Уравнения импульсов трехмерного пограничного слоя Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 62-251-762.89:532.5.013.12

УРАВНЕНИЯ ИМПУЛЬСОВ ТРЕХМЕРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

© 2007 г. А.А. Кишкин, Д.В. Черненко, Е.В. Черненко

Точный расчет пограничного слоя для заданных граничных условий путем решения дифференциальных уравнений вызывает значительные трудности, связанные со сложностью методов интегрирования систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. В этой связи в технической гидродинамике широко используется интегральный метод в оценке пограничного слоя с помощью уравнений импульсов.

В классическом случае плоского и осесимметрич-ного течения потенциальное течение ядра потока зависит только от одной координаты, а составляющие скорости в пограничном слое от двух координат. В трехмерной задаче потенциальное течение зависит от двух координат на поверхности стенки, а скорость течения в пограничном слое имеет все три составляющие. Существует определенный круг задач, в расчетной модели которых радиус кривизны линий тока соизмерим с длиной канала, в этом случае использование модели обтекания плоской пластины уже некорректно.

Если линии тока потенциального течения искривлены, то, кроме продольного перепада давления, в потоке имеется также поперечный перепад, уравновешивающий действие инерционных сил. В пограничном слое, в котором давление потенциального потока передается без изменений, это равновесие нарушается, так как центробежная сила, вследствие уменьшения скорости, становится меньше. Равновесие восстанавливается действием силы трения вторичного течения в пограничном слое, направленного противоположно поперечному градиенту давления, т. е. по направлению к вогнутой стороне линии тока потенциального течения в ядре.

При исследовании пространственных течений используют различные системы координат. Такой подход не только упрощает описание картины течения, но иногда просто необходим: от выбора системы координат зависит возможность разделения переменных в дифференциальных уравнениях и удовлетворения граничным условиям [1, 2].

В общем случае выберем для расчёта естественную, криволинейную ортогональную систему координат ф,у, у (рисунок). Ось у направлена по нормали к стенке, ось ф совпадает с касательной к проекции на стенку линии тока ядра потока на толщине пограничного слоя 8 , ось у ортогональна оси ф и направлена к центру кривизны координатной линии ф [2].

Схема течения в естественной системе координат

Рассмотрим исходную систему дифференциальных уравнений пространственного пограничного слоя для несжимаемой жидкости на криволинейной стенке в общем случае при наличии продольного и поперечного градиентов давления [2]

и ди ди w ди им> дН ф w2 дНш --+ V-+--+--г.---1- =

Н ф дф ду Н у ду Н фН у ду Н фН у дф

= дР +1 д^ф

РН ф дф р ду ' и дw дw w дw uw ^ у и2 дН у

--+ V-+--+-------— =

Н ф дф ду Н у ду Н фН у дф Н фН у ду

=—1——+1 ^ту , (1

РН у ду р ду

др 1 д( Н у и) дv 1 д( Н фW) — = 0,---— + — +---— = 0.

ду Н фН у дф ду Н фН у дУ

Проекции скорости и, w и V на соответствующие оси ортогональных координат ф, у и у назовём продольной, поперечной и вертикальной скоростями. Определим коэффициенты Ламе, соответствующие координатным осям: Нф, Ну, Ну = 1. В уравнениях

(1) р - статическое давление в ядре потока, т - напряжение трения, р - плотность жидкости.

Строгое интегрирование написанных уравнений возможно только для ламинарного пограничного слоя и для некоторых частных распределений скорости потока (П = f (ф; у)) вне пограничного слоя.

Для вывода уравнений импульсов, соответствующих первым двум уравнениям (1), проинтегрируем их по оси у (поперёк пограничного слоя) в пределах от у = 0 до у = 8, причём вертикальную компоненту скорости V заменим на основании уравнения неразрывности:

A2 = -

Я Ф Я v

ГдЯ s д Г8 Л

U ^-—Judy + Я¥— Judy

I дФ о дф1 0

дЯ 8 д Г8 Л ]

+-М wdy +Яф— j wdy I

д, о М о

-j«

Г дЯ

ди дЯ ф

дф

-+ Я ,— + w

дф д,

+ я

dy

1

v = —

Я ф Я v

y д (Я ,u)

r v dy + j ^ ф dy

дф

у- д (Я ф w о д,

(2)

Перепишем первое уравнение системы (1) с учётом выражения для вертикальной скорости (2)

Раскроем скобки, преобразуем подынтегральные выражения и окончательно получим

A2 =

U дЯ , 8

U д

Г 8 Л

--—j udy +---j udy

Я фЯ v дф о Я фдф[ о

1

u дu

Я ф дф Я фЯ ,

w дu +--+ -

y dHu) dy+y dHw dy

о дф о д,

дu ¥

дЯ ф

дЯ ,,

Я v д, Я фЯ , д, Я фЯ , дф

и дЯ ф 8

Я фЯ v д,

j wdy-

U д

8

Я , д,

j wdy

1 дЯ ,8 2

о

Г 8

■ 1 д 8

-j u 2 dy---j u 2 dy

ЯфЯ, дф о 2Яф дф( о

1 др + 1 дтф

РЯ ф дф р ду

(3)

1 дЯ ф 8

8 , 1 8 dw j uwdy--j u — .

Я фЯ, д, о

Я

, о

д,

(5)

Почленно проинтегрируем уравнение (3). Учитывая, что коэффициент Ламэ - величина постоянная при интегрировании по у, записываем интеграл первого члена:

„8 u du , 1 9 du , 1 8 du2 , A1 = j--dy =-j 2u — dy =-j-dy .

du

ldu:

>Я ф ду

2Я

ф о

дф

2Я

ф о

дф

(4)

A1 = -

1

2Яф дф

j u 2 dy

Интеграл второго члена берём по частям:

A2 =-

1

Я ф Я , о

j dHu dy+j dHw dy

о дф о д,

Я ф Я ,

У д(Я,u) у д(Я фw)

Л

дф

dy+j-

д,

dy

du ,

^rdy = dy

8 Гд(Я,u) д(Яфw) Л

-j u

о

дф

д,

dy

,

по у и u

В выражении для третьего члена постоянным множителем является только коэффициент Ламэ

8 ^ ди , 1 8 ди ,

,3 = /——йу = — | * — йу . (6)

0 н - д- н - 0 д-

В двух последующих выражениях постоянные множители - коэффициенты Ламэ и их производные:

Поменяв последовательность знаков интеграла и дифференцирования, окончательно получим

a4 = j

uw дЯ ф dy = ТЛ-H- 8; (7)

о Я ф Я, д, Я фЯ, д,

A5 =j-

w2 дЯ, , 1 дЯ ,8 2

'dy = ~ ^Jw2dy . (8)

Я фЯ, дф о

о Н фН - дф -г-Учитывая третье уравнение в системе (1), имеем

,6 .-^й,,. (9)

0 рЯ фдф рЯ фдф о

Взяв определённый интеграл от производной касательного напряжения, получим выражение для последнего члена

A7 =81 ^ dy = 1 т

Подставим границы интегрирования и распишем производную произведения функций, учитывая, что

iP эу

8 1 1

о = -(о-тоф) = --тоф .(Ю)

о р Р

дЯ - / дф, дЯ ф / д- постоянны при интегрировании

8 :

0:

Результат интегрирования уравнения (3) запишется как сумма интегралов (4)...(10):

,1 - ,2 + А3 + ,4 - А5 = - А6 + ,7.

8

Учитывая, что

1 ? dw , 1 ? du ,

-1 u-dy +--1 w-dy =

H у о dy H у о Эу H у Эу

1 Э

|s

J uwdy

окончательно получаем

1 d rs 2 А

2H фЭф

j u 2dy

и д о л а

j udy

H ф дФ

ид

H у ду

rs А j wdy

U dHу 8

---— j udy -

H фН^ у ду о

H. j wdy -

H фH у ду о

1 dH yS 2Л

-j u 2dy +

H ф H у дФ

1 д

rs

2H ф дф

1 д

j u 2dy

1 дH фS

rs

H у ду

j uwdy

H ФH у ду о

1 дH фS

j uwdy-

H ФH у ду о

j uwdy -

1— ^ j w 2dy = ^ j dy

H ф H у дф о

PH ф дф о

. (11)

sф = j( 1 -u dy.

и

(12)

Толщина вытеснения поперечного потока (в направлении у )

у-. Р. * Р. ** Р. **

Отметим, что величины 8 ф , 8 ф и 8 у существенно положительны, а знак остальных характерных толщин пространственного пограничного слоя совпадает со знаком w.

Сгруппируем в уравнении (11) члены с характер-дН

ным множителем

у

дф

B1 = --

U ^ udy =----—J u2 dy-

1 дH yS

H ф H у дф

H ф H у дф

1 дH у s 2

H фH у дф

j w 2dy.

Разделим почленно на U и преобразуем выражение:

B1 = -

1 дH

у

rs

H фH у дф

jiü-' d

и I и

s w 2 А

и2

Учтём выражения (14), (15) и получим окончательно:

(8 ф* + 8 У*).

Н фН у дИ ф у '

B1 = --

Для дальнейших преобразований по рекомендации [2] введём характерные толщины пограничного слоя.

Толщина вытеснения продольного потока (в направлении ф )

Аналогично сгруппируем в уравнении (11) члены

дН „

со множителем

ф

B2 = --

ду

U дЯ s 1 дH s

ф j wdy +---^j uwdy +

HФH у ду о

HФH у ду о

1 дHф s

HФHу ду о

j uwdy .

8 у = j —dy.

у о U

(13)

Толщина потери импульса продольного потока (в направлении )

s Ф* = J|1 -

U IU

dy.

(14)

Толщина потери импульса поперечного потока (в направлении у )

sw2 ~ ** f w 1

s у =j uT dy.

оu

(15)

Толщина потери импульса продольного потока в поперечном направлении

у

=jh - ui wdy.

U IU

Толщина импульса поперечного потока в продольном направлении

Разделим почленно на U 2 :

B2 =-

1 дн ф s Г

H фн у ду о

s u w А

С yV 7 Г М V|/ 7

I - — dy + 21--dy

J TT ^ J TT TT y

U

U U

Учитывая выражения (13), (14), получим: 1 дHф

B2 =-

H фн у ду

1 3H,

H фн у ду

-(2s w -s у) ■(s у- 2s фу)

B3 =

1д

rs

2 H ф дф

j u 2 dy

U д_ H ф дФ

rs А j udy

1 дH(

|s

2H ф дф

j u 2 dy

~ ** i«wu ~ * ~ **

8УФ = j UUdy = sу sфу .

Преобразуем выражение и добавим взаимно уничтожающиеся члены:

1 8 г Я. ,2

B3 = — j

Яф о

du2 du dU dU

--U--u--+ u —

дф дф дф дф

Л

dy.

B4 = --

Я, d,

(u 28 ф;)

U dUc

+--8

Я, d,

,

ттди дП д(Пи)

Отметим, что и--+ и-= —^—1, сгруппируем

дф дф дф

члены в подынтегральном выражении и поменяем

местами знак интеграла и дифференциала

B3 =

1

Я ф

f

дф

-U 2 j|1 dy + ^-j udy

dU1

U IU " дф о Учтём выражение (1) и тождество

J Udy = U (8-8 ф),

о

найдем

L -U

я ф эф

B3 = -——(и 28 Г) Я фдф^ ^

+ - — U (8-8 ф*).

Возьмём производную произведения и почленно поделим на квадрат скорости внешнего потока П2 :

B4 = „ 1 d8 ф,

28

ф,

1 dU,

Я - д- Я-и Я-и д-Окончательно запишем:

,

B4 = --

1 д8

ф,

1 dU

я, д, Я,U д,

(8 28 **;).

Члены в правой части уравнения (11) также разде-

лим на U2

B5 = --

др

8--

-оф

-Яфи2 дф -U'

Распишем производную произведения и почленно поделим на квадрат скорости внешнего потока и 2 :

28ф* дП 1 дП ,

1 д8 ф*

B3 = -- ф

Я ф дф Я фи дф Я фи дф

(s-s ф).

Окончательно получим

B3 = -

1 д8 ф

1 dU

я ф дф Я фи дф

(-28

** * ф-8ф+8

Аналогично предыдущему выделяем в (11) члены

1/Я ,:

B4 = -

U d

8

Я, д,

j wdy

1

Я, д,

д Г8 Л

j uwdy

о

Вынесем знак интеграла и добавим в подынтегральное выражение взаимно уничтожающиеся члены

где 8 = | йу - толщина пространственного погранич-

0

ного слоя.

Уравнение импульсов, соответствующее первому уравнению системы (1) запишется как выражение

В1 + В2 + В3 + В4 = В5.

Изменим знак и окончательно запишем:

1 -8

ф

+ -

1

Я ф дф Я фи дф

dU / „** о* о\ 1 д8 (28 * +8 ф-8) +

Я, д,

dU

Я,U Я,U

1 дЯф

ЯфЯ, дф

1 я дф

др

я ф я ,

-Яфи 2 дф -U 2

** **

( +8,)+ . (17)

8 + ^

8

B 4 = — j

и j

8Г

Я

,о

dU dU д (uw) -+-+ ——-

д, д, д, д,

U dw -U--w

Л

dy.

Последовательно учитывая дифференциал произведения и суммы подынтегральных функций, свернём уравнение к виду

8Г d

du Л

B4 =J —(uw - Uw) + w-

JoV } d,

dy.

С учётом выражения для вертикальной компоненты скорости V (2) перепишем второе уравнение системы (1) дифференциальных уравнений пространственного пограничного слоя

Запишем интеграл суммы и тождественно разделим и умножим первый член на П2, второй член на П, получим выражение

1

u dw

я ф дф я фя ,

w dw +--+ -

yд(Я ,u) уд (Я фw) J-V^ dy + J-Hw dy

дф

uw дЯ

,

д,

U 2 -Я ф

dw

зу'

я, д, я фЯ, -ф я фЯ, д,

ф ,

1 др +1 -т,

РЯ, д, р ду

(18)

B4 =

1д

Г

Я, д,

-U 2 - Ul Udy

Л

U dU 8

я, д, о U

JZ dy.

Примем во внимание выражение (3) и преобразуем выражение к виду

Почленно проинтегрируем уравнение (18) вдоль оси у от 0 до 8 . Учитывая, что коэффициент Ламэ -величина постоянная при интегрировании по у, получим:

С1 = 1^^ = 8и^йу . (19)

0 Я фдф Я ф 0 дф

1

Интеграл второго члена берём по частям:

C 2 = -

1s

—j

и j

H ФH у о

y д(нум) у д(H ф w) j 1 у ' dy + j 1 ф ' dy о дф о ду

C 2 = -

H ф H у

s

-j w

о

уд(н уu) Уд (H фw) о дф о ду

д^ ) д (H ф w)

dy

дw дУ

дф

ду

dy

C 2 = --

1

H Ф H у о

s

jw

д(нуu ) д (Hфw)

дф

ду

dy.

C 2 =-

1

н ф н у

дн s s дu

--^j wudy - Hу j w—dy -

дф о о дф

дн s н д Г s А

--^j w 2 dy--ф--j w 2 dy

ду о 2 ду1 о

(2Q)

c 3 =j

w д^ , 1 s дw

dy = J—— dy ,

он у ду 1

2H

у о

ду

C 3 =

2H у ду

д |s А j w 2 dy

о

(21)

c 4 =j

о s

c 5 = j

о H фH у дФ

у dy = тт 1,--Iuwdy , (22)

н фн у дФ о

s u2 дн q он фн у ду

dy =

1 дн ф! 2

н фн у ду о

Ju 2dy . (23)

где j dy = s - толщина пространственного погранич-

ного слоя

c 6 = -l- ^ s.

pH у ду

(24)

В седьмом члене берём интеграл от производной напряжения трения

C 7 = s1 ^ dy = . о Р ду p

(25)

Обратим внимание, что поперечная составляющая скорости в пространственном пограничном слое в соответствии с рисунком равна нулю дважды: при у = 0 и при у = 8 , следовательно, при подстановке пределов интегрирования в первом члене предыдущего выражения он равен нулю

Результат интегрирования уравнения (18) запишется как сумма интегралов (19)...(25):

С1 - С2 + С3 + С4 - С5 = -С6 + С7 .

Окончательно записываем

8 ^ , 1 дН у 8 1 8 ди

1 s д^ , 1

-i u—dy +--

н ф£ дф ^ н

H

н фн у дф о

s Л 1 s дu ^

j wudy +--j w — dy +

H

Распишем производную произведения и поменяем местами знак интеграла и дифференциала, окончательно получаем:

н фн у ду о

дн ФS 2 d т j w dy +

2H у ду

ф о дФ

j w 2 dy

д rs 2 А

1

|s

j w 2 dy

1

H ф H у дФ

у s uwdy -

В выражении для третьего члена внесём функцию w под знак дифференциала:

2Н у ду

-^^[и > = -^Р8-Т (26)

Н фН у ду 0 рН у ду р

Сгруппируем члены в уравнении (26). Выберем 1

члены с множителем

H ф дw

П1 1 s д^ 1 s дu

D1 =-j u — dy +--j w—dy

H

ф о

дф

H

ф о

дф

где Ш - интеграл дифференциала произведения функций:

D1 =

1

В следующих членах вынесем за знак интеграла коэффициенты Ламэ и их производные:

H ф дф

д |s А

j uwdy

о

Тождественно разделим и умножим функцию под дифференциалом на квадрат скорости внешнего потока, затем, учитывая выражение (16), преобразуем уравнение к виду

D1 =

1 д i 2 s u w А

н ф дФ

U2 J-—dy

о UU '

1

н ф дФ

(U 2)

Учитывая, что давление р не изменяется по оси у в пределах 8 , находим выражение для следующего члена:

С 6 = 1^ ^у = *Р. / ¿у,

0 рН У ду рН у ду 0

Продифференцируем это уравнение

2и8У*фд^ и 2 д8......

D1 =

уф

н фU дф H ф дф

Разделим почленно на U 2 и получим выражение

D1 =

2sуф ди 1 дS

уф

H у ду

D 2 = ■

1

д |s А

j w 2dy

D 2 = -

H у ду

(u 2s у*).

почленно на U

2

D2 =

2sу ди 1 дS*

H фи ду H у ду

1 дн у

Выделим из (26) члены с--—

H Фн у дФ

при сло-

жении получим

D3 = -

н ф н у дФ

дн уг d

j wudy .

ние на и2 / и2 и с учётом (16) будем иметь Б3 = -

2U 2 дн у8 **

н ф н у дф

фу

U 2 и в итоге записываем:

D3 =

дн у

н ф н у дФ

фу

слагаемых

ф

D 4 =

н фн у ду 1 дн ф S

1

--;j w 2dy---

н Фн у ду о н Фн у ду о

дн Ф8 2d j u dy.

D 4 = -

и2 дн ф s

H фн у ду

j w 2 dy-

1

dHУфJ(Uu - u 2 + Uu + U 2 - и 2 )dy .

н фн у ду оУ '

Преобразуем это выражение

Н фи дф Н ф дф

Выберем из уравнения (26) члены со множителем 1д

, сложим и найдем

D 4 =

и2 дн ф

н фн у ду

•8 !* +

1 дн ф 8

H ф H у

ду

U2

1 -u+(1 -u I-1

и I и I и

dy,

Н у ду

Домножим подынтегральное выражение на и2 / и2, учитывая равенство (15), запишем:

1д

затем разделим почленно на и 2 и вынесем общие множители за скобки, с учётом (12), (14) в итоге получим:

1 дН „

D4 =

н фн у ду

ф(8 у* + 8 ;* + 8 ф-8).

Члены в правой части (26) аналогично разделим

Продифференцируем это уравнение и разделим на и 2

D5 = -

др s- т оу

pHуи2 ду~ pU2'

Уравнение импульсов, соответствующее второму уравнению из системы дифференциальных уравнений пространственного пограничного слоя (1), запишется как выражение: Б1 + Б2 + Б3 + Б4 = Б5.

Развернув выражение, окончательно запишем уравнение импульсов в проекциях на поперечную координатную ось

Аналогично домножим подынтегральное выраже-

1 д8 у* 1 д8

у*; + 28у; ди + 28 у ди +

ну ду H; д; H ;U д; Hуи ду

Разделим на квадрат скорости внешнего потока

1 дн;

H ;H у дф H ;H у ду

+ 28 у; дн у +

((Л ** (Л ** (Л * О \

8 у* +8 ф +8 ;-8) =

pH уи2 ду

дР s- Т оу

pU2

(27)

Выполним более громоздкие преобразования для 1 дН ф

В первом члене подынтегральное выражение умножим на и2 / и2 с учётом (22), во втором добавим взаимоуничтожающиеся слагаемые (( + и2)-

-(и, + и2):

Уравнения (17), (27) представляют собой запись уравнения импульсов в проекциях на направления естественных координат ф и у . Система уравнений (17), (27) представлена в более общем виде в отличие от уже известных решений Г.Ю. Степанова [2] и С.Н. Шкарбуля [3; 4], выполненных с учётом особенностей течения соответственно в межлопаточном канале осевой турбины и по покрывному диску рабочего колеса центробежного насоса. В предлагаемой записи уравнения импульсов сохранены члены с производной др / дф, что позволяет интегрировать уравнения в случае непотенциального внешнего потока по поверхности любой формы.

Отметим, что полученное уравнение импульсов при нулевых начальных условиях при отсутствии поперечного градиента давления др / ду = 0 с учётом

1 дР и ди б

---= и- обращается в классическую запись

р дф дф

интегрального соотношения Кармана [5]

1

1

(2 + Я) ^ dU =

оф

дф

U дф -и:

В системах (17), (27) число неизвестных функций значительно превышает число уравнений, поэтому система не доопределена. Возможность традиционного решения заключается в том, что вводят условные относительные (существенно положительные) величины

О * 18 *

я=4

8 *ф*

K =-е8

т = -1 8;

2 гч **

е2 8 ф

м =18 ,ф

I = 18 ф,

Е 8 ** ' Е 8 **

фф

которые считаются постоянными величинами в области, далёкой от зоны отрыва потока. Это, в частности, подтверждается экспериментальными работами. В

этих формулах е = tg 90; 90 - угол скоса донной линии тока, в соответствии с рисунком определяющий поперечную составляющую напряжения трения на стенке tg 9 0 =т 0- / т 0ф. С указанными подстановками в системе (17), (27) остаётся два неизвестных, что позволяет вести её интегрирование без дополняющих уравнений, все остальные неизвестные функции скорости П, дП /дф, дП /д-, коэффициентов Ламэ дЯ ф дЯ -

Я ф, Я -,-,-определяются из известного реше -

д- дф

ния для внешнего потока и его граничных условий. В общем случае возможно только численное интегрирование систем (17), (27) как систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Это вызывает значительные трудности, связанные со сложностью метода интегрирования таких уравнений. Однако в некоторых частных случаях возможны преобразования уравнений (17), (27) к виду, позволяющему произвести их интегрирование.

Работа выполнена при поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований №06-08-00830а.

Литература

1. Селезнев К.П., Галеркин Ю.Б. Центробежные компрессоры. Л., 1982.

2. Степанов Г.Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. М., 1962.

3. Шкарбуль С.Н. Расчет пространственного пограничного слоя во вращающихся каналах центробежных колес // Энергомашиностроение. 1973. № 1. С. 19-29.

4. Шкарбуль С.Н., Вольчук В.С. Анализ пространственного пограничного слоя в центробежном колесе турбомашины // Энергомашиностроение. 1977. № 1. С. 14-16.

5. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М., 1969.

Сибирский государственный аэрокосмический университет им. академика М. Ф. Решетнева

12 декабря 2006 г.

ф

УДК 539.3:519.6

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ ТЯЖЁЛОЙ ПОДВЕШЕННОЙ СТРУНЫ С СОСРЕДОТОЧЕННОЙ МАССОЙ

© 2007 г. Х.П. Культербаев, О.В. Исламова

Введение

В последние годы наблюдается повышенный интерес к механике тяжёлых гибких нитей и струн1, широко применяемых в технике. Математическая постановка и собственно вопросы механики для некоторых таких задач рассмотрены в известных монографиях [1, 2] и научных статьях [3, 4, 5]. Зачастую такая струна подвешена вертикально, и к её концу присоединяются концевые сосредоточенные массы в виде различных грузов, шахтных и лифтовых кабин, буйков, аэростатов, подводных аппаратов, якорей и т.д.

1 Тяжёлой называется струна, в математической модели колебаний которой учитывается собственный вес.

Источником колебаний гибких тяжёлых нитей служат кинематические возмущения концов; сосредоточенные и распределённые нагрузки, возникающие от взаимодействия с другими элементами технической системы, с окружающей средой. В проведённых теоретических исследованиях как кинематические, так и динамические возмущения являются, как правило, детерминистическими и скалярными. При этом используются громоздкие аналитические преобразования, в результате которых получаются неудобные для вычислений решения в виде функций Бесселя различных родов и порядков [2, 6]. Эти сложности могут быть преодолены с помощью универсальных численных методов; более того, для сложных задач они, по-видимому, являются единственным способом решения.