Упругопластическое кручение стержня переменного диаметра Текст научной статьи по специальности «Математика»

Решетневскуе чтения. 2013

ции программ для ЭВМ № 2010611781 ; 09.03.2010. 18.01.2010. 8 с.

References

1. Nesterov V. A. Vestnik SibGAU. 2012. no 3 (43), pp. 56-62.

2. Nesterov V. A. Issledovanie NDS, ustoychivosti i sobstvennykh kolebaniy trekhsloynoy balki s podatlivym zapolnitelem s pomoshch'yu MKE pri uchete transversal'nogo sdviga v kachestve uzlovogo neizvestnogo: svidetel'stvo o gosudarstvennoy registratsii programm dlya EVM № 2010611781. 09.03.2010.- 8 p.

© Нестеров В. А., 2013

УДК 539.374

УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЯ ПЕРЕМЕННОГО ДИАМЕТРА

С. И. Сенашов1, О. В. Гомонова2

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева

Россия, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31 Е-mail: [email protected], [email protected]

В задаче упругопластического кручения стержня переменного диаметра главной проблемой является определение неизвестной границы между упругой и пластической областями. В работе впервые построена бесконечная серия законов сохранения, которые позволяют свести задачу об упругопластическом кручении стержня к квадратурам.

Ключевые слова: упругая область, пластическая область, закон сохранения, стержень, неизвестная граница.

ЕLASTO-PLASTIC TORSION OF A ROD OF VARIABLE DIAMETER

S. I. Senashov1, O. V. Gomonova2

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660014, Russia Е-mail: [email protected], [email protected]

The main difficulty arising during the resolving of a problem of elasto-plastic torsion of a rod of variable diameter is the finding of a boundary separating elastic and plastic domains. For the first time an infinite conservation laws series which allows reduce to quadratures the problem is constructed in this work.

Keywords: elastic domain, plastic domain, conservation law, rod, unknown boundary.

Рассмотрим стержень, имеющий форму тела вра- Тогда уравнение (2) удовлетворяется тождествен-щения, скручивающийся парами сил, приложенными но, а (1) дает уравнение, которое представляет собой на концах. Для таких стержней все уравнения теории условие совместности: упругости удовлетворяются при предположении, что д (1 дф^ д ( 1 дф^) круговые поперечные сечения остаются при кручении I г)~dz 1 ~дг \ _ 0 плоскими; радиусы поперечных сечений искривляются [1]. 2 2

Выражения для двух компонент тензора деформа- д ф 3 дф + д ф _ 0 (4)

ции в упругой области имеют вид: дr2 r дr дг2

_ дv v _ дv Для пластической области уравнение равновесия

Yre _ дг r' ^вг _ дг также имеет вид (2). Условие пластичности записыва-

или

Уравнение равновесия в этой области

ется так:

STre , дтег , 2Tre

x2e+x2z _ k2. (5)

+ + —= 0. (2)

После введения функции напряжения по формуле (3) уравнение (2) удовлетворяется тождественно, а (5)

дr дг r

Введем функцию напряжения по следующим фор- принимает вид

мулам:

r Tez _ ~ > га -

дг дг

дф | ,[дф| _ ,2 4

2 / _ \2

* r2,„ = -дф. (3) If Hi|= k2r4. (6)

Прикладная математика и механика

Требуется решить следующую задачу: найти решения уравнения (4), когда на неизвестной границе выполнено условие (6). Для этого найдем закон сохранения уравнения (4). Введем функции u, w по

формулам

дф дф w =—, v =—.

дг дz

Тогда уравнение (4) запишется следующим образом:

ды дw 3 „ дu дw

— +---w = 0,---= 0. (7)

дz дz z дг дz

Ищем сохраняющийся ток в виде

А (г, z, ы, ц), В (г, z, ы, ц). Тогда имеем

дВ + дА =дА + дА + дА (-ды + 3 ц ^ +

дz дг дz ды дz дц \ дz г )

+ ав+дв_ ды+дв дц=0

дz ды дz дц дz

В результате расщепления получаем три уравнения на две функции:

дВ дА п дА дВ п

— + — = 0,--+ — = 0,

дц ды дц ды

дА 3 дА дВ Л — + —w — + — = 0.

dz r dw dz

(8)

Пусть А = аы + рц, В = в>ы - ац, где а, р есть некоторые функции от г, z . Тогда первые два уравнения (8) удовлетворяются тождественно, а третье уравнение дает два соотношения на функции а, р :

3 _ др да „да др

-р^—--= 0, — = 0.

r дг дz дг дz

(9)

Таким образом, получаем два уравнения на две функции.

Задача об определении неизвестной границы между пластической и упругой зонами сведена к решению двух линейных уравнений и вычислению нескольких квадратур. Тем самым в работе приведен новый способ решения задачи о кручении стержней переменного диаметра.

Библиографическая ссылка

1. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М. : Наука, 1975. 576 с.

References

1. Timoshenko S. P. Teoriya uprugosti (Theory of Elasticity). M. : Nauka, 1975, 576 p.

© Сенатов С. И., Гомонова О. В., 2013

УДК 539.374

ОБ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОМ КРУЧЕНИИ СТЕРЖНЯ

С. И. Сенашов, О. Н. Черепанова, А. В. Кондрин

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Россия, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

E-mail: [email protected]

Решена классическая задача о кручении прямого стержня, поперечное сечение которого ограничено выпуклым контуром. Предполагается, что пластическая область охватывает всю внешнюю границу. Для решения задачи используются законы сохранения. Для кусочно-гладких границ решение найдено квадратурой. Написаны программы, позволяющие с любой точность строить пластические и упругие области в скручиваемом стержне. Тестирование на известных решениях дало совпадение результатов.

Ключевые слова: законы сохранения, точные решения, неизвестная граница, задача кручения прямого стержня.

ON ELASTOPLASTIC TORSION OF A ROD

S. I. Senashov, O. N. Cherepanova, A. V. Kondrin

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31, "Krasnoyarsky Rabochy" Av., Krasnoyarsk, 660014, Russia. E-mail: [email protected]

The classic problem of torsion of a straight rod cross-section of which is limited to a convex contour has been solved. It is assumed that the domain of plasticity covers the entire external boundary. The laws of conservation are