Усиление сходимости цепной дроби Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА им. С. М. КИРОВА

Том 249 1973

УСИЛЕНИЕ СХОДИМОСТИ ЦЕПНОЙ ДРОБИ

В. Е. КОРНИЛОВ

(Представлена кафедрой высшей математики)

В этой статье дан пример асимптотической сходимости цепной дроби к некоторой функции в указанной далее в тексте области комплексного переменного ш

С= |0>|> 1. (О

Функция фзависит от функции /(г) и выбирается таким образом, чтобы при дальнейшем преобразовании подходящих дробей Рк (ад) можно было получить некоторое приближение для

функции /(г):

/(г) - Р2к (г) 1Ч2К (г)]-1 + г2* (г), | г | > 1. (2)

Изложенный метод усиления сходимости цепной дроби можно с успехом применять и для других цепных дробей с положительными членами звеньев.

1. Умножим слагаемые ряда (3) на множитель у{—\)к=1к и отделим вещественную часть ряда и т. д., после т-кратных одинаковых преобразований получим следующий ряд (4):

оо

= — )Л; Р> 1, М» 1; (3)

к-о \ оо

/(?) = 2 (- -V; р = <Гт, N = И2-"\ (4)

к-0 \ % !

По отношению к ряду (3) цепная дробь (вычисляются определители Ап, Вп ([1], стр. 28), а затем ар .

/ V 1 р р2п-\ (р2п _ р4п +1

1 + т + ... -г 1 +

имеет следующую сумму членов а] с нечетными индексами:

р*- 1

■ 2 = 1 + 2 Г^-/ , о-; > е = е». (6)

Я> 7?п(р2-1)...(Р2п-1)

На основании равенств (4) и (6) получим

ц = т ж (1п 2а н) (1п 8)"1

и по заданному т или н мы можем найти н или т.

2. Цепная дробь (5) по отношению к функции v{w) сходится асимптотически в плоскости комплексного переменного w за исключением круга R 1 и разреза [R, — оо]. Асимптотическая сходимость вытекает из того, что

1) Для любого р > 1 найдется такое т. что р%> 1 + р2~2т, тогда

оо со

рп'~п ^ СРк (« + 2т-1)

¿и (Р2~\)...(Р2П~1) " ¿0 (р2'П-1)...(Р2т + 2К- 1) <

C(Cp^-l)

р2т __ ! _р2т-2) '

и цепная дробь сходится по крайней мере к двум различным функциям ([1], стр. 5).

2) Подходящие дроби Pk'-Qk сходятся асимптотически к функции y(w) в названной выше области в силу следующего равенства ([2], стр. 466):

lim (<р (w) - Р2п: Q2n} = 0. (7)

W-+00

Докажем равенство (7). При >ос цепная дробь (5) сходится к функ-

оо

ции y(w) в силу lim w ^ a<zn — 00• Для любого w из области ||ш||>1,

W-+CO

arg гиФ к точное значение верхней грани sup | Рк ; QK — Р2п : Q2n | будет в общем случае при к = 2п + 2т -f I (т = 0, 1, ...); тогда ([3],

стр. 450)

— lim

Um\itP»-*{<e(w)-P,a:Q2n}\<

w-*-oo

< lim j w2"-1 I sup | PK : QK — P,n : Q2J =

W-+OQ

W2 \ ) l)(Wm +

0

(w2n + m )

и равенство (7) доказано.

4. На основании того, что численное значение всей суммы (6) и ее частичной суммы может быть очень большим, мы можем (неограниченно приближая р к единице) получить приближения для <р (w) такие, что при ^ = 1 и некотором к \ R2k I < е, где, предположим, е^Ю~10. Далее w в подходящей дроби (1) умножается на i и отделяется ее вещественная часть и т. д., то есть последовательно преобразуем подходящую дробь (1) т раз и, заменяя в полученном приближении w переменной z, получим приближение вида (2) для функции f(z). Таким образом мы получим приближение для /(г) в области |2|>1, arg г Ф % такое, что остаточный член |г2л-|<^ где, предположим, На основании вышеизложенного s зависит от

т, к: е = ф (о, т, к).

ЛИТЕРАТУРА

1. Т. И. Стилтьес. Исследования о непрерывных дробях. М., OHTII, 1936.

2. М. А. Лаврентьев и Б. В. Шаба т. Методы теории функций комплексного переменного. М., Физматгиз, 1965.

3. С. С. Хлопонин. Ученые записки Марийского пединститута. Т. XXVI, Йошкар-Ола, 1965, стр. 445—486.