Условие Эйнштейна на внешне рекуррентных подмногообразиях в пространствах постоянной кривизны Текст научной статьи по специальности «Математика»

И.И. Бодренко, 2005

МАТЕМАТИКА

УДК 514

УСЛОВИЕ ЭЙНШТЕЙНА НА ВНЕШНЕ РЕКУРРЕНТНЫХ ПОДМНОГООБРАЗИЯХ В ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ

И. И. Бодренко

В статье установлено, что внешне рекуррентное подмногообразие Е1 с непараллельной второй фундаментальной формой в пространстве постоянной кривизны Мп+Р(с) является подмногообразием Эйнштейна с константой Эйнштейна А = с(п — 1).

Введение

Пусть Мп+Р — (п + р)-мерное гладкое риманово многообразие, д — риманова метрика на Мп+Р, V — ковариантное дифференцирование в Мп+Р, Еп — п-мерное гладкое подмногообразие в Мп+Р, д — индуцированная риманова метрика на Fn, ГFn и Т^Е71 — касательное и нормальное расслоения на Еп соответственно, V — риманова связность на Еп, определенная д, Я и — тензоры кривизны Римана и Риччи связности V соответственно, Ь — вторая фундаментальная форма Еп, Б — нормальная связность, Л1- — тензор нормальной кривизны, V — связность Ван дер Вардена — Бортолотти.

Определение 1. Подмногообразие Е* в Мп+Р называется внешне рекуррентным, если для некоторой 1-формы ¡1 на Еп выполняется условие

(У*Ь)(ВД - 11(х)ъ(у,г) \/х,у,ге г*4*. (1.1)

Определение 2. Подмногообразие Е"1 в Мп+Р называется подмногообразием Эйнштейна, если тензор Риччи /?! удовлетворяет условию Эйнштейна:

= XI, (1.2)

где I — тождественное преобразование, X — константа Эйнштейна.

Теорема 1. Пусть Еп — внешне рекуррентное подмногообразие с Х7Ь ^ 0 й Мп+Р(с). Тогда Еп является подмногообразием Эйнштейна с константой Эйн-ф штейна X = с(п — 1).

1. Свойства тензора Риччи

Формулы Гаусса и Вейнгартена, соответственно, имеют вид [1]:

\7ХУ = УХУ + Ь(Х,У), Чх£=-А(:Х + ОхЬ УХ, У Є 77^", е Т±Рп.

Оператор Вейнгартена Асоответствующий £, удовлетворяет соотношению

Определение 3. Подмногообразие Рп в Мп+Р называется подмногообразием с гармонической кривизной, если на Т7” выполняется условие

Уравнения Гаусса, Петерсона — Кодацци и Риччи в случае, когда Рп является подмногообразием в Мп+Р(с), имеют, соответственно, следующий вид [2]:

для любых X, У, ¿Г, \¥ ЕТРП и £, т] € ТХРП.

Пусть индексы в статье принимают следующие значения: г, ¿,к,1,т = 1,..., п, а, (3,7 = 1,..., р и действует правило суммирования Эйнштейна.

Пусть х — произвольная точка В41, ТХРП и Т^РП — касательное и нормальное пространства Рп в точке х соответственно, II(х) — некоторая окрестность точки х, [и1,..., ип) — локальные координаты на Рп в 17(х), {д/ди1} — локальный базис в ТРП, {па|} — поле базисов нормальных векторов в Т^Р71 в II(х). Базис {па|} всегда можно выбрать ортонормированным и считать,.что д{па\,пр\) — 8ар, где 8ар — символ Кронекера. Введем следующие обозначения:

Ковариантная производная тензора Я\ определяется формулой

(УхДі)(У) = У*(Ді(У)) - Яі(ЧхУ).

(^хЯ^У) = (УуД1)(Х) \/Х,УеТР\ Определение 4. Тензор Риччи Яг называется параллельным, если

ЧХЯ1 = 0 УХеТРп.

(2.1)

д(В(Х, У)г, №) = с(д(Х, И')д(У, 2) - д(Х, г)д(У, И')) +

+ д(ь(х,мг,,ыу, г)) - ЖКХ, г),ь(У, ио), (ъхь)(у,г) = (УгЬ)(х,г), д(Л*-(Х,У)(,Ч) = я([Ае,А,]Х,У)

(2.2)

(2.3)

(2.4)

ятЧ яг1

pfc _ _/гтр raí _ jk ___ ik , р/ рт pí рт р ______________ пт

¿j У ij,mi rlij,k ~ Quj ‘ imL jk L jm1-ik> *4j,kl ~ 9lm^ijtki

db% / ~ \

% = - r%bZk - Т?кЩт, Т^ = д(пфЧ&пя),

Г,i? = ртги, (V&b) ¿) = щкпы, щк = (v(<$ + r¿,?f£),

где ||c/fcm|| и ||5a/3|| — матрицы, обратные к матрицам ||<&т|| и ||¿a/?|| соответственно.

Лемма 1. Пусть Fn — внешне рекуррентное подмногообразие в Мп+Р(с). Тогда Fn является подмногообразием с гармонической кривизной.

Доказательство. Запишем уравнение Гаусса (2.2) в локальных координатах. Мы имеем:

р

%ы = c{gügjk - gikgjt) + ^Г,(Щк ~ ЬЩ)-

а=1

Следовательно,

9'™Нам = o(gugjtg‘m - д*ш,т) + ¿(rt¡4?* - д1тЬЩ).

а=1

Отсюда, учитывая, что дцд1т — 6™, gjiglm — 6™, получим:

Щ* = - «а*Г) + ¿(9,mí>3^ - g,mb%b%).

а—1

Следовательно,

Rjk = c(ngjk - gjk) + ^>2(диЩк - днЪЩ). (2.5)

а=1

Покажем, что на Fn выполняется условие (2.1), которое в локальных координатах имеет вид:

У т Rj к = УjRmk-

Из уравнения (2.5) для ковариантной производной VmRjk получим следующее выражение:

Vm-R* = ди ¿(bSVml& + Щ„ЪтЬ$ - %„УтЩ, - bJVJÜ). (2.6)

а=1

Используя равенство = — Г^, находим:

£ =£ -OS1?*=£

а=1 /3=1 а=1

8 #.#. Бодренко. Условие Эйнштейна на внешне рекуррентных подмногообразиях

Отсюда,

¿^* + ¿^“65^ = 0.

а=1 а=1

Следовательно,

¿(6?^„63+Ь2У„%) = ¿{ь%Ут^+ь^тЬ1) + ^ттК^ + ^2гйшь^ =

а—1 а=1 а=1 а=1

= £ + т^тф = £ б«кутбз + £ щъть%.

а=1 а=1 а=1 а=1

Таким образом, верно равенство

р р

£(»^„,62 + = £(Ь5,УтбЗ + ьз^ьу. (2.7)

а=1 а=1

Учитывая (2.7), преобразуем (2.6) к виду:

р

ЧшЩы = / £(Ч^„^ + (£УтЬЗ - Ь“„УтЬ“, - б^Ь«*). (2.8)

а=1

Из условия (1.1) находим:

Щ&м = ЩфтЩ = Щ^тЪ%. (2.9)

Учитывая (2.9), преобразуем (2.8) к виду:

у„Яд = / £(б^т(й + ьз^ - - щ,чпь%).

а=1

Отсюда, в силу уравнения Петерсона — Кодацци (2.3), получим:

УтЛ,* = д“ £(63^6^ + Ь^<С* - ^-¡С - 6“*уда. (2.10)

а—1

Применяя в (2.10) соотношения (2.9), находим:

утд^ = / £(&ЗЧ,-(С* + СЛЬЗ - - ¡СЛ® =

а—1

Лемма доказана.

Обозначим через ^(х) первое нормальное пространство подмногообразия Рп в точке х.

Лемма 2. Пусть Рп — внешне рекуррентное подмногообразие с У£> ф 0 в Мп+Р(с). Тогда сНт ^(х) = 1, Ух £ Р71.

Доказательство. Предположим противное. Пусть в некоторой точке х € -Р1

сИтА^а;) ф 1.

Случай 1. Если сШпЛ^ж) = 0, то приходим к противоречию с условием Ьф О на Рп.

Случай 2. Если сЦтЛ^а;) > 1, то найдутся векторы ¿1, ¿2)¿3,^4 £ ТхРп такие, что векторы Ь(^1, ¿2), Ь(^з, ¿4) £ Т^Рп не коллинеарны. Составим линейную комбинацию векторов

М^М^Ж^з,^) - р,{13)р-{и)Ь(Ь,г2).

Учитывая (1.1) и уравнение Петерсона — Кодацци (2.3), имеем:

и(Ь)и&)Ь(ь3,и) - ц(ь)ц(и)Ь(и,г2) = ц(к)1л(г3)Ь(г2,ь4) - ^(ь)^(и)ьЦх,г2) =

= ¿¿(¿^(¿зЖ^Л) - 1*(Ь)и(и)Ь(к^2) = 0.

Отсюда, в силу линейной независимости векторов ¿(¿1,^2)) Ь(Ь3, £4), получим:

(¿(к)ц{Ь) = ц(Ь3)р(и) = 0.

Тогда для V* е ТхРп /х(*Ж*ь<2) = /¿^ЖМг) = м(*2ЖМ1) = 0. Отсюда, /¿(г) = 0, Ш е ТхРп, что противоречит условию У6 ф 0.

Лемма доказана.

Лемма 3. Пусть Рп — внешне рекуррентное подмногообразие с УЬ ф 0 в Мп+Р(с). Тогда Рп имеет параллельный тензор Риччи.

Доказательство. Из леммы 2 следует, что в каждой точке х £ Р" все векторы Ь(Х,У) коллинеарны, но не все равны нулю. В некоторой окрестности II(х) рассмотрим единичное векторное поле £ 6 которому будут коллинеарны векторные

поля Ь(Х,У). Включим £ в оснащение {па|}, положив £ = щ. Из уравнения Риччи (2.4) следует, что нормальная связность Fn является плоской, т. е. = 0. Тогда существует базис из собственных векторов Х1,..., Х„ оператора АМожем считать после перенумерации индексов, что 6^X1, Хх) = Ь\г ф 0. Обозначим ¿¿(Х*) = Ц{. Из (1.1) следует, что

/^(ХьХО = /*&(*!,*1)

и, следовательно, ¿¿1 ф 0, \х2 — • • • = Дп = 0. Докажем, что У^* = 0. Мы имеем следующее соотношение:

\7iRjk = 2/Лг(% - с(п - 1 )д#). (2.11)

Тогда ИЗ (2.11) и леммы 1 следует, ЧТО У^* = 0, если хотя бы один из индексов г^,к не равен 1. Осталось показать, что У^ц = 0. Из (2.8) находим:

V1Я11 = /(<№!, + - ь},? А) = ¡^(Щ, - ВД,) = о.

Лемма доказана.

10

И.И. Бодренко. Условие Эйнштейна на внешне рекуррентных подмногообразиях

Доказательство теоремы 1. Из леммы 3 и равенства (2.11) следует

Rjk с{п 0.

Следовательно,

Ri — с{п — 1)1.

Теорема 1 доказана.

Summary

EINSTEIN CONDITION ON EXTERNALLY RECURRENT SUBMANIFOLDS IN SPACES OF CONSTANT CURVATURE

1.1. Bodrenko

In the article, derived that externally recurrent submanifold Fn with nonparallel second fundamental form in space of constant curvature Mn+P(c) is Einstein submanifold with Einstein constant Л = c(n — 1).

Список литературы

1. Кобаяси III., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 2. М.: Наука, 1981.

2. Chen B.-Y. Geometry of submanifolds. N. Y.: M. Dekker, 1973.