Условия звездности лебегова множества дифференцируемости по направлениям функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

В результате подстановки разностных формул в краевую задачу (!) получим задачу Коши для системы ОДУ вида

^(0) = /„ Х,=*„ ¿ = 1,2,..м-\. (4)

Эта задача Коши решается любым численным методом для ОДУ.

Система (4) может быть исследована аналитически. Легко определить её особые точки и поведение решения в их окрестности. Это позволяет качественно оценить поведение динамической системы, не ограничиваясь задачами нахождения предельных циклов и периодических решений.

Применение методов теории катастроф [2] к анализу системы (4) позволит получить информацию о характере переходных процессов в механической системе.

Данная методика была реализована программна в системе Ма1.ЬаЬ и была успешно применена к исследованию динамики упругого манипулятора.

БИКЛИОГРЛФИЧКСЖИЙ СПИСОК

1. Андрейченко К.П., Андрейченко Д.К. Математическое моделирование динамических систем. Саратов, 2000.

2. Постои Т., Стюарт И. Теория катастроф и её приложения. М.: Мир, 1980.

УДК 519.85

А. С. Дудова

УСЛОВИЯ ЗВЁЗДНОСТИ ЛЕБЕГОВА МНОЖЕСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ ПО НАПРАВЛЕНИЯМ ФУНКЦИИ'

I. Давно известное в действительном и комплексном анализе понятие звёздного множества ныне активно используется в рамках абстрактного выпуклого анализа [1]. Напомним, что множество Асй" называется звёздным относительно точки д: е А, если

/+а(х-х')бА, Ухе А, ае[0,1]. Это - широкий класс, множеств, включающий в себя выпуклые множества, конусы, объединение выпуклых множеств с непустым пересечением. Операции сложения, умножения на число сохраняют звёздность. Кроме того, если у некоторых звёздных множеств есть общие точки звёздности, то есть относительно которых они являются звёздными, то пересечение и объединение таких множеств также будет звёздным. Это говорит о том, что с та-

' Работа выполнена при финансовой поддержке фанта Президента РФ на поддержку ведущих научных школ на выполнение научных исследований (проект И111-1295.2003.1).

кими множествами можно конструктивно работать и, в частности, рассматривать экстремальные задачи, в которых допустимые множества аргументов являются звёздными.

Пусть функция /(х) определена и непрерывна на R" и для некоторого фиксированного числа X её нижнее лебегово множество G(k) = {к е R" : /(х) < Xj не пусто, а точка х* е G(\). Получим условия звёздности множества G(X) относительно точки х при дополнительном предположении о дифференцируемое™ по направлениям функции /(х-) в точках множества уровня С(А.) = {д: е Я" :/(х) = Х.| Договоримся далее понимать под

f\x,g) = Uma'l[f{x+ag)-f{x)l аЮ

у , (х) = {g 6 R" : / \x, g) < O), Yi./ M = (? e R" ■ f V, g) < 0J.

2. Необходимое условие звёздности даёт

ТЕОРЕМА 1. Если множество G(X) является звёздным относительно точки х' eG(k), то

/'(х,х*-х)< 0, VxeC(X). (1)

Доказательство. По условию теоремы для любой точки х е С (к) выполняются соотношения: f(x) = X, /(х + а(х -х))<\, Vae[0,l]. Отсюда следует неравенство f(x + а(х* - х)) - /(х) < О, поделив левую и правую части которого на а и выполнив операцию lim при а 4-0, получим (1). о

Теперь получим достаточные условия звёздности.

ТЕОРЕМА 2. Если точка х е G(Ä-) такова, что для любой точки х е С(к) выполняется хотя бы одно из условий:

а) f\x,x'-x)<0, ■

б) /'(x,x'-x)áO, Y/(*) = Yi,/(*).

то множество (7(А.) является звёздным относительно точки х .

Доказательство. 1. Предположим противное, то есть найдётс-я точка х0 eG(X) и точка у е(х*,х0), в которой f(y)>X. Поскольку функция /(•) является непрерывной, то существует г>0 такое, что

f(x)>X, VxeB(y,r)= (xefl" :||x->|<rj, (2)

где II II - евклидова норма. Нетрудно видеть [2], что функция F(t) = min f(x + t(x0-x'))

xe.B(y,r)

является непрерывной по fe/?. Следовательно, поскольку

и в силу (2) имеем F( 0)= min f(x)>\, то существует

'о -^оЦ^о ~х*\)такое> что

F(t0)=X, F(l)>X, V/ e[0,iQ). (3)

Обозначим через y(t0) е В(у + tQ(x0 - x"),r) : F(t0)=f(y(t0)) = Х. Нетрудно показать, что из (3) следует

||, + ,0(*0-*-)-Я'о)|| = г. (4)

2. Теперь докажем, что

(y + ^0-x')-y(t0),x' ->>(/„))> 0. (5)

Здесь (•, ■) - операция скалярного произведения.

Очевидно, что вектора х{)-х' и у + г0 (х0 - х')~ х' являются сона-правленными, то есть существует а > 0 такое, что

*о ~ х* = а (у + r0(*0 -х')-х'. Поэтому, если предположить, что неравенство (5) неверно, то, используя (4), получаем

(xo-x',y+to(xa-x)-y('o)) = a(y+t(i(xQ-x')-x\y+t(l(xt) -х')-y(t0 j) =

= «¡У + 'о(*о "*')" -К'о)||2 - *(у + 'о(*о - -О - y(t0),x' - y(t0)) > 0. (6)

С другой стороны, для точки с(е) = у + (f0 - e)(jc0 - х ) имеем

1Ф)-У('о)|2 =|>'+fo(*o ~М*)-х>У"о(хо ~x')~y(t0)) +

+ б2||Д:0-/||2. (7)

Из (5), (6) и (7) следует, что при достаточно малых положительных е выполняется ||с(е) - _y(f„)|| < г. Отсюда вытекает

F(<0 -Е min /(* + (f0 -е)(*0-*')) = min f(x) < f(y(t0)) = X,

что противоречит (3). Неравенство (5) доказано.

3. Непосредственно из (4) и (5) следует, что при достаточно малых положительных ß выполняется

|у('о) + ß(** - У ('о) -У- 'о(*о ~ *")Ц < ' • Отсюда следует вывод, что найдутся ß0 > 0 и е > 0 такие, что

rt*o) + ß«eB(y + f0(io-*V). Vße(0,ß0), geB(x-y(t0),E). (8) Так как в соответствии с (4) имеем F(r0)= min f(x) = к, то в

x<=B(y+ta(x0-x' ),г)

силу (8) получаем

/(>•('„) + P*)**, VP€(0,30), geB(x'-y(t0),s). Отсюда, если учесть, что f(y(ta)) = А., имеем

f\y(t0),g)>0, Vgefi(x'-y(/0),e). Теперь легко сделать вывод, что

. /'(У('а)>х' ~ У('о)) * °'У/(УМ) * Yi,/(yOo))>

го есть ни одно из условий теоремы не выполняется. □ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Rubinov A. Abstract Convexity and Global Optimization. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2000.

2. ДемьяновВ.Ф., Малоземов B.H. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972.

УДК 517.54

А. М. Захаров, Д. В. Прохоров

СЕДЛОВЫЕ ТОЧКИ МНОЖЕСТВА КОЭФФИЦИЕНТОВ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ*

Пусть S класс голоморфных однолистных r единичном круге U функций

/(z) = z + a2z2 + ..., zeU. (1)

Проблема коэффициентов однолистных функций заключается в исследовании множеств значений систем начальных коэффициентов разложения (1). Настоящая статья посвящена описанию характера седловой точки множества V3 = {(Rea2,Ima2,Rea3): / доставляемой функцией

(2) = Т~~2~XZ2n_1 6 S .

1 - Z И=1

Функция К2 соответствует точке (0,0,1) на границе множества V3 [1, с. 205]. Все граничные точки множества У3 являются граничными точками множества достижимости управляемой системы, порождённой уравнением Левнсра [2]. Поэтому они могут быть найдены при помощи процесса оптимизации. Те из граничных точек, которые описываются скользящим оптимальным режимом, выражаются как значение (х,(i),x2(i),x3(/)) решения управляемой системы дифференциальных уравнений [2]

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (фант 01-01-00123) и гранта Президента РФ на поддержку ведущих научных школ на выполнение научных исследований (проект HII1-1295.2003.1).

33