CC BY
375
УДК 538.9
Уравнение состояния при высоких давлениях: метод D-U-диаграмм
Г.П. Черепанов, К.Р. Закиров1
Нью-Йоркская академия наук, Нью-Йорк, 10007-2157, США 1 Башкирский государственный университет, Уфа, 450001, Россия
Для твердых материалов предлагается уравнение состояния в области высоких давлений вплоть до нескольких сотен ГПа для значений плотности материала, превышающих его плотность при нормальных условиях, и для температур вплоть до температуры плавления. Утверждается, что оно справедливо также для жидкостей, в частности для ртути, воды и др. Анализируются данные экспериментов по ударному нагружению 40 основных химических элементов в конденсированном состоянии, доказавшие вполне удовлетворительное согласие результатов опытов с предложенным уравнением состояния. Анализ основан на изучении экспериментальных диаграмм зависимости скорости ударной волны от материальной скорости позади ударной волны (в системе координат, связанной с материалом перед ударной волной). Показано, что линейная зависимость скорости ударной волны от скорости материала за ударной волной является характеристикой конденсированного вещества и его структуры. Из всех известных авторам данных наиболее существенные отклонения от линейной диаграммы оказались у железа, углерода, льда и воды. Для железа эти отклонения были объяснены появлением при высоких давлениях двух новых фаз железа, для воды — одной фазы. Для воды в диапазоне давлений от 0.1 МПа до 150 ГПа было предложено простое практически точное уравнение состояния. Для давлений в диапазоне 0.1-300 МПа уравнение не уступает в точности чрезвычайно сложному уравнению состояния американского стандарта, полученному на основании анализа большой базы статических испытаний. Предложенное уравнение состояния воды удовлетворяет также ударным испытаниям для давлений от 2 до 50 ГПа. Показано, что в диапазоне давлений от 45 до 1500 ГПа вода полностью теряет молекулярные свойства и ее уравнение состояния совпадает с уравнением состояния щелочного металла натрия. Введена модель идеального твердого тела, внутренняя энергия которого зависит только от напряжений или деформаций, а при высоком давлении — только от давления или плотности. Найдены также уравнения состояния алмаза, двух структурных фаз графита и нескольких фаз льда.
Ключевые слова: уравнение состояния, высокое давление, D-U-диаграмма, твердые вещества, жидкости, опытные данные по ударному сжатию, статические испытания, теория, таблица для 40 основных химических элементов, структурные фазы, многофазные вещества, углерод, железо, вода, лед, графит, алмаз
State equation of condensed matter at high pressure: D-U diagram approach
G.P. Cherepanov and K.R. Zakirov1
The New York Academy of Sciences, New York, 10007-2157, USA 1 Bashkir State University, Ufa, 450001, Russia
For solids and liquids, an equation of state is suggested at high pressures up to a few megabars, for densities greater than that at normal conditions and for temperatures up to the melting point. Shock wave loading test data are analyzed for 40 basic chemical elements, and they prove the state equation suggested, within the limits of test error. The method is based on the analysis of D-U diagrams where D is the shock wave velocity and U is the material velocity behind the shock wave (both with respect to the material in front of the shock wave). Based on the state equation suggested the velocity of shock wave is shown to be a linear function of the material velocity behind the shock wave, the function being a specific characteristic of the material and its structure. Most significant anomaly belonging to carbon, iron, ice, and water is explained by the formation of new phases at high pressure, with two new phases of iron, and one phase in the case of water. For water, a simple nearly exact equation of state is suggested for pressures from 0.1 MPa to 150 GPa. For pressures from 0.1 to 300 MPa, it fits very well the extremely complicated state equation of the American standard obtained by static tests, and for pressures from 2 to 50 GPa it fits well the data of shock wave tests. In the pressure range from 45 to 1500 GPa liquid water becomes solid, which equation of state coincides with that of alkaline metal sodium. The model of ideal solid as contrary to ideal gas is introduced, with internal energy of ideal solid depending only on stresses or strains (and only on pressure or density, at high pressures). The equations of state for iron, diamond, pyrolithic graphite, and for several phases of ice are as well derived based on test data.
Keywords: equation of state, high pressure, D-U diagram, solids, liquids, shock test data, static tests, theory, table of 40 basic chemical elements, structural phases, multiphase substances, carbon, iron, water, ice, graphite, diamond
1. Введение
При малых давлениях и нагрузках поведение всех твердых материалов описывается законом Гука, а при
© Черепанов Г.П., Закиров K.P., 2014
несколько больших давлениях и нагрузках — законами теории пластичности. В таких условиях тензоры напряжения и деформации, а также температура являются
основными параметрами состояния. При достаточно высоких давлениях можно пренебречь касательными напряжениями, так что поведение твердых материалов в процессах нагружения можно описать в терминах давления, плотности и температуры как основных параметров состояния (постулат уравнения состояния). Плотность при этом становится единственной мерой деформации материала. Для всех твердых материалов плотность монотонно увеличивается с ростом давления, поэтому реакция материала на такое растущее давление совпадает с реакцией некоторой идеальной сжимаемой жидкости. Опыты показывают, что в процессах роста давления вплоть до давлений несколько сотен ГПа основными параметрами для твердых материалов являются плотность и давление, причем разница между адиабатическими и изотермическими процессами сравнительно мала.
Следует отметить, что твердые материалы могут иметь также много других параметров состояния, таких как пористость, параметры структуры, скорость изменения давления и плотности, электрическое смещение, магнитная индукция, прозрачность и т.д. Все эти параметры состояния в настоящей работе считаются или несущественными, или некоторыми постоянными величинами, идентифицирующими данный материал наряду с его атомным весом, химической формулой и т.д. Уместно подчеркнуть, что пористость материала, которую технически легко создавать искусственно, является независимым параметром материала; изменение пористости может кардинально изменить свойства исходного материала.
В настоящее время наиболее популярен метод определения уравнения состояния при высоких давлениях путем сравнения ударных адиабат (адиабат Гюгонио) для одного и того же химического материала с различной искусственно созданной пористостью [1]. Предполагается, что это один и тот же материал, характеризуемый его плотностью, которая меньше естественной плотности при нормальных условиях. Естественно, что для пористых материалов при высоких давлениях существенно возрастают тепловые эффекты. Эти эффекты являются следствием локальных существенно необратимых деформаций и разрушений ослабленной пористой структуры, которые вызывают рост энтропии и выделение тепла, совершенно не присущие исходному материалу. Уравнение состояния в терминах лишь давления, плотности и температуры строится как некоторая интерполяция опытных данных, которая затем аппроксимируется на другую температуру, а также на плотность материала, значительно больше его табличной плотности при нормальных условиях. При этом исходным является выбор внутренней энергии или энтальпии (от которых зависит адиабата Гюгонио) в зависимости от давления, плотности и температуры. По нашему мне-
нию, такой подход является неадекватным, т.к. при этом игнорируется роль пористости как независимого параметра состояния и преувеличивается роль тепловых эффектов. Например, графит и алмаз (модификации углерода, отличающиеся структурой и плотностью) описываются различными уравнениями состояния. С нашей точки зрения, это различные материалы.
Правильным является метод, при котором нагруже-нию ударной волной подвергаются образцы одного и того же материала, находящиеся в состоянии предварительного всестороннего сжатия перед ударной волной. Сравнение ударных адиабат для различных начальных сжатий можно произвести точно также, как (формально) для различных начальных плотностей материала. Полученные таким методом аппроксимации и предсказания будут отвечать реальному материалу с гораздо меньшим эффектом тепловыделения и роста энтропии.
Уместно отметить также своеобразие процесса разрушения материалов в условиях высокого давления [2]. Так как роль касательных напряжений при таких условиях нивелируется, процесс разрушения из статического состояния сводится или к сферическому коллапсу с движением материала к центру коллапса, или к сферическому взрыву с движением материала в противоположном направлении. Знание уравнения состояния необходимо для решения этих проблем разрушения.
Ниже предлагается уравнение состояния в виде некоторой явной зависимости давления от плотности, в которую входят три свободных параметра, являющиеся некоторыми функциями температуры. Сравнение с имеющимися экспериментальными данными по поведению материала при малых статических давлениях и при высоком давлении позади ударных волн приводит к заключению, что для твердых и жидких материалов эти свободные параметры сравнительно слабо зависят от температуры.
2. Уравнение состояния (теория)
Запишем предлагаемое уравнение состояния конденсированных сред в следующем виде: R(R -1)
P = -
[ R -Х( R -1)]2
где
P = -
R =-
X = X(T).
(1)
(2)
К (Т)' Ро(Т) Здесь р — давление; р — плотность; Т — абсолютная температура; К(Т), р0(Т), Х(Т) — свободные положительные параметры, которые могут зависеть только от температуры; величины Р и R — безразмерные значения давления и плотности; X — числовой параметр (К имеет размерность давления, р0 — плотности). Считается, что давление в материале равно нулю при р = р0 (начальное ненапряженное состояние).
Уравнение Гиббса, справедливое для любых процессов и систем, для твердых материалов можно записать в следующем виде:
Tds = dи -ст.Ле. (3)
Здесь и и 5 — внутренняя энергия и энтропия (приходящиеся на единицу массы); е. — тензор деформации (приведенный к единице массы); ст. — тензор напряжений. При достаточно высоком давлении касательными напряжениями можно пренебречь, так что тензоры напряжений и деформаций можно считать шаровыми, т.е. поведение твердых материалов идентично поведению некоторой идеальной сжимаемой жидкости, по крайней мере, в процессах нагружения:
= -Р8., = • (4)
Здесь V = 1/ р — удельный объем; 8. — символ Кроне-кера.
Таким образом, для идеальных сжимаемых жидкостей (и твердых материалов при высоком давлении в процессах нагружения) уравнение Гиббса приобретает вид:
Td^ = ^ + рdV или Td^ = dh - vdp. (5)
Здесь Н = и + pv — энтальпия, приходящаяся на единицу массы.
Подставим величину р из уравнения состояния (1) в уравнение Гиббса (5) и проинтегрируем его от начального состояния р = р0, р = 0, 5 = 50 до некоторого конечного состояния (р, р, 5). В результате получим внутреннюю энергию материала как функцию параметров состояния (плотности и температуры):
= jjTd * +
R(1 -А)2 -А2
А2 (А- 1)[А- R(A-1)]
1-2А A-R(A-1)
~ ~ ~n R
(6)
X1 (X-1) X1
Первый член в формуле (6) равен сумме двух слагаемых, первое из которых (всегда положительное) представляет собой количество тепла, генерируемого ростом энтропии, а второе — количество тепла, полученного извне (со знаком плюс) или отданного вовне (со знаком минус). В случае теплоизолированной системы теплообмен отсутствует и остается лишь тепло, генерируемое в процессе нагружения. Именно этот случай имеет место при нагружении единицы массы материала в ударной волне. Процесс нагружения в статических условиях обычно изотермический. Очевидно, ударная волна вызывает наибольшее повышение температуры материала по сравнению с любыми другими, более медленными процессами нагружения.
Как известно, внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры и не зависит от давления и плотности газа. Поведение многих реальных газов близко к этой предельной модели. Естественно ввести понятие идеального твердого тела, внутренняя энергия которого зависит только от напряжений или деформа-
ций (а при высоких давлениях — только от давления или плотности) и не зависит от температуры. Поведение твердых материалов, описываемое теориями упругости и пластичности, близко к этой модели идеального твердого тела, в которой изотермические и адиабатические процессы не различаются. В том случае, когда K, X, р0 не зависят от температуры, уравнения (1) и (6) описывают поведение некоторого идеального твердого тела при высоком давлении.
Введем понятие исходного (начального) состояния материала при нормальных условиях давления и температуры. Обычно это комнатная температура и атмосферное давление, а также соответствующая им плотность материала, идентифицируемого химической формулой, фазой и структурой. Однако для материалов, не существующих при комнатной температуре и атмосферном давлении, это могут быть характерная температура и характерное давление их существования.
Таким образом, в рамках модели идеального твердого тела имеем
Ро(Т) = Ро = const. (7)
Здесь р0 — исходная плотность материала при нормальных условиях, которую будем считать характеристикой данного материала, идентифицирующей его наряду с химической формулой, атомным весом и параметрами структуры. Заметим, что плотность твердых материалов сравнительно мало изменяется от абсолютного нуля до точки плавления. Поэтому допущение (7) оправдано в качестве первого приближения. Функцию K(T) определим экспериментально при малых давлениях, а функцию X(T) выберем так, чтобы удовлетворить опытам при высоком давлении.
Согласно (1) при малых давлениях величина R близка к единице и уравнение состояния (1) принимает следующий вид:
P = R - 1 или K =
РРо
(Р-Ро <<Ро).
(8)
р-р0
Таким образом, величина К в рассматриваемом приближении равна упругому модулю всестороннего сжатия, который хорошо изучен для всех материалов. Для твердых материалов он сравнительно мало зависит от температуры, а для большинства металлов он сравнительно мало изменяется вплоть до давлений порядка нескольких десятков ГПа.
Согласно (1) функция Р = Р(К) монотонно растет с ростом R при любых X. При X < 1 величина Р не может превзойти (1 -X)-2, что противоречит эксперименту; поэтому величина X должна быть больше единицы (X > 1). Наблюдаемое иногда отклонение (см. табл. 1) возможно лишь в сравнительно узком диапазоне изменения давления.
При X > 1 функция (1) имеет вертикальную асимптоту. Таким образом, имеем:
R > 1 и р = -XPо при Р ^ X > 1. (9) X-! X-!
Таблица 1
Постоянные X и B материалов при высоком давлении
Вещество Начальная плотность p0, г/см3 Модуль сжатия К, ГПа Диапазон давлений p, ГПа X (экспер.) B, км/с Источник
Эксперимент Теория
Li 0.530 11.80 3.50-70.00 1.12 4.45 4.70 [3-6]
Ве 1.850 130.00 14.20-11.00 1.09 8.00 8.38 [7, 8]
C (алмаз) 3.515 442.00 100.00-600.00 1.02 12.11 11.21 [6]
C (графит) 2.265 3.00-48.00 1.80 3.90 [9]
N (75 K) 0.810 3.00-40.40 1.40 1.60 [10]
Na 0.970 6.20 4.20-96.60 1.26 2.55 2.50 [3-5]
Mg 1.720 33.60 5.00-26.00 1.27 4.50 4.50 [7, 8]
AI 2.710 78.90 1.36 5.33 5.40 [11]
2.790 2.00-197.00 1.39 5.25 5.30 [8]
S 2.100 8.84 6.00-10.00 1.00 2.20 2.10 [12, 13]
10.00-20.00 0.80 3.20
K 0.860 3.40 3.30-86.00 1.17 2.00 2.00 [3-5]
Ti 4.510 109.00 16.80-106.00 1.09 4.74 4.90 [8, 14]
V 6.100 140.00 20.40-124.00 1.21 5.10 4.90 [14]
Cr 7.100 167.00 23.30-174.00 1.47 5.20 4.90 [7, 8, 14]
Fe 400.00-4870.00 1.58 3.80 [15]
7.840 171.00 3.80-173.00 4.67 [7, 8, 14]
Co 8.820 167.00 24.40-160.00 1.33 4.70 4.40 [7, 8, 14]
Ni 8.860 180.00 23.50-918.00 1.45 4.60 4.50 [7, 8, 14]
Cu 8.930 151.00 1.46 3.90 4.10 [16]
8.900 21.60-144.00 1.50 3.96 [7, 8, 14]
Zn 7.140 62.00 1.45 3.20 3.00 [16]
18.60-140.00 1.56 3.05 [7, 8, 14]
Rb 1.530 2.50 5.20-39.00 1.15 1.30 1.28 [4, 5, 17]
Zr 6.490 103.00 20.80-41.00 0.93 3.80 4.00 [8]
Nb 8.600 144.00 24.40-48.00 1.21 4.40 4.10 [8]
Mo 10.200 253.00 25.40-163.00 1.24 5.16 5.00 [7, 8, 14]
Rh 12.420 275.00 27.90-55.10 1.65 4.68 4.71 [8]
Pd 11.950 180.00 26.30-37.20 1.92 3.80 3.88 [8]
Ag 10.490 1.54 3.30 [16]
111.00 21.60-401.00 1.59 3.24 3.21 [8, 14]
Cd 8.640 1.48 2.65 [16]
47.30 18.30-135.00 1.67 2.44 2.30 [8, 14]
In 7.270 38.90 21.40-40.50 1.61 2.37 2.30 [8]
Sn 7.280 55.00 33.00-310.00 1.48 2.64 2.80 [8, 14]
Sb 6.690 40.00 24.80-118.00 1.60 2.00 2.40 [14]
I 4.930 8.37 5.00-70.00 1.70 1.35 1.30 [18]
70.00-110.00 0.70 3.60
Cs 1.930 1.60 5.00-43.00 1.15 0.90 0.91 [4, 5, 17]
Ta 16.460 202.00 27.20-55.00 1.16 3.40 3.50 [8]
W 19.170 300.00 39.40-207.00 1.27 4.00 4.00 [7, 14]
Pt 21.400 29.50-58.60 1.41 3.61 3.40 [8]
Продолжение таблицы 1
Вещество Начальная плотность р0, г/см3 Модуль сжатия К, ГПа Диапазон давлений р, ГПа X (экспер.) В, км/с Источник
Эксперимент Теория
Аи 19.300 1.47 3.15 [16]
19.240 166.40 26.90-573.00 1.56 3.08 2.90 [7, 8, 14]
НБ (20 °С) 13.500 26.32 22.60-46.40 2.40 1.20 1.40 [19]
НБ (90 °С) 13.400 25.00 1.37
Т1 11.840 37.50 21.30-152.00 1.52 1.86 1.80 [7, 8, 14]
РЬ 11.340 1.27 2.30 [16]
42.35 19.50-139.00 1.52 2.00 1.90 [8, 14]
Bi 9.800 1.34 2.00 [16]
9.790 30.97 1.76-345.00 1.80 [8, 14]
ТИ 11.680 54.00 20.30-140.00 1.28 2.13 2.15 [8, 14]
и 18.900 100.00 33.50-645.00 1.50 2.50 2.30
Вода (экспер.) X = 1.44 ± 0.04 B = 1.70 ± 0.13, км/c [20]
Лед Ш (экспер.) X = 1.00 ± 0.08 B = 3.0 ± 0.1, км/c [20]
Лед VI (экспер.) X = 2.61 ± 0.14 B = 0.388 ± 0.078, км/c [20]
Лед VII (экспер.) X = 1.46 ± 0.11 B = 1.20 ± 0.14, км/c [20]
Это предельная плотность материала в рассматриваемом приближении. Сравнение с экспериментальными данными показывает (табл. 1), что она значительно больше плотности реальных материалов даже при экстремально высоких давлениях и поэтому, по-видимому, не имеет существенного физического значения.
Зависимость плотности р0 от температуры Тестест-венно описать в терминах теплового расширения в виде р0(Т) = р0[1-Р(Г-Т0)], где Т0 — некоторая исходная температура материала; в — коэффициент теплового расширения, который для большинства твердых материалов можно принять постоянным вплоть до температуры плавления. В ударных испытаниях идеального твердого тела температура перед ударной волной и за ударной волной одинакова, поэтому в уравнении состояния (1) величину р0(Т) можно считать равной плотности материала перед ударной волной.
Высокое давление в образцах материалов обычно создается ударником, который разгоняется до скоростей в несколько десятков километров в секунду. Таким методом удалось достигнуть в твердых материалах давлений порядка 500 ГПа, что превышает давление в центре Земли. При взрывах ядерных бомб давления, которые создаются в стальной обечайке бомб, достигают порядка 5000 ГПа и более [15, 16]. Такое давление, а также температура в миллион градусов имеют место на Солнце и других звездах.
Давление, созданное ударником на поверхности неподвижного образца, распространяется в материале ударной волной, скорость D которой, а также скорость материала за ударной волной V являются величинами,
наблюдаемыми и измеряемыми экспериментально. Основная информация таких экспериментов содержится в D— и-диаграммах, которые представляют собой зависимость D от V: каждая точка на этой диаграмме соответствует некоторому давлению за ударной волной (соответствующему определенной скорости ударника). Авторы [21] были, по-видимому, первыми, кто заметил линейный характер этих диаграмм еще в 1955 г.
Если скорость ударника превышает скорость продольных упругих волн в материале, то ударная волна начинается сразу от точки контакта. Если же скорость ударника меньше скорости продольных упругих волн, то ударная волна образуется на некотором расстоянии от точки контакта. Учитывая естественное затухание ударных волн вследствие процессов диссипации, в данном случае наиболее доверительными значениями D и V нужно считать те, что соответствуют точке максимального значения скорости ударной волны.
Образцы, испытуемые таким методом, обычно разрушаются на фрагменты, размер которых уменьшается с увеличением давления. В 1966 г. была выдвинута гипотеза о существовании волны разрушения, которая идет за ударной волной при достаточно высоких давлениях и является поверхностью, разделяющей фрагмен-тированный материал от неразрушенного [22]. Волны разрушения удалось наблюдать во многих опытах на стеклах при давлениях порядка 10 ГПа (см., например, [23]). Скорость распространения волны разрушения имеет порядок скорости звука во фрагментированном веществе за волной разрушения [24]. Волны разрушения могут возникать не только при сжимающих, но и
при растягивающих напряжениях в качестве волны разгрузки [25].
Построим D -^-диаграмму, используя предложенное уравнение состояния (1). Запишем законы сохранения на ударной волне: закон сохранения массы
А= 0
р0 О-и'
закон сохранения количества движения
(10)
Р = р0Р0.
(11)
Здесь р и р — давление и плотность материала за ударной волной; и и D отсчитываются относительно материала перед ударной волной. Образец материала, испытываемого при нормальных условиях, считается ненапряженным в исходном состоянии перед ударной волной (р0 — плотность материала перед ударной волной).
Подставим р/р0 и р из уравнений (10) и (11) в предлагаемые уравнения состояния (1), (2). В результате получим
D = В(Т) + X(T)U, (12)
где
В(Т) =
К (Т) р0(Т )•
(13)
Здесь Т — температура материала перед ударной волной.
Таким образом, линейное уравнение (12) справедливо при тех же условиях, при которых справедливо уравнение состояния (1), и наоборот.
В тех случаях, когда линейное уравнение не годится (и, следовательно, предложенные уравнения состояния (1), (2) не работают для данного материала), для нахождения адекватного уравнения состояния конденсированного вещества можно применить метод D -и-диаграмм, который заключается в следующем. Найденную из эксперимента зависимость D от и (диаграмма D -и) в виде D = D(U, Т) подставляем в уравнения (10) и (11), получаем:
р
_ о(и, Т)
р0(Т) О (и, Т) - и
Р = р0(т )ио(и, Т).
(14)
Это уравнение состояния, записанное в параметрическом виде, где и играет роль параметра. Исключив и из системы уравнений (14), уравнение состояния приводится к одной функции, связывающей р, Т и р. Этот метод пригоден для большинства конденсированных веществ при высоких давлениях (см. ниже приложение этого метода для некоторых аномальных случаев, когда уравнения состояния (1), (2) неудовлетворительны).
Систему уравнений (10), (11) можно разрешить относительно D и и, записав ее в виде:
О =
Ф0 р-р0
и =
Р р-Р0
р0
(15)
Закон сохранения энергии на ударной волне можно записать следующим образом:
1
(
-1 р0 р
Л
(16)
Здесь и — внутренняя энергия материала за ударной волной, приходящаяся на единицу массы; и0 — внутренняя энергия исходного материала перед ударной волной. Это ударная адиабата (адиабата Гюгонио). При помощи уравнения состояния (1) она определяет увеличение внутренней энергии материала в зависимости от плотности и температуры (или давления и температуры).
Подставим внутреннюю энергию согласно (6) в уравнение (16). В результате найдем количество тепла, генерируемого ударной волной в единице массы материала, в зависимости от плотности и давления за ударной волной, т.е. на основании (10)-( 12) от одной измеряемой переменной: D или и.
Например, используя уравнения (10)-( 12) и (16), увеличение внутренней энергии материала можно записать в зависимости от D или и в виде:
и - и0 = - и 2(В + XU) =- 1
0(0 - В)2.
(17)
2 ' У ' ' 2X2' Таким образом, в экспериментах достаточно измерить D и и в зависимости от скорости ударника, которая в данных опытах является единственным параметром нагружения, определяющим D и и, а следовательно, также р и р согласно (10) и (11).
Калориметрическое исследование образца непосредственно после удара позволяет также определить зависимость от скорости ударника той части энергии ударника, которая расходуется на нагревание и увеличение энтропии, т.е. на разрушение и необратимые деформации структуры материала позади ударной волны. Калориметрический анализ и измерение скорости ударной волны и скорости материала за ударной волной позволяют найти приращение энтропии и температуры материала. При очень высоких давлениях потери на излучение (свет, звук, рентгеновское излучение и т.д.) могут быть также весьма существенными источниками возрастания энтропии.
Для вычисления повышения температуры в любых процессах можно использовать модификацию уравнения Гиббса:
du = с„ dT +
, I ди
-V =| дТ
(18)
Здесь а.в — теплоемкость материала при постоянном объеме.
Интегрируя (18) между любыми двумя состояниями 1 и 2,получим
и1 = / ^Т + |
'- р
dv.
(19)
Таким образом, при помощи (19) по известной экспериментальной зависимости теплоемкости от температуры, используя уравнения состояния (1), (2), а также формулы (10), (11) и (17), можно найти повышение температуры за ударной волной в зависимости от скорости ударной волны. Величина (др/дТ) п, очевидно, равна аЕ, где а — коэффициент линейного температурного расширения, а Е = рёр/dр определяется уравнением состояния (1).
Приведем также формулы, которыми удобно пользоваться в экспериментах с ударником, движущимся со скоростью V. Когда скорость V больше скорости продольных упругих волн в исследуемом материале, ударная волна образуется с самого начала. Ударная волна идет не только по образцу, но и по ударнику. Все скорости отсчитываем относительно исследуемого материала перед ударной волной, движущейся со скоростью D. Обозначим через Ds скорость ударной волны в ударнике относительно материала перед ударной волной.
Скорость перемещения контакта образца с ударником равна скорости V материала образца за ударной волной. Тогда из законов сохранения массы и количества движения на контакте вытекает, что скорость материала ударника (равная V перед ударной волной) равна V позади ударной волны, в то время как давление в материале ударника за ударной волной (равное нулю перед ударной волной) равно давлению р в образце за ударной волной. Отсюда из законов сохранения массы и количества движения на ударной волне в ударнике, используя также формулу (11), легко найти:
(
и
V
1
т
1 + ' р0 (V - и)(и - Ds)
Pso(V - Ds)
(20)
Здесь р^ — плотность невозмущенного материала ударника; рs — плотность сжатого материала ударника.
Из второй формулы (20) видно, что скорость V за ударной волной в образце примерно равна скорости ударника V, если р^О << р^^ - Ds). Этот вывод важен для ударных испытаний воды.
В том случае, когда скорость ударника меньше скорости звука в образце и ударнике, формулы (20) также верны для начала процесса соударения; при этом D = с и Ds = и - с, где с и с — скорость звука в образце и ударнике соответственно. Формулы (20) приобретают следующий вид в этом случае:
и 1 р. си
V
1 + -
р0 ^
р0 Cs(V - и)
(21)
Pso(Cs + V - и) Таким образом, согласно (20) и (21) при ударных испытаниях воды стальным ударником достаточно точное приближение дает зависимость скорости ударной волны D от скорости V:
и = V
1 -
ср0 с ^0
(22)
Для стали р^/ р0 = 7.85, с = 5100 м/с, что в 3.6 раз больше скорости звука в воде; следовательно, в этом случае V = 0.965 V.
3. Испытания материалов ударными волнами
Многочисленные эксперименты доказали линейный закон D = В + XV для твердых материалов в широком диапазоне давлений [3-14, 17-20, 26-54], что является экспериментальным подтверждением предложенных уравнений состояния твердых материалов (1), (2). Для жидкостей согласно (13) постоянная В равна скорости звука в исходном состоянии. Для твердых материалов уравнение (13) дает теоретическую величину В в зависимости от плотности исходного материала и его упругого модуля всестороннего сжатия. Эта величина всегда меньше скорости продольной волны с1 и больше скорости поперечной волны с( (последнее при V > 1/8, где V — коэффициент Пуассона):
В
1 + V В
2(1 + V)
К = -
с \3(1 -V) ^ \3(1 - 2v) 3(1 - 2v)
где Е — модуль Юнга.
В табл. 1 приводятся обработанные данные по ударным испытаниям для 40 веществ в твердом состоянии, а также для ртути, воды, жидкого азота и нескольких структурных состояний/фаз льда. В первом столбце таблицы дано название элемента согласно таблице Менделеева (элементы расположены в порядке атомного веса), во втором столбце — табличное значение плотности вещества перед ударной волной р0, в третьем столбце — табличное значение упругого модуля всестороннего сжатия данного вещества К, в четвертом столбце — диапазон испытанных давлений за ударной волной р, в пятом столбце — значение постоянной X для данного вещества, в шестом столбце — экспериментальное значение постоянной В, в седьмом столбце — теоретическое значение постоянной В. В последнем столбце приводится источник информации по данным опытов. Все материалы в начальном состоянии перед ударной волной находились при нормальной температуре, за исключением жидкого азота, который испы-тывался при температуре 75 К.
Железо, углерод, лед и вода проявляют нелинейную аномалию и ввиду их важности подробнее рассмотрены в последующих разделах. Во всех рассмотренных случаях аномалия объясняется наличием (или возникновением, начиная с определенного давления) других структурных форм одного и того же химического вещества. Этот факт приводит к заключению, что различные структурные формы одного и того же химического вещества имеют различные уравнения состояния и их
следует считать различными веществами. Особенно ярко это проявляется у льда, который может находиться в различных структурных состояниях/фазах даже при одинаковых условиях (давления и температуры).
Исследователи отмечают слабую зависимость X и В от температуры. Это означает, что твердые материалы близки к модели идеального твердого тела, по крайней мере, в испытанном диапазоне давлений. Для щелочных металлов (Li, Na, K, Rb, Cs) постоянная X близка к 1.15, за исключением Na (см. табл. 1 и работу [41]). Для воды и органических жидкостей (cc14, acetone, benzene) постоянная X близка к 1.42 [17, 30, 41, 46, 47].
Прежде всего, оценим разброс числовых значений постоянных X и В, а также точность теоретического значения В. С этой целью рассмотрим экспериментальные данные разных исследователей для одного и того же вещества (табл. 1):
Al, S, Fe, Cu, Zn, Ag, Cd, I, Au, Pb, Bi. (23)
В случае серы и йода очевидно, что сера и йод претерпевают структурно-фазовую трансформацию: сера при давлении p = 10 ГПа, а йод — при давлении p = = 70 ГПа. Поэтому серу и йод следует исключить из рассмотрения, т.к. различные их структуры, по существу, являются разными веществами. Для остальных элементов ряда (23) получается следующий результат: среднее значение ошибки в определении X равно 6 %, а в определении В равно 3. В случае воды и особенно льда разброс данных оказывается значительно больше (см. [20] и табл. 1).
Среднее значение отклонения теоретического значения В от экспериментального согласно данным табл. 1 равно 2 % для химических элементов одинаковой структуры. Следовательно, данная теория вполне удовлетворительно подтверждается экспериментом (в пределах ошибки эксперимента).
Анализ данных табл. 1 приводит к следующим обобщающим заключениям:
а) Линейная D-U-диаграмма является паспортной характеристикой каждого структурно-однородного материала, которая идентифицирует его наряду с химической формулой и параметрами структуры.
б) Функции В(Т) и X(T), или постоянные В и X, в определенном диапазоне температур характеризуют каждый конкретный материал.
в) Резкое изменение этих постоянных при некотором давлении и температуре означает наличие фазового перехода, при котором происходит трансформация исходного материала и образование нового материала, отличного от исходного по своим физическим свойствам и структуре.
г) Близость коэффициента K(T) в уравнении состояния (1) к упругому модулю всестороннего сжатия K показывает, что структура материала в рассматриваемом диапазоне давлений не претерпела существенных изменений по сравнению с ненапряженным материалом. В
этом случае уравнение состояния (1) может быть рекомендовано также для тех давлений, где касательные напряжения существенны, и может быть использовано в инженерной практике для моделирования упругоплас-тического поведения материалов (при этом р = 1/3 стй). Согласно (1) модуль всестороннего сжатия материала, равный р&р/dр, растет с увеличением давления и плотности (величина К характеризует его величину при малых давлениях, когда материал линейно-упругий).
Диаграмма D-U для воды имеет следующий вид (подробнее см. ниже, п. 7):
О = с(Т) + 2и - 0.1и2. (24)
Здесь с(Т) — скорость звука в воде при температуре Т перед ударной волной; D, с и и имеют размерность км/с. Уравнение состояния воды определено уравнениями (14) и (24) в параметрическом виде; по точности оно не уступает чрезвычайно сложному уравнению состояния [31], определенному на основании большой базы статических испытаний (см. ниже п. 7). Этот факт доказывает справедливость модели идеального твердого тела применительно к воде, а также демонстрирует эффективность метода D -и-диаграмм и ударных испытаний для определения уравнения состояния конденсированных веществ при высоких давлениях.
Уравнение состояния и диаграмма D -и для железа, углерода и льда рассмотрены ниже в п. 4-6.
4. Железо
Для железа, наиболее изученного твердого материала, наблюдается максимальное отклонение от теоретических оценок (см. табл. 1). Теоретическое значение В = 4.65 км/с на 23 % превышает величину В, которая была найдена экспериментально еще в 1958 г. [15, 16] на весьма широком диапазоне давлений от 38 до 4870 ГПа. Железо является самым распространенным (по массе) элементом на планете Земля; из железа в основном состоит ядро Земли, где оно находится под давлением порядка 300-400 ГПа и температуре свыше 1000 °С.
При нормальных температурах и давлениях железо находится в а-фазе, характеризуемой объемно-центрированной кубической кристаллической решеткой (Ьсс). Этот материал называется ферритом. При 912 °С и атмосферном давлении феррит переходит в аустенит — железо в у-фазе, характеризуемое гранецентрированной кубической кристаллической решеткой. При давлении порядка 14 ГПа и температуре 300-700 К феррит переходит в более плотную е-фазу, характеризуемую гексагональной плотноупакованной кристаллической решеткой. Тройная точка этих трех фаз (а, у, е) находится в окрестности точки р = 14 ГПа, Т = 400 °С.
В 1996 г. исследования распространения ударных волн в феррите привели к более точной интерполяции опытных данных [29]:
D = 3.664 + 1.79и - 0.0342и2, 1.4 км/с < V < 8 км/с,
D = 5.869 + 1.239и + 0.00017и2, (25)
8 км/с < V < 22 км/с, (25)
D = 6.982 + 1.19и + 0.00011и2, 22 км/с < V. Здесь размерность D и V — км/с.
Анализ этих данных приводит к следующим выводам:
а) При давлениях порядка 990 ГПа, характерных для скорости V = 8 км/с, происходит фазовый переход в новую фазу железа, которую будем называть закиритом или ^-фазой железа.
б) При давлениях порядка 5800 ГПа, характерных для скорости V = 22 км/с, происходит фазовый переход в другую фазу железа, которую будем называть черитом или п-фазой железа.
в) Давления порядка 60 ГПа, характерные для скорости V = 1.4 км/с, достаточно близки к давлению 14 ГПа, при котором происходит переход феррита в е-фазу при нормальных условиях. Поэтому первый участок D-U-диаграммы, при 1.4 км/с < V < 8 км/с, вероятно, характеризует е-фазу железа, или малоизвестную Р-фазу железа, которую удалось получить в некоторых статических экспериментах с давлением порядка 50 ГПа. Фазу железа, характеризуемую этим участком D-U-диаграммы, будем называть эпситом.
Очевидно, в случае а) фазовый переход в ударной волне происходит в цепном порядке фазовых переходов а ^ е (^ в?) ^ С, а в случае б) — а ^ е (^ в?) ^ £ ^ п. Каждая из этих фаз существует только в определенном диапазоне давлений.
Подставляя D и V из (14) в (25), на основании допущения об идеальном твердом теле получаем уравнения состояния для эпсита, закирита и черита, справедливые для любых процессов сжатия (включая ударное сжатие). Находим для эпсита (1.4 км/с < V < 8.0 км/с, 67 ГПа < <р < 990 ГПа, 1.30 < р/р0 < 2.03)
Р = 9.88(1.79-8 + ^§2 -3.588 + 3.7)2, К
(26)
8 = р/ (р - р0)'
для закирита (8 км/с < V < 22 км/с, 990 ГПа < р < < 5800 ГПа, 2.03 <р/р0 < 2.98)
р = 27-43р(р-ро), (27)
К (р-5.17р0)2 ' '
для черита (V > 22 км/с,р > 5800 ГПа, р/р0 > 2.98) р = 62.05р(р-р0) К (р-6.26р0)2 ' В уравнениях (26)-(28) р0 = 7.85 г/см3, К = 171 ГПа. Эти уравнения состояния с ошибкой порядка 1 % описывают экспериментальные данные интерполяционных уравнений (25) для трех диапазонов давления. Лишь в случае эпсита наблюдаются существенные отклонения уравнения (26) от предложенного уравнения состояния (1).
Причины такой аномалии не совсем ясны: возможно, эпсит является смесью е- и в-фаз железа с долей фаз, зависящей от давления. Например, аналогичная ситуация имеет место в воде при достаточно больших давлениях за ударной волной, когда часть воды превращается в лед (неизвестной структуры), что обнаруживается по резкому изменению прозрачности воды за ударной волной при таких давлениях. Другим примером является образование кристаллов алмаза в графите при давлениях более 5.5 ГПа за ударной волной. В смесях различных материалов с массовой долей, зависящей от давления, линейность D-V-диаграммы нарушается. Но даже в случае эпсита грубая линейная аппроксимация
D = 3.9 + 1.65и, Р = -0'5р(р-р0)
, (29)
К (р-2.54р0)2
отличается от точной квадратичной интерполяции (25)
и (26) не более чем на 8 %.
Модули всестороннего сжатия эпсита, закирита и черита, равные р ёр/ёр, естественно отличны от упругого модуля всестороннего сжатия феррита.
5. Углерод
Углерод является основообразующим элементом всех органических материалов (уголь, нефть, газ, алмаз, графит, графен и др.) и, в частности, всех живых организмов на Земле. Он существует во множестве структурных форм/фаз. Рассмотрим алмаз и синтетический графит — наиболее изученные формы углерода.
5.1. Алмаз
Приведем результаты опытов Павловского по ударному сжатию алмаза [6], начальная плотность которого равна р0 = 3.515 г/см3 (табл. 2). Величины в последних трех колонках (давление и относительная плотность за ударной волной, а также увеличение внутренней энергии) рассчитаны по формулам (10), (11) и (16). Это замечание относится также к приводимым ниже данным для синтетического графита.
Экспериментальные данные для алмаза с точностью до 0.1 % подчиняются следующему соотношению: Б = 12.11 + 1.02и ± 0.1%. (30)
Отсюда на основании (1) получаем уравнение состояния алмаза:
Таблица 2
Экспериментальные данные по ударному сжатию алмаза [6]
V, км/с D, км/с р, ГПа р/Р0 и - и0, кДж/г
2.01 14.18 100.184 1.165 2.020
2.78 14.94 145.989 1.229 3.864
5.15 17.33 313.712 1.423 13.261
8.20 20.50 590.872 1.667 33.620
Таблица 3
Экспериментальные данные по ударному сжатию синтетического графита [9]
и, км/с D, км/с р, ГПа рМ и - и0, кДж/г
0.305 4.420 3.054 1.074 0.047
0.350 4.750 3.766 1.080 0.061
0.404 5.016 4.590 1.088 0.082
0.464 4.932 5.183 1.104 0.108
0.479 5.003 5.428 1.106 0.115
0.787 5.514 9.829 1.166 0.310
0.798 5.440 9.833 1.172 0.318
0.802 5.440 9.882 1.173 0.322
0.855 5.790 11.213 1.173 0.366
0.860 5.790 11.278 1.174 0.370
0.881 5.750 11.474 1.181 0.388
0.884 5.700 11.413 1.184 0.391
0.885 5.955 11.937 1.175 0.392
0.893 5.901 11.936 1.178 0.399
1.237 6.337 17.755 1.243 0.765
1.239 6.284 17.635 1.246 0.768
1.487 6.617 22.287 1.290 1.106
1.504 6.550 22.313 1.298 1.131
1.900 7.445 32.040 1.343 1.805
2.059 7.577 35.336 1.373 2.120
2.180 7.620 37.625 1.401 2.376
2.252 7.803 39.801 1.406 2.536
2.332 8.322 43.957 1.389 2.719
2.501 8.342 47.256 1.428 3.128
2.516 8.370 47.699 1.430 3.165
^^ = ^-1) 2 , Л = . (31)
515.48 ГПа (1.02- 0.02Л)2 3.515 г/см3
Это уравнение состояния выполняется, по крайней мере, в испытанном диапазоне давлений от 100 до 600 ГПа при температуре близкой к нормальной.
5.2. Графит
Используем экспериментальные данные по ударному сжатию синтетического графита, начальная плотность которого равна р0 = 2.265 г/см3 [9] (табл. 3). Эти данные с точностью 2 % аппроксимируются следующими соотношениями:
О = 3.65 + 2.52и± 2% (3 ГПа <р < 12 ГПа), (32) О = 4.355 +1.6и ± 2 % (17 ГПа <р < 48 ГПа). (33) Согласно приведенным данным для синтетического графита (табл. 3) ошибка измерения иногда достигала 5 %. Следовательно, точность интерполяционных урав-
нений (32) и (33) следует считать вполне удовлетворительной. Из этих данных, согласно (32) и (33), вытекает, что синтетический графит претерпевает значительные структурные преобразования в диапазоне давлений от 12 до 17 ГПа. Поэтому структурные формы синтетического графита, определяемые формулами (32) и (33), следует считать различными материалами, уравнения состояния которых определяются по формуле (1) или в параметрическом виде по формуле (14), с учетом (32) и (33).
5.3. Графит как «пористый алмаз»
Пористость любого материала следует считать независимой переменной, т.к. свойства пористого материала существенно зависят от конкретной структуры пористого тела. Иначе говоря, из одного и того же химического материала можно создать много пористых структур, обладающих совершенно различными свойствами. Достаточно сравнить углерод-алмаз с углеродом-графитом, который можно считать «пористым углеродом-алмазом». Сравнение экспериментальных данных для графита (33) и алмаза (30), которые имеют общую зону в диапазоне 2.0 км/с < и < 2.5 км/с, показывает, что эти материалы не могут иметь общего уравнения состояния.
6. Лед
Известны, по меньшей мере, 16 различных кристаллических и несколько аморфно-стеклообразных фаз твердой воды при различных давлениях и температурах. Каждое из них характеризуется своей D-и-диаграммой. Влияние начальной плотности материала р0 демонстрируется в экспериментах по ударному сжатию льда Ш, кристаллы которого имеют гексагональную структуру [42]. Это обычная замерзшая вода. Образцы изготавливали спеканием ледяного порошка сжатием его при -15 °С (порошок состоял из частиц с диаметром около 300 мкм, предварительно обработанных паром). Величина р0 определяет пористость исходного материала и играет роль независимого параметра состояния. Приведем данные экспериментов [42] (табл. 4), которые имеются также в банке данных [43]. Здесь последние два столбца рассчитаны по формулам (14). Эти данные интерполируются следующим образом:
р0 = 0.915: О = 1.64 + 1.42и± 1%, (34)
р0 = 0.600: О = 0.84 + 1.4и ± 1%, (35)
р0 = 0.350: О = 0.15 + 1.37и± 1%. (36)
Следует отметить существенное расхождение экспериментальных данных для образцов льда Ш, полученных сжатием порошка до плотности р0 = 0.915 (см. уравнение (34) и работу [42]), и образцов обычного льда Ш примерно той же начальной плотности (см. табл. 1 и работу [20]).
Таблица 4
Экспериментальные данные по ударному сжатию льда Ш [42]
р0, г/см3 U, км/с D, км/с p, ГПа P/Po
0.915 1.15 3.27 3.441 0.411
0.915 1.84 4.19 7.054 1.631
0.915 2.36 5.02 10.840 1.727
0.915 3.08 6.12 17.247 1.842
0.915 4.04 7.39 27.318 2.018
0.915 4.84 8.52 37.732 2.118
0.915 5.24 9.35 44.830 2.082
0.915 5.67 9.69 50.272 2.206
0.600 2.57 4.44 6.847 1.425
0.600 4.42 6.97 18.485 1.640
0.600 5.27 8.35 26.403 1.627
0.600 5.77 8.86 30.673 1.720
0.600 6.20 9.52 35.415 1.720
0.350 2.76 3.93 3.796 1.176
0.350 4.77 6.70 11.186 1.215
0.350 5.72 8.12 16.256 1.184
0.350 6.24 8.92 19.481 1.165
0.350 6.75 9.39 22.184 1.245
В уравнении состояния (38) или (39) единственной характеристикой материала является его исходная плотность р0. Поскольку талая вода и лед Ш — химически одно и то же вещество близкой структуры, попробуем определить уравнение состояния талой воды, считая лед «пористой водой» (а воду «более плотным льдом»). Положив р0 = 1 в уравнении состояния льда (37), получим
D = 1.88 +1.4и ± 2%. (40)
Это уравнение состояния мало чем отличается от уравнения состояния обычной воды, полученного ранее [20] (см. табл. 1):
Б = 1.7 ± 0.13 + (1.44 ± 0.04)и. (41)
Этот факт еще раз показывает, что результаты для пористых материалов можно распространять на более плотные материалы, одинаковые химически, только в том случае, если структура обоих материалов одинакова. Следует отметить, что как уравнение (40), так и уравнение (41) значительно уступают в точности нелинейному уравнению состояния воды (23), хорошо апробированному на большой базе статических испытаний (см. ниже). Мы говорим о диаграмме D-U как об уравнении состояния, имея в виду, что она определяет связь давления с плотностью и температурой согласно (14). Знание этой диаграммы для модели идеального твердого тела эквивалентно знанию уравнения состояния.
Всю совокупность данных (34)-(36) в пределах точности измерений можно описать единой формулой:
Б = -0.77 +2.65р0 + 1.4и ±2%. (37)
Здесь начальная плотность р0 имеет размерность г/см3, а каждое слагаемое — км/с.
Отсюда уравнение состояния льда, изученного в работе [42], согласно (1) запишется в виде:
0.16р = Р0(2.65Р0 -0.77)2 -1)2 , Я = . (38)
(3.5 - Я) р0
Здесь начальная плотность р0 имеет размерность г/см3, а 0.77 и 2.65р0 — км/с. Напомним, что (км/с)2 = = ГПа/(г/см3).
Лед VII имеет кубическую структуру, его плотность равна р = 1.65 г/см3 при давлении 2.5 ГПа и температуре 25 °С. Так как его химическая формула идентична химической формуле «пористых» льдов, описываемых уравнением состояния (37) или (38), то естественно попытаться применить уравнение (37) к более плотному льду VII, структура которого отлична от структуры льда Ш. Получаем
Б = 3.6 +1.4и ± 2%. (39)
Однако это уравнение существенно отличается от уравнения состояния льда VII: D = (1.2 ± 0.14) + (1.46 ± ± 0.11)и, найденного в опыте [20] (см. табл. 1). Таким образом, структура материала играет не менее важную роль в уравнении состояния, чем химическая формула материала.
7. Вода
Предлагаемое уравнение состояния воды запишем в следующем виде:
р
p = Po(T )UD,
D
(42)
р0(Г) Б - и
Б = с(Т) + 2и - 0.1и2. Здесь р, р, Т—давление, плотность и температура воды, а ее плотность р0(Т) и скорость звука с(Т) в воде при атмосферном давлении в зависимости от температуры хорошо известны из опыта (см. табл. 5). Эти функции нетрудно записать также аналитически в виде интерполяционных формул.
Таблица 5
Температура, скорость звука и плотность воды при атмосферном давлении
T, °C c, км/с Po, г/см3
5 1.426 1.0000
10 1.448 0.9997
20 1.483 0.9980
40 1.528 0.9920
60 1.549 0.9830
80 1.553 0.9720
90 1.549 0.9650
Таблица 6
Экспериментальные [31] и теоретические (уравнение (42)) данные для льда Ш
Т = 5 °С, р0 = 1.000 г/см3, с = 1.426 км/с Т = 20 °С, р0 = 0.998 г/см3, с = 1.483 км/с
р, г/см3 р, МПа [31] р, МПа, ур. (42) р, г/см3 р, МПа [31] р, МПа, ур. (42)
1.0047 10.7 10.6 1.0079 22.7 22.6
1.0147 32.8 32.8 1.0182 46.4 46.5
1.0247 56.0 56.1 1.0282 71.5 71.7
1.0397 93.2 93.7 1.0382 98.0 98.4
1.0497 120.0 120.7 1.0481 126.0 126.6
1.0597 148.4 149.3 1.0581 155.4 156.6
1.0697 178.8 179.8 1.0681 187.5 188.4
1.0847 228.8 229.3 1.0781 221.3 222.3
1.0947 265.1 265.1 1.0881 257.5 258.2
1.1047 304.0 303.3 1.0981 296.1 296.4
Т = 60 °С, р0 = 0.983 г/см3, с = 1.549 км/с Т = 90 °С, р0 = 0.965 г/см3, с = 1.549 км/с
р, г/см3 р, МПа [31] р, МПа, ур. (42) р, г/см3 р, МПа [31] р, МПа, ур. (42)
0.9881 12.1 12.0 0.9702 11.9 11.8
0.9979 37.2 37.0 0.9800 36.5 36.4
1.0078 63.7 63.6 0.9895 62.8 62.6
1.0176 91.8 91.7 0.9991 90.6 90.3
1.0274 121.5 121.5 1.0088 120.1 119.7
1.0373 152.9 153.0 1.0184 151.2 150.8
1.0471 186.1 186.2 1.0281 184.1 183.6
1.0569 221.2 221.4 1.0377 218.8 218.3
1.0668 258.3 258.6 1.0474 255.3 254.9
1.0760 297.5 298.0 1.0571 293.8 293.5
Сравнение с экспериментальными данными показало (см. ниже), что уравнение состояния (42) в пределах ошибки эксперимента справедливо в следующем диапазоне параметров состояния: 0.1 МПа <р < 50 ГПа,
1.00 г/см3 < р < 2.25 г/см3, ( )
0 < и < 5 км/с, с < D < 9 км/с, (43)
0 < Т < 100 °С.
Исключая и и D из системы уравнений (42), уравнение состояния воды в этом диапазоне можно записать как зависимость между р, р, Т в явном виде:
р0 +
10р р-р0
(
\с + 5
1 -
р0
Л
р-р0
1 --
р0
р-р0
1 -
р0
р-р0
+ 0.4с
, с = с(Т), р0 =р0(Т). (44)
Здесь и всюду далее в формулах подразумевается следующая размерность: р — в ГПа, р и р0 — в г/см3, с, и, D — в км/с.
В исследованном диапазоне сверхвысоких давлений, когда
(45)
45 ГПа < р < 1500 ГПа, 2.25 г/см3 < р < 4.00 г/см3, 5 км/с < и < 35 км/с, 9 км/с < D < 45 км/с, в пределах ошибки эксперимента (см. ниже) справедливо более простое уравнение состояния воды:
р = Ш, р= ——, О = 2.61 + 1.27и. (46)
О - и
Исключая отсюда и и D, это уравнение можно записать в виде (1), характерном для материала, структура которого не изменяется в указанном диапазоне давлений:
р(р-1)
р = 93.444-
(47)
(4.704 -ру
Проверку предложенного уравнения состояния воды начнем с наиболее изученной области сравнительно невысоких давлений в диапазоне 0.1 МПа <р < 300 МПа. Эта область была обстоятельно исследована в статических экспериментах с тщательным измерением всех параметров состояния и с соблюдением высоких требований чистоты опыта (вода должна быть свободной от минеральных примесей и растворенных газов, что
нелегко соблюсти ввиду полярности молекул воды). Результаты были подытожены в чрезвычайно сложной формуле уравнения состояния [31], запись которой занимает пару страниц, см. также [49]. Эту формулу можно считать практически точной. Известны также уравнения Тэта [49], Рыбакова [40] и Нигматулина-Болот-новой [48], максимальная ошибка которых в указанном диапазоне не менее 7 % — для уравнения Тэта, 42 % — для уравнения Рыбакова и 99 % — для уравнения Ниг-матулина-Болотновой (см. подробный анализ в [49]).
Предложенное в работе уравнение состояния (42), или (44), в указанной области давлений от 0.1 до 300.0 МПа дает результаты, отличающиеся от данных [31] менее чем на 1 %, поэтому его можно также считать практически точным. В табл. 6 приведены характерные результаты сравнения (более подробные данные можно найти в [49]).
Диапазон давлений от 2 до 45 ГПа был подробно исследован в ударных испытаниях. При этом в экспериментах определялась зависимость скорости ударной волны от материальной скорости позади ударной волны (D-U-диаграмма), а давление и плотность материала за ударной волной рассчитывались по законам сохранения, см. первые два уравнения в (42). Поэтому целесообразно сравнивать теоретическое уравнение (42) непосредственно с результатами измерений в этих экспериментах. В табл. 7 приведено такое сравнение с наиболее тщательно выполненными экспериментами [17], причем в теоретических расчетах принято с(Т) = 148 км/с, р0(Т) = 1 г/см3.
Судя по разбросу экспериментальных данных, случайная ошибка измерения в этих экспериментах составляла не менее 1-2 %. Следовательно, настоящая теория вполне удовлетворительно подтверждается экспериментально в диапазоне давлений от 3 до 45 ГПа (см. первые два уравнения (42)).
Экспериментальные данные других авторов в этом диапазоне также успешно описываются теоретическим уравнением (42), или (44) (см., например, [50]). Сравнительно недавние эксперименты [51] хорошо описываются этой теорией даже в диапазоне более высоких давлений от 40 до 56 ГПа. Приведем характерные данные: при и = 4.70 км/с D = 8.78 км/с (эксперимент), D = = 8.78 км/с (теория, уравнение (42)); при и = 5.73 км/с D = 9.76 км/с (эксперимент), D = 9.66 км/с (теория, уравнение (42)).
Таким образом, предложенное уравнение состояния воды (42), или (44), оказывается справедливым для широкого диапазона давлений, изменяющихся на шесть порядков!
Нелинейную аномалию жидкой воды в диапазоне давлений от 0.1 МПа до 45 ГПа, вероятно, можно объяснить образованием небольшой доли структурированной воды. Например, при давлениях более 3 ГПа можно ожидать появления в ней более плотного льда VII, кото-
Таблица 7
Экспериментальные [17] и теоретические (уравнение (42)) данные для воды
и, км/с D, км/с
Экспер. [17] Теория, ур. (42)
0.900 3.314 3.200
1.136 3.617 3.623
1.140 3.604 3.630
1.144 3.534 3.638
1.144 3.620 3.638
1.306 3.944 3.921
1.311 3.936 3.930
1.316 3.972 3.939
1.339 4.044 3.980
1.357 4.077 4.010
1.600 4.482 4.424
1.689 4.635 4.573
1.713 4.674 4.613
1.741 4.700 4.659
1.749 4.720 4.673
1.773 4.755 4.712
1.779 4.727 4.722
1.792 4.715 4.743
1.814 4.689 4.779
2.266 5.466 5.499
2.266 5.481 5.499
2.274 5.545 5.510
2.275 5.534 5.512
2.299 5.558 5.570
2.310 5.537 5.566
2.324 5.559 5.588
2.479 5.804 5.824
2.514 5.839 5.876
2.530 5.869 5.900
4.051 7.973 7.941
4.160 7.973 8.070
4.534 8.349 8.470
4.632 8.388 8.598
4.633 8.487 8.600
4.722 8.635 8.636
4.942 8.929 8.922
рый образуется при охлаждении теплой воды при давлениях свыше 2.5-3.0 ГПа и выпадает в осадок (при давлении 2.5 ГПа плотность льда VII равна 1.65 г/см3). Так как ударная волна, наоборот, нагревает вещество, то отсюда следует, что в ударной волне фазовый переход
Таблица 8
Сравнение теоретических и экспериментальных данных для D и U
U, км/с Эксперимент Теория, ур. (46)
4.942 8.929 [17] 8.886
5.730 9.760 [51] 9.880
7.610 12.270 [52] 12.275
7.100 11.600 [53] 11.627
32.420 43.930 [54] 43.780
32.540 43.950 [11] 43.940
воды в лед VII неустойчив и в зависимости от малых возмущений в системе может происходить при любых давлениях свыше 3 ГПа (см. также [49]).
При давлении 100 ГПа и выше обнаружены значительные отклонения (примерно на 10 % при давлении 100 ГПа) экспериментальных данных от уравнения состояния (42). Поэтому в диапазоне давлений от 45 до 1500 ГПа предлагается уравнение состояния (46), или (47). Это простое уравнение с поразительной точностью описывает все известные авторам экспериментальные результаты 16 исследователей (см. табл. 8)!
На основании данных табл. 8 можно заключить, что в диапазоне давлений от 45 до 1500 ГПа вода полностью теряет свои молекулярные свойства и становится твердой, назовем ее «лед CZ», плотность которого равна 2.662 при давлении 100 ГПа. Лед CZ характеризуется своей линейной диаграммой D = 2.61 + 1.27и, существенно отличной от диаграмм других разновидностей льда (в частности льда VII, см. табл. 1), и должен рассматриваться как независимый от других материал со своими специфическими физическими свойствами. Следует отметить, что простое уравнение (46), или (47), достаточно хорошо описывает экспериментальные результаты и при более низких давлениях в диапазоне от 12 до 45 ГПа, когда 2.2 < и< 5.0, 5.4 < D < 9.0 (в км/с), а плотность изменяется в пределах от 1.69 до 2.25 (в г/см3). Наибольшее отклонение от уравнения (42), или (44), равное 2.7 %, имеет место при и = 3.65 км/с, D = 7.45 км/с, р = 27 ГПа, р = 1.96 г/см3. Поэтому возможно, что лед CZ образуется при более низком давлении из этого диапазона.
Неясно, является ли лед CZ уже известным льдом X или льдом XI, которые существуют примерно при давлениях свыше 50 ГПа (лед X) и свыше 500 ГПа (лед XI), а также имеют плотности порядка 2.5 г/см3 и выше. К сожалению, D -и-диаграммы льда X и льда XI неизвестны. Диаграмма D-и льда CZ в пределах ошибки эксперимента совпадает с D-и-диаграммой натрия № (D = 2.55 + 1.26и, см. табл. 1), проверенной в диапазоне давлений от 4 до 100 ГПа. Поэтому можно предположить, что лед CZ представляет собой протометалл,
близкий к щелочным металлам. Уравнение состояния (47) является уравнением состояния как льда CZ, так и натрия Na.
8. Выводы
Предложенное в данной работе уравнение состояния конденсированных сред при высоких давлениях подтверждено данными ударных испытаний 40 химических элементов при помощи анализа диаграмм D-U. Концепция идеального твердого тела и метод D -U-диаграмм позволяют эффективно находить уравнение состояния любой конденсированной среды при высоких давлениях. Каждое химическое вещество характеризуется определенной линейной диаграммой D— U, зависящей также от структуры/фазы вещества. Вода, лед, углерод и железо являются аномальными веществами вследствие фазовых переходов при высоких давлениях. Обнаружены две новых фазы железа при высоких давлениях. Для воды предлагаемое в данной работе простое уравнение состояния не уступает в точности чрезвычайно сложному уравнению состояния [17], полученному на основании большой базы статических испытаний; оно удовлетворяет также ударным испытаниям в диапазоне давлений от 2 до 50 ГПа. В диапазоне давлений от 45 до 1500 ГПа диаграмма становится линейной, отвечающей твердой фазе воды (лед CZ), уравнение состояния которой совпадает с уравнением состояния щелочного металла натрия.
Статья написана Г.П. Черепановым, но почин настоящей работы принадлежит К.Р. Закирову, которым составлены также таблицы и дано сравнение теоретических расчетов с литературными данными и результатами экспериментов.
Литература
1. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. - М.: Наука, 1966. -688 с.
Zeldovich Ya.B., Raizer Yu.P. Physics of Shockwaves and High Temperature Hydrodynamics Phenomena. - New York: Academic Press, 1967. - Vol. 1, 2.
2. Cherepanov G.P. Methods of Fracture Mechanics: Solid Matter Physics. - Dordrecht: Kluwer, 1997. - 314 р.
3. Баканова A.A., Дудоладов И.П., Трунин Р.Ф. Сжатие щелочных металлов сильными ударными волнами // ФТТ. - 1965. - Т. 7. -С. 1615-1622.
Bakanova A.A., Dudoladov I.P., Trunin R.F. Compression of alkali metals by strong shock waves // Sov. Phys. Solid State. - 1965. -V. 7.- P. 1307-1313.
4. Compendium of Shock Wave Data / Ed. by M. van J. Thiel. - Liver-more: Lawrence Radiation Laboratory, California University Press, 1966. - 720 p.
5. Рыбаков А.П. Твердые тела в условиях давлений и температур ударного сжатия. - М.: ЦНИИ Атоминформ, 1978. - 88 с. Rybakov A.P. Solids under Pressure and Temperature Shock Compression. - Moscow: Atominform CSRI, 1978.
6. Павловский M.H. Ударное сжатие алмаза // ФТТ. - 1971. - Т. 13. -№ 3. - С. 893-895.
Pavlovsky M.N. Shock compression of diamond // Solid State Phys. -1971. - V. 13. - No. 3. - P. 741-743.
7. McQueen R.G., Fritz J.N., Marsh S.P. On the composition of the earth's
interior // J. Geophys. Res. - 1964. - V. 69. - P. 2947-2965.
8. Раис М.Р., Мак-Куин Р.Г., Уолш Д.М. Сжатие твердых тел сильными ударными волнами // Динамические исследования твердых тел при высоких давлениях. - М.: Мир, 1965. - C. 55.
Rice M.H., McQueen R.G., Walsh J.M. Compression of Solids by Strong Shock Waves // Solid State Physics. Vol. 6. — New York: Academic Press, 1958. - P. 1-63.
9. Coleburn N.L. The compressibility of pyrolitic graphite // J. Chem. Phys. - 1964. - V. 40. - P. 71-77.
10. Зубарев B.H., Телегин Г.С. Ударная сжимаемость жидкого азота и твердой углекислоты // ДАН СССР. - 1962. - Т. 14. - С. 309311.
Zubarev V.N., Telegin G.S. The impact cоmpressibility of liquid nitrogen and solid carbon dioxide // Sov. Phys. Dokl. - 1962. - V. 7. -P. 34-36.
11. Трунин Р.Ф. Ударная сжимаемость конденсированных веществ в мощных ударных волнах подземных ядерных взрывов // УФН. -1994. - Т. 164. - № 11. - С. 1215-1237.
Trunin R.F. Shock compressibility of condensed materials in strong shock waves generated by underground nuclear explosions // Phys.-Usp. - 1994. - V. 37. - P. 1123-1145.
12. Berger J., Joigneau S., Bottet G. Comportement du soufre sous l'action d'une onde de choc // C.R. Acad. Sci. Paris. - 1960. - V. 250. -P. 4331-4348.
13. Berger J., Camion T., Bourreau H. Etudes des conditions d'inter-fgrence de deux chocs de meme intensity dans un solide // Les Ondes de Detonation. - Gif-sur-Yvette: Colloque CNRS, 1961. - P. 481484.
14. Мак-Куин Р.Г., Марш С.П. Уравнение состояния девятнадцати металлических элементов по ударноволновым измерениям до 2 Мбар // Динамические исследования твердых тел при высоких давлениях. - М.: Мир, 1965. - C. 93.
McQueen R.G., Marsh S.P. Equation of state of nineteen metallic elements from shock-wave measurements to two megabars // J. Appl. Phys. - 1960. - V. 31. - P. 1253-1269.
15. Алътшулер Л.В., Крупников К.К., Леденеев Б.Н., Жучихин В.И., Бражник М.И. Динамическая сжимаемость и уравнения состояния железа при высоких давлениях // ЖЭТФ. - 1958. - Т. 34. -С. 874-885.
Al'tshulerL. V., KrupnikovK.K., LedeneevB.N., Zhuchihin V.I., Brazh-nik M.I. Dynamic compressibility and the equation of state of iron at high pressures // JETP. - 1958. - V. 34. - P. 606-614.
16. Алътшулер Л.В., Крупников К.К., Бражник М.И. Динамическая сжимаемость металлов при давлениях от четырехсот тысяч до четырех миллионов атмосфер // ЖЭТФ. - 1958. - Т. 33. - С. 886893.
Al'tshuler L.V., Krupnikov K.K., Brazhnik M.I. Dynamic compressibility of metals at pressures from four thousand to four million atmospheres // JETP. - 1958. - V. 33. - P. 614-619.
17. LASL Shock Wave Hugoniot Data / Ed. by S.P. Marsh. - Berkeley: California University Press, 1980. - 362 p.
18. Alder B.I., Christian R.H. Destruction of diatomic bonds by pressure // Phys. Rev. Lett. - 1960. - V. 4. - P. 450-452.
19. Walsh J.M., Rice M.H. Dynamic compression of liquids from measurement on strong shock waves // J. Chem. Phys. - 1957. - V. 26. -P. 815-823.
20. Stewart S.T., Ahrens T.J. A New H20 Hugoniot: Implications for Planetary Impact Events // Shock Compression of Condensed Matter. -Ed. by M. Furnish. - Portland, OR, USA, 2003. - 280 p.
21. Walsh J.M., Christian R.H. Equation of state of metals from shock waves // Phys. Rev. - 1955. - V. 97. - P. 1544-1556.
22. Галин Л.А., Черепанов Г.П. О самоподдерживающемся разрушении хрупких материалов при высоких напряжениях // ДАН СССР. - 1966. - Т. 167. - № 3. - С. 543-550.
Galin L.A., Cherepanov G.P. On self-sustaining fracture ofhigh-stressed brittle materials // Sov. Phys. Dokl. - 1966. - V. 11. - P. 267-269.
23. Millett J., Borne N. Effect of internal strain on the propagation of failure in shock loaded soda-lime glass // J. Appl. Phys. - 2004. -V. 95. - P. 4681-4686.
24. Cherepanov G.P. Fracture waves revisited // Int. J. Fract. - 2009. -V. 159. - P. 81-84.
25. Черепанов Г.П. Механика разрушения. - Москва-Ижевск: Изд-во ИКИ, 2012. - 872 с.
Cherepanov G.P. Fracture Mechanics. - Moscow-Izhevsk, IKI Publishers, 2012.
26. Alder B.I., Christian R.H. Behavior of strongly shocked carbon // Phys. Rev. Lett. - 1961. - V. 7. - P. 367-369.
27. Павловский М.Н., Дракин B.H. К вопросу о металлической фазе углерода // Письма ЖЭТФ. - 1966. - Т. 4. - С. 169-172. Pavlovski M., Drakin V.N. On metallic phase of carbon // JETP Lett. -1966. - V. 4. - P. 116-118.
28. Жарков B.H., Калинин В.А. Уравнения состояния твердых тел при высоких давлениях и температурах. - М.: Наука, 1968. - 311 с. Zharkov V.N., Kalinin V.A. Equations of State for Solids at High Pressures and Temperatures. - Moscow: Nauka, 1968. - 311 p.
29. Алътшулер Л.В., Трунин Р.Ф., Крупников К.К., Панов Н.В. Взрывные лабораторные устройства для исследования сжатия вещества в ударных волнах // УФН. - 1996. - Т. 164. - № 5. - С. 575-581. Al'tshuler L.V., Trunin R.F., Krupnikov K.K., Panov N.V. Explosive laboratory devices for shock wave compression studies // Phys.-Usp. -1996. - V. 39. - P. 539-544.
30. Алътшулер Л.В., Баканова А.А., Трунин Р. Ф. Фазовые превращения при сжатии воды сильными ударными волнами // ДАН СССР. - 1958. - Т. 121. - № 1. - С. 67-68.
Al'tshuler L. V., Bakanova A.A., Trunin R.F. Phase transition of water compressed by strong shock waves // Sov. Phys. Dokl. - 1958. -V. 121.- No. 3. - P. 761-763.
31. Haar L, Gallagher J.S., Kell G. NBC/NRC Steam Tables. - New York: Hemisphere, 1984. - 318 p.
32. Трунин Р.Ф. Исследования экстремальных состояний конденсированных веществ методом ударных волн: уравнение Гюгонио. -М.: Наука, 2006. - 286 с.
Trunin R.F. Studies of Extreme States of Condensed Matters by Shock Waves: the Hugoniot Equation. - Moscow: Nauka, 2006.
33. Трунин Р.Ф., Урлин В.Д., Медведев А.Б. Динамическое сжатие изотопов водорода при мегабарных давлениях // УФН. - 2010. -Т. 180. - № 6. - С. 605-622.
Trunin R.F., Urlin V.D., Medvedev A.B. Dynamic compression of hydrogen isotopes at megabar pressures // Phys.-Usp. - 2010.- V. 53. -No. 6. - P. 577-593.
34. Трунин Р. Ф. Исследования экстремальных состояний металлов с использованием ударных волн // УФН. - 2011. - Т. 181. - № 4. -С. 416-422.
Trunin R.F. Extreme states of metals: investigation using shock wave techniques // Phys.-Usp. - 2011. - V. 54. - No. 4. - P. 397-403.
35. Трунин Р.Ф., БорисковГ.В., Белов С.И., Быков А.И., ИлъкаевР.И., Симаков Г.В., Урлин В.Д., Шуйкин А.Н. Ударно-волновое сжатие водорода до давлений 65 ГПа // Письма ЖЭТФ. - 2005. - Т. 82. -№ 5. - С. 317-320.
Trunin R.F., Boriskov G. V., Belov S.I., Bykov A.I., Il'kaev R.I., Sima-kov G. V., Urlin V.D., Shuikin A.N. Shock-wave compression of hydrogen at pressures up to 65 GPa // JETP Lett. - 2005. - V. 82. -No. 5. - P. 284-286.
36. Трунин Р.Ф., Борисков Г.В., Быков А.И., Медведев А.Б., Симаков Г.В., Шуйкин А.Н. Ударное сжатие жидкого азота при давлении 320 ГПа // Письма ЖЭТФ. - 2008. - Т. 88. - № 3. - С. 220-224. Trunin R.F., Boriskov G. V., Bykov A.I., Medvedev A.B., Simakov G. V., Shuikin A.N. Shock compression of liquid nitrogen at a pressure of 320 GPa // JETP Lett. - 2008. - V. 88. - No. 3. - P. 189-191.
37. Трунин Р.Ф., Подурец М.А., Попов Л.В., Зубарев В.Н., Баканова А.А., Ктиторов В.М., СевастъяновА.Г., Симаков Г.В., Дудола-дов И.П. Измерение сжимаемости железа при 5.5 ТПа // ЖЭТФ. -1992. - Т. 102. - № 4. - С. 1433-1438.
Trunin R.F., Podurets M.A., Popov L.V., Zubarev V.N., Bakanova A.A., Ktitorov V.M., Sevast'anov A.G., Simakov G.V., Dudoladov I.P. Measurement of the compressibility of iron at 5.5 TPa // JETP. - 1992. -V. 75. - No. 4. - P. 777-780.
38. Трунин Р.Ф., Подурец M.A., Попов Л.В., Моисеев Б.Н., Симаков Г.В., Севастьянов А.Г. Определение ударной сжимаемости железа при давлениях до 10 ТПа (100 MBar) // ЖЭТФ. - 1993. -Т. 103. - № 6. - С. 2189-2195.
Trunin R.F., Podurets M.A., Popov L. V., Moiseyev B.N., Simakov G. V., Sevast'anovA.G. Determination of the shock compressibility of iron at pressures up to 10 TPa (100 MBar // JETP. - 1993. - V. 76. -No. 6. - P. 1095-1098.
39. Кормер С.Б. Оптические исследования свойств ударно-сжатых конденсированных диэлектриков // УФН. - Т. 94. - № 4. - С. 641687.
Kormer S.B. Optical study of the characteristics of shock-compressed condensed dielectrics // Sov. Phys.-Usp. - 1968. - V. 11. - P. 229254.
40. РыбаковА.П. Особенности фазового превращения воды при ударном сжатии // ПМТФ. - 1996. - Т. 37. - № 5. - С. 17-23. Rybakov A.P. Phase transformation of water under shock compression // J. Appl. Mech. Tech. Phys. - 1996. - V. 37. - P. 629-633.
41. Афанасенков A.H., Богомолов В.М., Воскобойников И.М. Обобщенная ударная адиабата конденсированных веществ // ПМТФ. -1969. - Т. 40. - № 4. - С. 137-141.
Afanasenkov A.N., Bogomolov V.M., VoskoboynikovI.M. Generalized Hugoniot of condensed matter // J. Appl. Mech. Tech. Phys. - 1969. -V. 40. - P. 137-141.
42. БакановаA.A., ЗубаревВ.Н., СутуловЮ.Н., ТрунинР.Ф. Термодинамические свойства воды при высоких давлениях и температурах // ЖЭТФ. - 1975. - Т. 68. - № 3. - С. 1099-1107.
Bakanova A.A., Zubarev V.N., Sutulov Yu.N., Trunin R.F. Thermodynamic properties of water at high pressures and temperatures // JETP. -1975. - V. 41. - No. 3. - P. 544-548.
43. http://teos.ficp.ac.ru/rusbank/catsearch.php.
44. Rice M.H. Pressure-volume relations for the alkali metals from shockwave measurements // J. Phys. Chem. Solids. - 1965. - V. 26. - P. 483492.
45. Compendium of Shock Wave Data / Ed. by M. van J. Thiel. - Liver-more: Lawrence Livermore Laboratory, 1977. - Report UCRL-50108.- P. 1-329.
46. Трунин Р.Ф., Жерноклетов М.В., Кузнецов Н.Ф., Сутулов Ю.Н. Ударная сжимаемость насыщенных ароматических углеводородов // Хим. физика. - 1991. - Т. 9. - № 4. - С. 539-545.
Trunin R.F., Zhernokletov M.V., Kuznetsov N.F., Sutulov Yu.N. Shock compressibility of saturated aromatic hydrocarbons // Sov. J. Chem. Phys. - 1989. - V. 8. - No. 4. - P. 881-892.
47. Трунин Р.Ф., Жерноклетов М.В., Кузнецов Н.Ф., Радченко О.A., Сычевская Н.В., Шутов В.В. Сжатие органических жидкостей в ударных волнах // Хим. физика. - 1992. - Т. 11. - № 3. - С. 424432.
Trunin R.F., Zhernokletov M.V., Kuznetsov N.F., Radchenko O.A., Sychevskaya N. V., Shutov V.V. Compression of organic liquids in shock waves // Sov. J. Chem. Phys. - 1992. - V. 11. - No. 3. - P. 424-432.
48. Nigmatulin R.I., Bolotnova R.Kh. Wide-range equation of state of water and steam: simplified form // High Temperature. - 2011. -V. 49. - No. 2. - P. 303-306.
49. http://ungu.ru/zakirov-waterstateequation.
50. Ahrens T.J., Roderman M.N. Immersed-foil method for measuring shock wave profiles in solids // J. Appl. Phys. - 1966. - V. 37. -No. 3. - P. 4758-4763.
51. Трунин Р.Ф., Гударенко Л.Ф., Жерноклетов М.В., Симаков Г.В. Экспериментальные данные по ударной сжимаемости и адиабатному расширению конденсированных веществ. - Саров: РФНК, 2001. - 192 c.
Trunin R.F., Gudarenko L.F., Zhernokletov M.V., Simakov G. V. Test Data on Shock Compression and Adiabatic Expansion of Condensed Matter. - Sarov: RFNK, 2001. - 192 p.
52. Волков Л.П., Волошин Н.П., Мангасаров ПЛ., Симоненко ВЛ., Синько Г.В., Сорокин В.A. Ударная сжимаемость воды при давлении 1 Мбар // Письма ЖЭТФ. - 1980. - Т. 31. - № 9. - С. 546-548. Volkov L.P., Voloshin N.P., Mangasarov P.A., Simonenko V.A., Sin-ko G. V., Sorokin V.A. Shock compressibility of water at a pressure of 1 Mbar // JETP Lett. - 1980. - V. 31. - No. 9. - P. 531-535.
53. Шарипджанов И.И., Aльтшулер Л.В., Брусникин С.Е. Аномалии ударной и изоэнтропической сжимаемости воды // ФГВ. - 1983. -№ 5. - С. 149-153.
Sharipdzhanov I., Al'tshuler L., Brusnikin S.E. Anomalies of shock and isoentropic compressibility of water // Combust. Explos. Shock Waves. - 1983. - V. 19. - P. 668-672.
54. Подурец M.A., Симаков Г.В., Трунин Р.Ф., Попов Л.В., Моисеев Б.Н. Сжатие воды сильными ударными волнами // ЖЭТФ. -1972. - Т. 62. - С. 710-712.
Podurets M.A., Simakov G.V., Trunin R.F., Popov L.V., Moiseev B.N. Compression ofwater by strong shock waves // JETP. - 1972. - V. 35. -P. 375-376.
Поступила в редакцию 03.02.2014 г.
Сведения об авторах
Черепанов Геннадий Петрович, проф., Hon. Life Member, The New York Academy of Sciences, USA, [email protected] Закиров Камиль Рависович, докторант, кафедра информатики, БашГУ, [email protected], [email protected]
