CC BY
29
УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С РАЗРЫВНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ СТЕПЕННОГО РОСТА1
Исследуется проблема существования обобщенных решений первой краевой задачи для уравнения параболического типа с разрывной нелинейностью степенного роста.
Ключевые слова: первая краевая задача, уравнения параболического типа, разрывная нелинейность, неподвижные точки мультиотображения.
Введение
Рассматривается первая краевая задача для уравнения параболического типа
Lu(x,t) = g(x,t,u(x,t)), (x,t) G QT, (1)
u|rT = 0 (2)
в цилиндре QT = Q x (0,T), где Q — ограниченная область в Rn с границей dQ класса C2, T > 0, Гт = (dQ x [0, T]) U {(x, 0) | x G Q} — параболическая граница цилиндра Qt . Здесь
nn
l = dt aij(x’ t)dXi xj + Y1 aj(x’ t)dxj+a(x’t) —
i,j= 1 j= 1
равномерно параболический дифференциальный оператор второго порядка в Qt с коэффициентами из пространства C0,a(QT) (0 < а < 1), функция g : QT xR ^ R борелева (mod 0) [1], для почти всех (x,t) G QT сечение g(x,t, •) имеет разрывы только первого рода, и
g(x,t,u) G [g-(x,t,u), g+(x,t,u)],
x, t, u) = lim sup g(x, t, n), g-(x, t, u) = lim inf g(x, t, n) Vu G R.
Предполагается также, что нелинейность g(x,t,u) удовлетворяет условию D : существуют постоянные a > 0, q > 1 и функция b G Lq(Qt) такие, что для почти всех (x, t) G Qt
|g(x,t,u)| ^ a|u|M + b(x,t) Vu G R, (3)
где Ц — любое положительное ЧИСЛО, если q ^ И Ц < п™2-2q ’ если Q <
Ограничения на степень роста нелинейности обеспечивают компактность вложения Wq2,1(QT) в пространство LMq (Qt) [2] и действие оператора Немыцкого
1Работа выполнена при поддержке РФФИ (код проекта № 07-01-96000_р_урал_а).
См = д(ж, ^, м(ж, ^)) из (ОТ) в Ьд(ОТ). В случае, когда q =2 и п > 2, допусти-
мая степень роста ц <
Определение 1. Обобщенным решением из ^2,1(ОТ) задачи (1), (2) назовем функцию м € ^(От) с нулевым следом на Гт, удовлетворяющую для почти всех (ж, £) € От включению
Ьм(ж, £) € [д-(ж,£,м(ж,£)), д+ (ж, £, м(ж, £))]. (4)
Проблема существования обобщенных решений задачи (1), (2) с разрывной
нелинейностью изучалась в [3; 4] топологическими методами, в [5; 6] — метоП
дом верхних и нижних решений. В [3] Ь = дг — ^ д^.х., а нелинейность д(ж,^,м)
г=1
удовлетворяет оценке (3) с а = 0 и д > п (ограниченная нелинейность). В [4]
П
Ь = дг — ^ д^.а^(ж,^)дх., а^ € С 1,а(ОТ) (0 < а < 1), неравенство (3) для нели-*,.?=1
нейности выполняется с0<)и<^ + 1ид = . Устанавливается существование
обобщенного решения из ^(От) задачи (1), (2) в случае 0 < ^ ^ 1 (подлиней-ный рост), в ситуации 1 < ц < ^ + 1 дополнительно предполагается наличие для д(ж, £,м) оценки при почти всех (ж, £) € От
д(ж,£,м)м ^ —&0|м|м+1 + к1(ж,^)|м|м+1-7 + &2(ж,£) Ум € К, (5)
где постоянные ко > 0,0 < 7 < ц + 1, функции к\ € Ь^+^От), € ^(От)-
7
Отметим, что в данной работе по сравнению с [4] ослаблены ограничения на рост нелинейности. Так, при и = 3 в [4] ^ < |, а в условии И для 5 = 2 степенв роста ^ < 5. В работах [5] и [6] требуется, чтобы нелинейность представлялась в виде разности неубывающих по фазовой переменной м функций, причем в [5] предполагается, что эти функции имеют подлинейный рост, а в [6] — существование упорядоченной пары нижнего и верхнего решений.
Ослабление ограничений на рост нелинейности в данной работе достигается за счет выбора пространств при операторной постановке задачи (1), (2). Однако в ситуации сверхлинейного роста (^ > 1) для существования обобщенного решения, как ив [4], требуются дополнительные ограничения на поведение нелинейности. Таковым в [4] является оценка (5), обеспечивающая в рамках операторной постановки этой работы коэрцитивность оператора краевой задачи (1), (2). При выполнении условия О задача (1), (2) преобразуется к операторному виду в пространстве Ь^я (От). В этом случае неравенство (5) можно рассматривать как обеспечивающее коэрцитивность оператора краевой задачи (1), (2), только когда // + 1 = да. Последнее с учетом условия И приводит к неравенству ц < Последовательно, дополнительное ограничение вида (5) к новым результатам существования обобщенных решений не приводит.
Рассмотрим однопараметрическое семейство краевых задач, которое получается из (1), (2) заменой в уравнении (1) нелинейности д(ж,£, м) на ед(ж,£,м), где д(ж,£, м) обладает всеми перечисленными выше свойствами:
Ьм(ж,£) = ед(ж,£,м(ж,£)), (ж,£) € ОТ, (6)
м|гт = 0. (7)
Теорема 1. Предположим, что
1) функция g : QT х R ^ R борелева (mod 0), для почти всех (x,t) G
QT сечение g(x, t, •) имеет разрывы только первого рода и g(x,t,u) G
[g-(x, t,u),g+(x, t,u)] Vu G R;
2) функция g(x,t,u) удовлетворяет условию D.
Тогда найдется £0 > 0 такое, что для любого £ с |£ ^ £0 задача (6), (7) имеет обобщенное решение из W2,1(QT).
Доказательство теоремы сводится к принципу неподвижной точки для многозначного компактного отображения Боненбласта — Карлина [7]. Представляет интерес поиск других дополнительных к условию D ограничений на поведение нелинейности g(x, t, u), обеспечивающих существование обобщенных решений задачи (1), (2).
1. Операторная постановка задачи (1), (2)
Обозначим через E лебегово пространство (Qy), где ^ и q из условия D. На всюду плотном в E подмножестве D(A) = {u G W2,1(QT)| u|rT = 0} определим линейный оператор A равенством Au = Lu(x,t) со значениями в Lq(Qt). В [8] показано, что отображение A : D(A) ^ Lq(QT) биективно и обратный оператор A-1 : Lq (Qy) ^ Wq2,1(QT) ограниченный. Поскольку пространство W2,1(QT) компактно вкладывается в E, то оператор M : Lq (Qy) ^ E, совпадающий с A-1 на Lq (Qy), является вполне непрерывным. Далее, в силу неравенств (3) оператор Немыцкого Gu = g(x, t, u) действует из пространства E в Lq(Qy) и переводит ограниченные множества из E в ограниченные в пространстве (Qy) множества.
Определим многозначное отображение SG из E в (Qy) следующим образом: для любого u G E множество SG(u) из (Qy) совпадает с замыканием выпуклой оболочки слабо предельных точек всех последовательностей вида (Gum),um ^ u (отображение SG называется секвенциальным замыканием оператора G [5]). Известно [4], что SG совпадает с овыпуклением Gn оператора G. В [1] доказывается, что Gnu = {z : QT ^ R| z(x, t) — измеримая по Лебегу на QT и для почти всех (x,t) G QT значение z(x,t) G [g-(x, t,u(x, t)),g+(x, t,u(x, t))]} для любого u G E. Отсюда следует, что включение (4) для u G D(A) равносильно операторному включению Au G SG(u). Последнее эквивалентно существованию неподвижной точки у многозначного отображения MSG в пространстве E. Таким образом, для доказательства существования обобщенного решения задачи (1), (2) из W2,1(Qy) достаточно установить наличие u G E, удовлетворяющего операторному включению
u G MSG(u). (8)
В случае задачи (6), (7) включение (8) имеет вид
u G £MSG(u).
(9)
Изучим свойства мультиотображения T = MSG. Докажем, что значения T — выпуклые компактные множества в E. Значения SG ограниченные выпуклые и замкнутые в (Qy), а оператор M : (Qy) ^ E линейный и вполне
непрерывный. Поэтому значения T — выпуклые и предкомпактные множества. Чтобы доказать компактность Tu для u G E, достаточно установить замкнутость Tu в E. Пусть (zm) С Tu и zm ^ z в E. Тогда существует (ym) С SGu такая, что zm = Mym. Отсюда из определения оператора M следуют равенства ym = Azm. Из ограниченности SGu С (Qy) и рефлексивности (Qy) заключаем о существовании подпоследовательности (ymk), слабо сходящейся к некоторому у в (Qy). Так как (ymk) С SGu, а SGu — замкнутое выпуклое множество, то у G SGu. В силу замкнутости линейного оператора A его график в E х (Qy) слабо замкнут. Поэтому z G D(A) и у = Az, и, значит, z = My G Tu. Замкнутость множества Tu в E установлена.
Покажем полунепрерывность сверху отображения T на E. Допустим противное, тогда найдутся u G E и открытое множество B D Tu в E такие, что для произвольного натурального m существует um с ||um — u||g < m-1 и zm G Tum\B. Каждый элемент zm представляется в виде zm = Mvm, vm G SG(um). Так как последовательность (um) ограничена в E, а отображение SG переводит ограниченные множества в E в ограниченные в (Qy), то и последовательность
(vm) ограничена в (Qy). Отсюда и из рефлексивности (Qy) заключаем о существовании слабо сходящейся подпоследовательности (vmk) к некоторому v в (Qy). В силу слабо-сильной замкнутости секвенциального замыкания [4] имеем v G SG(u). Так как M — линейный вполне непрерывный оператор, то Mvmk ^ Mv. Поскольку Mv G Tu С B и B — открытое множество в E, то zmk = Mvmk принадлежит B для достаточно больших k, что противоречит выбору zm. Полунепрерывность сверху отображения T на E доказана.
Многозначный оператор SG переводит ограниченные множества в E в ограниченные, а оператор M вполне непрерывный, поэтому T компактен на любом шаре в E. Последнее означает, что для произвольного шара U из E его образ TU — предкомпактное множество в E. Таким образом, значения мультиотображения T в E являются выпуклыми компактами, T полунепрерывно сверху и компактно. Согласно теореме Боненбласта — Карлина такое отображение имеет неподвижную точку в выпуклом замкнутом подмножестве B С E, если оно переводит B в себя.
2. Доказательство теоремы
В соответствии с пунктом 1 задача (6), (7) имеет обобщенное решение из Wq2,1(Qy), если мультиотображение £T имеет в E неподвижную точку. В силу теоремы Боненбласта — Карлина для этого достаточно доказать наличие шара U в пространстве E, для которого £T(U) С U. Пусть UR = {u G E| ||u||E ^ R}, R > 0. Отображение SG переводит Ur в ограниченное множество, и, значит, найдется число b > 0 такое, что для любого u G Ur и произвольного v G SGu верно неравенство ||г>\\bq(QT) ^ Ъ. Положим £о = pfp- Тогда для любого числа £, по модулю не превосходящего £0, имеем для любого u G Ur и произвольного
v G SGu неравенство
|£Mv|e ^ £|MII |v| ^ £o||M||b = R.
Отсюда заключаем, что £T(Ur) С Ur для любого £, по модулю не превосходящего е° = pfp- Теорема доказана.
Замечание 1. К исследованию операторной постановки задачи (1), (2) (включения (8)) можно применить теорию топологической степени для многозначных компактных отображений [7]. Для доказательства существования u G E, удовлетворяющего (8), достаточно установить ограниченность множества всех решений включений u G vTu, T = MSG, 0 ^ v ^ 1 (метод Лере — Шаудера) или доказать наличие R > 0 такого, что для произвольных u с ||u|| = R, v G Tu и v G [0,1] верно неравенство u — vv = 0 (второй подход более общий).
Список литературы
1. Красносельский, М. А. Системы с гистерезисом / М. А. Красносельский, А. В. Покровский.— М. : Наука, 1983.
2. Лионс, Ж!.-Л. Управление сингулярными распределенными системами / Ж.-Л. Лионс.— М. : Наука, 1987.
3. Chang, K.-C. Free boundary problems and set-valued mappings / K.-C. Chang // J. Differential Equations.— 1983.— Vol. 49, No. 1.— P. 1—28.
4. Павленко, В. Н. Управление сингулярными распределенными системами параболического типа с разрывными нелинейностями / В. Н. Павленко // Укр. мат. журн.— 1994.— Т. 45, № 6.— C. 729—736.
5. Павленко, В. Н. О существовании полуправильных решений первой краевой задачи для уравнения параболического типа с разрывной немонотонной нелинейностью / В. Н. Павленко // Дифференц. уравнения.— 1991.— Т. 27, № 3.— С. 520— 526.
6. Павленко, В. Н. Метод верхних и нижних решений для уравнений параболического типа с разрывными нелинейностями / В. Н. Павленко, О. В. Ульянова // Дифференц. уравнения.— 2002.— Т. 38, № 4.— С. 499—504.
7. Борисович, Ю. Г. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / Ю. Г. Борисович [и др.]— М. : КомКнига, 2005.
8. Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева.— М. : Наука, 1967.
