CC BY
8
Информационные технологии, физико-математическое
моделирование
УСЛОВИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ВОЗДЕЙСТВИЙ ДЛЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
*
Агаханов Э. К., Магомедэминов Н. С.
Дагестанский государственный технический университет, г. Махачкала Махачкалинский филиал МАДИ (ГТУ), г. Махачкала
В работе [1] для перемещений получено условие эквивалентности поверхностных и объемных сил. Используя вариационное уравнение Лагранжа, показано, что эти силы будут эквивалентны только в случае наложения на деформации условия несжимаемости (равенство коэффициента Пуассона 0,5). Данное жесткое ограничение существенно сужает круг задач, решаемых с применением установленной эквивалентности, так как материалы чаще имеют коэффициент Пуассона, отличный от 0,5. Рассмотрим упругое тело, находящееся под действием объемных Б; и поверхностных Р; сил, а также вынужденных деформаций шарового вида В,.
Перемещения от объемных сил Б; обозначим через и^Ч а перемещения от
поверхностных сил Р; и вынужденных деформаций В, -По теореме взаимности работ имеем [2]
Д|И< * 'Л)
гди,
О
дг
-сс/у.
(1)
Преобразуя по формуле Остроградского-Гаусса [3] поверхностный интеграл в объемный, получим
ю
дг п п дг
л V \ г г
С учетом (2) выражение (1) принимает вид
Л.
Ш"' * ш
зи;
V V
дг
Е
\-2у
1 дР,
п. дг
Тогда
Р
Е 1-2 у'
диР 1 дР
дг
и дг
Для тождественного равенства перемещений ир^и^с требуется выполнение следующих условий:
дг
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
дг
1-2 у
Е
К.
(7)
V
Первое из этих условий совпадает с условием эквивалентности поверхностных и объемных сил, полученным ранее в работе [1] для несжимаемого материала. В этом частном случае вынужденные деформации равны нулю и остается одно условие эквивалентности.
Когда тело находится под действием только объемных Fi и поверхностных Pi сил выражение (1) имеет вид (перемещения от поверхностных сил P¡ обозначены через
иру.
(8)
С учетом (2) выражение (8) принимает вид
iffFjU*hv = ГГ(Г + (9)
JJJ JJJ1 di п п di
V V V II
Тогда
(10)
11 /-Ч . /-Ч . Z \ /
ni Ol ni Ol
Для несжимаемого материала первое слагаемое в правой части соотношения (10) равно нулю, следовательно
п i di
Тождественное равенство перемещений для несжимаемого тела
Up^Uf- (12)
выполняется при условии
6Р
~гг - Fini. (13)
Ol
Таким образом, установленное ранее для перемещений условие эквивалентности поверхностных и объемных сил, выполняемое только в случае несжимаемости материала тела, является частным случаем полученных в данной работе условий эквивалентности воздействий для перемещений.
Библиографический список:
[1]. Лебедев Н.Ф., Об эквивалентности систем сил в механике деформируемых сред, Прикладная механика, 1977, № 2, с. 63-68.
[2]. Метод фотоупругости, Под ред. Г. Л. Хесина, М., Стройиздат, 1975, т. 3, 311 с.
[3]. Sokolnikoff I. S., Redheffer R. M., Mathematics of Physics and Modern Engineering, McGraw-Hill, New York, 1958.
V
s
