Уравнения возмущенного вращательного движения небесного тела с изменяемой геометрией масс в переменных Андуайе Текст научной статьи по специальности «Физика»

Математика к Математическое

моделирование

Ссылка на статью: // Математика и Математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2016. № 05. С. 1-18.

Б01: 10.7463/шаШш.0516.0853843

Представлена в редакцию: Исправлена:

© МГТУ им. Н.Э. Баумана

09.09.2016 23.09.2016

УДК 521.1

Уравнения возмущенного вращательного движения небесного тела с изменяемой геометрией масс в переменных Андуайе

_ 1 Л

Баркин М. Ю.1'

Ь агкп11д;уапс1ех-ги

1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

В теории вращения Земли широкое применение имеют уравнения Лиувилля. Причем обычно используется их упрощенная линейная форма записи. Однако, в связи с возрастанием точности наблюдений все актуальнее становятся вопросы об учете новых дополнительных слагаемых к линейным членам и о более точном аналитическом описании соответствующих эффектов во вращении Земли. Такая необходимость возникает, например, при объяснении наблюдаемых невязок в значениях амплитуд ряда нутаций оси Земли. По-видимому, вскоре может возникнуть необходимость в более полном учете свойств невозмущенного чандлеровского-эйлеровского движения Земли при построении теории ее возмущенного движения. Конечно, все сказанное относится не только к Земле, а ко всем телам Солнечной системы.

Ключевые слова: переменные Андуайе, задача Лиувилля, углы Эйлера, Земля, слабодеформируемое тело

Введение

Для решения указанных проблем, безусловно, важно иметь в распоряжении удобные для исследований формы уравнений движения в переменных, имеющих ясный геометрический и динамический смысл. Такими переменными являются переменные Андуайе. Здесь укажем, что эти переменные получили широкое применение при изучении вращательных движений естественных и искусственных небесных тел, моделируемых как абсолютно твердые небесные тела. Важные приложения канонические уравнения в переменных Андуайе получили в небесной механике: в теории вращения Земли, в теории вращения Луны, Меркурия и Венеры и другие приложение. В данной работе аналогичные уравнения выводятся для другой модели небесного тела - для модели изменяемого тела Лиувилля (с изменяемой геометрией масс).

Постановка задачи

Рассмотрим слабодеформируемое тело, предполагая, что его частицы в процессе движения тела либо слабо отклоняются от своих первоначальных положений, либо смещаются заданным образом во времени с малой скоростью. Предполагаем, что тело имеет внутреннюю твердую оболочку, с которой свяжем некоторую декартовую систему координат , и внешнюю деформируемую оболочку. За эту оболочку можно принять мантию планеты в ее первоначальном (или недеформированном) состоянии.

Ориентацию осей по отношению к основной системе координат Сху2 с тем

же началом и с осями, сохраняющими постоянную ориентацию в пространстве, зададим углами Эйлера ¥, 0 и Ф (угол прецессии, угол нутации и собственного вращения). Пусть ю - вектор угловой скорости вращения осей тела по отношению к системе коорди-

нат Схух. Его проекции на оси координат Сц и С£ определяются кинематическими уравнениями Эйлера:

где - соответствующие обобщенные скорости.

Вектор кинетического момента вращательного движения тела О в системе координат Сху2 определяется формулой

О = в,\ь + Ол\ъ + Оскь, (2)

а его проекции вектора на координатные оси тела равны:

О^ = Ар - Бд - Ег + Р ,

Оч = -Бр + Вд - Бг + £, (3)

О^ = -Ер - Бд + Сг + Я.

Здесь А, В, С и Б, Е, Г - осевые и центробежные моменты инерции тела (по предположению они являются известными функциями времени). Р , а и Я - проекции кинетического момента относительного движения частиц тела на координатные оси С%, Сц и . По условию задачи (в постановке Лиувилля), указанные 9 динамических характеристик являются заданными функциями времени и в общем случае они могут быть представлены в виде суммы двух слагаемых:

А = А +5А(г), В = В +ЗВ(?), С = С +ЗС , (4)

Б = Б +6Щ), Е = Е0 +5Е(0, Г = Г ,

где А , В , С, Б0, Е0, Г0 - некоторые постоянные (начальные или невозмущенные, или средние) значения компонент тензора инерции тела, например, соответствующие неде-формированному состоянию тела, а

5Л(г), 5Б(г), 5С (г), 5 Б (г), 5Е(г), 5Г (г)

(5)

- возмущающие добавки к ним за счет смещений частиц тела и соответствующих вариаций плотности. Считаем, что слагаемые (4) и компоненты кинетического момента относительных движений частиц тела Р = 5Р, Q = 5(2 и Я = 5Я являются заданными функциями времени. Вариации (5) ногда могут быть получены на основе спутниковых наблюдений за вариациями гравитационного поля Земли, а также других небесных тел.

Вместо моментов инерции иногда удобно использовать коэффициенты второй гармоники гравитационного потенциала (для Земли - геопотенциала). Их стандартные (не нормированные) значения связаны с моментами инерции (4), (5) простыми соотношениями [1]:

2С-Л-Б „ Б-Л

1 = -С = -

° 2 20

5 = —

°22 = ,2

2тт02

С = ■ С22

С =

С21

Е

2тт0 "" тт^

521 =

4ттг Б

2

(6)

тк

где т0 и т0 - масса и средний радиус планеты.

Предположим, что оси инерции, связанные с телом, являются главными при отсутствии временных вариаций моментов инерции (в недеформированном состоянии). При этом постоянные параметры задачи связаны следующими соотношениями:

т(0) __Ы0) 1 2 С 20

2С0 Л0 Б0

2тт

п(0) С22

0

Б0 - Л

4тт2

(7)

с(0) _ °22 ='

^0 _ п п(0) _ Е0 0 , С21 ?

2тк

2

= 0

тк

Я™ = Б = 0.

тТ2

'0 ""0 ""0 Вследствие деформаций планеты и, вообще, вследствие каких-либо изменений ее геометрии масс параметры геопотенциала (6) испытывают временные вариации, для которых имеют место аналогичные соотношения:

25С -5 Л -5Б

512 =-5С20 =-

2тт

5С22 =

5Б -5 Л 4тт„2

(8)

5522 =

5¥

5С21 =

5Е

2тт0 " тт~

5521 =

5Б

тк

На практике используется дополнительное соотношение между вариациями моментов инерции,

5Л + 5Б + 5С = 0. (9)

Соотношение (8) вытекает фактически из определения шарового момента инерции относительно центра планеты, который не меняется при произвольных поверхностных перераспределениях масс в тонком шаровом слое. Из формул (8) и (9) нетрудно получить выражения для вариаций моментов инерции - компонент тензора инерции:

— = — 5Спп--51п, -= — 8Спп--51, -= — 51,

С I 31 С I 31 С 31

2

5Е 1 5Б 1 5Я 2 — = ~5С21 , ~ = ~^5821 , ~ = ^ ^22 . (8)

Для Земли уже более 40 лет вариации коэффициентов геопотенциала (6), (7) и (9) изучаются спутниковыми методами [1], [2] - [5].

Предположим, что на тело действуют силы, главный момент которых относительно центра масс тела С равен Ь . Тогда на основе теоремы об изменении кинетического момента механической системы получим следующее векторное уравнение вращательного движения тела:

■ + ю х G = L

йг

или в проекциях на оси системы координат :

йг

О

йг йг

+ дОс - гОц = Б ,

+ гС%- рСс= Ьц,

+ рСц- до, = Ь.

(12)

(13)

Подставим значения проекций вектора кинетического момента слабодеформируемо-го тела (2) в (13). В результате получим уравнения Лиувилля [6]:

— ( Ар - Бд - Ег + Р ) + Б (г2 - д2) + ( С - В ) дг + (Гг - Ед ) р + дЯ - г0 = Ь

йг й

(14)

- {-Ер + Вд - Бг + 0) + Е (р2 - г2) + (А - С) гр + (Бр - Гг) д + гР - рЯ = Ь^,

йг й

— (-Ер - Бд + Сг + Я) + Г (д2 - р2) + (В - А) рд + (Ед - Бр)г + р0 - дР = Ьс.

К уравнениям (14) следует добавить кинематические уравнения Эйлера (1), а также указать законы изменения компонент тензора инерции и компонент кинетического момента относительного движения частиц тела, т.е. величин:

А (г), В (г), С (г); Б (г), Е (г), Г (г); Р (г), 0 (г), Я (г).

(15)

Проекции главного момента сил в уравнениях (1 4), действующих на тело, предполагаются известными функциями обобщенных координат и скоростей (1),( 11) и времени.

Канонические уравнения вращательного движения в переменных

Эйлера

Примем в качестве обобщенных координат углы Эйлера и определим сопряженные им канонические импульсы по формулам [7]:

Подставляя выражение кинетической энергии T (1), (12) в (18), получим:

, о р „ев „ сгт л р« = Ар —^r + Bq -4- + Сг —- - D 3S 3S 33

ер | ¿4 q зз р 3S

op or

У-г- + Р -г

as as

—F

or oq

q—<- + y—ras as

3P 30 3R

+ P—r + +

3S 3S 3S

(Ap-Dq-Er + P)^ + (-Dp + Bq-Fr+Q)^r+(-Ep-Fq + 0>+R)

as

as

or

as

где

- обобщенные координаты (углы Эйлера) и обобщенные скорости (их производные по времени).

С учетом формул (1) из (19) получаем выражения:

-аз 4 33 -33

где

¿~ Е? ¿~ £7 ^ у

—К- = sin ©sin Ф. —^ = sin©cosO. -;— — COS ©.

3¥

op 3Q

" 3V " 3¥

Зр -оЛ = 0 л = 1._

¿ф " ¿ф ' ¿ф

= cos ФЛ- = - sin Ф = Зг — = i

аэ с©

= 0.

Таким образом,

Рц, = G sin ® sin Ф + G sin ® COS Ф + G COS ® ,

Рф= G,

p0 = G cosФ-G sinФ. Разрешая (20), для проекций кинетического момента получаем следующие выраже

(18)

ния:

^ (Рт- Рф cos 0) .

Gg = p0 cosФ + 1£-т—-sinФ ,

G = -p0 sin Ф +

sin 0 (Рт - Рф cos 0)

(19)

sin0

cos Ф, Or = Рф ,

а для модуля вектора G

G = V gg + G2 + Gr = ^

(Рт- Рф cos 0)

Р& + Рф

sin 0

(20)

Предположим, что движение тела происходит под действием потенциальных сил, а задача допускает определенную силовую функцию и ( 0, Ф, /) . Лагранжиан задачи при этом равен Ь = Т+и, а гамильтониан (обобщенная энергия) определяется по правилу

[13],

К = р^ + рфФ+рвЭ-Т-и. (21)

Эта функция с помощью формул (20), (12), (1) должна быть представлена явной функцией канонических переменных задачи:

¥ , 0, Ф, pw, p0 , pф . (22)

Из общей теории гамильтоновых систем для гамильтониана (21) следует формула:

K = T(2)-U, (23)

где T (- квадратичная часть кинетической энергии относительно обобщенного скоростей. Это означает, что в T достаточно выразить через переменные (22) лишь члены квадратичные относительно p , q и т .

Разрешим уравнения (19) относительно проекций вектора угловой скорости р , q и т . Будем иметь:

р = а (О,- Р)-/(Оч- ()-е (О,-Я), (24)

д = -/ (О,- Р) + Ь (О^- ()-й (О,-Я), т = -е (О,- Р )-й (оО() + с (О,- Я ),

где введены обозначения:

BC - D2 AC - E2 AB - F2

a =-, b =-, c =-, (25)

А А А

ED + FC DF + BE 1 FE + AD

f =--, e =--, d =--,

А А А

А = ABC - AD2 - BE2 - CF2 - 2DEF .

Полученные формулы (24), (25) являются точными и при указанных выше допущениях могут быть заменены достаточно простыми приближенными формулами.

Подставим теперь формулы (24) в выражение квадратичной части кинетической энергии в (10), (23). Отбрасывая члены, зависящие лишь от времени, получим следующее выражение для гамильтониана задачи:

2V + bGV + Cgí 2fG^V 2dGtG1,

K = 1 (aG] + bG,2 + cG¡ - 2 fG G - 2eG^ - 2dG(Gv) - (26)

-fiG -fiVGV- QCGC -U ("¥, 0, Ф, t),

где величины

П^ = аР - /2 - еЯ , П^=-/Р + Ь( - йЯ, Пс=-еР - й( + сЯ (27)

являются известными функциями времени, а компоненты углового момента определяются формулами (24).

Таким образом, канонические уравнения вращательного движения деформируемого тела в переменных (22) имеют вид:

й5 дК йр8 дК

dt др/ dt dS

(S = W, 0, Ф) (28)

где

^ 1 / о о о _ _ _ \ ^

K = 1 (HiiPl + HiiPÍ + ЯззРф + 2Hnpw pe + 2н1зр^рф + 2H 23рврф ) -

+h рт+ h р0+ hi рф- U (Y, 0, Ф, t). (29)

Коэффициенты H^, h в (29) определяются формулами:

Hi = cosec20(a sin2 Ф + b cos2 Ф- / sin2ф) , (30)

H22 = a cos2 Ф + b sin2 Ф + / sin2Ф, H33 = ctg20(a sin2 Ф + b cos2 Ф - /sin 2Ф) + c + 2ctg 0(e sin Ф + d cos Ф), H12 = cosec 0[п2Ф(a - b)- 2/ ^2Ф], H13 = - cos 0cosec20 (a sin2 Ф + b cos2 Ф - / sin 2Ф) - cosec 0 (e sin Ф + d cos Ф),

H23 = -1 cos 0cosec 0 [sin 2Ф (a - b) - 2/ cos 2Ф] - e cos Ф - d sin Ф,

h = cosec0(Q^ sinФ + Ц cosФ), (31)

h = -ctg0(^ sinФ + Q^ cos+ .

Канонические уравнения вращательного движения небесного тела с изменяемой геометрией масс в переменных Андуайе

Введем в рассмотрение переменные Андуайе, которые связаны с вектором кинетического момента G (2), (3):

G, в, р, l, g, h (32)

Пусть CGfi2G3 - промежуточная система координат, связанная с вектором G. Ось CG3 направлена вдоль вектора G, а ось CGX расположена в плоскости Cxy основной системы координат и направлена вдоль линии пересечения плоскостей CG G и Cxy в сторону восходящего узла плоскости CGXG2 (рис.1). Пусть G = |G| - есть модуль вектора кинетического момента. р и h - углы, однозначно определяющие ориентацию осей системы координат CGfí2G3 по отношению к системе координат Cxyz: р - угол между осью Cz и вектором кинетического момента G, h - угол между положительными направлениями осей координат Cx и CG ( h - долгота восходящего узла промежуточной плоскости CGiG2 ).

Ориентацию осей тела C^ij^ по отношению к промежуточной системе координат CGfi2G3 определим углами Эйлера l, g,e (рис. 1). Угол нутации в - угол между положительными направлениями осей CG3 и C£ . Угол прецессии g - угол между осью CG1 и

линией пересечения координатных плоскостей С0102 и С£т] (или угол между положительным направлением оси СО и направлением на восходящий узел плоскости тела С£т] на промежуточной плоскости С0102). Угол собственного вращения I - угол между указанным направлением на восходящий узел плоскости и осью С£.

Таким образом, если углы Эйлера ¥ = к , 0 = р , Ф = 0 задают ориентацию промежуточной системы координат С0г0203 по отношению к основной системе координат, то углы Эйлера ¥ = g, 0 = 0, Ф = I задают ориентацию координатных осей тела по

отношению к промежуточной системе координат С0г0203.

Единичные орты систем координат Схух, С0г0203 и С]С, обозначим, соответственно:

'*, ,к* ; 'с, .о,ко ; Ч, .ъ, къ . (33)

Рис. 1. Основные системы координат и переменные Андуайе.

Также введем в рассмотрение единичные векторы ebs, eGs и гю, направленные вдоль линий пересечения координатных плоскостей Cxy, C^ij; Cxy, CGfi2 и CGfi2, C^ij (рис. 1). На рис. 1 также указаны углы Эйлера ¥ , 0, Ф.

Определим еще три переменных Андуайе: L, G, H. L - проекция вектора G на полярную ось тела C^, H - проекция вектора G на ось Cz и G - величина вектора G. Очевидно,

L = G ■ kb , G = G ■ kG , H = G ■ ks (34)

или

L = G cos0 , G = |G| , H = G cos p. (35)

Докажем теперь, что преобразование переменных Эйлера (28) к переменным Анду-

айе

L , G, H , l, g, h (36)

является каноническим.

Каноничность указанного преобразования вытекает из того факта, что дифференциальные формы, устанавливающие каноничность преобразования и записанные в канонических переменных Эйлера (30) и в переменных Андуайе (38), равны скалярному произведению вектора кинетического момента G на элементарный вектор-угол поворота dQ осей тела C^ij^, т.е.

p^d Т + p@d 0 + Р^Ф = Ldl + Gdg + Hdh = GdQ. (37)

Чтобы доказать это тождество следует дважды вычислить скалярное произведение GdQ, один раз используя переменные Эйлера, а другой - переменные Андуайе,

(GdQ) = (GdQ^ = (GdQ^. (38)

Доказательство тождества (37), (38) дается в статье [8] и здесь оно для краткости не приводится.

Для того чтобы записать гамильтониан задачи в новых переменных (32), (35), (36) достаточно в выражение (26), (27) подставить следующие значения проекций вектора кинетического момента на координатные оси тела:

G = Gk¿ = GkGi¿ = G sin в sin l = VG2 - LL sin l,

G = Gj = Gkj = G sinecos l = V G2 - L2 cos l, (39)

G = Gk6 = Gkakb = Gcose = L .

Теперь получаем канонические уравнения вращательного движения слабодеформи-руемого тела:

dl dK dL dK

dt dL dt dl

dK dG- dK

dt dG ' dt dg

dh dK dH dK

(40)

dt dH ' dt dh ' K = 1G21( a sin21 + b cos21 - f sin2l) sin2 в + c cos2 в- sin2e( e sin l + d cos l )j-

-G [(Q sin l + Q cos l) sin в + Q cos в] - U (L, G, H, l, g, h, t) . (41)

Силовая функция U в (41) должна быть представлена как функция канонических переменных (36) и времени. Последняя задача обычно решается с помощью известных представлений направляющих косинусов a координатных осей тела C^i^ в основной

системе координат Cxyz : a (в, Р, l, g, h). Приведем также известные формулы для двух

наклонностей вектора кинетического момента относительно нормали к плоскости орбиты (или другой базовой плоскости) - угол р и относительно полярной оси инерции тела О£

- угол в :

sine =

л/О2 - L

L

, cose = — , sin p =

О О

Уо 2 - н2

О

н

cos р = —.

О

(42)

Рис. 2. Коническое движение оси инерции в невозмущенном чандлеровском движении (с периодом 432 сут). Переменные Андуайе и положение вектора кинетического момента вращательного движения.

Упрощенные формы уравнений движения в переменных Андуайе

Наряду с каноническими уравнениями движения (40), (41) будем использовать уравнения в переменных в, О, р, l, g, h . L = О cos e , О = |G| , H = О cos р.

Преобразование переменных (41), (42) хорошо известно и поэтому сразу на основе канонических уравнений получим следующую форму уравнений:

dO DU

dt dg

dee i

DU

-O sineTia - b)sin2l - 2 f cos2l 1 + Оcose(-e cosl + dsin l) + — ctgeDDU - — cosece dt 2 LV ' J v ' О Dg О Dl

dp 1 DU 1 DU = — ctg p---cosec p

dt О Dg О

Dh

(43)

dl = -O cos e( a sin21 + b cos21 - f sin 2l - c) - Ocosec в cos 2в (e sin l + d cos l) +1 cosec в

DU

De

dg_ dt

= О (a sin21 + b cos21 - f sin 2/)-Octge(e sin l + d cos l)- — ctge

DU 1

О

De о

--cot p

DU Dp

dh 1 DU

— = — cosec p-.

dt О Dp

где силовая функция задачи

и = и(в,р, I, g, к, г) (44)

Таким образом, при заданной силовой функции задача о вращательном движении слабодеформируемого тела сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений (1.45), (1.46) шестого порядка при определенных начальных условиях:

t = 0: _ = 1о, Е = £о, к = ко, О = Оо, в = во, Р = Ро • (45)

Если в качестве осей тела С^гС выбираются его главные оси инерции, тогда а = 1/А, Ь = 1/5, с = 1/С, Ж = е = / = 0, и уравнения (45), (46) принимают следующий вид:

Ж '

Жв 1 ^ . У11V о, 1 п^и 1 ди

— = — и Б1П в I---I 81п2/ н— йев---сОБесв-,

Ж 2 ^ А 5 У О дЕ б д/

йр 1 ди

-= — йе р---

Л О дЕ О

1 ди

соБес р-

дк

Л/ г а

— = -О СОБв

ж

(

1 б1П / СОБ /

2 Л

С

^ = О Ж

(

б1П / СОБ /

2 Л

5

1

ди

н— соБесв , О дв

(46)

5

1

ди 1

ди

у

--^в---^ р- ,

О дв О др

Лк 1 ди

— = — соБес р-,

Ж О д р

Лв 1 _ . У 1 1 I .

— = — О Б1Пв|---I 81П2/.

Ж 2 IА 51

Ж

= -О

1

С

1 1

А + В

сОБ в -1ОI ----1 I сОБ в сОБ 2_ .

2 IА 5 У

и = и(в,р, /, g, к, г) •

Для приложений представляет интерес случай, когда для рассматриваемого тела осевые и центробежные моменты инерции тела и проекции кинетического момента относительного движения частиц тела на связанные координатные оси допускают представления (4):

А = А + 8А , 5 = 5 +55, С = С + 8С , (47)

В = 8В , Е = 8Е , F = 8Б, р = 8Р, 0 = 80, Я = 8Я • Здесь символ 82 означает малую по амплитуде вариацию параметра 2, для описания которых также можно использовать малый параметр / . А, 5 и С0 - постоянные невозмущенные значения осевых моментов инерции (или их средние значения). Все вариации в (47) учитывают эффекты изменяемости динамического строения тела и являются

определенными функциями времени. В дальнейшем условимся сохранять в гамильтониане и в силовой функции задачи только линейные члены относительно указанных вариаций. Подставим во введенные выше функции времени (25) значения вариаций (47) и после несложных преобразований получим формулы:

а = а0 + 5а, Ь = Ь0 + 5Ь, с = с0 + 5с, (48)

й = 5й, е = 5е, / = 5 /,

где

а0 —~Т' bo — A "Bo ' — j

— -SA, áb — A' SB - Bo2 , Sc —- SC C2 ' Co

sd s --, Se —- A Bo SE Co A , Sf — SF BoCo

<Av — Aj% J <3 ii a — SR Co .

(49)

Для Земли, Луны и многих других небесных тел эллипсоиды инерции близки к сферам. Это означает, что разности их осевых моментов инерции по сравнению с самими моментами инерции являются малыми. Это позволяет сделать еще одно упрощение в правых частях равенств (49), а, именно, положить в вариациях (49) А = В = С •

При этом гамильтониан задачи о вращении тела с малыми изменениями геометрии масс можно представить в стандартном виде:

К = К0 +К , (50)

где

к—1

0 2

Í • 2 / 2 /Л 7-2

sin l cos l т9 \ L

(g2 - L2 )+L- (51)

Л A Bo ) 2Co

- гамильтониан невозмущенного эйлеровского вращения неизменяемого тела с постоянными главными центральными моментами инерции A, B и C0, и K - возмущающая функция, включающая в себя малые члены квадратичной части кинетической энергии вращательного движения тела и силовую функцию задачи (если учитываются гравитационные моменты внешних небесных тел), которая также мала по сравнению с основным слагаемым гамильтониана K0:

K — 1G2 sin2 6(áa sin2 l + Sb cos2 l -Sf sin 2/)+ Sc cos2 6- sin 20 (Se sin l + Sd cosl)J -

-G[(á^ sin / + cos /) sin 6 + áa( cos0] l- U(6, a, /, g, h, t). (52)

Для изолированного небесного тела силовая функция гравитационного притяжения внешних небесных тел и (0, р, I, g, к, /) = 0.

Для изучения вынужденных вариаций вращения конкретных небесных тел (Земли, Луны и др.) вместо вариаций моментов инерции и параметров задачи введем вариации коэффициентов второй гармоники гравитационного потенциала (8), (9). В частности для вариаций коэффициентов в (52) получим простые соотношения:

8а = 8 = (832 + 65С22), 8/ = -— = --^ 8£22, А 33Ао А>во 3Аово

8Ь = -8В = -С^(832 - 68С22), 8е = = —1_ 8С21, (53)

В0 33Во СоД) 3А0

8с = -8С =--2— 83-,, 8й = —^^ = —— 8£9,,

С2 ^ тс 2 № С ТТ?

Со 33С0 воСо 3Во

__ 8Р _ 80 _ 8Я 8^ = —, 8^ = —, = —.

А Во Со

Предположим теперь, что эллипсоид инерции планеты близок к сфере. Тогда, пренебрегая членами второго порядка малости по отношению к разностям главных моментов инерции С0 - А , С0 - В0 и вариациям параметров задачи, получим упрощенные выражения:

1 1 2

8а =-(83 + 68С22), 8Ь =-(832 - 68С22), 8с =--832, (54)

3/С/ 2 22} 3/С/ 2 22} 3/С0 2

8 = 822 , 8 = -7^ 8С21 , 8 = 821 , 8&г = — 8Р, 8ПЯ = —80, = — 8Я.

Со Со Со

В результате всех выполненных преобразований и упрощений возмущающую часть гамильтониана задачи Лиувилля представим в следующей окончательной форме 1

K = —G2 1 2ICn

- (l - 3 cos2 в)832 - 28C22 sin2 в cos 2/ + 28S22 sin2 в sin 2l (55)

G

+8C21 sin2вsinl + 8S2l sin2вcosl]--[(8^sinl + 8Qcosl)sine + ^^cose] .

C0

C целью более детального исследования решения уравнений Лиувилля в канонических переменных Андуайе (42), (43) и для удобства возмущающий Гамильтониан K1 (57) представим в виде суммы трех слагаемых

K = K(1) + K(2) + K(3), (56)

где

1

K(1) = G2

2 ICo

— cos2 в 832 - 28C22 sin2 в cos 2l

v3 /

(57)

К(2) -2 (25$22 б1п2 в б1п 21 + 5С21 б1п 2в б1п I + 5^ б1п 20 соб I),

К(3) =-

—

С

б1п I + 5() собI) б1п в + 5Я соб в] .

Или в канонических переменных (36), (35):

К(1) =■

1

2 С

- О2 - Ь ] 532 - 28С22 (о2 - Ь) соб 21

К(2) =-

21Сп

28$22 (О2 - Ь ) б1п 21 + 25С21 -¡О2 - Ь Ь б1п I + 25$и V-2 - Ь Ь соб I

К(3) =-

С

(5Р б1П I + 5<2 СОБ I )>/ О2 - Ь2 + Ь5Я

(58)

(59)

(60) (61) (62)

Первая часть гамильтониана (57), (60) позволяет изучить динамические эффекты во вращении планеты, вызванные циклическими вариациями или вековыми изменениями основных коэффициентов геопотенциала 5/2 и 8С22. Вторая часть гамильтониана (58), (61)

позволяет изучить динамические эффекты во вращении планеты, вызванные циклическими вариациями или вековыми изменениями произведений инерции планеты или соответствующих им коэффициентов геопотенциала 5С21, 5$21 и 5$22 . Наконец, третье слагаемое возмущающего гамильтониана (56), (62) позволяет описать динамические эффекты, вызванные временными вариациями проекций вектора кинетического момента на главные оси инерции планеты 5Р, 5<2 и 5Я .

Воспользуемся формулами (54) - (58) и выделим основные члены в правых частях уравнений (46) (с учетом силовой функции задачи):

ЛО ди

Л дg '

йр 1 ди 1 ди

-= — Се р---соБес р-.

Ж О дg О дк

Лк 1 ди

— = — соБес р-,

Ж О д р

(63)

йв 1 „ . _

-= — О БШв

Ж 2

11

А В

о У

О

б1п 21 + 2-б1п в (5С22 б1п 21 + 3^2 соб 21) +

1С,

+ -

— С

соб в (5С21 соб I -5Б21 б1п I) + — сх%вди —-собес в,

О

дg О

д1

Л г а — = О соб в

Ж

г 1 1 1 ^ 1 1 • 2 7 1 2 т

---Б1п I--соб I

Со Ао Во

— С

соб в (5^ - 45С22 соб 21 + 25$и б1п 21) -

соБесв соб20(5С9, б1п I + 58^ собI) + — соБес вди

1С v 21 21 О дв

1

dg = g dt

— sin21 н—— cos21

A B

л

ICn

(8 J - 48C22 cos 2l + 28S22 sin 2l)

G ^ / r.^, . , 0 Ci j\ 1 ,, dU 1 dU

н--ctge(8C21 sin l + 8S21 cos l)--ctge---cot p-

IC0 G дв G dp

где U = U(в,р, l, g, /) - силовая функция задачи.

Заключение

Выписанные члены в правых частях уравнений (63) играют главенствующую роль для анализа эффектов во вращательном движении небесного тела вызванных вариациями геометрии масс и вариациями относительного кинетического момента.

Таким образом, изменения геометрии масс Земли характеризуется вариациями коэффициентов геопотенциала (и только второй гармоники, поскольку лишь эти коэффициенты зависят от осевых и центробежных моментов инерции). Были выведены основные формы уравнений вращательного движения слабодеформируемых небесных тел в переменных Андуайе. В результате были получены уравнения движения в подходящей для исследования форме, в частности для эффективного применения метода малого параметра. Полученные результаты представляют важный интерес для изучения вращательного движения не только Земли, но и других небесных тел (Венеры, некоторых астероидов и др.).

Список литературы

1. Аксенов Е П (1977) Теория движения искусственных спутников Земли. Наука. Москва. 360c.

2. Cheng M.K., Shum C.K. and Tapley B.D. (1997) Determination of long-term changes in the Earth's gravity field from satellite laser ranging observations. J. Geophys. Res., 102, No B10, p.22.377-22.390.

3. Cheng M., Tapley B. (1999) Seasonal variations in low degree zonal harmonics of the Earth's gravity field from satellite laser ranging observations. Journal of Geophysical Research, V. 104, Issue B2, p. 2667-2682.

4. Cheng M.K., Gunter B., Ries J.C., Chambers D P. and Tapley B.D. (2003) Temporal Variation in the Earth's Gravity Field From SLR and CHAMP GPS Data Center for Space Research, The University of Texas at Austin, Austin, Texas 78759, USA. http://www.pdfio.com/k-766194.html.

5. Cox C.M., Au A., Boy J.-P. , Chao B.F. (2004) Time-variable gravity: using satellite-laser-ranging as a tool for observing long term changes in the Earth system, in Proceedings from the 13th International Workshop on Laser Ranging, eds Noomen R., Klosko S., Noll C. & Pearlman M., NASA/CP-2003-212248. c. 1-9.

6. Lambeck K. (1980) The Earth's variable rotation: geophysical causes and consequences. Cambridge University Press.

7. Вулард Э. (1963) Теория вращения Земли около центра масс. М.: Физматгиз. 167 с.

8. Barkin Yu.V. (2000a) Perturbated rotational motion of weakly deformable celestial bodies // Astronomical and Astrophysical Transactions. Vol.19. Issue 1, P. 19-65.

DOI: 10.1080/10556790008241350

Mathematics I Mathematical Modelling

Mathematics and Mathematical Madelling of the Bauman MSTU, 2016, no. 05, pp. 1-18.

DOI: 10.7463/mathm.0516.0853843

Received: Revised:

09.09.2016 23.09.2016

© Bauman Moscow State Technical Unversity

The Perturbed Rotational Motion Equations of a Celestial Body with Variable Mass Geometry in Andoyer's Variables

M.Yu. Barkin

1,*

b arkin^yandex-ru

1Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia

Keywords: Andoyer variables, Liouville problem, Euler angles, Earth, weakly deformed body

The paper deals with deriving the rotational motion equations of the lightly deformed planet (Earth) with variable geometry of mass in canonical Andoyer's variables (a Liouville problem). Presents a new method developed to study the rotational motion of the lightly deformed body with dynamic structure being close to the axially symmetric one and provides the applications to explore the Earth's pole motion. A characteristic feature of the model is a conical motion of the rate vector in the planet body with a constant specified initial value of the semi-opening angle 0 = 0O. Classical papers, which investigate a disturbed motion of the Earth pole, usually, assume a polar axis of inertia instead of the specified cone (with 0 = 0). Thus, we have obtained

a new form of the motion equations to solve the Liouville problem in canonical Andoyer's variables. Their right-hand side is expressed directly through the time variations of geo-potential coefficients and the components of a kinetic moment vector of the relative particles motion of the variable Earth.

Using the motion equations in Andoyer's variables opens up new opportunities for researchers of the perturbed rotational motions of the celestial bodies with variable geometry of mass. The developed approach allows direct use of space geodesy data on variations in the geometry of the Earth's mass directly from the observed variations in the geo-potential coefficients. These observation data are perpetually enriched. Thus, methods of space geodesy and research methods of perturbed motions of the Earth pole and variations of its axis of rotation act as a single tandem and allow us to obtain new results. In the first place, these results are of interest to study how redistribution of the celestial body mass impacts on the motion of their poles and on the daily axial rotation.

The obtained results are of important interest for research in celestial mechanics and geo-dynamics. The perturbation theory of rotational motion of a celestial body contains effects that have been never described. They allow us to discover new effects in the pole motion and daily rotation not only of the Earth, but also of other planets and asteroids.

References

1. Aksenov E.P. Teoriia dvizheniia iskusstvennykh sputnikov Zemli. Nauka = Sciense. Moscow, 1977. 360 p.

2. Cheng M.K., Shum C.K., Tapley B.D. Determination of long-term changes in the Earth's gravity field from satellite laser ranging observations. Journal of Geophysical Research, 1997. Res., 102, No. B10, p. 22.377-22.390.

3. Cheng M., Tapley B. Seasonal variations in low degree zonal harmonics of the Earth's gravity field from satellite laser ranging observations. Journal of Geophysical Research, 1999. Vol. 104, Issue B2, p. 2667-2682.

4. Cheng M.K., Gunter B., Ries J.C., Chambers D.P., Tapley B.D. Temporal Variation in the Earth's Gravity Field From SLR and CHAMP GPS Data. Center for Space Research, The University of Texas at Austin, Austin, Texas 78759, USA, 2003. Availaible at: http://www.pdfio.com/k-766194.html, accessed 13.01.2017.

5. Cox C.M., Au A., Boy J.-P. , Chao B.F. Time-variable gravity: using satellite-laser-ranging as a tool for observing long term changes in the Earth system. In Proceedings from the 13th International Workshop on Laser Ranging, eds Noomen R., Klosko S., Noll C. & Pearlman M., 2004, NASA/CP-2003-212248. c. 1-9.

6. Lambeck K. The Earth's variable rotation: geophysical causes and consequences. Cambridge University Press, 1980.

7. Woolard, Edgar W. Theory of the rotation of the earth around its center of mass. Washington, U.S. Govt. Print. Off., 1953. 165 p. [Russian edition: Vulard E. Teoriia vrashcheniia Zemli okolo tsentra mass. Fizmatgiz, Moscow, 1963. 167 p.]

8. Barkin Yu.V. Perturbated rotational motion of weakly deformable celestial bodies, Astronomical and Astrophysical Transactions. 2000. Vol.19. Issue 1, P. 19-65.

DOI: 10.1080/10556790008241350