CC BY
10
Е.В. Сорина
УДК 517.518.82
УСЛОВИЯ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ВНЕШНЕЙ ОЦЕНКЕ СЕГМЕНТНОЙ ФУНКЦИИ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ПОЛОСОЙ
Рассматривается задача о построении полосы наименьшей постоянной ширины с полиномиальной осью, содержащей график заданной сегментной функции. Методами выпуклого анализа получены достаточные условия единственности решения задачи.
Пусть задана сегментная функция (с.ф.) F(t) = [gi (t), g2(t)], t G [c; d], gi(t), g2(t) - непрерывные функции, причём g1(t) < g2(t), Pn(A,t) = a0 + a1t + • • • + antn, A = (a0, a1,..., an) G Rn+1 - вектор коэффициентов. Рассмотрим экстремальную задачу
p(A) = max max {Pn(A,t) - g1(t),g2(t) - Pn(A,t)}—>■ min . (1)
tG[c,d] AgR"+1
Это задача о внешней оценке с.ф. F(t) полиномиальной полосой. Если A* - решение задачи (1), то Pn(A*,t) является осью полиномиальной полосы наименьшей ширины, которая содержит график с.ф.
Очевидно, задача (1) является обобщением задачи П.Л. Чебышёва о равномерном приближении непрерывной функции полиномом (случай, когда g1(t) = g2(t) при t G [c; d]). В дискретном случае, когда отрезок [c, d]
t
Выгодчиковой [1].
Введём обозначения
R1(A) = {t G [c; d] : p(A) = Pn(A, t) - g1 (t) > g2(t) - Pn(A,t)},
R2(A) = {t G [c; d] : p(A) = g2(t) - Pn(A,t) > Pn(A,t) - g1(t)}, Rs(A) = {t G [c; d] : p(A) = Pn(A, t) - g1 (t) = g2(t) - Pn(A,t)}, R(A) = Rs(A) U R2(A) U Rs(A).
Отметим, что если R3(A) = 0, то, очевидно,
Rs(A) = {£ G [c; d] : g2(i) - g1(£) = max(g2(t) - g1(t))}.
tG[c;d]
Ранее в работе [2] был получен критерий решения задачи (1):
Теорема 1. Для того, чтобы вектор коэффициентов A* был решением задачи (1), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий
а) Яз(А*) = 0;
б) существует, упорядоченный набор точек {^К=1;П+2; с < < ¿2 < ... < £п+2 < такой что если и £ Л1 (А*)(Я2(А*))7 то ^•+1 £ Я2(А*)(Л1(А*)).
В отличие от задачи П.Л. Чебышёва задача (1) может иметь не единственное решение. Приведём достаточные условия единственности.
Теорема 2. Если вектор А* удовлетворяет одному из условий
1) множество Я3(А*) содержит не менее (п + 1) точки,
2) существует набор Т = {^^=1;П+2 С Я(А*)7 в котором можно выделить упорядоченные точки til < и2 < ... < ^г7 I < п + 27 из множества Л1(А*) и Я2(А*)7 а остальные точки набора Т содержатся в Я3(А*); и при этом если
^ £ Я1(А*)(Я2(А*)),то ^ £
Л1(А*)(Л2(А*)), ¿к+1 - ¿к - чётн., Л2(А*)(Л1(А*)), ¿к+1 - ¿к - нечётн..
то А* является, причём единственным, решением задачи (1).
Доказательство. 1. Докажем, что А* - решение задачи (1). Если выполнено условие 1) или условие 2) при I < п + 2, то Л3(А*) = 0 и А* - решение задачи (1) в соответствии с условием а) теоремы 1. Если же выполнено условие 2) и Я3(А*) = 0, то выполняется условие б) теоремы 1. Таким образом, в любом случае А* - решение задачи (1).
2. Докажем единственность. Пусть Я3(А*) = 0 и А - ещё одно решение задачи (1). Тогда Я3(А*) = Л3(А) в силу определения множества Д3(-).
Если выполнено условие 1), то для точек п+1 С Я3(А*), как это
следует из определения множества Я3(А), будут выполняться равенства
РП(А*,^) = Ы^) + 02(Ъ))/2,г = 1,п + 1, (2)
которые представляют собой систему линейных алгебраических уравнений
относительно (а0,а1,... ,ап). Её определитель, являющийся определителем
А*
(2), а следовательно, и задачи (1).
Пусть теперь выполняется только условие 2). Функция р(А) является выпуклой и конечной на Лп+1. Её субдифференциал, пользуясь субдифференциальным исчислением [3], можно записать в виде
др(А) = со{дА/(А,0: t £ Д(А)}, (3)
где /(А^) = тах{РП(А,^ - д^),^) - РЦА^)}, а д/(A,t) - субдифференциал функции /(А, ^ по А. Тогда в соответствии с субдифференциаль-
ным исчислением можно выразить его в виде
Г (1,t,...,tn), Pn(A,t) - gi(t) >g2 (t) - Pn(A,t); dAf (A,t) = Г -(1,t,...,tn), g2(t) - Pn(A,t) > Pn(A,t) - gl(t); (4) [ [-(1, t,..., tn), (1, t,..., tn)], Pn(A, t) = .
Из (3) и (4) вытекает
dp(A)(n(A)) = (t)(1,t,... ,tn) : t G R(A)}, (5)
где
!1, если t G R1 (A);
-1, если t G R(A); (6)
[-1,1], если t G R3(A).
Учитывая (5) и (6), а также само условие 2), нетрудно выбрать для A* селектор n(t) G ^(t) так, что если n(tj) = +1(-1), то n(ti+1) = -1(+1), i = 1, n + 1. Тогда по теореме 2 из [4] выполняется
On+i G int co{n(ti)(1,ti,...,tn),i = 1,n + 2}.
Поэтому тем более On+1 G int p(A*), что, как известно из выпуклого анализа (см. [3]), говорит о том, что A* - единственное решение задачи (1). Теорема доказана.
Приведём пример, показывающий существенность условий теоремы. Пусть g1(t) = 1, g2(t) = t + 2, t G [0; 1], n = 1. Условие 1) теоремы 2 не выполняется, так как для оптимальных точек A множество R3(A) = {1} содержит лишь одну точку. Также не существует набора точек T, удовлетворяющего условию 2). Множество решений этой задачи можно записать в виде
= {A* = (а*,а*):0 < ^ < 1; а0 = 2 - о_1}.
Оно содержит более чем одну точку.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Выгодчикова И.Ю. О наилучшем приближении дискретного мультиотображения алгебраическим полиномом // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Са-рат. ун-та. 2001. Вып. 3. С. 25-27.
2. Дудов С.И., Сорина Е.В. О приближении сегментной функции полиномиальной полосой // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 14-й Сарат. зимней шк. Саратов, 28 янв, - 4 февр. 2008 г. Саратов, 2008. С. 67-68.
3. Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимизация. М,: Наука, 1981. 384 с.
4. Дудов С.И. О двух вспомогательных фактах для исследования задач полиномиального приближения // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2007. Вып. 9. С. 22-26.
