CC BY
33
2009
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Математика и механика
№ 1(5)
МЕХАНИКА
УДК: 539.3
О.В. Иванова, С.А. Зелепугин
УСЛОВИЕ СОВМЕСТНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ КОМПОНЕНТОВ СМЕСИ ПРИ УДАРНО-ВОЛНОВОМ
КОМПАКТИРОВАНИИ1
Численно исследовано поведение пористой смеси, помещенной в цилиндрическую ампулу сохранения, в условиях ударно-волнового нагружения на основе многокомпонентной модели среды. В качестве условия совместного деформирования компонентов выбрано равенство давлений компонентов смеси. Определены оптимальные параметры получения максимальной плотности конечных продуктов.
Ключевые слова: компактирование, многокомпонентная среда, численное моделирование.
При исследовании деформирования среды в рамках многокомпонентной модели необходимо учитывать состояние и реакцию каждого компонента, а также, в отличие от однокомпонентной смеси, не только смещение внешних границ выделенного объема, но и смещение компонентов внутри выделенного объема смеси. Смещение компонентов внутри объема зависит как от свойств, так и от структуры компонентов смеси. Поэтому в теории движения многокомпонентной среды должны учитываться условия совместного поведения или деформирования компонентов, которые кроме физических свойств компонентов в общем случае должны учитывать их структуру [1]. Следует заметить, что эффекты прочности твердых компонентов существенно усложняют указанные условия, которые должны учитывать в этом случае и различие упругопластических свойств компонентов смеси.
Цель данной работы заключается в выборе и адаптации условия совместного деформирования компонентов смеси и в определении оптимальных параметров ударно-волнового компактирования с точки зрения обеспечения максимальной плотности смеси после обработки в рамках модели многокомпонентной среды.
Для численного моделирования адиабатического движения каждого /-го компонента в некотором фиксированном в пространстве объеме V прочной сжимаемой смеси из N компонент используется система уравнений, состоящая из уравнений неразрывности, движения и энергии, с учетом соответствующего обмена массой, импульсом и энергией между компонентами внутри объема V [1 - 3]:
д N
— (ЦР,) + ^агргV, = 2 J]г; С1)
д ]=1
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 07-08-00037-а, 08-08-12055-р-офи).
_ д к д & д 1 дхк
(2)
(3)
Здесь t - время; р. - истинная плотность /-го компонента (/ = 1, 2, ..., N), равная массе /-го компонента в единице объема /-го компонента; Vг - вектор скорости; Ег - удельная внутренняя энергия; е, - тензор скоростей деформаций; с, = -(Р + Qi)5г.. + - компоненты тензора напряжений; Р г - давление; Qi - искусственная вязкость; - компоненты девиатора напряжений; Jji - интенсив-
ность перехода массы из .-го в /-й компонент; Я. - интенсивность обмена импульсом между .-м и г -м компонентами; Ф.г - интенсивность обмена энергией между .-м и -м компонентами.
Для определения доли объема смеси, занимаемой каждым компонентом, используется параметр а г > 0 [1]:
Компоненты смеси взаимодействуют друг с другом, обмениваясь количеством движения Я.,, энергией Ф.г и при наличии химических реакций - массой Jji в рамках многокомпонентной модели среды [1, 4].
Давление в неповрежденной части -го компонента смеси является функцией удельного объема, удельной внутренней энергии, удельного объема пор и во всем диапазоне условий нагружения определяется с помощью уравнения состояния типа Ми - Грюнайзена [5]:
где ц, = V, /(V - V/) -1; у0 . - коэффициент Грюнайзена; V, . и Vi- начальный и текущий удельные объемы компонента; ис и Ьг - константы ударной адиабаты Гюгонио, описываемой линейным соотношением [2]:
и, = ис + ЬгиР ,
сг г рг
где и, - скорость ударной волны, ир1 - массовая скорость компонента за фронтом ударной волны.
В данной работе рассматривается распространение ударных волн, приводящих к фазовым переходам в твердых компонентах смеси, что в свою очередь приводит к тому, что прочность материала, хотя и растет с давлением, ограничена, и при высоких давлениях свойства твердого тела в некоторых отношениях приближаются к свойствам жидкости. Кроме того, сжимаемости, истинные плотности и те-
а = Р*'Р/ ,
(4)
где р* - приведенная плотность (масса /-го компонента в единице объема среды V), причем
а1 + а2 + ... + а^г = 1.
(5)
р = Р0г ис,.2 Ь + Р0г ис12 [1 - У0, /2 + 2(ь, -1)] Ь2 +
+ Р0. иС! 2[2 (1 - У0( /2) (Ь -1) + 3 (Ь -1)2 ] цг3 + У0( Р0. Е,
(6)
плоемкости твердых компонентов достаточно близки, что уменьшает эффекты различия давлений в компонентах. В таком случае, равновесное состояние, к которому каждый раз переходит смесь, в первую очередь определяется условием равенства давлений компонентов, которые в свою очередь определяются удельным объемом и удельной внутренней энергией компонентов смеси. Указанные обстоятельства позволяют воспользоваться условием равенства давлений при взаимодействии компонентов в качестве условия совместного деформирования компонентов в смеси:
Р = Р\(У\Е\) = Р2^2,Е2) = ... = PN(VN, Е^. (7)
Равенство (7) является условием совместного поведения (деформирования) компонентов, достаточным для определения их объемного содержания а/.
Для достижения механического равновесия в компонентах смеси используется подход, предложенный в [6]. В данном случае необходимо найти новое давление, общее для всех компонентов, так чтобы механическое равновесие достигалось на каждом расчетном шаге и при выполнении условия (5). Такое механическое равновесие может быть достигнуто при решении следующей системы уравнений:
Р = Р, +АР = Р --^Да, ; (8)
аг
N
2Д-г = 0, (9)
г=1
где К = —.ре,2 - модуль объемного сжатия; с, - объемная скорость звука.
Значение изменения объемной доли Да, компонентов находится из следующих уравнений:
р=2-Р/; <ю)
/=1 /=1
Д—г =—■ (Р - Р). (И)
В результате выравнивания давлений компонентов следует найти новое значение внутренней энергии Е,:
-р,Е = ар/Е - РДа,. (12)
Для выполнения сохранения массы смеси необходимо получить новое значение плотности:
Рг = , (
а, + Да,
что в свою очередь, используя условие (4), позволяет определить новые объемные содержания компонентов а,.
Ввиду малой длительности процесса сделано предположение, что за период межфазного взаимодействия компонентов отсутствует необходимость пересчета тепловой части Е, в уравнении состояния. Все уравнения применяются итерационно, при соответственном оценивании уравнения состояния для определения давления и модуля объемного сжатия каждого компонента.
В данной работе в осесимметричной постановке в рамках лагранжева подхода была рассмотрена задача динамического взаимодействия стального ударника (полого цилиндра), метаемого скользящей детонацией взрывчатого вещества (ВВ), с цилиндрической ампулой, содержащей образец - прессованную пористую смесь алюминий (Al) - сера (S). Пористость смеси в варьировалась в пределах 0,2 - 0,4. Состав смеси представлял собой 0,65 массовых долей серы и 0,35 массовых долей алюминия. Высота цилиндрического образца 27 мм, диаметр 16 мм. Внутренний диаметр ударника 36 мм, толщина стенок 4 мм. Толщина торцевых стенок ампулы
- 1,5 мм, толщина боковых стенок ампулы Ah в расчетах варьировалась от 2 до 4 мм. Действие окружающего ударник ВВ в расчетах моделировалось заданием горизонтальному слою материала ударника с координатой z = -D0t скорости v0 по мере продвижения фронта детонации со скоростью D0 = 2,5 км/c. Скорость ударника варьировалась в пределах 600 - 1200 м/с. Численные расчеты выполнены методом конечных элементов. Константы материалов можно найти в [3].
На рис. 1 представлены графики изменения давлений в компонентах в центре прессуемой смеси без учета совместного деформирования компонентов в зависимости от времени при начальном значении пористости 0,4 и скорости ударника v0 = 800 м/с. Результаты расчетов показали неравновесность давлений и других параметров компонентов смеси из-за различных свойств материалов. Один из компонентов (Al) имеет достаточно большие пиковые давления по сравнению с другим компонентом (S). В первом случае максимальное значение давления составило 12,8 ГПа, во втором - 2,9 ГПа
Рис. 1. Несогласованные давления в компонентах смеси в центре ампулы. Начальная скорость ударника v0 = 800 м/с, начальная пористость смеси р0 = 0,4, толщина стенки ампулы АН = 2 мм.
На рис. 2 представлены графики изменения давлений в компонентах в центре прессуемой смеси с учетом совместного деформирования компонентов в зависимости от времени при варьировании скоростей ударника и начальном значении пористости компонентов 0,4 и толщине стенки ампулы 2 мм. Сравнивая пиковые значения давлений компонентов на кривых 1 (Ртах = 13,2 ГПа), 2 (Ртах = 7,1 ГПа),
и 3 (Ртах = 3,8 ГПа), очевидно, что увеличение скорости ударника приводит к более высоким давлениям в прессуемых компонентах.
Рис. 2. Согласованное давление в компонентах смеси в центре ампулы для различных начальных скоростей ударника: 1 - v0 =
= 1200 м/с; 2 - v0 = 800 м/с; 3 - v0 = 600 м/с. Для всех вариантов:
Ро = 0,4, АН = 2 мм
На рис. 3 представлены графики изменения удельного объема пор в центре прессуемых компонентов в зависимости от времени для начальной скорости ударника 1200 м/с и значении пористости компонентов 0,4. Толщина стенки ампулы - 2 мм. Результаты расчета показывают, что компоненты одновременно достигают нулевой пористости к моменту времени процесса 10 мкс. После стадии схлопывания у обоих компонентов наблюдается последующий рост пористости,
Рис. 3. Изменение пористости компонентов смеси во времени в центре ампулы: v0 = 1200 м/с, р0 = 0,4, АН = 2 мм
вызванный интенсивной разгрузкой, что наблюдается и в эксперименте [7]. Стоит отметить, что в первую очередь поры растут в А1.
На рис. 4 представлены графики изменения истинных плотностей компонентов в зависимости от времени для начальной скорости ударника 1200 м/с и значения пористости компонентов 0,4. Толщина стенки ампулы - 2 мм. Пики плотностей компонентов наблюдаются в моменты полного схлопывания пор компонентов и соответствуют пикам на кривых давлений. Но после завершения процесса ударно-волнового нагружения значения плотностей конечных продуктов не намного выше значений исходных плотностей компонентов смеси и заметно ниже значений плотностей в беспористом состоянии (линии 1, 2 на рис. 4).
Рис. 4. Изменение истинной плотности компонентов смеси во времени в центре ампулы: v0 = 1200 м/с, р0 = 0,4, АН = 2 мм.
1 - плотность монолитного алюминия (2,71 г/см3); 2 - плотность монолитной серы (2,085 г/см3)
На рис. 5 представлены значения согласованных давлений в смеси с учетом совместного деформирования компонентов в зависимости от времени при варьировании начальных скоростей ударника. Начальное значение пористости компонентов 0,4, толщина стенки ампулы - 4 мм. При сравнении с рис. 2 очевидно, что увеличение толщины стенки ампулы приводит к понижению давления в прессуемых компонентах (кривая 1 - Ртах = 11,3 ГПа; 2 - Ртах = 4,2 ГПа; 3 - Ртах = 0,4 ГПа на рис. 5).
На рис. 6 представлены графики изменения истинных плотностей компонентов в зависимости от времени при начальной скорости ударника 600 м/с, значении пористости компонентов 0,4 и варьировании толщины стенки ампулы. Пики плотностей соответствуют моментам полного схлопывания пор компонентов, а также пикам на кривых давления. Анализ численных результатов показывает, что для скорости ударника 600 м/с и пористости компонентов 0,4 при увеличении толщины стенки ампулы пиковые значения плотностей уменьшаются как у А1, так и у 8, что в свою очередь вызвано понижением максимальных давлений (рис. 5). Но после завершения процесса ударно-волнового нагружения более высокие плотности наблюдаются у компонентов при большей толщине стенки ампулы.
Очевидно, что для каждого уплотняемого материала существуют оптимальные параметры процесса динамического компактирования, которые обеспечивают максимальную плотность конечного продукта.
Рис. 5. Согласованное давление в компонентах смеси в центре ампулы для различных начальных скоростей ударника: 1 - у0 = = 1200 м/с; 2 - у0 = 800 м/с; 3 - у0 = 600 м/с. Для всех вариантов: Ро = 0,4, АН = 4 мм
Рис. 6. Изменение истинной плотности компонентов смеси во времени в центре ампулы для начальной скорости удара 600 м/с и пористости 0,4. Кр. 1, 3 соответствуют толщине стенки ампулы АН = 2 мм; 2, 4 - 4 мм
Заключение
Численно исследовано поведение пористой смеси Al - S, помещенной в цилиндрическую ампулу, в условиях ударно-волнового нагружения на основе многокомпонентной модели среды. В качестве совместного условия деформирования компонентов выбрано условие равенства давлений компонентов смеси.
Выявлено, что малопрочный компонент (сера) и более прочный компонент (алюминий) достигают нулевой пористости в одно и то же время, но в дальнейшем, на стадии действия растягивающих напряжений, поры растут в первую очередь в более прочном компоненте.
Увеличение скорости ударника и соответственно давлений и температур не обязательно приводит к увеличению плотностей конечных продуктов и может являться причиной для образования полостей на стадии разгрузки в материалах.
Самая максимальная плотность смеси после компактирования в исследованных условиях наблюдалась для скорости ударника 800 м/с, толщины стенки ампулы 4 мм и начальной пористости компонентов 0,2. При начальной пористости компонентов 0,4 максимальная плотность достигается для скорости ударника 600 м/с и толщине стенки ампулы 4 мм.
ЛИТЕРАТУРА
1. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч.1. M.: Наука, 1987. 464 с.
2. Физика взрыва / Под ред. Л.П. Орленко. М.: Физматлит, 2002. 1488 с.
3. Зелепугин С.А., НикуличевВ.Б., Иванова О.В. Моделирование твердофазных химических превращений в пористых смесях при ударно-волновом нагружении // Горение и плазмо-химия. 2005. Т. 3. № 3. С. 235 - 245.
4. Иванова О.В., Зелепугин С.А. Многокомпонетная модель среды для численного моделирования ударно-волнового воздействия на реагирующие пористые смеси // Изв. вузов. Физика. 2008. № 9. С. 141 - 150.
5. Gust W.H. High impact deformation of metal cylinders at elevated temperatures // J. Appl. Phys. 1982. V. 53. N. 5. P. 3566 - 3575.
6. Miller G.H., Puckett E.G. A high-order Godunov Method for multiple condensed phases // J. Comp. Phys. 1996. V. 128. No. 200. P. 134 - 164.
7. ПрюммерР. Обработка порошковых материалов взрывом. М.: Мир, 1990. 128 с.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ:
ИВАНОВА Оксана Владимировна - младший научный сотрудник Отдела структурной макрокинетики Томского научного центра СО РАН. E-mail: [email protected] ЗЕЛЕПУГИН Сергей Алексеевич - доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Отдела структурной макрокинетики Томского научного центра СО РАН. Email: [email protected]
Статья принята в печать 22.12.2008 г.
