Условия сохранения глобальной разрешимости вольтерровых операторных уравнений и их применение в теории распределенных управляемых систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сумин Михаил Иосифович Mikhail Sumin

д. ф.-м. и., профессор doctor of phys.-math. sciences, professor

Нижегородский государственный университет Nizhniy Novgorod State University Россия, Нижний Новгород Russia, Nizhniy Novgorod

e-mail: [email protected] e-mail: [email protected]

УДК 517.95

УСЛОВИЯ СОХРАНЕНИЯ ГЛОБАЛЬНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ВОЛЬТЕРРОВЫХ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ТЕОРИИ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ 1

© В. И. Сумин, А. В. Чернов

Ключевые слова: вольтерровы операторные уравнения; условия сохранения глобальной разрешимости.

Аннотация: Дается обзор полученных авторами достаточных условий сохранения глобальной разрешимости вольтерровых операторных уравнений, а также возможностей их конкретного применения к различным управляемым начально-краевым задачам для нелинейных уравнений с частными производными.

В [1] было предложено для изучения распределенных оптимизационных задач использовать функциональные уравнения вида

г(г) = /(г,Л[г](1),у(г)), г е П С Кп, г е Цт = (Ц(П))т, (1)

где / (.,.) : П х И/ х К5 ^ Кт, у(.) : П ^ Б/ — управляющая функция, Л[.] : Ц7, ^ Ц — оператор, вольтерров на некоторой системе Т измеримых подмножеств П в том смысле, что У И е Т значения Л[г](г), г е И^ не зависят от значений г(г) г е П \ И. Приведенное определение [1] воль-терровости функционального оператора является непосредственным многомерным обобщением известного определения А.Н. Тихонова функционального оператора типа Вольтерра и означает, что У И е Т Рн Л = Рн ЛРн, где Рн — оператор умножения на характеристическую функцию И С П И е Т

Л

во-первых, ввиду того, что к ней естественным образом приводятся разнообразные управляемые начально-краевые задачи для самых различных нелинейных уравнений с частными производными, а во-вторых, потому, что такое описание распределенных управляемых систем адекватно

1 Работа выполнена при поддержке РФФИ (код проекта 07-01-00495) и аналитической целевой ведомственной

программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)» Минобрнауки РФ (регистрационный

№2.1.1/3927).

многим проблемам теории оптимизации (см., например, [1-3] и краткий обзор [4]). В частности, в [1-3] построена теория достаточных условий устойчивости существования глобальных решений (УСГР) уравнений вида (1) по возмущению функции /, управления V и оператора А, даны разнообразные примеры применения полученных общих условий такой устойчивости в конкретных оптимизационных задачах (см. [4]). Аналогичным образом в [2] получены достаточные условия УСГР для вольтерровых функциональных уравнений 2-го рода общего вида в пространстве Ь^-В [5] и других работах авторов доклада схема [1-3] получения условий УСГР функциональных уравнений была распространена на случай вольтерровых операторных уравнений второго рода общего вида в банаховом пространстве. В докладе дается обзор полученных авторами достаточных условий УСГР вольтерровых операторных уравнений, а также возможностей их конкретного применения к различным управляемым краевым задачам для нелинейных уравнений с частными производными. Сформулируем теорему УСГР из [5].

Пусть Е — банахово пространство, Р(Е) — множество всех проекторов на Е, то есть линейных ограниченных операторов Р : Е ^ Е со свойством РР = Р (Р(Е) полуупорядочено в смысле отношения Р1 С Р2, означающего Р1Р2 = Р2Р1 = Рі; если Р\ С Р2, то (Р2 — Рі) Є Р(Е)). Проектор Р назовем волътерровым проектором оператора Е : Е ^ Е, если РЕР = РЕ. Все множество вольтерровых проекторов Е обозначим В(Е). Если система В(Е) нетривиальна, то есть состоит не только из нулевого Р = 0 и единичного Р = I операторов, то Е будем называть волътерровым оператором (а также волътерровым оператором на любой нетривиальной подсистеме В(Е) ). Если Е : Е ^ Е вольтерров, то для уравнения

г = Е[г], г Є Е (2)

при любом Р Є В(Е) естественным образом определяется Р-локадьный аналог путем замены Е на РЕ, а Е на РЕ, и, соответственно, — понятие Р-локального решения. Пусть О — класс тех Е : Е ^ Е, каждому из которых отвечает единственное в Е (то есть глобальное) решение (2).

Всякую конечную систему проекторов Т = {Ро,Рі, ■ ■ ■ ,Рк} С В(Е) со свойствами 0 = Ро С С Р1 С ■ ■ ■ С Рк = I назовем волътерровой цепочкой оператора Е. Введем обозначения: Р(а,в) ~

разность проекторов Ра — Рр; для произвольной системы К С Р(Е) положим |Ш| = 8ир| ||Р||е^е : Р Є ш|, Ш(-) = {Р(2Д) : Р1,Р2 Є Ш,Р1 С Р2}. Если Т = {Р0,Р1,..., Рк} — вольтеррова цепочка

Е : Е ^ Е, а функция р(.) : Т(-) ^ М+ и число 5 > 0 таковы, что р(Р(г^-1)) <5 Уг Є 1,к, то цепочку Т назовем волътерровой (р, 5)-цепочкой оператора Е.

Пусть: N(■) : К+ ^ М+ — неубывающая функция; Ш С Р(Е) — ограниченное по операторной норме множество, причем 0,1 Є Ш; р(.) : Ш(— ^ М+ — функция. Оператор Е : Е ^ Е отнесем к классу ¥(М, Ш, р), если Ш С В(Е), и для любых Р1, Р2 ЄШ, Р1 С Р2, и любых х, г, Аг Є Е имеем:

Р(2 ,1) (Е [Р1х + Р(2 ,1)г] — Е [Р1х + Р(2 ,1)[г + Аг]])

Е

р(Р(2,1)) •щ ™ах{ІІР1ХІІЕ, ||Р(2,1)гІІЕ, 11Р(2,1)[г + Аг]||Е} ) • ||Р(2,1)[Аг]

\ 1 [7 1^^ 111-11^1 I . II -I |2|^| I . I I -I [7 ^ I ^ I ^ 1 1 | ^ Г I | ||^*

Обозначим через Т(М, К, р) ту часть Р(М, К, р), каждый элемент Е которой при любом 6 > 0 обладает лежащей в К волътерровой (р, 6)-цеиочкой. Если Е е Т(М, К, р), то для любого Р е е В(Е) уравнение (2) не может иметь более одного Р-локального решения.

Теорема. Пусть Е0 е Т(М, К, ро)ПП и г0 е Е — глобальное решение (2) при Е = Е0. Тогда, при некотором 6 > 0 для любой (р0, 6)-цет>чк и Т = {Р0,Р1,... ,Р^} С К оператора, Е0 найдутся числа е > 0 С > 0 такие, что, если характеристика р операторного класса Т(М, К, р) обладает свойством

\р(Р) - ро(Р)| < е УР еК[-),

то каждый оператор F Е F(N, для которого ||F[z0] — F0[z0]||e ^ е, принадлежаит Q, а

соответствующее глобальное решение z Е E уравнения (2) удовлетворяет неравенству \\г — — zo\\E ^ С ||f [zo] — F0[z0]

ЛИТЕРАТУРА

1. Сумин В. И. Функционально-операторные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами // ДАН СССР. 1989. Т. 305. № 5. С. 1056-1059.

2. Сумин В. И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. И. Новгород: Изд-во ННГУ, 1992.

3. Сумин В. И. Управляемые функциональные вольтерровы уравнения в лебеговых пространствах // Вестн. ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н. Новгород, 1998. Вып. 2 (19). С. 138-151.

4. Сумин В. И. Вольтерровы функциональные уравнения в теории оптимального управления распределенными системами // Дифференциальные уравнения и топология: тез. докл. Междунар. конф., посвящ. 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина. М, 2008. С. 400-401.

5. Сумин В.И., Чернов А.В. О достаточных условиях устойчивости существования глобальных решений воль-терровых операторных уравнений // Вестн. ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н. Новгород, 2003. Вып.” 1 (26). С. 39-50.

Abstract: The authors give review of their theorems about the existence-stability conditions of global solutions of Volterra operator equations; applications of these theorems to the nonlinear controllable initial boundary value problems is discussed.

Keywords: Volterra operator equations, existence-stability conditions of global solutions.

Сумин Владимир Иосифович Vladimir Sumin

д. ф.-м. н., профессор doctor of phys.-math. sciences, professor

Нижегородский государственный университет Nizhniy Novgorod State University Россия, Нижний Новгород Russia, Nizhniy Novgorod

e-mail: v [email protected] e-mail: v [email protected]

Чернов Андрей Владимирович Andrey Chernov

к. ф.-м. п., доцент candidate of phys.-math. sciences,

Нижегородский государственный университет senior lecturer

Россия, Нижний Новгород Nizhniy Novgorod State University

e-mail: [email protected] Russia, Nizhniy Novgorod

e-mail: [email protected]