Уравнения упругой деформации балки с учетом нестесненной депланации в форме метода конечных элементов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

То м XV 1 9 84 № 1

УДК 624.072.2 518.61

УРАВНЕНИЯ УПРУГОЙ ДЕФОРМАЦИИ БАЛКИ С УЧЕТОМ НЕСТЕСНЕННОЙ ДЕПЛАНАЦИИ В ФОРМЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

В. А. Полищук, .В. Д. Чу бань

Метод конечных элементов в перемещениях применен для вывода уравнений упругой деформации балки с учетом депланации’ее поперечных сечений.

Получено решение этих уравнений в общем виде при условии нестесненности депланации. Это решение дает соотношения для вычисления функции депланации и матрицы погонной жесткости сечения. Полученные соотношения справедливы для ортотропных материалов с переменностью их свойств по сечению и применимы для балок с произвольной геометрической формой сечений: односвязных и многосвязных, тонкостенных и сплошных.

Для расчета напряженно-деформированного состояния балок и их жесткостных характеристик существует ряд методов, основанных на принятии тех или иных гипотез статического и кинематического характера, дающих более точные результаты, чем гипотеза плоских сечений. Во-первых, это известные в теории упругости методы решения задач о кручении и поперечном изгибе призматических брусьев в различных постановках [1, 2], которые приводят к соответствующим краевым задачам для уравнений Лапласа или Пуассона. Во-вторых, для важного предельного случая тонкостенных балок В. 3. Власовым [3], А. А. Уманским [4] и другими авторами разработаны методы расчета балок с разомкнутыми, замкнутыми и многосвязными контурами при кручении и изгибе.

Совокупность этих методов покрывает все практически важные случаи. Но попытка реализации этих методов на ЭВМ приводит к известным трудностям из-за существенных различий этих методов и практической невозможности создания универсального алгоритма, который „распознавал“ бы область применимости той или иной методики для каждого конкретного случая.

В данной работе предлагается достаточно общий подход к расчету балок, учитывающий депланацию поперечного сечения, основанный на применении метода конечных элементов (МКЭ) в перемещениях для вывода уравнений упругой деформации балки. При условии нестесненности депланации для этих уравнений по-

лучено решение в общем виде. Это решение представляется достаточно удобным для реализации на ЭВМ в форме соотношений, позволяющих вычислить функцию депланации и матрицу погонной жесткости сечения Къг, связывающей вектор обобщенных деформаций И вектор обобщенных усилий уравнением Погонная плотность упругой потенциальной энергии балки в этом случае выражается в виде

К^з.

Этот подход к вычислению упругих характеристик и соответствующее выражение для плотности упругой энергии балки в

Рис. 1

дальнейшем принимаются за основу при получении уравнений равновесия балки для общего случая ее нагружения.

1. Основные геометрические, кинематические и статические гипотезы. Рассмотрим прямолинейную балку постоянного сечения, с однородным распределением материалов вдоль оси балки и, в общем случае, неоднородным распределением по сечению.

Введем ортогональную систему координат с осью X, направленной вдоль оси балки, и осями У и лежащими в некоторой плоскости поперечного сечения балки (рис. 1).

Для описания кинематики перемещений точек балки при деформировании введем вектор перемещения точек оси X, имеющих координаты (X, 0. 0)

и'о (х) = [я0 (х) г>0 (*) (л:)].

Ось X будем называть упругой линией балки. Введем также вектор малых поворотов плоскости сечения, проходящей через точку х упругой линии

<Р* (*) = [?*(*) ?у (X) ?,(*)]•

В совокупности компоненты векторов ио и <р образуют вектор

£&(*) = К ®0 Ь ¥«].

который будем называть вектором обобщенных перемещений упругой линии балки.

Кроме этого будем считать, что сечения балки при деформации не остаются плоскими, и точки сечений имеют дополнительные перемещения в направлении оси X, которые описываются функцией депланации:

Щ = ф (X, у, г).

Компоненты вектора перемещений точки балки

и* (х, у, г) —[и V ш>] „

представим через компоненты обобщенных перемещений упругой линии балки и депланацию следующим образом (кинематическая гипотеза):

и(х, у, г) = и0(х) + <?у (*)■« — 9„(х)шУ + У(х, у, г), ъ(х, у, z)=^v0(x) — ^fя(x)^z,

Т0 (х, у, г) = и;0 (х) + <?х (х) -у, или в матричном виде

и=Вии8+В^, (1)

где

' 1 0 0 0 г —у' " 1 ‘

Ви = 0 1 0 —г 0 0 , — 0

. 0 0 1 У 0 0 _ 0 _

При таком законе перемещений отличны от нуля только три независимые компоненты тензора деформации

ди йиц Лрг ді

°хх дх йх ^ йх г Лх У дх

дv

ди

:^0_сс . Лх ‘2 йх ду

дх ' ду

дт . ди йъу0 . , й<сх . дії

+ = 77^’ + ?у + Т7:'У + ТГ

дг

Лх

йх

дг

лив ,, дф

или в матричном виде, выделяя производные с/^ =------------------- и Ф' = —

йх дх

£ = В г (£/$-{- Аи $) ~Ь Вф$' + ф,

ГДе е (£хх Уху Тхг)>

Ве. = Вц,

о д_

= ду _д_ дг

А =

0 0 0 0 0 сг

0 0 0 0 0 —1

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

оператор дифференцирования.

Вектор

с компонентами

* /0 0 0л2 у Ч

— (є** 7лгу Лхг V Ъхх гхх ),

где

дг йх ’ &хх ду сіх

¿Чу у _ д£хх <1<(г

будем называть вектором обобщенных деформаций упругой линии балки.

Здесь следует заметить, что кинематические соотношения (1) не позволяют однозначно определить функцию депланации и компоненты обобщенных перемещений и0, <ру, <рг при известных перемещениях и. (х, у, г) точек балки вдоль оси X.

В дальнейшем это приведет к вырожденности уравнений равновесия.

Боковую поверхность балки будем считать свободной от внешних сил и каких-либо условий на перемещения. Таким образом, напряжения ауу, <зуг и огг могут возникать только от локальных дисторсий распределенных нагрузок на торцах балки. Будем считать их энергетический вклад пренебрежимо малым и полагать эти напряжения равными нулю, так что закон Гука приобретает вид (статическая гипотеза)

где а* — [ахх тху тхг], Н(у, г) — матрица упругих коэффициентов материала [3X3].

Будем рассматривать, кроме того, только такие материалы, для которых матрица Н имеет вид

Таким образом, в наиболее общем случае материалы, составляющие балку, могут быть ортотропными.

2. Функционал потенциальной энергии балки. Будем считать, что действуют только поверхностные силы на торцах и балки (см. рис. 1) соответственно:

Введем обозначения для известных интегральных силовых факторов (см. рис. 1):

з = Я(у, г).е,

(3)

'£0 0 н= о б, 012

0 й12 С?2

(4)

Р~* = \Р7РУ Р7\ и Р+* = \РІРу РІ\

Ых = Г рх йз — для растягивающей силы, действую-

5 щей в направлении оси X,

= ^ру(1я — для перерезывающей силы, действую-5 щей в направлении оси У,

Агг = [ргй8 — для перерезывающей силы, действую-

5 щей в направлении оси Z, ^

Мх— ^(ргу — руг) йз — для крутящего момента вокруг оси А",

Му=[рхгс{5—для изгибающего момента вокруг § оси У, ,

Мг= — (" Рхуй8 — для изгибающего момента вокруг 5 оси Z.

Вектор Р%=^хЫуЫгМх МуМг] будем называть вектором обобщенных усилий.

Функционал Лагранжа потенциальной энергии балки

П= 4-1 ¡р*Ш8

* V 5+ 5-

после использования соотношений (1), (2), (3), (5) принимает вид п = 4 \[Вг(и'5 +Аи3) + £Фф'+ ЯФф]*Я [В'{и’3 + Аи3) + В*У +

V

+ £>Ф ф] ¿V- (/=$)• uf - (/=*)• (д - $р% (6)

5+

3. Аппроксимация функционала на конечно-элементной сети.

Аппроксимируем форму поперечного сечения балки, в общем случае многосвязную, с помощью сети плоских конечных элементов б (см. рис. 1) с общим числом узлов га. Для аппроксимации функций, заданных на сечении, выберем систему из п базисных функций формы со следующими свойствами:

— отдельная функция может принимать отличные от нуля конечные значения только на элементах, содержащих I-й узел; на остальных элементах ее значения равны нулю (рис. 2); при этом в г'-м узле М1(у1, 2;)=1, тогда как в других узлах элементов, содержащих ¿-й узел,

К(Ур «/) = 0, у Ф г;

— если функция, заданная на сечении, постоянна или имеет линейный характер, то она аппроксимируется точно.

Будем аппроксимировать некоторую функцию /(у, г) через ее значения в узлах линейным выражением

/а(У, *) = 2^//(У„ *1), (7)

I

где /а — аппроксимация функции /. Этот факт будем обозначать таким образом: / да/а.

Рис. 2

Теперь, для того чтобы выполнялось последнее свойство базисных функций, необходимо, чтобы для них были справедливы следующие соотношения:

2^=1>

(8)

С построением систем базисных функций, обладающих такими свойствами, можно познакомиться, например, в [5].

Введем вектор Р* = [/і/2. . . /„], где /;=/(уг, гг) — узловые значения функции /. Вектор Р будем называть дискретным аналогом функции / на сети б. Вводя также вектор А/* = [А^ ... N„1,

можно записать (7) в матричном виде:

/»= ]\р* Р.

в функционале (6) все функции,

Аппроксимируем теперь заданные на сечениях балки

=. (|/а —- ДГ*

где ЧГ— дискретный аналог функции, ф;

'Р'— дискретный аналог функции <]/;

Ді

Ва

дЫх дМп

ду ■ ду

дг дг

N. • ■ Кп:'

0 • • 0

0 • •• 0

— матрица [3X4 дискретный аналог оператора

— матрица [З X л], дискретный аналог оператора Вф.

Представляя интеграл по объему в функционале (6) в виде повторного интеграла по сечению балки 5 и по ее длине I и вводя обозначения:

*..= |ЯЯЯ,*,

/Сфф ~ ^ Н£),у (¿э, = /СфЕ = Ц 5* НГ)і/ сіз,

кхх =\В1 ЯЯФ СІЇ, Кгх = Кїш = $ в: ЯЯф гії,

а также замечая, что

Кіх == /г*Ф=| о; я£ф л = о,

можно записать дискретный аналог функционала (6) следующим образом:

П = -1-1 {(£/і + Аи3) [Кя (и'3 + АЦ3) + К,ф Т + /С« ¥'] +

+ W* [/Сф£ (U's + AUS) + /Сфф Щ + (¥')* [ЛГ^ (C/¿ + A£/s) + W'] dx -

— TO*^t-TO* Í/J -(/>+)* W+ —(/>-)•¥-, (10)

где P* = Í^PxN1ds.. p*xNnds\.

4. Уравнения упругой деформации балки. Полагая вариации функционала (10) по i)j и равными нулю, получим следующую систему уравнений упругой деформации балки: в области

А* (К.a S5 + К,ф Т + Кгх ¥') = (Кп е5 + К* V + К*Х ¥')', (11)

/СфЕ SS + /Сфф w = (#с„ є* + /С,, V')', на границах S+ и S~

4 + Я.* Т+ + г+ = Ft, кх*4+кххУ'+=Р+,

К* ej + /Саф Ф- + *„ Г- = ,

кх*^ + кхху- =Р~.

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

Первое уравнение в области (И) показывает, что матрица А* является дифференцирующим оператором для вектора обобщен-

ных усилий, который будем определять в области следующим образом:

/^ = *..65 + ** (17)

Уравнение (11) можно представить в виде

А*

или, записывая покомпонентно, имеем уравнения йЫх йЫ„ йЫ, (1МХ

-о, -7^ = 0, -^ = 0, -^ = 0,

йх ’ <іх ’ (іх ’ йх

йм„ ймг

У = -N„ ■ * = ЛЛ,.

йх йх У

Покажем теперь, что каждая из систем уравнений: (11)—(12) в области, (13)—(14) на границе 5+ и (15)—(16) на границе 5_ — три раза вырождена. Изначально это обусловлено тем, что, как было отмечено в п. 1, функция депланации и функции и0(х), <?у{х) и ?2(х) не определяются однозначно кинематическими соотношениями.

Действительно, умножая скалярно обе части уравнения (12) поочередно на вектора /*==[11. . . 1],- У*— [У\Уг ■ ■ ■ Уп\ и %*—

— [гх ... г„] —дискретные аналоги функций /(у, г) = 1,/(_у, г) =у и /(у, г) —г и используя соотношения (8), получаем соответственно первое, пятое и шестое уравнения системы (11). Таким же образом вырождена система уравнений (13)—(16) на границах. Например, умножая скалярно обе части уравнений (14) поочередно на /, У и Z, получаем соответственно первое, пятое и шестое уравнения системы (13).

5. Уравнения упругой деформации балки при условии нестес-ненности депланации. Рассмотрим случай нестесненной депланации, что эквивалентно ее однородности

^' = 0,

как следует из уравнений (11)—(16) и вида матрицы Гука (4).

Уравнения (11)—(13) и (15) совместно с определением (17) приводятся к виду

А* (Ки Є5 + 40 = Кгг (18)

*..в5 + #С.«, = (19)

/Сеф + Кп 47 = Кх, V (20)

Относительно граничных условий (14) и (16) следует заметить, что они дают возможность определить распределение компоненты нагрузки рх на торцах балки, под действием которой депланация остается однородной:

Кхе &І=Р+,

Кх. 87 = Я-.

Дифференцируя обе части уравнения (19) и используя уравнение (18), получаем выражение для

г'3 = К7,1А*Р3.

Исключая из уравнения (20), получаем следующую систему уравнений:

*..в5 + *.фФ = /?5; (21)

К-1г е5 "Ь Хфф Ч? = Кх, Хее1 Л*/7^. (22)

Эта система, как и система исходных уравнений (11)—(16), является трижды вырожденной. Для ее однозначного решения необходимо принять три дополнительных условия. Одно из вырождений имеет простой характер и является следствием того, что уравнения (21)—(22) представляют собой дискретный аналог задачи Неймана. Операторы и /Сфф имеют дифференцирующий характер, т. е. /Сеф/ = 0 и Хфф/=0, и если функция ¥ является решением уравнений (21)—(22), то и функция ¥ + С также является решением. Для того чтобы снять это вырождение, вместо г-го уравнения системы (22) можно принять условие

^ = 0,

удобное с точки зрения реализации МКЭ. В дальнейшем изложении мы будем считать, что это условие принято, и уравнения (21)—(22) имеют только двукратное вырождение.

Для определения двух других условий рассмотрим функционал потенциальной энергии, соответствующий системе (21)—(22), который имеет следующий вид

Кге /Сеф " £5 '

_ -^Сфе /Сфф ¥

■Пиз-РЪАЪ'КшхЧ- (23)

Наша задача заключается в том, чтобы среди множества решений (е£11г*) вырожденной системы (21)—(22) выбрать такое решение при котором функционал принял бы вид

Для этого, очевидно, необходимо, чтобы выполнялось следующее соотношение

АК»КыЪ = 0, (25)

заключающее в себе только два условия, поскольку ранг матрицы А равен 2.

Однако непосредственное решение системы (21)—(23) при условиях (25) встречает существенные технические трудности, и мы выберем несколько другой метод, позволяющий их обойти.

л л

Построим решение (е^ ¥*) системы (21)—(22) при условиях

Эти условия позволяют получить более удобный с точки зрения реализации МКЭ вид уравнения (22) с симметричной матрицей

«ч»» «ар> /\ /\

Решение (е^ЧТ*) можно получить из решения (4¥*) по следующим соотношениям:

где Суг = [ОУ^ООО] — матрица с размерами [УУхб]. Отметим, что полученное таким образом решение (£$¥*) удовлетворяет уравнениям (21)—(22) и условиям (25).

Для вычисления матрицы необходимо найти выражение для вектора депланации ¥, имеющее линейный характер

В соответствии с соотношением (26) мы имеем связь между ЧГ л

И £5 В виде

Используя соотношения (27)—(28), несложно получить выражение для Г, которое имеет следующий вид

Подставляя выражение для Ф в уравнение (21), получаем следующее выражение для матрицы К„

А* Кл ¥ = 0.

к.н Ф = {Кхш к\

ее

— 1

А* Кгг — Кфв) 85-

(26)

Л

Л

е5 = е5 + АКы Кех^,

У-С^АКГ^&хУ,

(28)

(27)

л

где

Г = (£-Суг л/с.71 /С,,) г (Е + АКГ,1 Кех Г)—1. (29)

или, используя выражение (29),

К„ = /СЕ£ 4- К,ф (Е— Суг АКП' Кгх) Г(£ + АКГг1 К*х Г)->.

Матрица Г с размерами [Л^б] имеет только три отличных от нуля столбца: 2-й, 3-й, 4-й, которые соответствуют функциям депланации при ^=1, -¿2=1 и 0=1 соответственно. Матрица Кгі/ с размерами [6 х ./V] имеет три отличные от нуля строки: 2-ю, 3-ю и 4-ю. Из этого следует, что учет депланации приводит к коррекции элементов &,7, где і, / = 2, 3, 4 в матрице К,е.

6. Уравнения равновесия упругой линии балки при нестесненной депланации. Воспользуемся тем, что нам удалось для случая нестесненной депланации при наличии нагрузок только на торцах балки привести уравнения упругой деформации к виду

Кгге3 = Р3, е3 = и'3-^Аи5.

Теперь будем считать, что кроме нагрузки на торцах на балку действуют распределенные силы на боковой поверхности с плотностью д*(х, у, я) = (дхдудг) и объемные силы с плотностью г*(х, у, г) = (гхгуг2). Будем вычислять потенциальную энергию балки в этом более общем случае нагружения следующим образом

X

4*

п = ~ | е5 а5 йх — | (& (х) и3 йх - №)* иї - (1*1)* VI, (30)

где Qs{x) = (^fЗ Ny N2 Мх -Мг) — вектор обобщенных погонных усилий, объединяющих действия распределенных нагрузок д и г. Компоненты вектора <3$ определяются по соотношениям, аналогичным соотношениям (5). Например, первая компонента Ых определяется следующим образом

^х = | Гх ¿5 4- | дхсИ,

где I— границы сечения 5.

Полагая вариацию по и3 функционала (30) равной нулю, нетрудно получить следующую систему уравнений равновесия балки:

в области

/Сее — А* Кее е5 — — Рз

и на границах

44=^, Кг В5 = /=7.

В заключение приведем некоторые результаты, полученные по программе, реализующей данную методику. В таблице приведены результаты расчетов жесткостных характеристик для четырех видов сечений (рис. 3) при 6 = 2707 кг/мм2.

Вид Жесткость на сдвиг Жесткость

сечения в направлении У в направлении 2 на кручение

1 2255,8 По теории упругости [1] | 2255,8 380,6

2285 По МКЭ (64 элемента) | 2285 385,7

2 По теории тонкостенных стержней [4]

9968 | 1230 207 570

10 170 По МКЭ (20 элементов) | 1292 | 209 200

10 030 По МКЭ (36 элементов) | 1258 209 000

3 4431 По МКЭ (14 элементов) | 5428 | 822,5

4 9744-102 По МКЭ (56 элементов) | 6547-102 4505-106

1

1

0,1

мм Г'ГГ

11111 I ГГ1 г

I 1 1.1Ш

-80

ШЕ

-0,1

Рис. 3

Рис. 4

На рис. 4 представлен вид функций депланаций стержня с квадратным сечением при сдвиге и кручении, полученный с помощью графопостроителя (изометрическая проекция).

ЛИТЕРАТУРА

1. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости, —М.: Наука, 1975.

2. Лейбензон Л. С. Вариационные методы решения задач теории упругости,—М.: Гостехиздат, 1943.

3. Власов В. 3. Тонкостенные упругие стержни,—М.: Физ-матгиз, 1959.

4. У м а н с к и й А. А. Строительная механика самолета.—М.: Оборонгиз. 1961.

5. Оден Дж. Т. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред.—М.: Мир, 1976.

Рукопись поступила З/У 1982 г.