УДК 621.372.54
Е. Н. Червинский ЗАО "СИМЕТА" (Санкт-Петербург)
Устойчивость частотных характеристик к изменениям параметров электрического фильтра
Предложена методика оценки устойчивости амплитудно- и фазочастотных характеристик к изменению параметров фильтров. В качестве меры отклонения реальной частотной характеристики от расчетной принята интегральная квадратичная функция переменной величины. Даны определения устойчивости по отдельному параметру и комплексной оценки устойчивости к изменению набора параметров. Определен критерий принятия к реализации одного из возможных решений системы нелинейных уравнений при синтезе фильтров. Приведены передаточные функции инверсных и квазиэллиптических фильтров нижних и верхних частот до девятого порядка и примеры расчета параметров фильтров.
Передаточная функция, синтез фильтра "в целом", инверсный фильтр нижних частот, квазиэллиптический фильтр нижних частот, фильтр верхних частот, устойчивость характеристики по параметру, комплексная оценка устойчивости
При реализации электрического фильтра "в целом" параметры цепи определяются в результате решения системы уравнений, образованных приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях переменной в выражениях реализуемой передаточной функции (ПФ) и ПФ фильтра [1], [2]. Примеры синтеза фильтров по ПФ цепи приведены в [3]. Решением системы нелинейных уравнений является искомый набор (или наборы) параметров фильтра, который должен быть приведен к стандартному ряду номинальных значений. Очевидно, что при замене расчетных значений номинальными частотные характеристики фильтра искажаются. Кроме того, сами шкалы номинальных значений в зависимости от выбранного ряда [4] имеют различный разброс значений. Для снижения стоимости изделия предпочтительнее выбирать к реализации массовые типы элементов.
Цель настоящей статьи - разработка методики оценки устойчивости характеристик фильтров к изменению параметров при реализации фильтра "в целом".
Рассмотрим цепь, электрическая схема которой приведена на рис. 1. Цифрами обозначены узлы схемы. На схеме ивх и ивых - комплексные амплитуды входного и выходного напряжений; г - ак-
2 2 „ 2А 2п
тивное сопротивление, включающее сопротивление источника сигнала; 2-, к = 1,3,..., п (п - нечетное) и 2т, т = 2,4,..., п -1 - сопротивления поперечных и продольных ветвей соответственно; Я - сопротивление нагрузки; Ку - коэффициент
усиления усилителя. Запишем соотношения для расчета входного сопротивления 2 цепи через сопротивления различных сечений схемы (-+1):
2п|(п+1) = 2пЯ (2п + Я)1; 2(п-2)|(п-1) =
= {2п + \_2п-1 + 2п| (п+1) ] 1} ; 2(п-4)|(п-3) =
= {{ + [2п-3 + 2(п-2)|(п-1)] 1} ; (1)
23|4 =
?3 1 +(( + 25|б) 1
1
% =[ 21 1 +(2 2 + 23|4) 2 = г + ^
а также для расчета отношения Ц/вых и ивх:
0—
1 3 п 2
т т т
Я
1т
г
Ку
-0
и
-0
ив
п-1
п+1
Рис. 1
2
п
2
2
2
3
п-2
п
2
4
24
© Червинский Е. Н., 2017
4х =ивх ^-1 =ивх (г+% Г1; и1|2 = 4х21|2 = ивх (г + Г1 212;
А|3 = Щ\2 (22 + % Г1 =
= ивх (г + % Г1 % ( + % Г1 = =и>вх (г+% Г12 ( + 22 + % Г1;
% = А|323|4 =
= ивх ( + 21|2 Г1 2 (( + 22 + % Г1 % ^
1(и-4)\(и-2) " = и(и-4)|(и-3) [2и-3 + 2(и-2)|(и-1)]
-1
= и/вх ( + Ц2) 1 х (и-3)/ 2
П {22г -1 [22г-1 + 22г + 2(2г +1)|(2г+2) ]
-1
г=1
и/(и-2](и-1) = 7(и-4)|(и-2)2(и-2)|(и-1) =
= и/вх (г + %)-1 2(и-2)|(и-1) Х (и-3 У 2
Х П {22г -1 [22г-1 + 22г + 2(2г +1)|(2г+2)]
-1
г=1
1(и-2]и = и/(и-2](и-1) [2и-1 + 2и|(и+1)] 1 = = и/вх (г + %)-1 х
(и-1) 2 -1
х П \221-1 [22г-1 + 22г + 2(2г+1](2г +2)]
г=1
и/вых = Ку 1(и-2] и2и|(и+1) = = К^ (г + ¿1-2 )-1 ¿и^ ( + Я)-1 х
(и-1)/2
х П {22г-1 [22г-1 + 22г + 2(2г+1](2г +2)]
-1
г=1
(2)
^вых/ и/вх = Ку (г + ¿12 ) 2иЯ (и + Я) х (и-1)/2
Х П {22Ь1 [22г-1 + ¿2/ + 2(2г+1)|(2г +2)]
г=1
где 1вх - комплексная амплитуда входного тока; ик\(к +1) и (к+2) - комплексные амплитуды напряжений и токов, относящихся к узлам к, (к +1) и {к + 2).
Отношение и/'.вых (р), рассматриваемое как
и вх
функция комплексной переменной р = о+ ] ю, есть ПФ фильтра Ни (р). Поскольку нули и полюсы ПФ либо вещественные числа, либо образуют комплексно-сопряженные пары [5], то после перемножения комплексных чисел соответствующее
выражение становится функцией мнимой частоты 5 = ] ю. Оно записывается в виде отношения полиномов с наибольшей степенью и. Разделив числитель и знаменатель дробно-рациональной функции на юи (юс - угловая частота среза), перейдем к выражению Ни (н) как функции нормированной мнимой частоты 5н = 7 ю/юс = 7 юн.
Фильтры нижних частот. При использовании в поперечных ветвях емкостей Ск, к = 1,3,..., и, а в продольных ветвях - параллельных колебательных контуров с элементами Ьт, Ст, т = 2,4,..., и -1, цепь по схеме рис. 1 является фильтром нижних частот (ФНЧ) и-го порядка с полюсами затухания в полосе задерживания (ПЗ). Сопротивления поперечных и продольных ветвей ФНЧ определяются
как 2к = V(Ск ) и 2т = ^т/(1тСт + \ соответственно. Подставив ¿к и ¿т в (1), (2), определим ПФ Ни фнч (•% ), амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) Нифнч (ю] и входное сопротивление 2ифнч (•) цепи по схеме рис. 1:
Н
и ФНЧ
(•н ) =
К
(н)
юг
(и-1У 2
и-1 , V"1 -2/ и-1-2/
•н + X юс аи (и-1-2/) %
/=1
(3)
•н +Е юсг
г=1
о( н) + „(н) и(и-г) и(и-г)
И К
НиФНЧ {ю) = { Г \ (и-1)/2 [ . (н] юи-1 + X [(-1). аи(и-1-2.)
г=1
-\2
и-1-2г
ю
д
(н) 1
д
(н)
и ФНЧ
( • ) = !
г=1"
мщ + (и; и(и-г) и( и-г)
• и +У Р(н) Г 5и-г
и-г)
г=1
где коэффиЦиенТ^1 ^, аиг, PИИ}, Уи] - функции параметров фильтра;
/ Ч (и-1)2 г , ч , ч -,
Д1 =ю + Х (-1) ви(и-2г) + и(и-2г) Ю г=1
( Г (и-1 У2 ■
Р1(н] V1 ( 1)г R(и) I „Лн1
Д2 = Х (-1) в и(и-1-2г)+ и(и-1-2г) г=0
ю
п-\-21
ставлены в табл. 1, где Юрт = 1Д/ЬтСт - резонансные частоты параллельных контуров.
Таблица 1
n Коэффициенты
3 К(Н) = ^/[^ г ]; азо = Р3Н2} = (C + C2 )/|^3н) R ]; тЗН1 = (C2 + Сз г ]; вЗН1 = (( + С3^ ^3Н)]; Y3H1 = 1 [,3Н)R; Р301 = i/[¿2 ^3Н) R]; y30) = У [¿2 ^3Н) г ], где ^н) = С1С2 + С1С3 + C2C3.
5 К5Н) = KyC2CV[^5Н) г]; а52 = «п2 + «U а50 = Р5Н4) =[С\С2 +(С + С2 )( + С4 )У[^5Н) R]; т5Н4) =[(С2 + C3)( + C5)+ C4C5 ]/[^н) г ]; в5Н) = {¿2 [С1С2 +(Ci + С2 )( + С5 )] + ¿4 [(Ci + С3 )( + С5 )+ С4С5 ]^[L2¿4 ^5Н)]; Т53)=(С2 + С3 + С4 ) rR~]; в5Н2) =[¿2 (Ci + С2 )+ ¿4 (Ci + С3 + С4 )]/[¿2¿4 ^5Н) R ]; т5Н2) =[¿2 ( + С3 + С5 )+ ¿4 (С4 + С5 )]/[¿2¿4 ^ г ]; в51 = (Ci + C3 + C5^н!]; у5? = (¿2 + ¿4)/[¿2¿4^5Н) гR]; в50) = i/[¿2¿4 ^5Н) R ]; y50) = V[¿2¿4 ^5Н) г ]; где ^н) = ( + C1C3 + C2C3 )( + C5 ) + (Ci + C2) C4C5.
7 (н) /[(н)] 2 2 2 22 22 22 222 К7Н = KyC2C4C6/ [^7Н г]; а74 = юп2 + ron4 + юпб; а72 = + юп2юпб + а70 = «tó«^«^ в7н) = [( + C1C3 + C2C3) (C4 + C5 + C6)+(Ci + C2 )C4 (C5 + C6 )]/[^7н) R]; т7Нб) = {[(C2 + C3 )( + C5) + C4C5 ](C6 + C7) + (2 + C3 + C4 г ]; в7Н) = {¿ ( + CC3 + C2C3)) ( + C5 + C7) + ¿6 (б + C7)] +[¿ (Ci + C2)( + C7)+( + C3)) (б + C7)]] + + [¿2 (C1+C2 )+ ¿4 (Ci + C3 + Q )] ¿6 (C5C6 + C5C7 + C6C7 )}/[¿2 ¿4¿6 4н)]; Y^ =[(C2 + C3 )C4 + ( + С3 + С4 ) (C5 + C6 )^/[^7н) ^]; P(74 = {Ci «J (¿4 + ¿6) + ¿2 (Ci + C2 )[¿4 (C3 + C4) + h, (C3 + C5 + C6 )] + +¿4¿6 [(Ci + C3 )C4+(Ci + C3 + C4 )( + C6)]}/[ W-6 4н! R]; т(7HН) = {¿2¿4 [(C2 + C3 )C4 + (2 + C3 + C4 )( + C7 )) + [ ¿2 (C2 + C3 + C5 )+ ¿4 (C4 + C5 )] (C6 + C7 ) + + (¿2 + ¿4) C7^[¿27,47,6 ^ г]; P73 = {¿2 [CiC2 + ( + C2)( + C5 + C7)] + ¿4 [(Ci + C3) + ( + C3 + Q)( + C7)] + +¿6 [(Ci + C3 + C5 )( + C7)+C6C7 ^/[¿^ ^7н)]; Y^ =[¿2 (C2 + C3 )(( + ¿6 )+(( + ¿4 )) (C5 + C6 )+(( + ¿6 )«p24 ]/[¿2¿4¿6 ^ R; в7Н2) = [¿2 (Ci + C2) + ¿4 (Ci + C3 + C4) + ¿6 (Ci + C3 + C5 + C6)]/[ ¿27^6 ^7н) R]; у7н) = [¿2 (C2 + C3 + C5 + C7 ) + ¿4 (C4 + C5 + C7 ) + ¿6 ( + C7 T2¿4¿6 ^7н! г]; в7н) = (Ci + C3 + C5 + C7 )[¿2¿4¿6 ^77Н) ]; т71) = (¿2 + ¿4 + ¿6 )/[¿2¿4¿6 ^7Н) ^], в7н! = А ¿¿-¿б ¿7н) r] , т7о)=i/[¿2¿4¿6 ^7н! г ], где ц7н) = (CiC2 + C C3 + C2C3 )[(C4 + C5 + C7) + CC ] + (Ci + C2 )C4 (C5C6 + C5C7 + СС7).
(верхний индекс н указывает на принадлежность параметров ФНЧ).
Входящие в приведенные соотношения коэффициенты для ФНЧ порядков п = 3, 5, 7, 9 пред-
Окончание табл. 1
Коэффициенты
( ) !( \ 2222 222222222222 К9н = КуС2С4СбС8 / №г ]; а96 = юр 2 + юр 4 + юрб + юр8; а94 = юр2юр 4 + юр 2юрб + юр 2юр8 + юр 4юрб + юр 4юр8 + юрбюр8;
а92 = юр2юр4юрб + юр2юр4юр8 + юр2юрбюр8 + юр4ю2бюр8; а90 = юр2юр4юр6юр8;
Рн8 = {(С\С2 + СО + С2С3 )С4 (С6 + С7 + С8) + [СС + (С + С2 )( + С4 у]^ +(С5 + С6 )(С7 + С8 )]^(цн я);
= {(С2 + С3 + С4 )С6 (С7С8 + С7С 9 +ОА )+[(С2 + С3)( + С5)+ С4С5 ][( + С7 )(С8 + С9)+ С8С9 ]^(цн г);
в9н) ={ь2 ( + С!С3 + С2С3) ю-4 [¿6 ( + С7 + С9)+ ¿8 (( + С9)]+ Ь2Ь4 [С!С2 + (0 + С2 )(С3 + С4 )]х х [¿б (С5С6 + С5С7 + С5С9 + С6С7 + С6С9) +18 (С5С8 + С5С9 + С7С8 + С7С9 + С8С9)] + + [12 (С1С2 + С1С3 + С1С5 + С2С3 + С2С5)+ ¿4 (С1С4 + С1С 5 +С3С4 + С3С5 + С4С5)] 1618 х
х [(С6 + С7 )(С8 + С9) + ОА ]+[12 (С + С2)+14 (С! + С3 + С4)] юр6 ¿8 (С7С8 + С7С9 + сс ^Каь мн); Тэт ={( + С3) С4 (С6 + С7 + С8) + (С2 + С3 + С4) [С5 (С6 + С7 + С8) + С6 (С7 + С8) ]}/(цн гЯ);
р9н] ={¿214 ( + С1С3 + С2С3) [(¿6 +1) (С4 + С5) + ю^+1« (С7 + С8) ]+1 ю-2 (С + С2 ) х[16 (С5 + С6) +
+ ¿8 (С5 + С7 + С8 )] + [!, (С1 + С2) + ¿4 (О + С3 + С 4)] «-6 ¿8 (С7 + С8) + [¿2 (С1С2 + СО3 + С1С5 + С2С3 + С2С5) + +¿4 (СО + С1С5 + С3С4 + С3С5 + С4С5)] ¿л (С6 + С7 + с8 ^/((л мн я) ; т9н] ={¿2 (С2 + С3) ю-2 [¿6 (С6 + С7 + С9) + ¿8 (С8 + С9) ]+ Ь2Ь4 (С2 + С3 + С4) [¿6 (С5С6 + С5С7 + С5С9 + С6С7 + С6С9) + + ¿8 (С5С8 + С5С9 + С7О + С7С9 + С8С9)] + [¿2 (С2 + С3 + С5) + ¿4 (С4 + С5}]ю-2¿8 (С8 + С9) + + [¿2 (С2 + С3) + ю-4 +(¿2 + ¿4)(С5 + С6)]Ь! (С7С8 + С7С9 + С8С9^/[^Ь^! м9н) Г]; р95 ={Ь2Ь4 [(С1С2 + СС3 + С2С3) (С4 + С5 + С7 + С9)+(С + С2) С4 (С5 + С7 + С9) ] +¿2 (С + О х
х[ю-26 (С7 + С9) + ¿8 (С7С8 + С7С9 + С8С9) ] + [(cOр22 + ю-4 ) О + С3 + С5) + ¿20 (С3 + С5) + ¿4 (С1 + С3) С5 ]х х[Ьб (С6 + С7 + С9) + ¿8 ( + С9)]+ ¿4 (С1 + С3 + С4)[ю^ (С7 + С9) + ¿8 (С7С8 + С7С9 + С8С9)] + +ЬбЬ8 [(с1 + С3 + С5) (С6 + С7) (с8 + С9)+С6С7 (с8 + С9) +(С + С3 + С5 + С6) С8С9 мн);
У™ = {¿2 (С2 + С3)ю-4 {¿6 + Ю + (С2 + С3 + С4)[¿6 (С5 + С6) + ¿8 (С5 + С7 + С8 ) ] +
+ (¿2 + ) ю-26 ¿8 (С7 + С8) + [¿2 (С2 + С3 + С5) + ¿4 (С4 + С5 ) ] ЬбЬ8 (С6 + С7 + С8 )^(Ь2l4l6Ьi Мн Я;
Р94 = {о ю-2 (¿4 + ¿б + ¿8 ) + ¿2 (( + С2)[¿4 (С3 + С4) + ¿б (С3 + С5 + Сб) + ¿8 (С3 + С5 + С7 + С8 )] +
+ ¿¿б [(С1 + С3) (С4 + С5 + Сб) + С4 (С5 + Сб) ]+ ^^ [(С1 + С3) С4 +(С1 + С3 + С4) (С5 + С7 + С8) ] + +¿б ¿8 [(( + С3 + С5) (Сб + С7 + с8)+Сб (С7 + С8) ]}/(¿2 ^¿¿¿бИ мн я) ;
={ы [(С2 + С3)С4 +(С2 + С3 + С4)(С5 + С7 + С9)] + (¿2 + ¿4)ю-6 (С7 + С9) +[¿2 (С2 + С3 + С5) + ¿4 (С4 + С5)]х х ¿б (Сб + С7 + С9) +[Ь 2 (С2 + С3 + С5 + С7) + ¿4 (С4 + С5 + С7) + ¿б (Сб + С7) ] ( + С9) +
+ (¿2 + ¿4 + ¿б ) 8 С9 }/(Ь2Ь4ЬбЬ8 г); Р^ ={¿2 [С О +(( + С2) (С3 + С5 + С7 + С9) ]+ ¿4 [(С1 + С3) С4 +(С1 + С3 + С4) (С5 + С7 + С9) ] +
+¿б [( + С3 + С5) (Сб + С7 + С9)+Сб (С7 + С9) ]+¿8 [(С1 + С3 + С5 + С7) (С8 + С9) + С8С9 мн);
Уй = {¿^^ (С2 + С3 + С4) +(¿2 + ¿4 + ¿8 ) ю-6 +(¿2 + ¿4 + ¿б) ¿8 (С7 + С8) +
+ [¿2 ( + С3 + С5) + ¿4 (С4 + С5) ](( + ¿8 )}/(Ь2Ь4Ь6Ь8 мн гя) ; Р92 =[¿2 (( + С2) + ¿4 (С1 + С3 + С4) + ¿6 (С1 + С3 + С5 + Сб) + ¿8 (С1 + С3 + С5 + С7 + С8) ]|{ь1UЬбЬ« мн я) ; т9н] =[¿2 (( + С3 + С5 + С7 + С9) + ¿4 (С4 + С5 + С7 + С9) + ¿6 (Сб + С7 + С9) + ¿8 ( + С9) ^(^¿Ц мн г);
р91 = (С1 + С3 + С5 + С7 + C9)/(ь2Ь4ЬбЬi мн); т91 = (¿2 + ¿4 + ¿6 + ¿8)/(ь2Ь4ЬбЬ8 мн гя) ; р91 = (О + С3 + С5 + С7 + C9)/(ь2Ь4Ьбl« мн) ; т9о = 1 (ыы мн г),
где м9н) =[С1С2 +(С1 + С2) (С3 + С4) ] Сб (С7С8 + С7С9 + С8С9) + [(С 1С2 + СО3 + С2С3) (С4 + С5) + (С1 + С2) С4С5 ]х х [(Сб + С7)(С8 + С9) + С8С9]
и
9
Представим реализуемую ПФ ФНЧ п-го порядка как отношение произведения двучленов и многочлена степени п:
Я,
п НЧ
(н ) =
К ( + сц )( + с2 )
5н + с(п-1)/2
4 + ьп-1*н 1 + •••+^н + Ъ0
где коэффициенты К, с, Ъ - вещественные положительные числа.
В зависимости от значений коэффициентов рассматриваемые фильтры являются инверсными фильтрами нижних частот (ИФНЧ) или квазиэллиптическими фильтрами нижних частот (КФНЧ). ИФНЧ характеризуется минимальным затуханием в ПЗ 8, КФНЧ - неравномерностью АЧХ в полосе пропускания (ПП) 8 и минимальным затуханием в ПЗ 8.
При расчете ПФ с полюсами затухания возможен синтез АЧХ по заданному значению частоты подавления помехи в ПЗ. Таких значений может быть выбрано одно для ИФНЧ и 2 для КФНЧ (при п > 3). При этом параметрами, подлежащими определению, являются 8 для ИФНЧ, 8 и 8 для КФНЧ. В [6] приведены системы уравнений для определения параметров реализуемой АЧХ фильтров при нечетном п:
(4)
К
Я,
п НЧ
(юн ) = "
(п-1)/2
П ((-ч)
I=1
\feri + д2
(5)
н2
где
„п-23 •
п1-23
(п-1)/2 . Дн1 = ®н + X (-1)/ Ъп-2/ ®н
3=1
(п-1У2 .
Дн2 = X (-1)3 Ъп-1-2/
3=0
Для расчета параметров ФНЧ приравняем коэффициенты при одинаковых степенях переменной 5н
в выражениях Япфнч (5н ) (3) и ЯпНЧ (5н) (4). Число составленных уравнений равно (3п +1)/ 2, а число неизвестных параметров ФНЧ с полюсами затухания (3п + 5)/2, поэтому 2 параметра задаются произвольно. В общем случае система уравнений имеет несколько решений с положительными значениями неизвестных, из которых к реализации должно быть принято одно решение.
Рассматривая схему, приведенную на рис. 1, со стороны входных зажимов как двухполюсник, обратимся к ее входному комплексному сопротивлению 2 (5). Схема двухполюсника реализуема, если все нули и полюсы функции 2(5) находятся в левой полуплоскости переменной р [7]. Перейдем в выражениях для Яп фнч (5н) к ненормированной переменной 5, умножив числитель и знаменатель рациональной дроби на шп . После выполнения сокращений найдем, что знаменатель ПФ Яп фнч (5) и числитель функции 2п фнч (5) совпадают, а следовательно, совпадают полюсы и нули этих функций соответственно. Представим знаменатель функции Яп фнч (5н ) в виде произведения сомножителей:
(н - Рн 0 ) (н - Рн1) (н - Рн 2 ) (н - Рн 3 ) X * (н - Рн4 ) - • [5н - Рн(п-2) ] [5н - Рн(п-1) ], (6)
где Рн0 = -стн0 , Рн1 = -стн1 +3 ЮнЬ Рн2 = -стн2 + +3 юн 2, — - корни знаменателя. Как показано в [6], коэффициенты Ъп-1, Ъп-2, • ••, Ъ0 знаменателя ПФ выбираются такими, чтобы указанные корни лежали в левой полуплоскости переменной
Рн. После умножения на ю[? выражение (6) принимает вид
(5 -Рн0 юс)(5 -Рн1 юс)х х( - Рн2 юс)( -Рн3 юс)( -Рн4 юс)••• -|> - Рн(п-2) юс ] - Рн(п-1) юс ]. (7)
Выражение (7) представляет собой разложение на сомножители числителя функции 2п фнч ( 5 ),
причем Рн0 юс, Рн1 юс, Рн(п-1) юс - к°р™ (нули) числителя, лежащие в левой полуплоскости комплексной переменной Р. Таким образом, проверке подлежат только полюсы функции 2п фнч (5).
Из совпадения выражений знаменателя ПФ Яп фнч (5) и числителя функции 2п фнч (5) следует также равенство нулей 2п фнч (5) для всех найденных решений системы уравнений.
Если условия реализуемости схемы выполняются, все решения системы уравнений являются истинными. Однако расположение корней уравнений числителя и знаменателя функции 2(5) в левой полуплоскости комплексной переменной является необходимым, но не достаточным условием для принятия к реализации того или иного решения системы.
Я / \
ная сумма средних значений функций 1п фнч г (X /) для определенного набора элементов %.:
sЯ =
п ФНЧ г (1+А) %/г юпз
- I | [Яп ФНЧ (ю, X3 )-41 (1-А) X.г 0
Яп ФНЧ (ю X /г )]2 4 ю 4 X 3 }) . (10)
Исследуем зависимость амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик синтезируемого фильтра от изменения ряда параметров. В качестве меры отклонения реальной АЧХ Яп фнч (ю, X/)
от синтезируемой АЧХ Яп фнч (ю, X) при отклонении параметра X. от расчетного для г-го решения значения X на величину 5% /г примем значение определенного интеграла на отрезке [0, юпз ] квадрата разности функций Яп фнч (ю, X/) и
Яп ФНЧ ( X/г):
»ПЗ
П [ H
0
Значение интеграла (8) зависит от длины отрезка оси частот, задающего верхний предел интегрирования. Выбор частоты юпз правее крайнего полюса затухания в ПЗ позволяет учесть характер искажений в большей части области реализации АЧХ.
Устойчивость АЧХ по параметру X/ определим как величину, обратную среднему значению Я / \
функции 1п фнч , (X/) в области изменения параметра (1 + Д) X/г:
n ФНЧ
s
<x I) -
1
(1+А)Х,
ТИ
In ФНЧ i
2А J »(x j )d x j
2А Xji (1-А)%ji
ТпФНЧi (xj) в (8) выражается в рад/с,
•пфнчi ы в (9) - в (ад/с) 1-
Подставив в (9) подынтегральную функцию (8), найдем окончательно:
H
1
n ФНЧ,
(1+А)Х. »ПЗ 2А | ( \Hn ФНЧ ( X j )-
2АXJ (1-А)Xj 0 \
- H
n ФНЧ
2 )-1 (» X ji) d » d X j | .
Комплексной оценкой устойчивости АЧХ к изменению параметров фильтра может служить обрат-
I
j
2А X.
Tn ФНЧ i (xj )
2
nФНЧ (» Xj)-HnФНЧ ( Xji)] d». (8)
(9)
Для оценки устойчивости фазочастотной характеристики (ФЧХ)
Фп ФНЧ (» - arg Hn ФНЧ (s) к изменениям параметров фильтра введем функцию
ТфФНЧ i (X j ) -»10 2
- J \ФпФНЧ (» X j )-ФпФНЧ (» X ji)] d » 0
где »10 - первая частота максимального подавления помехи; Фп фнч ( X j )- arg Hn ФНЧ (• Xj ) - ФЧХ как функция параметра X .;
Фп ФНЧ (» X ji) - arg Hn ФНЧ ( X ji)
- ФЧХ при значении параметра фильтра X j для i-го решения.
Для уменьшения объема вычислений при интегрировании следует исключить области, где
функции фп фнч [», (1 ^А^ji J претерпевают скачки на п радиан. Границы областей определяются из уравнений
Фп ФНЧ (1 ± А) Xji ] - -kV2, k - 1,3,... .
Устойчивость ФЧХ в ПП фильтра определим по аналогии с (10) как обратную сумму средних
значений функций Тффнч i (x j) в тех же областях изменения того же ряда параметров:
СФ -n ФНЧ
I
J
(l+А)X ji » (
2Аx.. i 1\фпФНЧ xj)-2А Xji (1-А) Xji 0
ФпФНЧ (» Xji) d»dXj}) . (11)
Из соотношений (10) и (11) следует, что вели-
чины S'
H
n ФНЧ , -1
и ЗТфНЧ,
выражаются в (рад/с) 1
и (рад3/с) соответственно.
Пример. Рассчитаем ИФНЧ третьего порядка (рис. 2) с частотой среза юс = 105 рад/с и частотой максимального подавления помехи в ПЗ «10 = 2.4 «с (®и10 = 2.4).
0—
Uв
0-
r
¿2
C2 C-.
Ку
-0
I
-0
Рис. 2
Неизвестными параметрами АЧХ H3 (Юд) являются: коэффициенты К, ¿2, ¿i, bo; нормированные абсцисса локального максимума в ПЗ ®н1тах и граница > 1 отрезка частотной оси,
где АЧХ спадает до уровня H3 (Юн1тах ); абсцисса отрезка dK < 1, определяемая из условия H3 (dK ) = 1 - H3 (гн ), а также минимальное затухание в ПЗ 5 = -20lg H3 (юн1тах ). В соответствии _ _2
с (5) коэффициент й = Юню = 5.76. Система восьми уравнений для определения параметров АЧХ имеет вид [6]
(K/b0) й = 1;_
H3 (dn ) = 1 - H3 (Гн);
Hj (1) = 1/V2; _
H3 (н1тах)= H3 ('и); dH3 (Юн1тах )d Юн1тах = 0;
Vй! = k1r0 гн;
®н1тах = k1r тах гн; 5 = -20lg H3 (Юн1тах ),
где
H3(®н)=КЙ-«У ¿1 ®н) +(b2®н-b0) ;
k1r = 1.1547005384; k1ri
= 2.
Решение системы уравнений с положительными коэффициентами полинома знаменателя:
5 = 29.454 дБ; К = 0.210084; b2 = 2.070831;
b1 = 2.122103; b0 = 1.210084; гн = 2.078461;
= 0.667424; йн1тах = 4.156922.
Нормированная ширина переходной области АЧХ гн - ^ = 1.411037.
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях переменной 5н в выражениях Нзфнч (^н) и Н3 нч (5н), получим систему пяти уравнений для определения семи неизвестных параметров фильтра (г, С\, ¿2, С2, С3, Я, Ку):
®с ¿2С2 = V а1;
(Ci + С 2 )r + (C2 + С3 )R
Юс (C1C2 + C1C3 + C2C3 )rR (Ci + С3 )rR + ¿2
®c ¿2 (C1C2 + C1C3 + C2C3)rR r + R
= ¿1;
(12)
3
Юс
¿2 (( + C1C3 + C2C3 )rR
KуC 2
Ю
( + С1С3 + С2С3Г)
= К.
Система (12) является общей для расчета параметров ИФНЧ и КФНЧ. Примем для ИФНЧ С1 = 100 нФ, С2 = 10 нФ. При заданных начальных условиях система уравнений (12)) имеет три решения (/ = 1, 2, 3) с положительными значениями неизвестных:
1. ¿2 = 1.736 мГн, С3 = 79.5 нФ, г = 87.7 Ом, Я = 110.3 Ом, Ку = 1.79.
2. ¿2 = 1.736 мГн, С3 = 77.1 нФ, г = 100.6 Ом, Я = 100.3 Ом, Ку = 2.
3. ¿2 = 1.736 мГн, С3 = 25.4 нФ, г = 820.1 Ом, Я = 148.3 Ом, Ку = 6.53.
Входное комплексное сопротивление схемы (рис. 2) определяется следующим образом:
23ФНЧ (5) = г (язфнч/-°3ФНЧ); где
Я = 53 , (С1 + С2)г + (С2 + С3)Я 2 +
"3ФНЧ = 5 +-,-т-5 +
3ФНЧ (С 1С2 + С1С3 + С2С3 )гЯ | (С1 + Сз )гЯ + ¿2
¿2 (C1C2 + C1C3 + C2C3)rR
_r+_R_
+ ¿2 (C1C2 + C1C3 + C2C3 )rR:
5 +
ДЗФНЧ = 5 +
Ci + Co
(C1C2 + C1C3 + C2C3 )R
52 +
R
С + Cз
5 +
L2 (( + С1С3 + С2С3 ) _1_
Нули функции 23ФН4 (5) для всех указанных решений одинаковы и составляют
Р0 =-114045.8, р2,3 =-46518.7 ± /91905.0.
Полюсы для этих решений имеют значения:
1) Р* =-65397.1, Р2,3 =-18472.0 ± /88618.7;
2) Р* =-77655.7, Р2,3 =-19031.6 ± /86260.0;
3) р* =-107160.4, р2,3 =-44272.8 ± /87195.4. В качестве примера на рис. 3 представлены зави-
симости I
Я
3ФНЧ,-
(С1), 13ФНЧ, (С2 ), 13ФНЧ, С)
Я ( \ 5
^3ФНЧ- Я ' для юпз = 3 • 10 при изменении параметров X / в пределах X/ ± 0.1х /г.
Влияние на АЧХ ИФНЧ отклонения емкостей С1, С2, С3, индуктивности L2 и резисторов г, Я от расчетных значений на величину ±Д/ = ± 0.1Х//
оценим с помощью характеристик устойчивости,
—Я —Я
имеющих значения: ^ фнч = 0.0031; Б. -
3ФНЧ
■2
= 0.0029; БЯ
3 ФНЧ
= 0.0017 (единицы измерения
характеристик опущены).
ФЧХ ФНЧ третьего порядка имеет вид Ф3ФНЧ (ю) = аг^ [ ^3ФНЧ (ю V ^3ФНЧ (ю)],
где
Ж3ФНЧ (ю) = [(С1 + С3)гЯ + L2 ] ю --[L2 (( + С1С3 + С2С3)гЯ]ю3;
^3ФНЧ (ю) = = ¿2 [(( + С2)г + (2 + С3)Я]ю2-(г + Я).
Интегралы квадрата разности функций Ф3 ФНЧ (ю, X/ ) и Ф3ФНЧ (ю, X/I) на отрезке [0,2.4 юс ] записываются как
73фнч г (x/ ) =
ю1
I [Ф3ФНЧ (ю, X/) - Ф3ФНЧ (ю,X/I)] 4 ю + 0
4 юс
I [Ф3ФНЧ (ю, X/)-Ф3ФНЧ (юX/I)] 4ю
0
2.4 ю,
где ю1 и ю2 - решения уравнений
Ф3ФНЧ [ю1,2, (1 ± 0.1) X/I ] = - п/2.
Устойчивость ФЧХ для трех решений системы уравнений при изменении параметров в областях
X/i ± 0.1 X/ рассчитана по (11): 5г3ФфНЧ = 0.0012; Б3ФНЧ2 = 0 0012 и Б3ФФНЧ3 = 0 0011
тЯ
300 200 100 0
I
Я
\
_ \ 13ФНЧ3 \
/
I
3ФНЧ2 ^
/
/
Лн
у 13ФНЧ1
ч.
90
100
С1, нФ
1н
т3ФНЧi
15 10 5 0
-25 нФ
I I
Я
3ФНЧ3
тЯ
'3ФНЧ2 Я
I
3ФНЧ
20
54
С3, нФ
I
Я
3ФНЧ,-28 21 14 7 0
300 200 100 0
3ФНЧ3
3ФНЧ2
10
1-148 Ом-
С2, нФ /
90
130
Я, Ом
Рис. 3
2
9
I
—Н
Наиболее различаются величины ^зфнч .
С учетом того, что номиналы четырех из шести элементов С1, С2, г и Я во втором решении соответствуют рядам предпочтительных значений для резисторов и конденсаторов Е24, Е12, Е6 и не требуют корректировки, принимаем к реализации второе решение. После перехода к ряду Е24 имеем номиналы элементов: С = 100 нФ, ^ = 10 нФ, ¿2 = = 1.736 мГн, С3 = 75 нФ, г = 100 Ом, Я = 100 Ом. Коэффициент усиления усилителя Ку = 2.
При ином наборе элементов схема на рис. 2, реализует КФНЧ. Учитывая возможность выбора для КФНЧ двух параметров, положим при частоте максимального подавления помехи шю = 2.4 шс минимальное затухание в ПЗ 5 = 35 дБ. При тех же начальных условиях число решений системы уравнений (12) г = 2:
1. Ь2 = 1.736 мГн, С3 = 118.3 нФ,
г = 123.3 Ом, Я = 146.8 Ом, Ку = 1.86.
2. Ь2 = 1.736 мГн, С3 = 122.0 нФ,
г = 144.5 Ом, Я = 118.4 Ом, Ку = 2.25.
Опустив промежуточные выкладки, приведем значения устойчивости АЧХ и ФЧХ КФНЧ для обо— н — Н их наборов элементов: ^фш = 00030, 5", -
3ФНЧ
2
= 0.0027 и 5= 3Р
3ФНЧ2
3ФНЧ^"3ФНЧ2 =0 0011 Прини-
маем к исполнению первое решение; окончательные параметры КФНЧ: С1 = 100 нФ, С2 = 10 нФ, Ь2 = 1.736 мГн, С3 = 120 нФ, г = 120 Ом, Я = 150 Ом, Ку = 1.82. Неравномерность АЧХ КФНЧ в ПП 5 = 0.2 дБ.
Из сравнения зависимостей Н зфнч (ю) и
Н 3ФНЧ (ю) (рис. 4) следует, что предпочтительной является реализация КФНЧ.
Фильтры верхних частот. При использовании в поперечных ветвях схемы (рис. 1) индуктив-ностей ¿к (к = 1,3,..., п) а в продольных ветвях -параллельных колебательных контуров с элементами Ьт, Ст (т = 2,4,..., п -1) образуется
фильтр верхних частот (ФВЧ) п-го порядка с полюсами затухания в ПЗ. Сопротивления поперечных и продольных ветвей ФВЧ определяются как
2 к = 5Ьк и 2т = 5Ьт/(5 2 ¿тСт +1) соответ-
3
Рис. 4
ю-10 рад/с
ственно. Подставив 2к и 2т в (1), (2), запишем ПФ НпФВЧ (5н), АЧХ НпФВЧ (ю) и входное сопротивление 2п фвч (5) ФВЧ п-го порядка:
Нп ФВЧ (5н ) =
Ку Я г + я'
(п-1)/2
5н 1 + Е ю-2г ап(п-1-2г) 5н г=1
п -1-2г
5п + Е ш"' В(в) + У(в)
н ^ с п(п-г) п(п -г) г=1
Нп ФВЧ (ю) =
Ку Я
г + Я
ш
(п-1)/2
«п 1 + Е (-1)г ап(п-1-2г)
г =1
п-1-21
ш
Д
(в)
Д
(в)
2пФВЧ (5) = (г + Я)-
5п+ЁР(!() ■ ^у(( ■ )
п(п-г) п(п-г)
г=1
5п + г+ЯЕрЫ ) 5п-г г ¿-1 п(п-г) г=1
где коэффициенты ап/, (З^п/ ), Уп ) - функции параметров фильтра;
( . (п-1 У2
дв> = шп + е (-1)г
г=1
(в) + „(в)
п(п-2г) п(п-2г)
„п-2г.
ш .
( > ("-1^2 г ( 1 ( 1
4в)= Е (-'>Ш-1-м+т(;:,-1-м
г=0
ш
п-1-2г
(верхний индекс "в" указывает на принадлежность коэффициентов ФВЧ).
Выражения для коэффициентов ФВЧ порядков п = 3, 5, 7, 9 приведены в табл. 2.
Получим аналитическое выражение реализуемой ПФ ФВЧ Нп вч (5н ), применив преобразование 5н ^ 1/5н [5] к ПФ фильтра-прототипа нижних частот Н нч (5н). Выполнив преобра-
0
Таблица 2
п Коэффициенты
2 а30 - «р2;
Р32 -(( + ¿3)гЯ/[77( + я); т3в2 -У[с2(г+Я);
3 Р31 -(7 + ¿2)г/[¿1^3в)]; т3в1) -(¿2 + Тз))/[Тз^3в)]; Р30 -(7 + ¿2 + Те))[Т-Тз^Зв)]; $ -0, где ^в) - юр2 (г + Я)
п - 5
а52 - юр2 + юр4; а50 - ®р2®р4;
Р(5в4)-(77 + ¿-¿5 + ЬзЬ5)гЯ/[7775(г+ Я); -(С2 + С^/[С2С4(г + Я);
Р(53 - [«р2(¿-¿3 + ¿¿4 + ¿¿4) + «И(¿1 + ¿2)]г/[ьфз^];
Уя -[«р2¿в(¿4 + ¿5) + «р4(77 + 77 + 77)]ЯД77^в)];
5 Рй - {«р2[(¿1 + ¿3)(( + ¿5) + 77] + [(¿1 + ¿2)(( + ¿5) + 77])гя/[¿¿7 ^в)]; Уя -((7 + ¿¿4 + ¿¿4)[7^в)]; Ря -[(¿1 + ¿2 )(( + ¿4 )+ ¿зТ4 ] >-/[¿¿3 ^в)]; У5В) - [¿¿3 +(¿2 + ¿3 )(( + ¿5 )]я/[77 ^; Р» - [(¿1 + ¿2)7 +(¿1 + ¿2 + ¿3)(( + ¿5)]Я[777 5 ^ Тб0) - 0, где ^5в) - Юр2Юр4 (г + Я)
п - 7
а74 - юр2 + юр4 + ®Рб; а72 - юр2юр4 + юр2юрб + юр4юрб; а70 - ю22юр4ю26;
Р7в6) -[(¿1 + ¿3)77 + (¿5 + Ц)]гЯ/[7777(г + Я]; у7б) -(С2С4 + С2С6 + С4С6)[С2С4Сб(г + Я)];
Р7в5) - {«р2«р4 [(¿1 + ¿3)776 + ¿¿3 (¿5 + ¿6))+ «р2«р6 (77 + 77 + ¿¿4)7 + «р4«р6 (¿1 + ¿2)77} г/[777 ^^;
т7в) - {«р2«р4 ¿¿5 (¿6 + ¿7 ) + «р2«р6 ¿3 (7475 + 77 + 77 ) +
+ «р^ [(¿2 + ¿3)77 + ¿¿3 (¿5 + ¿7)]}я/[777 ^7в)];
Р7в4-{®р22®р24 [(71+7 )7 (¿6 + ¿7 )+ ¿¿3 (¿5 + ¿6 + ¿7 )) + «р2«р6 [(7 + ¿3 )77 + (77 + 77 + ¿¿4 )(7 + ¿7 )] +
+ «р4«р6 [(¿1 + ¿2 + ¿3 )) +(¿1 + ¿2 )) (¿5 + ¿7 )]} гЯ/[¿¿¿57 ^в)];
Т7в4 -{юр2 ¿3 ^¿5 + ¿4¿6 + 77;)+ «р4 [(¿2 + ¿3)7576 + £27 (¿5 + ¿6)) + «р6 (77 + ¿¿4 + ¿¿4^/^Ц^];
Р7з - {«р2 [(¿1 + ¿3^¿6 +(¿173 + ¿¿4 + ¿¿4)(( + 76)) + «р24[(( + ¿2 + ¿3^¿6 +(¿1 + ¿2)) (¿5 + ¿6)] +
7 + «р66 [(¿4 + ¿2 )(( + ¿4 )+ ¿Л ] ¿5} г/[777^ ]; Т7вз - {«р2 ¿3[(7 + ¿5 ) )76 + ¿7 ) + ¿А ] + «р4 [7273 (¿5 + ¿6 + ¿7 ) + (¿2 + ¿3 )¿5 (¿6 + ¿7 )) + + «р66 [(( + ¿3 )77 +(727з + 7274 + ¿¿4 )(( + 7 7 ))} я/[777^в)]; Р7в2 -{«р2 [(7 + ¿3)75(¿6 + ¿7) +(7173 + 77 + 7з74)(75 + ¿6 + ¿7)] + «р4 [(( + ¿2)73(¿5 + ¿6 + ¿7) + (71 + ¿2 + ¿3)х X ¿5 (¿6 + )) + «р6 [(¿1 + + ¿з)7577 +(7173 + ¿А + 72L3 + 7274 + ¿Л)(7'5 + ¿7 )]}^^^^^^^^^^^^^^^ т7в2 -[(¿2 + ¿з)7576 +(727з + ¿¿4 + 7з74)(^5 + ¿6^7в)]; в7в1) - {(¿1 + ¿2)[(( + ¿4)(^5 + ¿6)+ 7576]+ 7з(¿5 + ¿¿6 + ¿¡¿6)}^[7l7з75^77в)]; т7в1) -[((2 + 7з)75(¿6 + ) + (727з + ¿274 + ¿¿4+ ¿6 + я/[7з7577^7в)]; Р7в0 -{(¿1 + ¿2 )[(7з + ¿4 )(^5 + ¿6 + ¿7 )+ ¿5 (¿6 + ¿7 )) + ¿3 [(¿4 + ¿5 )(( + ¿7 )+ ¿475 ]} гЯ/[717з7577 ^в)]; у70) - 0, где ^7в)- юр2юр4юр6 (г + Я)
Продолжение табл. 2
п Коэффициенты
9 а96 = «^2 + «М + юПб + «п8; а94 = «п2«п4 + ЮП2®26 + + «М«^ + «М«^ + юПб®28; а92 = «п2«п4«п6 + «п2«п4«п8 + «^«^«^ + «М«^«^; а90 = «^«^«^«^; Р98 = [(¿1 + ¿3) ЧЧЧ + ¿¿3 (¿¿7 + ¿¿9 + ¿пЧ)]^/[¿¿¿¿9 (г + Я]; У9В8) =[^2С4 (Сб + С8 ) + (С2 + С4 )СбС8 ]/[С2С4СбС8 (г + Я]; Рэт = {юп2юп4юпб [¿1(3 ((¿7 + ¿¿8 + ¿¿8 ) + (¿1 + ¿3 )Ь5Ь118 ] + «п2«п4«п2 [(( + ¿3 )(5(6 + ¿¿3 (¿5 + ¿б )]] + + «п2«п2«п2 ((¿3 + ¿¿4 + ¿¿4)Ь5Ь7 + «п4«пб«п2 (¿1 + ¿2)¿¿З4?}г ¡[¿¿¿¿П ^]^ Т97 = {«п2«п4«п6 ¿¿¿7 (¿8 + ¿9 ) + «п2«п4«п2 ¿3(5 ((¿7 + !б¿9 + Ь7Ч9 ) + «п2«пб«п2 ¿3 х х^ ((7 + ¿9) + ((4 + Ьъ)!^ ]+ Юп4юп2®п2 [(¿2 + ¿3 ) ¿ъЧ ¿9 + ЧЧ (¿зч + ЧЧ + ЧЧ )]} я/[чЧЧч ^ ]; Р9б = («П2«п4ЧЧЧ [(«пб + «п2КЧ + Ч) + «п2¿8] + «П2«п4 (ЧЧ + ЧЧ + ЧЧ) х х [«п2¿7(¿8 + Ч) + «п2(ЧЧ + ЧЧ + ЧЧ)] + [«п2(¿1 + ¿3) + «п4(¿1 + ¿2 + ¿3)]«пб«п2ЧЧЧ + + [«п2 (ЧЧ + ЧЧ + ЧЧ) + «п4 (¿1 + ¿2) ¿3 ] «пб«п2 (ЧЧ + L5L9 + ЧЧ )} [LlL3L5L7L9 ^ ]; г9б = |«п2«п4 [ЧЧ (ЧЧ + ЧЧ + ЧЧ) ] + «п2«пб [ЧЧЧ (¿7 + ¿8 ) + ¿3 (¿4 + ¿5 ) ЧЧ ] + + «п2«п8 ¿3 (ЧЧ + ЧЧ + ЧЧ)Ч + «п4«п6 [ЧЧЧ (¿7 + ¿8) + (ЧЧ + ЧЧ + ЧЧ) ЧЧ ] + + «п4«п8 [(Ч + Ч)ЧЧ + ЧЧ (Ч + ¿б)]¿7 + «пб«п2 (ЧЧ + ЧЧ + ЧЧ)ЧЧ}/[(3(5(7н9В)]; Р95 = {[(«п2 + «и2 ) (¿1 + ¿3 ) + ¿2 «п4 ]¿5ЧбЧЧ (С6 + С8 ) + «п2«п4 [ЧЧЧ5 (¿7 + ¿8 ) + (¿¿3 + ¿¿5 + ¿¿5 ) х х (¿6¿7 + ¿б7« + ¿7¿8)]+ «п2 ((¿3 + ¿¿4 + ¿¿4)[«пб (¿7 + ¿ъЧ + ЧЧ)+ «п8 (¿5 + ¿6)Ч] + (( + Ч)¿3 «п4 х х [«пб (¿зЧ + ¿зЧ + ЧЧ ) + (( + ¿6 )Ч «п2 ] + «пб«п2 [(¿1 + ¿2 )(( + ¿4 )+ ¿¿4 ] ¿зЧ} г/[ЧЧ!зЧ 4В)]; Т9В) ={«п2«п4 ¿¿5 [¿бЧ +(¿6 + ¿7 )(( + ¿9 )] + «п2«пб ¿3 [¿4Ч5 (¿7 + ¿8 + ¿9 ) + (Ч4 + ¿5 )Ч (¿8 + ¿9 )] + + «п2«п2 ¿3 [(¿4 + ¿5 )Ч¿9 + (¿4Ч5 + ¿4Ч6 + ¿5Ч6)(Ч + ¿9)] + ЧЧ «п4 ¿5 |^(«п6 + «п2)(Ч + ¿9 ) + «пб¿8] + + ((¿3 + ¿¿5 + ¿¿5 ) «п4 [«пб ¿7 (¿8 + ¿9 ) + «п2 (¿7 + ¿бЧ + ¿¿9 )] + + «пб«п2 [(¿2 + ¿3 )ЧзЧЧ +(Ч2(3 + ¿¿4 + ¿3Ч4 )(Ч5Ч7 + ¿З^ + Ч 7 ¿9 )]} я/[(3(5(7(9 ^9В)]; Р9В4 = {«п2«п4 [¿[¿3Ч5 (¿7 + ¿8 + ¿9) + (¿[¿3 + ¿[¿5 + ¿¿5)(Ч6Ч7 + ¿6Ч8 + ¿«¿9 + ¿л! + ¿¿9)] + + [(«п2 + «п4)((1 + ¿3)+ ¿2 «п4]¿5 «пб¿7 (¿8 + ¿9) + + «п2«п2 [(¿1 + ¿3)(5 (¿«¿л + ¿6Ч9 + ¿7(9) + ((¿3 + ¿1(4 + ¿3(4)(Ч5Ч7 + ¿5(9 + ¿«¿П + ¿6(9 + ¿П7^)] + + [«п2 ((¿3 + ¿1(4 + ¿¿4 ) + «п4 (¿1 + ¿2 )Ч ] «пб [¿5(7 +(¿5 + ¿7 )((« + ¿9 )] + + «п4«п2 [(¿1 + ¿2)Ч(5 (¿7 + ¿9) + ((¿3 + ¿¿5 + ¿¿3 + ¿¿5 + ¿¿5)(Ч6Ч7 + ¿бЧ + ¿¿9)] + + «п6«п8 [(¿1 + ¿2 + ¿3)!5(7(9 +(!1!3 + ¿1(4 + ¿2(3 + ¿2(4 + ¿3(4)(Ч + ¿5(9 + ¿7(9)]}^/[¿¿¿¿¿Д10]^ Т9В4 = {[¿2(3(4 (С2 + С4 )(( + ¿8 ) + (!2 + ¿3 )!б!7!8 (Сб + С8 )] ¿5 +[«п2 ¿3 (¿4 + ¿5 ) + «4 (¿2(3 + ! 2(5 + ^^ ] х (¿«¿7 + ¿«¿8 + ¿7¿8)+(!2!3 + ¿¿4 + ¿¿4)[«пб(¿5Ч7 + ¿зЧ* + ¿пЧ) + «п8 (¿5 + ¿6)Ч7^[¿¡¿З^^ ]; р93 = {(¿1 + ¿2 + ¿3)!5!б(7Ч! (Сб + С )+ «п2 [(¿1 + ¿3)Ч (¿7 + ¿«¿8 + ¿П^!)+(¿1(3 + ¿1(4 + ¿3(4)х х (¿5!7 + ¿з4! + ¿«¿п + ¿б7* + ¿¿8)] + «¿1 [(¿1 + ¿2)ЧЧ5 (¿7 + ¿8)+((¿3 + ¿2Ч3 + ¿1Ч5 + !2¿5 + ¿3Ч5)х х (¿«¿7 + ¿«¿8 + ¿7(8)] + [(( + ¿2)(( + ¿4)+ ¿3(4][«пб (¿5(7 + ¿5(8 + ¿7¿8)+ «п« (¿5 + ¿6)ЧГ/[¿¿¿¿7 ц9в)^; У93 ={¿¿4 (С2 + С4 )(3(5 ((7 + ¿8 + ¿9 ) + [«п2 ¿3 (¿4 + ¿5 ) + «„4 ((¡¿в + ¿2Ч5 + ¿¿5 )][(«!7 +(¿6 + Ь7)(( + ¿9 )] + + «пб [(Ч2 + ¿3 )!5!7 (¿8 + ¿¿9 ) + (3 + ¿2(4 + ¿3Ч4 )(Ч5Ч7 + ¿З7« + ¿5Ч9 + ¿¿8 + ¿7Ч9)] + + «Р8 [(¿2 + ¿3 )(5 ((«¿П + ¿«¿9 + ¿¿9 ) + (!2!3 + ¿2(4 + ¿¿4 )(!5!7 + ¿З4? + ¿¿7 + ¿«¿9 + ¿¿9)]}[¿3!б!7Ч9
Окончание табл. 2
n Коэффициенты
9 Р92 ={Юп| (1+7 )L [l6 (7 + ¿8 + L )+ L ( + L )]+[Юп2 (LL + LL4 + LL4 ML + L )L Ю- ]](L + L6 )х х ((7 + L + L) + L (( + L)] + ((-1 + L + L)юп4L5 [LL +(l6 + L)(( + L)]+(( + l2 + L)l5 х х [юп6 L ((i + L )+Ю-2 ((L + L6L9 + L7L9 )]+[(( + L )(( + L4 ) + L3L4 ] Юп6 [l5 ((7 + Li + L9 ) + + L7 ((8 + L )] + [(( + L )(( + L4 )+ L3L4 ] Ю-2 [(L5 + L6 )(( + L9 )+ L7L9 ]} rR^ [ LL3L5L7L9 ^в)] ; Уй ={[(( + L3)L5L6 + ((L3 + L2L4 + L3L4)((L5 + L6)](( + L) + [L2L3 + (( + L3)( + L5))L7L8^/[!3^7 ^; = {[(( + L + L3 )L5L6 + (LL + L1L4 + L2L3 + 7L4 + L3L4 )(( + L6 )](( + L ) + + [(( + L )(( + L4 + L5 )+ L3 (L4 + L5 )] 77} r/[L1L3L5L7 ^в)] ; т9в1) = {[(( + L3 )L5L6 + ((L + LL4 + L3L4 )(( + L6 )](( + L + L9 ) + + [L2 (L3 + L4 + L5 )+ L3 (L4 + L5 )] L7 ((8 + L 9 )} r/^L^ ^в)] ; в9в0) ={(L1+L2 + L3 )) (Ly + L + L9 ) + [(L1 + L )(( + L4 )+ L3L4 ](L5 + L6 )(( + Lg + L9 ) + + [(L1 + L )(( + L4 + L5 )+ L3 (L4 + L5 L7 ((8 + L9 )} r^/[L1L3L5L7L9 ^9в)] ; т9в0)= 0, где ^9в) = Юп2Юп4Юп2Юп2 (r + R)
зование частоты в (4) при нечетном n, перейдем к ПФ ФВЧ с полюсами затухания:
H
n ВЧ
(н ) =
Ka1a2 ••• a(n-!)/2
Г 2 1 1 Г 2 1 1 Г 2 1 ]
snl sn + — l sn + — !••• sn +
1 a1 ) 1 a2 ) L a(n-1)/2 ]
sn + sn-i + „. + bn-L s +_ Ь0
(13)
Система уравнений, составленная для определения параметров ФВЧ, также может иметь несколько решений, анализ которых с использованием коэффициентов аиг-, Рш ^, Тш^ подобен
выполненному ранее для ФНЧ с поправками на вид АЧХ и ФЧХ. Так, при вычислении определенного интеграла квадрата разности функций реальной и синтезируемой АЧХ на отрезке [0, Юли ] верхний предел интегрирования определяется произвольно выбранным значением частоты юпп в полосе пропускания. При оценке же устойчивости ФЧХ к изменениям параметров фильтра нижний предел интегрирования выбирается равным частоте среза ФВЧ.
Пример. Рассчитаем КФВЧ пятого порядка с нормированными частотами максимального подавления помехи в ИЗ йню = 0.4, Юн20 = 0.65. Соответствующие частоты КФНЧ-прототипа с нулевыми значениями АЧХ составляют 1/ Юн 20 = = 1.538462 и 1/ Юню = 2.5. Двойной знак над бук-
вой указывает на принадлежность символа к квазиэллиптическому фильтру. На основании (5) найдем
коэффициенты щ числителя функции H5 нч (юн ) :
Щ = 1.5384622 = 2.366864; Щ2 = 2.52 = 6.25. АЧХ КФНЧ равномерно приближает на отрезке [о, dK ] единичное значение в ПП и имеет равномерные пульсации на бесконечном полуинтервале ,œ) в ПЗ. Система 16 уравнений для
определения неизвестных параметров модуля ПФ КФНЧ имеет вид [6]:
20lg [КЩ a2/(2b0 - КЩ Щ )] = 8;
H5 НЧ (Юнi ) = 2 - Кщ1 щ2 /Ьо, i = 2, 4; H5НЧ (Юнi) = Кщ1 «2/b0 , i = 3 5; H5НЧ (н) = 2 -Кщ1 Ь0 ;
H 5 НЧ (1) =
H 5 НЧ ((Г )= H5 НЧ (н ), h = 1,2; dH5НЧ (нi)d ®нi = 0 i = 2-5;
dH5 нч(х )) юХ=0, h=1,2; -20 lg H5 НЧ (н ) = 8,
где Юн (i = 2-5) - нормированные частоты экстремумов АЧХ в ПП; ff>mhx (h = 1, 2) - нормированные частоты максимумов АЧХ в ПЗ.
0
х
В результате решения системы уравнений получены параметры АЧХ КФНЧ-прототипа:
5 = 1.28 • 10—8 дБ, 5 = 33.831 дБ, К = 0.149931, 54 = 3.642535, = 6.535050; 52 = 7.339901, 5 = 5.179548, 5 = 2.217913, Гн = 1.462141,
1н = 0.209443. Нормированная ширина переходной области АЧХ Гн - йн = 1.252698. Подставив найденные коэффициенты в (13) при п = 5, получим выражение ПФ КФВЧ пятого порядка Н5 вч (•%), соответствующее принятым начальным условиям.
Схема ФВЧ пятого порядка с двумя полюсами затухания в ПЗ [0, юс ] приведена на рис. 5.
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях переменной 5н в выражениях для
Н5 фвч (н ) и Н5 вч (•н), получим систему восьми уравнений для определения 10 неизвестных параметров КФВЧ: г, Ь2, С2, ¿3, ¿4,
С4, ¿5, Я, К у. Положим шс = 105 рад/с, г = 82 Ом, Я = 100 Ом. В этих условиях система уравнений имеет 5 решений (табл. 3).
Все нули и полюсы функции 25 фвч (•) для найденных решений лежат в левой полуплоскости комплексной переменной р, нули равны между собой. При определении устойчивости АЧХ по каждому параметру %уг- интегрирование осуществлялось
Таблица 4
0
вых
1-0
Рис. 5
Таблица 3
Параметр Номер решения, ■
1 2 3 4 5
Ц_, мГн 1.763 1.885 3.647 3.898 5.723
¿2, мГн 2.958 6.881 4.824 1.940 3.836
С2, нФ 80.0 90.8 129.6 122.0 162.9
¿3, мГн 0.656 0.543 0.522 0.529 0.642
¿4, мГн 6.439 2.436 2.672 8.190 2.692
С4, нФ 97.1 97.2 88.6 76.3 87.9
¿5, мГн 3.212 4.698 1.484 2.289 0.761
Ку 1.82 1.82 1.82 1.82 1.82
1 р Номер решения ■
1 1 2 | 3 | 4 | 5
•5ФВЧ■(Хр)
к 4.593283 1.216511 6.941704 5.190389 15.021041
¿2 0.031551 1.069627 3.377133 0.052165 4.573784
С2 0.007274 0.045501 0.217367 0.014972 0.256541
¿3 0.024421 0.015879 0.022888 0.015047 0.062464
¿4 2.570187 0.050598 0.032090 1.025526 0.026010
С4 0.137145 0.013709 0.007787 0.040910 0.005987
¿5 3.012230 4.614516 1.131073 1.099973 0.102279
г 0.008149 0.005740 0.004909 0.005740 0.005411
Я 0.005902 0.006580 0.006089 0.006580 0.005997
? н ФВЧ ■
0.001959 | 0.001977 | 0.001733 | 0.001980 | 0.001704
Гв( в _в54 + У5в4}] Ш4 — V в) + >)] в52 +^52 Ш2 + в( в) Ш + Р50
ш5 — [в(в) + Л в)" _в53 + ^53 3 Ш + [в(в)+ >)] _в51 + ^51 _ Ш
в пределах от 0 до юдП1 = 3 • 10 рад/с и области изменения параметра (1 + 0.1) %^. Результаты расчета устойчивостей АЧХ по всем параметрам •5ФВЧ ■ (х] ), за исключением Ку, и комплекс-
Н
ной оценки устойчивостей АЧХ ^фвч ■ приведен^! в табл. 4.
ФЧХ ФВЧ пятого порядка имеет вид
Ф5ФВЧ (ю) = 2тс +
+аг^
Устойчивость ФЧХ к изменениям параметров фильтра определялась с помощью суммы интегралов
75ФВЧ■■ (х] ) =
Ю]
= |[Ф5ФВЧ ( Xр ) — Ф5ФВЧ ( Xр)] ЛШ +
Юс
ШПП 2 2
+ | [Ф5ФВЧ (Ш, Xр ) —Ф5ФВЧ ( Xр )] Л Ш,
Ш2
где Ю1 и Ю2 - решения уравнений Ф5 ФВЧ [Ш1,2; (1 ± 0.1) Xji ] = 3 п/ 2, а верхний предел интегрирования принят Юпп2 = 106 рад/с. Результаты расчетов устойчивости ФЧХ приведены в табл. 5.
С учетом максимального значения комплекс-—н
ной характеристики ^фнч = 0.00198 примем к реализации четвертое решение с расчетными но-
Таблица 5
' j Номер решения i
1 1 2 | 3 | 4 | 5
~5ФФВЧi ('j)
Li 0.043146 0.075042 0.326645 0.319411 0.625087
L2 0.031134 0.319644 0.748038 0.037878 2.519916
C2 0.002401 0.003625 0.007961 0.003529 0.018531
L3 0.003009 0.002593 0.003050 0.002621 0.004435
L4 0.645924 0.043169 0.028346 0.366211 0.023742
C4 0.006942 0.003595 0.002348 0.003598 0.001956
L5 0.154373 0.328646 0.026485 0.078333 0.007271
r 0.899760 0.175894 0.214672 0.175894 0.121493
R 0.212198 0.146238 0.465236 0.146238 0.179780
s ф 5ФВЧ i
0.001039 | 0.001005 | 0.001038 | 0.001000 | 0.001014
77 НОМ
Н5ФВЧ
0.8 0.6 0.4 0.2
0.4 0.65 f
_ \ / /
- /
миналами емкостей, близкими к ряду Е24: С2 = 120 нФ, С4 = 75 нФ. АЧХ #5ФВЧ Ы КФВЧ с указанными значениями емкостей, соответствующими номинальному ряду резисторами и скорректированными значениями индуктивно-стей контуров ¿2 = 1.972 мГн, ¿4 = 8.333 мГн представлена на рис. 6.
0 1 <в-10~5 рад/с
Рис. 6
Таким образом, при наличии нескольких решений системы уравнений к реализации следует принимать то решение, которое дает близкое к максимальному значение комплексной оценки устойчивости АЧХ или ФЧХ, обеспечивающей решение конкретной задачи синтеза. Введенные определения зависимостей отклонения реальных характеристик от синтезируемых при разбросе значений отдельных параметров дают возможность последовательного подбора элементов фильтра с учетом "веса" каждого элемента в суммарной оценке устойчивости частотной характеристики.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Матханов П. Н. Основы синтеза линейных электрических цепей. М.: Высш. шк., 1978. 208 с.
2. Белецкий А. Ф. Теория линейных электрических цепей: учеб. 2-е изд. СПб.: Лань, 2009. 554 с.
3. Червинский Е. Н. Реализация электрических фильтров лестничной структуры // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2013. Вып 3. С. 24-37.
4. ГОСТ 28884-90 (МЭК 63-63). Межгосударственный стандарт. Ряды предпочтительных значений для резисторов и конденсаторов. М.: Стандартинформ, 2006. 13 с.
Статья поступила в редакцию 23 января 2017 г.
5. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высш. шк., 2000. 464 с.
6. Червинский Е. Н. Расчет передаточных функций фильтров с равноволновыми на отрезке и бесконечном полуинтервале амплитудно-частотными характеристиками // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2014. Вып. 4. С. 13-28.
7. Толстов Ю. Г., Теврюков А. А. Теория электрических цепей: учеб. пособие для электротехнич. и радиотехн. специальностей вузов. М.: Высш. шк., 1971. 296 с.
Для цитирования: Червинский Е. Н. Устойчивость частотных характеристик к изменениям параметров электрического фильтра // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2017. № 3. С. 24-38.
Червинский Евгений Наумович - доктор технических наук (2008), старший научный сотрудник (1985), начальник НТО ЗАО "СИМЕТА" (Санкт-Петербург). Автор 86 научных работ. Сфера научных интересов -системы точного времени. E-mail: [email protected]
E. N. Chervinskiy Closed JSC "SIMETA" (Saint Petersburg)
Frequency Responses Resistance to Variations of Electric Filter Parameters
Abstract. When electric filter designs "on the whole" circuit's parameters are determined as a result of solving the system of equations formed by equating of coefficients at equal powers of the variable in terms of desirable transfer function (TF) and TF filter. The solution of the system of nonlinear equations is the set (or sets) of filter parameters. The transition to practical realization requires bringing the filter parameters to the standard range of nominal values. The frequency responses of the filter are distorted, when the calculated values are replace on the nominal values. Moreover, the nominal value scales themselves have different range of values depending on the selected range. The purpose of the article is to de-
velop evaluation methods of amplitude- and phase-frequency responses resistance of low-pass and high-pass filters to parameter variations during the filters realization.
The integral square function of a variable is taken as a measure of deviation of the real frequency response from calculated characteristic.
The specific parameter response resistance is defined as the inverse average value of the integral function at the given range of the parameter variations. The inverse sum of average values of the integral function for the specific set of elements serves as integrated evaluation of response resistance to the filters parameter variations. In case there are several solutions of the system of equations, providing filter synthesis, the one should be used that gives closest to the maximum value of integrated evaluation of resistance. The introduced definitions allow to fulfill the successive selection of filter elements in the light of the impact of each element in the total evaluation of the frequency response stability.
Key words: Transfer function, synthesis of the filter "on the whole", inverse low-pass filter, quasi-elliptic low-pass filter, high-pass filter, response resistance by parameter, complex valuation of resistance
REFERENSES
1. Matkhanov P. N. Osnovy sinteza lineinykh elektrich-eskikh tsepei [Fundamentals of Linear Electric Circuit Synthesis]. Moscow, Vyssh. shk., 1978, 208 p. (In Russian)
2. Beletsky A. F. Teoriya lineinykh elektricheskikh tsepei: uchebnik. 2-e izd. [Theory of Linear Electric Circuits]. Saint Petersburg, Lan, 2009, 554 p. (In Russian)
3. Chervinskiy E. N. Realization of Ladder Structure Electric Filters. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii Ros-sii. Radioelektronika. 2013, no. 3, pp. 24-37. (In Russian)
4. GOST Standard 28884-90 (IEC 63-63). Preferred Number Series for Resistors and Capacitors. Moscow, Standardinform, 2006, 13 p. (In Russian)
5. Baskakov S. I. Radiotekhnicheskie tsepi i signaly [Radiotechnical Circuits and Signals]. Moscow, Vyssh. shk., 2000, 464 p. (In Russian)
6. Chervinskiy E. N. Calculation of Transfer Functions of Filters with Equiwave at the section and Infinite Half-Interval by Amplitude-Frequency Characteristics. Izvestiya Vuzov Rossii. Radioelektronika. 2014, no. 4, pp. 13-28. (In Russian)
7. Tolstov Yu. G., Tevryukov A. A. Teoriya elektricheskikh tsepei: ucheb. posobie dlya elektrotekhnich. i radio-tekhn. spetsial'nostei vuzov [Theory of Electric Circuits. Study Guide for Electrical and Radio Engineering Universities]. Moscow, Vyssh. shk., 1971, 296 p. (In Russian)
Received January, 23, 2017
For citation: Chervinskiy E. N. Frequency Responses Resistance to Variations of Electric Filter Parameters. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii Rossii. Radioelektronika [Journal of the Russian Universities. Radioelectronics]. 2017, no. 3, pp. 24-38. (In Russian)
Eugeny N. Chervinskiy - D.Sc. in Engineering (2008), Senior scientist (1985), the chief of the department of closed JSC "SIMETA" (Saint Petersburg). The author of 86 scientific publications. Scientific interests: precision time systems.
E-mail: [email protected]