Условный экстремум производственной функции с переменным бюджетным ограничением Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 6. ЭКОНОМИКА. 2010. № 5

ОТРАСЛЕВАЯ И РЕГИОНАЛЬНАЯ ЭКОНОМИКА

В.А. Малугин1,

доцент кафедры математических методов анализа экономики экономического

ф-та МГУ имени М.В. Ломоносова

УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ

ФУНКЦИИ С ПЕРЕМЕННЫМ БЮДЖЕТНЫМ

ОГРАНИЧЕНИЕМ

При наличии резервов и расширении производства часть дохода от производственной деятельности может быть инвестирована в ресурсы. В статье рассматривается решение экономико-математической задачи с производственной функцией Кобба — Дугласа на условный экстремум с переменными затратами на ресурсы, зависящими от величины выпуска продукции.

Ключевые слова: математические методы анализа экономики, резервы производства, функция Кобба — Дугласа.

In the presence of reserves and expansion of manufacture the part of the income of industrial activity can be invested in resources. The decision of an economic-mathematical problem with Cobb — Douglas production function on a conditional extremum with variable expenses for the resources, depending on output size is considered.

Key words: mathematical methods of the analysis of economy, manufacture reserves, Cobb — Douglas production function.

В последние годы экономическая наука перестала успевать за быстро меняющейся экономической практикой. Стараясь понять причины разрыва между теорией и практикой, стремясь найти выход из кризиса, исследователи все чаще обращаются к наукам, таким, как физика, которые интенсивно развивались в последние десятилетия, в которых достигнуты значительные результаты, где расчет, эксперимент и реальность находятся в согласии. Обладая универсальностью законов, физика оказала воздействие на развитие всех естественных наук. В XX столетии быстро развивались физическая химия, биофизика, геофизика, астрофизика и т.д. Из гуманитарных наук физика активно влияла на философию и сама обогащалась ее идеями. Возникла связь физики и искусствоведения. В последние годы физика стала проникать в экономику. Закон всемирного тяготения, принцип максимума Понтрягина, закон Фоккера — Планка взяты на вооружение экономической наукой.

1 Малугин Виталий Александрович, тел.: + 7 (495) 939-30-01.

Активно стало развиваться новое направление в экономике — эко-нофизика.

К числу физических идей, которые обещают оказать плодотворное влияние на экономическую науку, можно отнести обратную связь (ОС). ОС — процесс передачи выходного сигнала обратно на вход, при котором частично погашается или увеличивается входной сигнал — родилась в недрах физики и хорошо изучена теоретически. ОС может быть амплитудно-зависимой, когда коэффициент ОС зависит от величины выходного сигнала. При частотно-зависимой ОС коэффициент усиления будет зависеть от частоты. Знак ОС определяется целью ее применения. Положительная ОС используется для создания генераторов, отрицательная ОС уменьшает коэффициент усиления, но при этом улучшает другие параметры, например устраняет искажения и нелинейность, сглаживает частотную характеристику, делает поведение схемы предсказуемым. Чем глубже отрицательная ОС, тем меньше внешние параметры влияют на работу схемы. Все эти утверждения математически рассчитаны и экспериментально многократно подтверждены.

Пример работы механизма ОС — слежение антенны радиолокационной станции за движущимся над поверхностью Земли объектом. Угол между диаграммой направленности антенны и направлением на движущийся объект, отслеживаемый посредством датчиков, является управляющим сигналом. Поступая на поворотное устройство антенны, этот сигнал заставляет ее поворачиваться вслед за движением объекта.

Примеры ОС были обнаружены в окружающем мире, философски осмыслены и обобщены. Сделан вывод о том, что замкнутая система может успешно функционировать только при наличии в ней механизма приспособления к изменению условий этого функционирования — механизма ОС. Наличие ОС — объективное условие существования живой природы, любого саморегулирующегося образования, каким является человеческое общество. Экономический рынок регулируется механизмом ОС. Движение к балансу между спросом и предложением, материальное стимулирование, изменение налогов и тарифов — это работа ОС в экономической практике.

Рассмотрим некоторые черты ОС, а также обстоятельства, которые следует учитывать при ее изучении и использовании.

1. ОС как элемент управления. ОС является субъектом управления или элементом управления, или регулятором, задача которого, по словам Н. Винера, «состоит в управлении механической тенденцией к дезорганизации». Работа ОС представлена на рис. 1. Результатом работы объекта управления (предприятия, учебного заведения, железной дороги) является материально или интеллектуально

3 ВМУ, экономика, № 5 41

значимый выходной продукт (продукция предприятия, новые знания, перемещения как часть производственного процесса). Вырабатывается управляющий сигнал, поступающий на исполнительный орган, регулирующий как входное воздействие (предположим, закупку сырья), так и порядок работы объекта управления. Результатом является переход объекта управления в новое состояние, что отражается на структуре выходного продукта.

Элемент управления

Рис. 1. Работа обратной связи

2. Замкнутая цепь — необходимое условие существования ОС.

Объект и средства ОС должны быть замкнутой системой. Управление существует только там, где есть замкнутый на объект управления канал связи, по которому передается сигнал управления, т.е. существует замкнутая цепь. Разрыв кольца зависимости приводит к параличу управления.

3. Средства связи. ОС классифицируется в соответствии с природой субъекта управления, посредством которого она осуществляется. На механический или электрический элемент управления поступает механический, электрический или оптический сигнал. В аналитический отдел отдела управления приходит информация в виде материалов по итогам хозяйственной деятельности, статистической и бухгалтерской отчетности, материалов учета и контроля, докладов, сообщений, отчетов работников об их деятельности. В результате анализа вырабатывается управляющий сигнал.

4. Разнообразие каналов. Ручное и автоматическое управление. Управляющий сигнал ОС может быть электрическим сигналом, силовым воздействием, звуковым или письменным сообщением. Управление ОС может передаваться вручную после принятия соответствующего решения или автоматически — механической, оптической или электрической системой управления.

5. Направленность. Обратное воздействие может происходить в двух противоположных направлениях. Связь, посредством которой протекает нарастающий процесс обратного воздействия, называют положительной. При включении положительной ОС система пе-

реходит в новое состояние, которое может быть устойчивым или приводить к возбуждению, взрыву, разрушению системы. Вливание денежных средств в экономику есть положительная ОС, осуществляемая регулятором-государством.

Действие ОС непосредственно связано и с конкуренцией. Если оказалось, что фирма, имея патент, купив современное оборудование, выпустив на рынок новый, хорошо разрекламированный товар, получила преимущества по сравнению с другими, естественный отбор приведет к увеличению прибыли фирмы. Ориентируясь на добавочную прибыль, фирма расширит свое производство, привлечет дополнительную рабочую силу, в то время как фирмы-консерваторы вынуждены будут экономить сырье и материалы, сокращать число занятых на своих предприятиях. В дальнейшем им приходится подстраиваться под действия фирмы-новатора, в противном случае они исчезают. Рынок переходит в новое устойчивое равновесие. Когда это происходит в целой экономической системе, она поднимается на более высокий уровень эволюции. Затем цикл повторяется.

ОС, приводящая к депрессии процесса, называется отрицательной ОС. Экономика использует отрицательную ОС, чтобы восстановить баланс спроса и предложения, равновесие между ценами, назначаемыми продавцами, и между контролируемыми ими долями рынка. Происходит стабилизация экономических отношений. Любые значительные изменения компенсируются.

Изъятие денежных средств в виде налогов, их повышения, перевода средств за границу — также явления отрицательной ОС. Введенный в 1991 г. налог на добавленную стоимость в размере 28% привел к замедлению реализации продукции на рынке из-за удорожания товаров и услуг. Трудности в реализации привели к уменьшению выручки и паузам в закупке сырья и материалов для производства товаров. В результате увеличилось число налоговых неплатежей. Не было соблюдено условие осторожного экспериментирования при поиске оптимальности в управлении. В итоге субъекту управления, т.е. органам государственного регулирования, пришлось снизить налог до 20%.

6. Внешняя и внутренняя ОС. Если ОС осуществляется за счет подключения внешних элементов, цепей, органов, она называется внешней. При функционировании ОС в рамках отдельного устройства, системы, предприятия она остается внутренней.

7. Функциональность. В одних системах роль ОС является определяющей. Без нее замкнутая система приходит к разрушению, перестает функционировать. В других ОС возникает непреднамеренно и носит паразитный характер. Например, гул в телефонной трубке или радиоприемнике — пример действия возникшей паразитной ОС.

8. Многозначность. ОС в замкнутой системе часто вырабатывается многими элементами управления, включенными последовательно или параллельно. Сигнал управления, отправленный начальным звеном цепи управления, может проходить последовательно через корректирующие цепи, например надзорные органы, перед поступлением на исполнительный орган. Возможно вырабатывание сигналов несколькими элементами управления с поступлением их на исполнительный элемент параллельно. В таком случае не исключена нулевая реакция на управление. Наиболее распространенным явлением становится противоречивость указаний разных звеньев управления.

9. Линейность. Если элемент управления содержит только пропорциональные звенья, то выходное воздействие ОС пропорционально входному и ОС является линейной. При наличии сотрудника-управленца в составе элемента управления, если требуется время для сбора и осмысления информации, ОС становится нелинейной или даже дискретной.

10. Статичность и динамичность. Если управляющий сигнал вырабатывается в зависимости от величины выходного сигнала, ОС можно назвать статической. В связях без статизма не участвует величина выходного сигнала, важны лишь его изменения. И чем они больше, тем выше значение сигнала управления. На языке эконофизики это означает, что фигурируют производные выходного сигнала, стремящиеся к нулю с окончанием переходных процессов. Например, текущее управление процессом производства, учебы или движения поездов на железной дороге осуществляется имеющимися звеньями управления, начальниками цехов, прорабами, учебной частью, диспетчерами. Но если процесс неожиданно остановился, может понадобиться вмешательство стратегического звена управления — руководителя предприятия — для возобновления работы.

11. Управление по отклонениям. Управляющие воздействия часто ставят своей задачей обеспечить следование объекта управления определенной программе действий. По каналу ОС субъект управления получает информацию о возможных отклонениях от установленной программы и вырабатывает управляющие воздействия, подавляющие, ликвидирующие такие отклонения.

12. Запаздывание. Регулятор ОС может мгновенно передавать сигнал управления на исполнительный орган, но возможно и запаздывание в функционировании ОС. Для вырабатывания сигнала управления иногда требуется накопление информации, ее анализ, наконец, прохождение очередного полного отчетного периода. Запаздывание характерно для системы налогов. После введения определенного налога должно пройти время, чтобы это отразилось 44

на хозяйственной деятельности предприятия и его финансовом состоянии.

13. Оптимальность управления. Управление является оптимальным, если оно обеспечивает перевод управляемой системы из исходного состояния в желаемое за минимально возможное время, с наименьшими затратами при одновременном соблюдении ограничительных условий, т.е. признанных законов, запретов, общепринятых морально-этических правил и норм.

14. Выбор устойчивого состояния посредством ОС. Регулируя ОС посредством налогов, административного ресурса, других средств ОС, можно перевести экономическую систему, отрасль экономики, отдельное предприятие в новое устойчивое состояние более высокой продуктивности. Желательно правильно рассчитать время для перехода из одного стабильного состояния в другое. Экономическая теория может способствовать определению таких состояний и моментов, помогая в выборе оптимальных действий.

15. Колебания при воздействии ОС. Наличие ОС может стать не только причиной усиления, ослабления, нового устойчивого состояния или взрыва системы, но и причиной возникновения в ней колебаний. Неоптимальная величина налога на имущество предприятий, по которому налогооблагаемая база складывается из остатков активов по состоянию на дату предоставления отчетности, приводит к тому, что на определенный период эти остатки занижаются. Имея недостаток сырья, готовой продукции, предприятие вынуждено снижать загрузку производства, уменьшать временно хозяйственный оборот. Периодические сокращения или колебания объемов реализации приводят к неравномерному начислению других налогов: НДС, налога на прибыль.

16. Принцип детерминированности. Рассчитывая ОС как элемент управления, следует проводить максимально точные расчеты петли ОС. В противном случае накапливающиеся со временем погрешности могут разорвать петлю. Управляя экономическими процессами, надо прогнозировать последствия принимаемых решений в той степени, в которой это представляется возможным.

17. Осторожное экспериментирование. Очень важно во избежание негативных последствий для экономической деятельности государства осуществлять управление ОС так, чтобы их влияние на субъект управления не приводило к его деформации. В гуманитарных областях, например в финансовой системе, использование сплошного и непрерывного экспериментирования чрезвычайно опасно, так как невозможно точно рассчитать системы с ОС. Велика разрушительная сила неудачного эксперимента. Только локальный, кратковременный, с возможностью возврата в исходное состояние эксперимент путем проб и ошибок может помочь в на-

хождении такого элемента управления ОС, который выполнит поставленную задачу. В этой связи перед тем как осуществлять управление ОС, особое внимание следует обратить на сигналы, посылаемые управляемой системой, особенно когда обратные зависимости существенно опаздывают, а качества, накопленные в них, могут проявиться только по истечении некоторого времени.

Механизм ОС имеет непосредственное отношение к производству на предприятии. Прибыль вкладывается в производство. Это обеспечивает условия дальнейшего роста прибыли. Ниже предлагается экономико-математическая модель работы предприятия при наличии ОС. При превышении объема выпуска над запланированным часть прибыли предприятия вкладывается в расширение производства, в дополнительную закупку ресурсов. Формируется ОС между выпуском и инвестированием в ресурсы и характеризуется величиной коэффициента ОС. Выбирая коэффициент в разумных пределах, можно добиться перехода предприятия в новое экономически устойчивое состояние с получением более высокой прибыли. Работа предприятия всегда производится в оптимальном режиме. Экономико-математическая модель предполагает известную производственную функцию предприятия. Известны также стоимости ресурсов и нормативные средства, отпущенные на их закупку.

Исследование функции на максимум при условии, что переменные связаны между собой некоторым соотношением, проводится при постоянном бюджетном ограничении. Обычно задача формулируется следующим образом2: найти экстремум функции 2=/{хх, х2) , если переменные х1 и х2 удовлетворяют ограничению типа уравнения g(xl, х2) = 0.

= / (ж15 х 2 ехИ. [£(х1, х2 )= 0.

В экономико-математическом моделировании предполагается, что 2=/(х1, х2) — это, например, производственная функция предприятия, отвечающая за выпуск продукта, тогда переменные х1, х2 — сырьевые ресурсы, закупаемые по ценам р1 и р2 на сумму /0. Следовательно,

р1 х1 + р2 х2 = -V

Эта задача, можно сказать, из советского прошлого. Предприятие настраивается на максимальный выпуск продукции (находится экстремум) при ограничении по затратам, но не может управлять

2 Количественные методы в экономических исследованиях / Под ред. М.В. Грачевой, Л.Н. Фадеевой, Ю.Н. Черемных. М., 2004.

инвестированием средств на закупку ресурсов. Бюджетное ограничение раз и навсегда задано и равно 10.

Более реалистичным представляется вариант, при котором в бюджетном ограничении кроме постоянной составляющей имеется еще переменная вида к • 2, позволяющая закупать больше ресурсов при росте выпуска и продаж продукта (к > 0) и уменьшать выпуск при перепроизводстве (к < 0). Бюджетное ограничение становится управляемым. Представим его в виде линейной функции по Z:

I = 10 + к • Z.

Тогда задача на условный экстремум с переменными затратами на закупку ресурсов I формулируется так:

[г = / (х15 х2) -10 ^ ехИ, [рх1 + р2х2 = 10 + к ■ 2 .

Функция Z=/(х1, х2) -10 есть доход от продажи произведенного продукта Z=/(х1, х2) за вычетом установленных нормами средств на закупку ресурсов 10. Из средств Z производятся отчисления на амортизацию, аренду, налоги, коммунальные услуги и т.д. При наличии резервов для увеличения производства продукта часть этих средств к • Д где к < 1, направляется на дополнительную закупку ресурсов. Если к > 0, возникает положительная ОС между выпуском и инвестированием в ресурсы. При к < 0 предприятие уменьшает величину закупок ресурсов, тем самым уменьшая выпуск. Возникает отрицательная обратная зависимость.

Задача на условный экстремум с переменным инвестированием в ресурсы сводится к исследованию на максимум переменной Z в системе функций:

г = / (х1, х 2) -1^ ^ ехИ,

г =

р1х1 + р2 х2 10

к

Метод нахождения экстремума в системе функций рассмотрен в работе «Экстремум в системе функций и его экономическое приложение»3. В целях решения задачи составляется функция Ла-гранжа:

Ь (Х1, х 2,^2 )=^1 (/ (Х1, х 2 )-10 )+^2 + Рр Х - 1 .

3 См.: Малугин В.А. Экстремум в системе функций и его экономическое приложение: В сб. науч. работ кафедры ММАЭ «Ломоносовские чтения 2008». М., 2008.

Находятся стационарные точки М0(х10, хиз системы (необходимые условия экстремума):

К р = о, К2 = \/Х2 +*, к=0,

/(х 1,Х2)-/0 = Р1Х1 + р2 -1 \ +Х2 = 1.

(1)

Берутся вторые производные функции Лагранжа и строится окаймленный гессиан в точке М0:

\Н =

А к

С - Р к

/' — р_ /' — р2

X, 1 1

\/х 1 х1 \/х1 х2

^Л, х, \/х, х.

(2)

Определение его знака является достаточным условием обнаружения экстремума. Если |Н| >0, в точке М0 достигается максимум, при |Н| < 0 имеем минимум.

Выпуск при увеличении закупок ресурсов. Рассмотрим стандартную количественную задачу с производственной функцией Кобба — Дугласа (функцией КБ) 2 = / (х 1;х2 ) = 3х12х2 и переменным инвестированием в ресурсы в виде линейной функции. Существует единственный продукт — выпуск. Доход и выпуск совпадают. Выпуск производится при помощи двух факторов производства х1 и х2. После отчислений установленных нормами средств на закупку ресурсов (примем 10 = 1) часть выпуска потребляется (0,52), остаток (также 0,52) сберегается и инвестируется в ресурсы. Затраты на ресурсы имеют тем самым постоянную составляющую и переменную, зависящую от размеров дохода: I = 1 +—2 . Система уравнений в задаче на условный экстремум с переменными затратами на ресурсы приобретает вид:

3 хх 1 хх 22

-1 ^ ех1и.

—х, + 2х. = 1 +12 .

0

Переходя к решению задачи, составим функцию Лагранжа:

Ь (х1,х2,А,2) = ^1(3х1^х| -1) + ^2 (х1 + 4х2 -2).

Рассмотрим систему уравнений из четырех неизвестных х1, х2, содержащую условия первого порядка:

3 -1 1 Ь' = 2 х 22 +^2 = 0

ь; = 3 V! х 2-1+4^2=o,

3 1 22 1 1 I 41 2 '^2, ^ +^2 = 1. Ее решение есть стационарная точка

Мо(х°,х0,Х0,Х0) = Мо(2,1,4, -3).

Найдя вторые производные функции Лагранжа, построим

окаймленный гессиан и вычислим его в точке M¡

0

\Н =

1 22 1 1 2 4"

3 \ -1 1 1 3 л -3 1

2 ^1х12 х 2-1 - ^ Л1х12 х 2

3 1 -1 3 -1 -1

2 ^1х12 х 22 - 4 4 ^1х12 х 22

х 1 х

4 1 1 2

4 ^1х12 х 22

0 2 2 - 3

4

8

3

3 -12

=192 >0.

Следовательно, при наличии коэффициента положительной

/ 1 л

ОС к =+1 в точке М 0 20

2 1 4 - 3 2 2^ 3

достигается максимум

1

2'1

=2.

у + обр.ОБ тах

Для сравнения — решение стандартной задачи ех1;г,

2 = 3х1 х 2 1

1 х, + 2 х, = 1

_ 2 1 2

на условный экстремум без ОС.

Функция Лагранжа имеет вид:

Ь (х1,х2,А) = (3х 1 х2 - 1)+^(х1 + 4х2 -2).

Условия первого порядка

Ь' = 3 х/х| + А = 0, х1 2 1 2

/ 3 1 -1 л Ь'2 х 12х22 + 4^ = 0, дают стацио-

х1 + 4х2 = 2.

нарную точку М1(х0,х0, А0) = М1

V

ся стандартный условный максимум

( 1л

у станд. л ±-

2 тах 1, 4

V у

' 1 3л

1^,-7 4 4

, в которой достигает-

1 "2'

На рис. 2 приведен график функции КБ, сдвинутый по оси Z на единицу вниз, а также графики функций, описывающих постоянные и изменяющиеся с доходом затраты на ресурсы. Белыми стрелками указаны условные максимумы при постоянном, а также переменном, зависящем от выпуска ограничении на закупку ресурсов.

Рис. 2. Графики функции Кобба — Дугласа и функций, описывающих постоянные и переменные затраты на ресурсы

Выпуск при уменьшении закупок ресурсов. Аналогично решается

задача на условный экстремум с отрицательной ОС к = — при тех

2

же начальных условиях:

2 = 3х1 х 22 1 ■

ех1и,

—х, + 2х. = 1 -—2 . 2 1 2 2

Точно так же используем функцию Лагранжа с двумя множителями, что приводит к условиям первого порядка в виде системы из четырех уравнений с четырьмя переменными. Ее решение — ста-

ционарная точка М2(х10, х°, = М2

имеется условный максимум

2

14:

в которой

-обр. св тах

14

Обсуждение. Метод решения экономико-математических задач с переменными ограничениями на закупку ресурсов или, говоря языком эконофизики, с положительной и отрицательной ОС позволяет расширить круг рассчитываемых экономических моделей, учитывая взаимное влияние параметров задачи, что на практике часто имеет место. В экономической теории рассматриваются бесконечно малые вариации параметров, что вызвано использованием дифференциалов. ОС позволяет преодолеть это затруднение. Регулируя коэффициент ОС, можно добиться любых изменений параметра, оставаясь в оптимальной точке. В частности, получить решение задачи при значительном инвестировании предприятием средств в ресурсы или исследовать целевую функцию потребителя при увеличении его дохода, связанного, например, с повышением по службе, со сменой места работы.

Аналитическое решение третьего уравнения из системы (1) возможно не при любом виде производственной функции, в том числе и функции КБ с а > 0, в > 0. Графическое решение уравнения, где в качестве производственной функции предприятия использована функция КБ

2 = ах,°

г 10 + к2 - р1х1 ^ Р2

-I.

позволяет преодолеть это затруднение и найти зависимость 2 = 2(х—) при условии 2 > 0. На рис. 3 приведено семейство кривых зависимости выпуска 2 от количества используемого ресурса х— при раз-

личных положительных и отрицательных значениях коэффициента ОС. Для расчета использованы данные, приведенные на рис. 2. Зависимость 2 = 2(х1) при к = 0 получена из решения задачи на стандартный условный экстремум без ОС. Зная потребность в продукции предприятия 20, обладая ограниченными средствами /0, можно по графику определить оптимальный вариант использования ресурсов х10, х20 , при котором будет достигнут максимум выпуска 20 = 2тах требуемой продукции. Например, потребность в продукте предприятия в данном регионе составляет 20 = 0,90 усл. ед. Имея ограничения на закупку ресурсов в размере 10 = 1 усл. ден. ед., по графику находим, что к = 0,3, х^ = 1,25 усл. ед. Из уравнения связи

1 2

предприятие будет работать в оптимальном режиме, инвестируя в ресурсы 10 = 1 усл. ден. ед., приобретая их в объеме х^ = 1,25 усл. ед., х20 = 1,54 усл. ед. и имея нераспределенную прибыль (2 + 10) -- (10 + к2) = (1 - к) 2 = 0,7 • 0,9 = 0,63 усл. ден. ед.

с р1 = —, р2 = 2 вычисляем, что х20 = 1,54 усл. ед. Таким образом,

Рис. 3. Зависимость выпуска 2 от количества используемого ресурса х1 при различных положительных и отрицательных значениях коэффициента ОС

Семейство кривых удобно использовать и при практическом решении другой задачи: оптимизировать выпуск продукции при ограничении на использование ресурса х1. Аналогично строится зависимость 2 = 2 (х2).

Затраты на дополнительную закупку ресурсов не приводят к потере прибыли.

Величина прибыли при разных значениях коэффициента обратной связи

Коэффициент ОС к -0,5 0 0,5

доход-расход на ресурсы расход на ресурсы (1 + 1) ■ 2 } ,7 100% = 50% 2 7 1 ^ 100% = 50% (1-1)-2 Г 100% = 50% 2

Прибыль в абс. единицах 3 7 1 2 1

Найдем величину

доход - расход на ресурсы = (г +10 )-(/о + кг ) о% = расход на ресурсы 10 + кг

= (1 - к )г

10 + кг

100%,

пренебрегая другими расходами. Данные возьмем из рассмотренной выше модели. Величина прибыли при разных значениях коэффициента ОС представлена в таблице (на с. 53).

Превышение доходов над расходами на приобретение ресурсов оказалось одно и то же и равно 50%. Можно показать в общем виде, что при выборе оптимального режима работы предприятия эта величина при любом допустимом значении к будет константой. Абсолютная прибыль с ростом выпуска при оптимизации производства будет расти.

Рассмотренная экономико-математическая модель оптимизации производства позволяет построить алгоритм оптимального запуска производственных мощностей. На рис. 4 построены кривые зависимости выпуска от количества использованного сырьевого ресурса х1 при различных значениях параметров 10 и к. Запуск производства и технологическая отладка проводятся при небольших значениях 10 (10 = 1), достаточных для получения первоначальной прибыли (кривая 1). Работа предприятия оптимизируется в низкопродуктивном состоянии 21опт при оптимальном значении х|опт и соответственно х2опт. Когда предприятие ритмично заработало в оптимальном режиме (точка А на кривой 1) и выпускает кондиционную готовую продукцию, имеющую спрос на рынке, появилась прибыль, включается ОС. Дискретно повышая величину коэффициента ОС к = 0, ..., 0,1 ..., 0,5, ... < 1, направляя часть прибыли на дополнительное к 10 инвестирование в ресурсы, управляющее звено переводит работу предприятия в новое высокопродуктивное состояние, характеризующееся полной загрузкой мощности (точка В на кривой 2). Дискретность обусловлена цикличностью работы предприятия: сырье — товар — деньги. Сырьевой ресурс х1 начинает потребляться в количестве х1опт, ресурс х2 — в количестве х2опт (в нашей модели это соответствует величине к = 0,5). Движение от низкопродуктивного режима работы предприятия к высокопродуктивному указано вектором АВ. Альтернатива этому алгоритму — выделение на закупку сырья сразу значительных денежных средств в размере 10 = 2 для закупки сырья в количестве х2опт, х2опт с последующим его консервированием до выхода предприятия на проектную мощность (кривая 3).

Экономико-математические задачи на условный минимум с использованием функции КО. Наличие ОС позволяет моделировать

процессы, в которых функция КБ / (хр х2 )=ох1ахв исследуется на условный минимум. Анализ показывает, что необходимым условием минимума является возрастающий эффект от масштаба, т.е. а + в > 1. Эмпирические оценки степени отдачи от масштаба производства продемонстрировали реальность этого условия.

Дополнительное очевидное в экономико-математических задачах условие 10 > 0 в уравнении бюджетного ограничения приводит к появлению и условного минимума, и условного максимума у функции КБ. Варьируя параметры задачи, можно сблизить условный минимум и максимум вплоть до их слияния с образованием седло-вой точки. Этот вариант имеет место при выполнении условий:

а + р>1,

10 > О,

(ах ^ х 2Р) (ах а х 2Р)

д/к

р2/ к

= 1.

Уравнения множества точек, принадлежащих обеим функциям, примут простой вид

7 — ^7 = А.х2. ак 1 в к

Точка пересечения линий и будет седловой точкой. В качестве иллюстрации решена количественная задача с нахождением обоих экстремумов:

— 5 х 1 * х 2

► ех1г,

2 х + 3 — 2 + — г.

1 2 3

Решение выявило две стационарные точки М(Х}, х02, А/}, ^2), а

3 2 2 5

именно МД—, —, 2, -1) и М2(3, 2, — , —). В одной из них дости-

55 ^ (3 2 ^ 6

гается условный максимум функции КБ 7

5 5

— ^ в другой

функция принимает условный минимум 2т[п (3, 2) — 30. На рис. 5 в координатах (х}, х2, 2) представлены трехмерные поверхности, описываемые функцией КБ и функцией переменных затрат на закупку ресурсов.

Рис. 5. График функции Кобба — Дугласа и функции переменных затрат на закупку ресурсов

Модели, использующие условный экстремум с ОС, могут быть применены в области экологии, медицины, социологии. Например, добыча и использование ресурсов требуют такой организации

производства, при которой вредное воздействие на окружающую среду, описываемое функцией модели, минимально.

Следует сказать также о том, что данный материал не является руководством в практической деятельности. В статье, во-первых, представлены некоторые теоретические построения, обосновывающие значимость ОС в экономике. Во-вторых, сделана попытка перейти от качественных рассуждений к количественному анализу, от абстрактных моделей к вычисляемой теоретической модели, доведенной до конкретной числовой формы.

Выводы. В статье рассмотрена ОС, ее характерные черты в экономических системах. Сформулирована и количественно решена экономико-математическая задача на условный экстремум с переменным ограничением на ресурсные затраты в виде линейной функции, в которой роль аргумента играет выпуск продукции. Введение коэффициента ОС позволяет рассчитывать выпуск как при малых, так и при больших вариациях в закупках ресурсов, оставаясь в оптимальной точке по выпуску.

Список литературы

Количественные методы в экономических исследованиях / Под ред. М.В. Грачевой, Л.Н. Фадеевой, Ю.Н. Черемных. М., 2004.

Малугин В.А. Экстремум в системе функций и его экономическое приложение: В сб. науч. работ кафедры ММАЭ «Ломоносовские чтения 2008». М., 2008.

4 ВМУ, экономика, № 5