CC BY
29
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 151, кн. 1
Физико-математические пауки
2009
УДК 535.14
УРАВНЕНИЕ ЛИНДБЛАДА В ОБРАЗУЮЩИХ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ АЛГЕБРЫ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ АТОМНО-ФОТОННОГО КЛАСТЕРА
A.M. Башаров
Аннотация
Получено кинетическое уравнение для описания излучения атомпо-фотошюго кластера, локализованного в одпомодовом резонаторе.
Ключевые слова: микрорезопатор. комбинационный резонанс, широкополосное излучение. эффективный гамильтониан, представление полиномиальной алгебры, квантовое стохастическое дифференциальное уравнение, атомпо-фотоппый излучатель.
Светлой памяти
Валерия Павловича Карасева
посвящается.
Введение
Процессы излучения и рассеяния фотонов атомами несут фундаментальную информацию о веществе и являются основными элементарными процессами, лежащими в основе работы самых разнообразных оптических устройств. В последнее время активно изучается излучение искусственных объектов, таких, как квантовые точки, ямы. проволочки, а также различных частиц в искусственных средах со сложной структурой фотонного спектра, как в фотонных кристаллах и т. п. Сохраняется активный интерес к излучательным процессам в микрорезонаторах. В данной статье описан новый искусственный излучатель атомно-фотонный кластер, состоящий из атомов и фотонов, локализованных в микрорезонаторе. Получено кинетическое уравнение для описания динамики неподвижных атомов в одпомодовом микрорезонаторе при условиях, когда фотоны микрорезонаторной моды не находятся в резонансе с оптически разрешенными атомными переходами, отсутствуют потери на зеркалах на частоте микрорезонаторной моды, а квантовый переход между задействованными в процессах атомными энергетическими уровнями является оптически запрещенным. Фотонный спектр системы состоит из локализованной частоты микрорезонаторной фотонной моды и полосы пропускания внешнего электромагнитного поля, которое совместно с микрорезонаторными фотонами находится в комбинационном резонансе с квантовым оптически запрещенным атомным переходом. Показано, что можно говорить именно об атомно-фотонном кластере: в отсутствие возбуждений в одной из подсистем задачи микрорезонаторной моды или атомного ансамбля атомно-фотонный кластер не излучает. При наличии возбуждений в обеих подсистемах и широкополосном внешнем электромагнитном поле с нулевой средней плотностью фотонов (вакуумное поле) возможно спонтанное излучение кластера из атомов и фотонов, локализованных в микрорезонаторе.
сог
ЛЛЛА/
Внешнее широкополосное электромагнитное папе б центральной частотой Юг
Микрорезонатор с частицами И микрорезонаторной модой частоты СО
1 еог
1
а)
Комбинационный резонанс частицы с микрорезанаторной модой и внешним полем.
б)
Рис. 1. Схематическое изображение одномодового микрорезонатора с N одинаковыми частицами и воздействующего внешнего поля (а) в условиях комбинационного резонанса (б)
Дано описание такого атомно-фотонного кластера в терминах полиномиальной алгебры третьего порядка, а его излунательная динамика представлена квантовыми стохастическими дифференциальными уравнениями и уравнением Линдблада в образующих полиномиальных алгебр.
1. Модель атомно-фотонного излучателя
Рассмотрим одномодовый микрорезонатор, содержащий Ка одинаковых частиц атомов, молекул, квантовых точек и т. п. Для простоты эти одинаковые частицы будем именовать атомами. Предположим, что выполнены следующие условия.
1. Микрорезонатор характеризуется собственной электромагнитной модой частоты шс и высокой добротностью на этой частоте, так что время жизни фотона микрорезонаторной моды можно считать бесконечным (в масштабе рассматриваемых в задаче времен).
2. Существует окно прозрачности область частот электромагнитных волн, которые могут свободно проходить через пустой резонатор. Считаем, что ширина окна прозрачности является достаточной, чтобы можно было рассматривать воздействие внешнего широкополосного электромагнитного поля с несущей частотой шг та систему микрорезонатор с Ка одинаковыми частицами. В частности, через окно прозрачности на рассматриваемую систему может воздействовать термостатное (вакуумное) электромагнитное поле.
3. Энергетические уровни частиц, помещенных в микрорезонатор, характеризуются энергиями основного уровня Ео и возбужденного у ровня , такими, что
(Е - Ео)/Й = шо « шг - Шс, (1)
то есть считаем, что переход Е\ ^ Ео является оптически запрещенным и находится в комбинационном резонансе с микрорезонаторной модой и внешним широкополосным электромагнитным полем с центральной частотой шг (рис. 1).
4. Ни микрорезоиаторпая мода, ни внешнее электромагнитное поле не находятся в резонансе с каким-либо оптически разрешенным переходом частицы с участием заселенного или заселенных уровней. Отсутствуют также другие двухфотонные резонансы с участием внешнего поля, микрорезонаторной моды и рассмотренных энергетических уровней частицы.
Описанная система является моделью атомно-фотонного излучателя, который при отсутствии фотонов во внешнем широкополосном электромагнитном поле характеризуется следующими свойствами.
1. Если микрорезонаторная мода возбуждена, а все частицы находятся в основном (невозбужденном) состоянии Ео, то система не излучает фотоны во внешнюю среду.
2. Если в микрорезонатрной моде отсутствуют фотоны, а одна или несколько частиц возбуждены, то есть заселяют энергетический уровень Ех, то система также не излучает фотоны во внешнюю среду.
3. Если одновременно в микрорезонаторной моде есть хотя бы один фотон и хотя бы одна из частиц возбуждена, то система спонтанно излучает фотоны частоты
во внешнюю среду. Такой атомно-фотонный излучатель считаем возбужденным, в отличие от случая, когда хотя бы одна из подсистем не возбуждена (свойства 1 или 2).
Таким образом, поведение обсуждаемого возбужденного и невозбужденного атомно-фотонного излучателя во внешнем широкополосном электромагнитном поле аналогично обычному возбужденному или невозбужденному атому, рассматриваемые энергетические уровни которого связаны оптически разрешенным переходом: если система возбуждена, то она спонтанно излучает фотон во внешнюю среду н при этом переходит в нижнее энергетическое состояние. Точнее, представленный атомно-фотонный излучатель аналогичен поведению нескольких одинаковых атомов если часть одинаковых атомов возбуждена, то они коллективно излучают фотоны во внешнюю среду. Для нескольких атомов этот процесс называется также сверхнзлученнем [1], поскольку свойства излучения зависят от количества возбужденных атомов с ростом их числа среднее время и длительность излучения сокращаются, а интенсивность возрастает. Меняются также статистические свойства и геометрия излучения.
При рассмотрении динамики описанного атомно-фотонного излучателя помимо сделанных предположений будем также пренебрегать наличием других мод резонатора, потерями на зеркалах, тепловым движением атомов, эффектами отдачи при излучении/поглощении квантов, вырождением атомных уровней по проекциям углового момента и поляризационными состояниями квантов. Взаимодействие атомов с фотонами учитываем в электродиполыгом приближении. Гамильтониан системы состоит из гамильтониана изолированных атомов На, гамильтониана фотонной моды Нс, гамильтониана широкополосного внешнего поля (термостата) Нг, оператора взаимодействия атомов и фотонов микрорезонаторной моды Ус и оператора взаимодействия атома с широкополосным внешним полем Уг:
Н = На + Нс + Нг + Ус + Уг, (2)
На = Й^оДз, Нс = Й^сЖ, Нг = НшЬ+Ьш,
и
Ус = д(Д+ + Д_)(с+ + с), Уг = ]Тгш (Д+ + Д_)(Ь+ + Ьш),
и
/>', д± = Ед±' 4'0 = ^(|1)(1|-|0)(0|),
г г
Д+(г) = |1)(0|, Д_(г) = |0)(1|.
Здесь |0 > и |1 > - собственные вектора гамильтониана изолированного атома с энергиями Е0 и Ех, Ех — Е0 = Нш0, шс - частота фотонов микрорезонаторной моды. Использованные оператора подчиняются следующим коммутационным соотношениям
[Д3, Д±] = ±Д±, [Д+, Д_] = 2Д3, [Ж, с] = —с, [Ж, с+] = с+, [с, с+] = 1. (3)
Вектор состояния |Ф) всей системы удовлетворяет уравнению Шредингера
г^|*>=#|*>. (4)
Уравнение (4) совместно с определением гамильтониана (2). коммутационными соотношениями (3) и начальными условиями дают решение задачи об эволюции атомов и поля в одномодовом резонаторе в сделанных предположениях.
Кинетические уравнения следуют из (2) (4) при дополнительных предположениях относительно начального состояния внешнего термостата. Однако в случае широкополосного внешнего поля непосредственное применение к гамильтониану (2) стандартных методов получения кинетических уравнений приведет к ошибке. поэтому сначала надо из исходного гамильтониана (3) получить эффективный гамильтониан, отвечающий резонансному условию (1) и лишь затем применять стандартные методы получения кинетических уравнений [2].
Чтобы получить эффективный гамильтониан задачи, существенно упрощающий уравнение (4). совершим унитарное преобразование [2]:
|Ф >= и|Ф) (5)
Переход от вектора |Ф к новому вектору (5) сопровождается изменением гамильтониана:
~ д
Н = ини+ -Ш—и+, (6)
дг ' к '
так что теперь описание квантовой системы дается уравнением Шредингера с преобразованным гамильтонианом (6):
ЛА|Ф)=Я|Ф). (7)
и
и = е-^, = (8)
а преобразованный гамильтониан (6) и 5 разложим в ряды по константам взаимодействия с фотонами микрорезонаторной моды и термостата:
5 = 5(10) + 5(01) + 5(11) +..., Н = Н(00) + Н(10) + Н(01) + Н(11) + Н(20) + ..., (9)
где левый индекс каждой пары верхних индексов указывает на порядок разложения по константе связи с микрорезонаторной модой, а правый по константе связи с квантованными волнами внешнего широкополосного электромагнитного
поля (термостата). Имеем
Н(00) = На + Нс + Нг, (Ю)
Н(10) = Ус - г[5(10), Н(00)] + ПдБ(10)/дЬ, (И)
Н(01) = Уг - г[5(01), Н(00)] + ПдБ(01)/дЬ, (12)
Н(11) = -(г/2)[5(01), Ус] - (г/2)[5(10), Уг] - (»/2)[^(01), Н(10)]-
- (г/2)[5(10), Н(01)] - г[5(11), Н(00)] + ПдБ(11)/дг, (13)
Отсутствие однофотонных резонансных переходов позволяет потребовать, чтобы были выполнены условия
Н(10) = 0, Н(01) = 0. (15)
Это достигается при помощи операторов £(10) и , которые получаются из уравнений (11) и (12) в виде
5(Ю) = гдИ+с гдН+с+ ^ ^
Циа-Шс) Циа+Шс)
(16)
5<(01) = ^ гТ К+Ъ + у гТшК+Ъ+ + Нс
^ П(^0 - ^ п(^0 +
Через Н.с. обозначены операторные слагаемые, эрмитово сопряженные предыдущим.
Эффективный гамильтониан задачи Н = Н(00) + Н(10) + Н(01) + Н(11) + Н(20), отвечающий резонансному условию (1) получается в виде
НеЯ = Нс1 + Нг + Уы_г, (17)
где Нс1 = На + Нс + Н(81) - гамильтониан атомно-фотонного кластера, ^с1-г -оператор взаимодействия атомио-фотониого кластера с термостатом, а введенные операторы Н(81) и Ус1_г определяются выражениями
Н(81) = Ш(81^Дз, ^с1_г = X) с+Д+ + сД_). (18)
и
Выражения для П(Э1) и Ош не приводим, поскольку в реальном атоме много нерезонансных уровней, которые дают вклад в П(81) и Ош. Корректный их учет проводится стандартным способом, изложенным в монографии [2]. Здесь же будем рассматривать П(81) и Сш как параметры теории, причем отпосительпо Сш предполагаем, что вблизи ^г её можно считать постоянной в пределах ширины линии однородного уширения перехода Е1 ^ Е0.
2. Описание атомно-фотонного излучателя в образующих полиномиальной алгебры
Гамильтониан атомно-фотонного кластера Нс1 определяется образующими
сс+
+ и N) и адгебры углового момента: Д_, Д+ и Дз). Это результат использованной стандартной схемы квантования, а для эффективного решения задачи алгебраическими методами необходимо иметь представление гамильтониана через образующие одной алгебры. Выразим гамильтониан Нс1 через новые операторы, которые позволят короче и нагляднее представить исходный гамильтониан. Более компактная запись гамильтониана удобна для последующего анализа и может позволить найти подход к аналитическому решению задачи.
Естественно ввести новые операторы Х±, позволяющие говорить именно об атомно-фотонном кластере:
Х_ = сД_, Х+=с+Д+, Х0 = Дз +Ж. (19)
Тогда гамильтониан атомно-фотонного кластера, как и оператор его взаимодействия с внешним электромагнитным полем, можно переписать как
tfci = Цш0 + шс)Х0 + Цш0 ~ + ftn<st> (х2 - ,
Vci-г = (b-X+ + b+X-).
w
При этом операторы Xo, X- и X+ являются образующими полиномиальной алгебры третьего порядка с коммутационными соотношениями
[Xo,X±]= ±X±, [X-,X+]= p„(Xo + 1) -pn(Xo) (20)
и характеристическим полиномом
n
X+X- = pn(Xo) = con (Xo - qi) (21)
i=1
третьего порядка (n = 3) с параметрами
co = -1, qi = (r - X)/2, q2 = (X - 3r)/2, q3 = (X + r)/2+1. (22) Операторы
X = N - R3 + r, Д2 = Д+Д- + Д2 - R3 = Д-Д+ + Д2 + Дз
являются операторами Казимира рассматриваемой полиномиальной алгебры, при-
X
Д2 r(r + 1)
Полнномнальные алгебры введены В.П. Карасевым в 1993 г. [3] и представляют собой адекватный аппарат для описания кластерных состояний. В рассматриваемом случае атомно-фотонного излучателя полиномиальная алгебра совпала с полиномиальной алгеброй, возникающей в задаче Тависа Каммингса [4]. поэтому можно воспользоваться неприводимыми представлениями, найденными в [4]. В данной статье следуем обозначениям лекции [5].
3. Кинетические уравнения атомно-фотонного излучателя
Для вывода кинетических уравнений атомно-фотонного излучателя будем считать, что начальное состояние |<^o) внешнего электромагнитно го поля S-коррелировано:
^o|b+bwN) = n(c)S(c - сс'), b+ ^o) = (1+ n(c))S(c - сс'), (23)
($o|b- b-' |Фo) = ($o|b+b+' |Фэ) =0.
Это означает, что внешнее электромагнитное поле рассматривается как термостат n( с ) с
n( с ) = 0
Введем квантовые винеровские процессы B(t, to) и их ннкременты dB и dB+ следующим образом:
t
B(t, tn) = J b(t')dt', b{i) = -j= j е-^-и>)Ъш{10)с1ю,
to
[B(t,to),B+(t,to)] = (t - to), dB = B(t + dt,to) - B(t,to),
причем произведения инкрементов винеровских процессов подчиняются алгебре
dB+(t) dB(t) = Ndt, dB(t) dB+ (t) = (1 + N) dt,
dB(t) dB(t) = dB+ (t) dB+(t) = dtdt = dtdB(t) = (24)
dtdB+(t) = dB(t) dt = dB+ (t) dt = 0.
Уравнение Гейзенберга для произвольного оператора A атомно-фотонного кластера имеет вид квантового стохастического дифференциального уравнения
dA =~[А, Яс1] dt-j^ [А, Х+] d.B(t) + Х-] dB+ (t) +1 dt, (25)
1= f {(« + X-] + [Х+,А]Х-)+п(Х-[А,Х+] + [X-,A]X+)},
X = 2nG2 (wr), n = n(wr).
При этом выполняется правило дифференцирования Ито
d(AiA2) = (dAi )A2 + AidA2 + (dAi )(dA2).
Из уравнения (25) стандартным образом получаем уравнение для матрицы плотности р атомно-фотонного излучателя
^ = ^р,Нс1}-Гр (26)
с релаксационным оператором
Гр = |(гг + 1 ){рХ+Х- + Х+Х-р - 2Х-рХ+)+
+ ^п{рХ-Х+ + - 2Х+рХ-). (27)
Полученный релаксационный оператор имеет форму Линдблада [6]. и поэтому его вид совпадает с релаксационным оператором [7. 8]. описывающим спонтанный распад атома или группы атомов при резонансном взаимодействии с термостатом. Разница лишь в коммутационных соотношениях для операторов, образующих релаксационный оператор. В случае атомно-фотонного кластера образующие принадлежат полиномиальной алгебре третьего порядка, тогда как в случае обычного спонтанного излучения атомов или группы атомов образующие подчиняются коммутационным соотношениям su(2)-алгебры или алгебры углового момента. Последнюю. впрочем, можно также представлять как полиномиальную алгебру второго порядка [3 5]. При этом полиномиальные алгебры третьего и более высокого порядков бесконечномерные, то есть вообще говоря не являются алгебрами Ли.
От случая спонтанного излучения атома или группы атомов отличается также «невозмущенный» гамильтониан атомно-фотонного кластера Hci. Он является нелинейным!
4. К решению кинетических уравнений
Чтобы иметь возможность как аналитического, так и численного решения кинетических уравнений (26) (27). необходимо иметь представление полиномиальной алгебры (20) (22). Здесь следуем работе [4] (см. также [5]).
Будем обозначать полиномиальную алгебру второго порядка, порожденную алгеброй ем (2) с заменой оператора Казимира Д2 на его значение г(г + 1)1 на некотором неприводимом представлении (1 - единичный оператор), как Мг . При этом генераторы алгебры и параметр неприводимого представления отмечаем тильдой: Д-, Д+, Дз и й. Коммутационные соотношения и структурный полином алгебры Кг определяются соотношениями:
[Дз, Д±] = ±Д±, [Д+, Д-] = 2Дз = р2(Дз) -Р2(Дз + 1), 2
Д+ Д- = Р2(^з) = 53 Оп-^(Пз)' = -(Дз + г)(Дз - Г - 1),
¿=0
Со = -1, С = 1, С = Г(Г +1).
Следуя [4], будем говорить о представлении с заданным X как о зоне с номером X. Если X < 2г, то это ближние зоны, если X > 2г, то дальние зоны, если X = 2г, то граничная зона. Начальные данные обычно содержат большое число ближних и дальних зон, поэтому средние различных операторов, как правило, мало изменятся при учете или иеучете еще одной граничной зоны.
Представление в дальних зонах (X > 2г) через генераторы (г = г) имеет вид:
= ^ + Д3, Х+ = ^Х-г + Н3Н+, Х- = Н-\/Х-г + Н3. (28)
Эти отображения аналитичны и обратимы, поскольку множество собственных значений Дз принадлежит отрезку [-г, г], так что подкоренные выражения положительны.
В дальних зонах размерность представления совпадает с размерностью атомного представления. В терминах атомно-полевых операторов имеем
Дз = Дз, Д+ = —)=с+Д+ = с+Д+ ; 1 Д_ = сД_—)= = ___=сД_.
' + у/Й + /лП7! у/Ы /хТТ
11
Равенство операторов с —-¡= = ^^ ^ с верно на состояниях, не имеющих проекции на вакуумный вектор поля.
Поскольку представление Л' = Д_ ^X — г + Дз можно переписать в виде
X- = у X - г +1 + Дз Д- , то для середины спектра подкорневых выражений следует из одного выражения X - г, а го другого выражения X - г + 1. Поэтому в качестве нулевого приближения для X- правильнее взять среднее арифметическое: Х- « у/Х -г + 1/2 /7 [4]. Тогда
Х- = (Пг/2)^1 + /Зг(Д3 + 1/2)Д-, Х+ = Д+(Пг/2)^1 + /Зг(Д3 + 1/2), (29)
= 2у/Х-г+1/2, & = (30)
Представление в ближних зонах (X < 2г) через генераторы (г = X/2) шиши вид:
Х0='- + Пз, Х+ = ^2г-у+Д3Д+, Х- = Д_^2г-^+Д3. (31)
В ближних зонах размерность неприводимого представления меньше размерности инвариантного атомного подпространства, соответствующего данному коопе-г
Д3 = Х-§,
Д+ = 1 = с+Д+ = с+ , 1 Д+,
+ л/2г - X + N + у/г + Д3
Д = сД_ 1 = = Д_ , 1 с.
л/2г - X + Ж У' + Дз
Справедливы также формулы (29) с параметрами
/4г - X + 1 2
4г - X + 1
В ряде случаев удобно рассматривать параметры вг в качестве параметра малости и использовать методы теории возмущений, рассматривая случаи ближней и дальней зон единым образом. Тогда в качестве нулевого приближения имеем
X- = Д+ /2, X+ = Д-/2
и релаксационный оператор атомно-фотонного кластера отличается от оператора в обычном случае спонтанного распада атомов лишь наличием обобщенной частоты Раби
Автор выражает благодарность профессору В.В. Самарцеву за приглашение прочитать лекцию на XII Между народной молодежной научной школе «Когерентная оптика и оптическая спектроскопия».
Summary
A.M. Basharov. The Lindblad Equation wit.liiu the Framework of Polynomial Algebra for Radiation Description from At.om-Phot.ou Cluster.
Kinetic equation was obtained for description of radiation from at.om-phot.on cluster localized in a single mode cavity.
Key words: single mode cavity, Raman resonance, broadband radiation, effective Hamilt.onian, representation pf polynomial algebra, quantum stochastic differential equation, at.om-phot.on emitter.
Литература
1. Dicke R.H. Coherence in spontaneous radiation processes // Pliys. Rev. 1954. V. 93. P. 99 111.
2. Maimistov A.I., Basharov A.M. Nonlinear optical waves. Dordrecht.: Kluwer Academic, 1999. 650 p.
3. Карасев В.П. Полиномиальные деформации алгебры Ли s1(2) в задачах квантовой оптики // Теор. и мат. физика. 1993. Т. 95, 1. С. 3 19.
4. Vadeiko I.P., Miroshnichenko G.P., Rybin A.V., Timonen J. Polinomial algebra of excitations in quantum optics // Pliys. Rev. A 2003. V. 67. P. 053808.
5. Башаров A.M. Теория сверхизлучепия в резонаторе как пример применения полиномиальных алгебр // XII Междупар. молод, пауч. шк. «Когерентная оптика и оптическая спектроскопия»: Сб. ст. Казань: Казап. гос. уп-т, 2008. Вып. 12. С. 34 42.
6. Lintlblad G. On the generators of quantum dynamical semigroups // Comm. Mat.li. Pliys. 1976. V. 48. P. 119 130.
7. Gardiner G.W. Quantum Noise. Berlin: Springer. 1991. XIX—365 p.
8. Gardiner C.W., Zoiler P. Quantum noise. Berlin: Springer. 2004. XXII—440 p.
Поступила в редакцию 23.01.09
Башаров Асхат Масхудович кандидат физико-математических паук, старший паучпый сотрудник лаборатории нелинейной оптики РНЦ «Курчатовский институт», г. Москва.
E-mail: basharovegmail.com
