CC BY
13
Дискретные функции
55
УДК 519.719.325 Б01 10.17223/2226308Х/10/23
УСЛОВИЕ ОДНОЗНАЧНОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ В СУММУ ФУНКЦИЙ ПРИ ЛИНЕЙНОЙ ЗАМЕНЕ ПЕРЕМЕННЫХ
А. В. Черемушкин
Рассматривается множество разложений двоичной функции в сумму функций от непересекающихся множеств переменных при различных линейных преобразованиях аргументов. Каждому такому разложению соответствует разложение векторного пространства в прямую сумму подпространств. Приведены условия, при которых такое разложение определяется однозначно с точностью до перестановки подпространств между собой.
Ключевые слова: двоичные функции, разложение в прямую сумму, линейное преобразование.
Пусть Тп = {/ : Уп ^ ОЕ(2)} —множество двоичных функций от п переменных, п ^ 1, Уп = ОР(2)п рассматривается как векторное пространство над полем СЕ(2), Нп — группа сдвигов пространства УП. Для каждого целого в ^ 0 определим подпространство Ы3 = {/ : deg / ^ в} пространства функций Тп, имеющих ограниченную степень нелинейности (не больше в). Заметим, что Ы0 = {0,1}. При в < 0 положим Ы3 = {0} —нулевое подпространство. Обозначим (Нп)^ множество таких сдвигов х ,
Е Нп, что выполнено сравнение
n
x ф a у
f (x ф a) = f (x) (mod Us), x G Vn
Пусть 0 ^ t ^ n — 1, 1 ^ k ^ n. Будем говорить, что переменные x&+i,...,x. функции f (x1,..., xn) являются несущественными по модулю Us, если найдётся функция h(x1,... , xk), такая, что f ф h G Us. Нетрудно видеть, что переменное xn является несущественным для функции f по модулю Us, если и только если
x ) G (Hn)fs-1'
x ф enу при en = (0,..., 0,1).
Будем говорить, что функция f G Fn линейно разложима в бесповторную сумму по модулю Us, если при некотором линейном преобразовании A пространства Vn и 1 ^ k < n найдутся функции f1 и f2, для которых выполнено сравнение
f (xA) = f1 (x1,... ,xfc) ф f2(xfc+1, ...,xn) (mod Us).
Заметим, что разложение двоичной функции в бесповторное произведение нелинейных неприводимых сомножителей изучалось в работе [1].
Случай, когда s ^ 0 и k = 1 (k = n — 1), рассмотрен в [2]. В этом случае пространство размерности n — 1 однозначно определено в том и только в том случае, когда у функции f2 (f1) все переменные существенны по модулю U1.
Для s ^ 1 и слагаемых второй степени ни о каком однозначном разложении в принципе не может быть и речи, так как таким функциям соответствуют квадратичные формы, которые имеют неприводимые группы инерции, в качестве которых выступают классические линейные группы.
56
Прикладная дискретная математика. Приложение
В то же время для s ^ 2 и слагаемых степени три и выше при ограничениях на число существенных переменных по модулю Us уже можно показать однозначность для разложения, имеющего максимальное число слагаемых.
Теорема 1. Если при s ^ 2 функция f = f (xl,... ,xn) имеет тривиальную группу инерции (Hn)/s 1) и линейно разложима в бесповторную сумму по модулю Us, то для этой функции найдётся линейное разложение по модулю Us в бесповторную сумму линейно неразложимых (в бесповторную сумму) слагаемых, однозначно определённое в том смысле, что любое другое такое разложение соответствует тому же самому разложению пространства в прямую сумму подпространств, а соответствующие функции линейно эквивалентны по модулю Us.
Метод доказательства аналогичен тому, который применён в работе [3]. В качестве следствия получаем описание группы инерции таких функций в полной аффинной группе.
Следствие 1. Если в условиях теоремы 1 функция f представлена в виде суммы линейно неразложимых в бесповторную сумму по модулю Us функций
f = f ©•••© fm (mod Us),
причём множество функций {fi,... , fm} разбивается на t классов аффинной эквивалентности по модулю Us: f,... f} С , ... , [fVl,... , f Vq} С Tnt, то для группы инерции бесповторной суммы этих функций справедлив изоморфизм
AGL (n, 2)fs1)e...e/m = [AGL (nb 2)5?)]SP x ■ ■ ■ x [AGL (nt, 2)5^1 ]Sq.
Здесь через G/s) обозначена группа инерции функции f по модулю Us в группе G, а [G]Sp — операция экспоненцирования группы G с помощью симметрической группы Sp степени p. Аналогичное описание справедливо для полной линейной группы GL (n, 2).
ЛИТЕРАТУРА
1. Черемушкин А. В. Однозначность разложения двоичной функции в бесповторное произведение нелинейных неприводимых сомножителей // Вестник Московского государственного университета леса «Лесной вестник». 2004. №4(35). C. 86-90.
2. Черемушкин А. В. Методы аффинной и линейной классификации двоичных функций // Труды по дискретной математике. М.: Физматлит, 2001. Т. 4. С. 273-314.
3. Черемушкин А. В. К вопросу о линейной декомпозиции двоичных функций // Прикладная дискретная математика. 2016. №1(31). С. 46-56.
УДК 512.55 Б01 10.17223/2226308Х/10/24
ОПИСАНИЕ НЕКОТОРЫХ ДЕКОМПОЗИЦИЙ ДЛЯ КВАДРАТИЧНЫХ БУЛЕВЫХ ПОРОГОВЫХ ФУНКЦИЙ
А. Н. Шурупов
Приводятся необходимые и достаточные условия функциональной разделимости квадратичных булевых пороговых функций, задаваемых распавшейся на два константных блока квадратичной формой.
Ключевые слова: функциональная разделимость, квадратичные булевы пороговые функции.
