 2; +1 (51)

2 + 1, т = 0.

Для кулоновского взаимодействия (предельный случай а = 0) область устойчивости для конфигураций с частицей в центре меньше, чем для многоугольника без частицы. Рассмотрим дебаевское взаимодействие. Конфигурация N +1 устойчива в диапазоне 3 ^ N ^ 7. Сравнение областей устойчивости для 4-угольника и 3-угольника с частицей в центре (рис. 4. 5), а также для 5-угольника и 4-угольника с частицей в центре (рис. 1. 2) показывает, что существуют области параметров, где устойчивы конфигурации без частицы в центре и неустойчивы конфигурации с частицей в центре, и наоборот. Это можно использовать для оценок потенциала взаимодействия между пылевыми частицами в реальных экспериментах.

Данная работа была выполнена при частичной поддержке РФФИ ЖД"2 08-02-01172-а. 08-02-00791-а.

ЛИТЕРАТУРА

[1] V.X. Tsytovitch, G. Morfill and Н. Thomas, Part I, Физика Плазмы 28(8), 623 (2002).

[2] В.Е. Фортов, А.Г. Храпак, С.А. Храпак, В.И. Молотков, О.Ф. Петров, УФН 174(5), 495 (2004).

[3] X. Sato, G. Uchida. Т. Ivaueko, S. Shimizu, and S. Iizuka, Phys. Plasmas 8, 1786 (2001).

[4] Felix Cheuug, Alex Samariau and Brian James, Xew Journal of Physics 5, 75.1-75.15 (2003).

[5] E.B. Tomme, D.A. Law, B.M. Auuaratoue, and J.E. Allen, Phys. Rev. Lett. 85, 2518 (2000).

[6] Н. Totsuji, Т. Ivishimoto, and С. Totsu.jL Phys. Rev. Lett. 78, 3113 (1997).

[7] Sh.G. Amiranashvili. X.G. Gousein-zade. V.X. Tsytovich. Phys. Rev. E 64. 016407 (2001).

Поступила в редакцию 27 октября 2009 г.