CC BY
29
УДК 624.046
УСТОЙЧИВОСТЬ ДЕРЕВЯННЫХ СТЕРЖНЕЙ ПРИ СЖАТИИ СИЛАМИ, ПРИЛОЖЕННЫМИ С НЕРАВНЫМИ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТАМИ
А.С.Вареник, К.А.Вареник
THE RESISTANCE OF WOODEN RODS AT COMPRESSION FORCES APPLIED WITH UNEQUAL ECCENTRICITIES
A.S.Varenik, K.A.Varenik
Политехнический институт НовГУ, Alexandr. [email protected]
Предлагается решение задачи устойчивости деревянных стержней при кратковременном загружении силами с неравными эксцентриситетами. Представлены результаты испытаний деревянных стержней на сжатие. Теоретические результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными.
Ключевые слова: внецентренное сжатие, деревянный элемент, устойчивость, напряженно-деформированное состояние
The solution of the problem of wooden rods resistance at a short-time loading with forces of unequal eccentricities has been proposed. The results of the compression tests of wooden rods have been presented. The theoretical results correspond perfectly with the experimental data.
Keywords: eccentric compression, wooden element, resistance, stress-strain state Введение
Современные нормы проектирования деревянных конструкций разработаны в 30-х годах и с тех пор принципиальных изменений не претерпели. Используемые расчетные модели не отражают реальной работы и несущей способности конструкций, а также не отвечают требованиям их экономичности. Вступление России во Всемирную торговую ассоциацию требует устранения противоречий с европейскими нормами.
В настоящей работе разработана методика исследования напряженно-деформированного состояния и решены задачи устойчивости внецен-тренно сжатых деревянных стержней при приложении сжимающих сил с равными и неравными концевыми эксцентриситетами. Предлагаемая методика расчета позволяет более точно, чем в известных решениях, моделировать работу сжато-изгибаемых элементов при практически любых реально встречающихся на практике условиях закрепления опорных концов.
Представленные в данной работе результаты исследований направлены на совершенствование методов расчета сжато-изгибаемых деревянных элементов строительных конструкций.
Постановка задачи и основные допущения
Рассматривается шарнирно опертый деревянный стержень, сжатый продольной силой Р, приложенной с неравными эксцентриситетами е1 и е2 (рис.1). Исследуется напряженно-деформированное состояние наиболее нагруженного сечения стержня.
В целях упрощения решения принимается ряд общих допущений.
Кривизна элемента определяется приближенным выражением:
Ну <■>
Р dx
Предполагается, что изогнутая ось стержня является полуволной синусоиды:
,, . т
y=f sm—,
(2)
где l — расчетная длина стержня; f — прогиб (максимальное перемещение) при x = Ш.
t^x
y
а)
£ X
б)
Рис.1. Расчетные схемы стержней при сжатии силами, приложенными с неравными эксцентриситетами: а) е-| и е2 — одного знака; б) е-| и е2 — разных знаков
Распределение напряжений по поперечному сечению определяется распределением деформаций в сечении и зависимостью с-е. Принимается, что деформации распределяются по линейному закону и ось нулевых деформаций совпадает с осью нулевых напряжений. Зависимость с-е для любого волокна соответствует экспериментальной диаграмме с-е, полу-
ченной по результатам испытаний древесины на растяжение и сжатие.
Для аппроксимации работы древесины при сжатии используем кубическую параболу вида:
ст=А1е-А2е3.
(3)
Первый член данного выражения соответствует закону Гука, и коэффициент А1 принимается равным модулю упругости древесины при сжатии вдоль
волокон. При е = 0, А = Е. Второй член обеспечивает зависимости с-е уменьшение скорости возрастания напряжений по отношению к скорости возрастания деформаций и переход за пределом прочности
в спадающий участок. При е = епп, ~е=0.
Связь между напряжениями и деформациями в растянутой зоне сечения соответствует закону Гука
Ср = Ер е. (4)
В процессе деформирования стержня в его среднем сечении возможны два случая распределения напряжений и деформаций (рис.2). Первый — когда сечение элемента полностью сжато (схема I), второй — в сечении имеется растянутая зона (схема II).
Использование приближенного выражения для кривизны и представление изогнутой оси стержня синусоидой позволяют записать
1
Р_
е2
к ]
(5)
(6)
Отсюда находим прогиб среднего сечения I2
/ = 2Г(е2-е1). п2к
Определения несущей способности
Уравнения равновесия для данного случая имеют вид:
Рвн=Р;
М вн = Р/ - Р^ (х0 + Ь - 1-\
(7)
Сжимающие силы приложены к концам стержня с неравными эксцентриситетами е1 и е2 (см. рис.1):
г ■ 11л0 е1 = / 51П—;
. л(хо + Ь) е2 = / ет---.
(8)
X
Ь | о1 е1 о1 е1
Рис.2. Расчетные схемы напряжений и деформаций в поперечном сечении стержня
-о
У
(9)
Из условий (8) имеем уравнения связи:
Ф1(е1,б2,1, хь)=0;
Ф2(ВЬВ2,1, Хь) = 0.
Пусть нагрузка на стержень возрастает во времени по линейному закону
Р = Рн + а!, (10)
где Рн — начальное значение нагрузки; а — линейный параметр нарастания нагрузки; ! — время.
Дифференцируя уравнения равновесия (7) и уравнения (9), получим систему дифференциальных уравнений движения: дР„„ . Р .
дё" ( дМ,
Ei +-
де-
-S2 =а;
де1
Р
Л |ё" +
дМв: де2
—P
- и е--
л h.
- Р(л!(82 -ei)+^=а f;
дФ" . дФ" . дФ ; дФ1 . Л
"дё!" ё"+5е-Т е2 +"дХТ хо=0;
дФ-
де,
• дФ2 . ё" ё2 +
дФ2 ; дФ2 2 l +■
2
д1 дх0
Хо = 0;
(11)
дФ, l . л x0 —^sin^0-л^ l
2
где
д£"
. л x0 ■2 sin l
дФ, l
де2 л2h дФ е2 -ё" (2l . лx0 x0 лx0 дl h ^л2 l л l
дФ, = l(£2-£i)cos лx0 .
дx0 лh l '
дФ2 l2 . л(x0 + L) 2 — -sin- •
л2h
l
l . л(x0 + L)
sin
дё" дФ2.
дё2 л2^"* l
дФ2 е2 -ё" ( 2l . л(x0 + L) x0 + L л(x0 + L) A
~дГlv^2Sln l---C0S-1-) ;
дФ2 l(e2 -ё") л(x0 + L)
- -cos-
дx0
лh
l
dP_ df _ 12 . .
~ж -а; а (82 "81)-
Выражения для частных производных Рвн и Мвн найдены в работе [1].
Решение системы (11) представляет собой задачу Коши с начальными условиями, получаемыми из совместного решения нелинейных уравнений (7) и (8) относительно е1, е2, I и хь. Численное интегрирование дифференциальных уравнений можно осуществить методом Рунге-Кутта.
Система (11) линейна относительно производных ¿",е2,I,Хь. В матричной форме она имеет вид
АХ=В, (12)
где А — матрица коэффициентов; Х — матрица-
столбец (вектор) неизвестных; В — матрица-столбец свободных членов.
А =
а"" а"2 а"з а,4
а2" а22 а23 а24
аЪ" аз2 азз аз4
_а4" а42 а4з а44 _
х=
ё" ГЬ ]
ё2 1 ; в= b2 Ьз
_x0_
Корни системы выражаются формулами Кра-
мера:
. Дё" . . Дё^ . Al . Ax
ё" =~Д~; ё2 =_Д_;l=т. x0 =Х, ("з)
где Д, Де", Де2, Al, Дх0 — определители системы.
Для нахождения условия критического состояния используется критерий, предложенный Р.С.Санжаровским [2].
8М=8Мвн = PSf;
вн J ("4)
5PBH=0.
Условием потери устойчивости является равенство нулю определителя системы (П), составленного из коэффициентов при вариациях.
При решении рассматриваемой задачи в зави-
е2
симости от соотношения —, величины сжимающей
е"
силы и длины стержня возможен случай, когда наибольший изгибающий момент по длине стержня будет меньше или равен опорному моменту. Иными словами, максимум прогиба f аппроксимирующей синусоиды находится вне реального стержня либо совпадает с опорным концом, имеющим наибольший эксцентриситет (см. рис.з). Для данного случая уравнения равновесия записываем в следующем виде: Рвн = P cos ш;
вн ^ ("5)
М вн = Pe2,
где угол наклона расчетного сечения ф определяется по формуле:
, л л(xо + L) ф=У = fj cos-1-.
("6)
С учетом внесенных изменений первые два уравнения системы (11) приобретут следующий вид:
Кг+РШфЦ К*
£622 + ^ЖГ ^ +
+Р^+Рs1nф-дф x0 = Lcosф,
("7)
дМв
дМ в
дф l где =—гcos
дё" дё2 л(x0 + L) дф
ё2 = Le2, l
дё
лh
l
=—т cos
дё2 лh
л(x0 + L) l
дф
ё2 -ё" ( " л^г, + L) x0 + L . л^г, + L)
и 1л+
дф
дт0
з" . л(x0 + L) "sin- 0
й I
Таким образом, в данном случае исчерпание несущей способности внецентренно сжатого стержня происходит вследствие достижения предельного состояния на опоре с наибольшим значением эксцентриситета.
Решение системы (11) позволяет производить оценку напряженно-деформированного состояния деревянного стержня при кратковременном загруже-нии.
2
2
l
l
2
1
0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0
ГЧ
x — средние экспериментальные точки
25
50
75
100
125
150
175
I 200
Рис.3. Теоретическая кривая и экспериментальные точки испытаний на продольный изгиб стержней из сосны при эксцентриситетах е-| = 5 мм, е2 = -5 мм
Экспериментальные исследования
Для проверки достоверности предлагаемой математической модели напряженно-деформированного состояния и решения задачи устойчивости внецентрен-но сжатых деревянных стержней выполнены экспериментальные исследования. Экспериментальные исследования включают в себя кратковременные испытания малых образцов из древесины сосны на осевое сжатие и растяжение с записью диаграмм «нагрузка — деформация» и кратковременные испытания стержней различной гибкости на внецентренное сжатие. Методика проведения испытаний изложена в работе [1].
Аппроксимирующее сжатие и растяжение древесины сосны выражения получены в следующем виде:
стс =122600е-883х10бе3, кгс/см2; (18)
стп =126100е, кгс/см2.
(19)
Экспериментальная проверка теоретических результатов проведена при испытании на продольный изгиб цельных сосновых стержней при внецентрен-ном действии сжимающей силы. Были изготовлены образцы сечением 60*80 мм с длинами 0,5 и 1 м. Высота образцов была принята равной меньшему размеру. Соответственно принятым длинам, стержни имели гибкости 28,9 и 57,7. По 5 образцов каждой гибкости испытывались при концевых эксцентриситетах 5 и -5 мм. По результатам испытаний, для каждого образца находился коэффициент продольного изгиба ф как отношение критического напряжения сткр к сред-
(20)
нему пределу прочности сосны при сжатии стп
—кр ф, =—1-.
—пп
Для образцов с одинаковой гибкостью определялись средние коэффициенты продольного изгиба фэксп. Полученные таким образом результаты испытаний представлены в таблице. Здесь же даны соответствующие теоретические значения коэффициентов продольного изгиба фтеор и сделано сравнение экспериментальных и теоретических данных.
Теоретические и экспериментальные значения коэффициента продольного изгиба ф при е\ = 5 мм и е2 = -5 мм
I Фтеор фэксп фтеор фэксп Ю0% фтеор
28,9 0,726 0,687 5,4
57,7 0,526 0,509 3,2
Графически результаты экспериментальных и теоретических исследований отражены на рис.3.
Из таблицы и графиков видно, что разница между теоретическими и экспериментальными значениями весьма невелика, и можно считать, что испытания полностью подтвердили теоретические исследования.
Заключение
Предлагаемая методика расчета позволяет более точно, чем в известных решениях, моделировать работу внецентренно сжатых элементов при практически любых, реально встречающихся на практике, условиях закрепления опорных концов. На основании критерия потери устойчивости получены зависимости коэффициента продольного изгиба от гибкости и величины эксцентриситетов приложения сжимающих сил, позволяющие производить проверку несущей способности внецентренно сжатых деревянных элементов.
Вареник А.С. Устойчивость внецентренно сжатых деревянных элементов при кратковременном нагружении // Вестник НовГУ. Сер.: Техн. науки. 2013. №75. С.7-12. Санжаровский Р.С. Устойчивость элементов строительных конструкций при ползучести. Л.: Изд-во ЛГУ, 1984. 216 с.
References
Varenik A.S. Ustoichivost' vnetsentrenno szhatykh derevi-annykh elementov pri kratkovremennom nagruzhenii [The resistance of eccentrically compressed wooden elements at a short-time loading]. Vestnik NovGU. Ser. Tekhnicheskie nauki - Vestnik NovSU. Issue: Engineering Sciences, 2013, vol. 1, no. 75, pp. 7-12.
Sanzharovskii R.S. Ustoichivost' elementov stroitel'nykh konstruktsii pri polzuchesti [The resistance of building construction elements at creep]. Leningrad, Leningrad State University Publ., 1984. 216 p.
Ф
0
1.
2
2
