Упругопластическое деформирование, локализация и разрушение материалов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.374

УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ, ЛОКАЛИЗАЦИЯ И РАЗРУШЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

Александр Михайлович Коврижных

Новосибирское высшее военное командное училище МО РФ, 630117, Россия, г. Новосибирск, ул. Иванова, 49, доктор физико-математических наук, зав. кафедрой общепрофессиональных дисциплин, тел. (383)332-90-00, e-mail: [email protected]

Сергей Александрович Коврижных

Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 54, инженер

Рассматриваются системы дифференциальных уравнений для плоской деформации, плоского напряженного состояния и осесимметричной деформации жесткопластического и упругопластического материалов. Для различных напряженных состояний с применением различных упругопластических моделей определены характеристические направления сформулированных систем уравнений, которые связываются с направлениями локализации и разрушения различных материалов. В частных случаях получены классические результаты по локализации пластической деформации в металлах и горных породах, наблюдаемые в многочисленных экспериментах.

Ключевые слова: пластичность, гиперболичность системы дифференциальных уравнений, локализация, разрушение.

ELASTOPLASTIC DEFORMATION, LOCALIZATION AND FAILURE OF MATERIALS

Alexander M. Kovrizhnykh

Novosibirsk Military Command Academy, Ministry of Defence of the Russian Federation, 630117, Russia, Novosibirsk, 49 Ivanova Str., Doctor of Physico-Mathematical Sciences, Head of Department of General Professional Disciplines, tel. (383)332-90-00, e-mail: [email protected]

Sergei A. Kovrizhnykh

Chinakal Institute of Mining, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny prospect, Engineer

The authors discuss different sets of differential equations for plane strain, plane stress and axially symmetric deformation of rigid-plastic and elastoplastic materials. For various stress states, using different elastoplastic models, the characteristic directions for the formulated sets of equations are defined and connected with the directions of localization and failure in the materials. The classical results on localization of plastic strains in metals and rocks, observed in many experiments, are obtained for special cases.

Key words: plasticity, hyperbolicity of set of differential equations, localization, failure.

Систематизация имеющихся в настоящее время экспериментальных наблюдений и теоретических исследований процессов деформирования и разрушения материалов позволяет сделать вывод, что локализация и разрушение сопровождаются сменой типа системы уравнений с эллиптического в упругой

области на гиперболический при развитой пластической деформации и разрушении. Показано, что направления (линии или поверхности) локализации и разрушения для первоначально упругоизотропных материалов хорошо согласуются с направлениями характеристик гиперболической системы уравнений для пластического состояния деформируемого тела. Наиболее известным примером локализации является образование полос Людерса в металлах с ярко выраженным пределом текучести [1,2]. Достаточно полный обзор экспериментальных и теоретических исследований в этом направлении приводится в [2].

В данной работе при нагружении упрочняющегося металла на предварительной стадии однородного упругопластического деформирования используются определяющие соотношения [3]. Начало локализации связывается с утратой эллиптичности и первым переходом в гиперболичность уравнений возмущенного равновесия, записанных в скоростях. Характеристики этой системы и будут определять поверхности зарождающейся локализации. Поскольку при монотонном нагружении материала модуль упрочнения уменьшается, то математически задача сводится к исследованию системы дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка на гиперболичность и к определению максимального модуля упрочнения в зависимости от ориентации характеристики.

Пусть (, I = 1,2,3, - главные нормальные напряжения, причем (1 >(2 > (3. Возникновение пластичности в различных материалах будем связывать с условием Кулона-Мора

^2 =(-3 + -4-3 ^ = к, (1)

2соБф 2

где к - пластическая постоянная, а ф - угол внутреннего трения. Для металлов в начале пластичности этот угол принимает небольшие значения, но с ростом пластической деформации он существенно увеличивается, что явилось определяющим в объяснении эффектов сложного нагружения [3]. В качестве независимых инвариантов напряжений при фф 0 будем брать т,, I = 1,2,3, т2 определяется (1), а т1 и т3 получаются из т2 путем циклической замены индексов.

Существенными понятиями рассматриваемой модели являются состояния неполной и полной пластичности. Первый случай, когда, т и т3< к, соответствует линейному участку на поверхности нагружения. Во втором случае, если т2,т3 >к, т <к либо т2,т1 > к, т3 <к, в точке нагружения имеется угловая особенность.

В состоянии неполной пластичности т2 > к,т1 ,т3 <к приращение пластической деформации первоначально изотропного пластически несжимаемого металла представляет собой результат двух одинаковых сдвигов в направлениях, определяемых условием (1). Суммарная величина этих сдвигов является функцией т2, не зависит от вида напряженного состояния и может быть определена на основе данных одного эксперимента (6). Характеристическую функцию сдвига и пластический модуль упрочнения будем обозначать

Л = Го(.*2) , ^о(г2) = ,

&

где точка означает дифференцирование по параметру нагружения, в качестве которого при квазистатическом нагружении может быть принято медленное время. Состояние полной пластичности является суперпозицией двух соответствующих состояний неполной пластичности.

Пусть &, 1/2&, ¡, у = х, у, 2, - компоненты тензора скоростей деформаций,

связанные с проекциями скоростей vi соотношениями

ду дv■ ду,-ду, 1 1 ]

дХ:

+

ду]- дх1

(3)

В дальнейшем всегда будем считать, что ось у совпадает со вторым главным направлением тензора напряжений, а ось х образует с направлением 1 угол в, tg2в = 2г„/((-(). Определяющие соотношения, разрешенные относительно бесконечно малых изменений напряжений, будем записывать в виде:

( = /(ап& + ап& + а1з& ),

( = М(а2Л + а22& + а23& ) , & = Л(азА + а32& + а33& ) 5

(4)

где / - упругий модуль сдвига.

Предположим, что в процессе нагружения во всех точках материала достигнуто состояние неполной пластичности т2> к,тх , г3 <к. После этого производится равновесное возмущение в условиях плоской деформации & = &=л& = о. В этом случае, как следует из модели, имеем ( = у(( + (&), & = & = о, где у - коэффициент Пуассона, а коэффициенты в соотношениях (4) имеют вид

_ 1

а11, а12 = д

а21, а22 = д

1 + а tgф +—0 /

л

1 + а tgф +—0 /

л

1

/

а

а13> а23 = л

а

+ ■

Г

а

К СОБ^

а

■±(1 + аtgф) sin ф

/(1 + аtgф)sin ф

соб2в / (1 - 2у)соб2 2в

соБ2в± (1 - 2у)соб2 2в

± 1,

/1,

собф

б1п 2в + (1 - 2у)(1 + а tgф) б1п 2в соб 2в

(5)

а31, а32 = /-— [ ± sin ф 2в + (1 - 2v)sin2вcos 2в1

А

1 - 2у

а33 =--

А

(1 + а tgф)sin2 2в +1, А = (1 - 2у)

1 + а tgф +—°

л

+ а tgф ■

1

Обратимся теперь к уравнениям равновесия для возмущенного состояния, записанным в системе координат х, у, 2. Предположение о плоской деформации (5) позволяет из трех уравнений оставить только два:

дх

д2

дх

д2

(6)

Подставляя (4) в (7) и учитывая (3) и (6), получим систему двух дифференциальных уравнений в частных производных относительно скоростей ух (х, 2) и у2 (х, 2). Предположим, что на момент приложения приращений напряжений (\, у = х, 2) напряженное состояние во всей рассматриваемой области однородно. Так как в (6) коэффициенты ау (¡, ]=1,2,3) зависят от угла в, который определяется исходным напряженным состоянием оу в момент приложения догрузки, то во всех точках рассматриваемого тела уравнения (6), записанные для ух и у2 можно рассматривать как дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка с постоянными коэффициентами. Рассмотрим упру-гопластическую задачу для прямоугольной области: 0 <х <х0, 0 <2 <20.Таким образом, для возмущенного состояния требуется найти решение системы (6): ух = ух (х, 2) и у2 = у2 (х, 2), удовлетворяющее условиям Коши:

д V

дх2

= Г"(х),

д V

дхдг

= Я'(х);

д V

дх2

= И' (х), ^

дхдг

= Ч'(х);

(7)

Учитывая (7) и уравнения (6), записанные для скоростей ух и у2, получим:

а

дV

22

дг'

2 + а23

дЧ

дг 2

+ ^ (х) = 0, а32

д V

дг

2 + а33

дЧ

дг 2

+ Н (х) = 0,

(8)

где функции ¥(х) и О(х), определяются по данным Коши (7). Приравнивая к нулю определитель при вторых производных по 2 от ух и уг, найдем условие гиперболичности системы (8) и направление первой характеристики, которая совпадает с осью х:

_(1 + а^ф) I соб ф 70= 2(1 -у) | "Т

1

соб29 + -2

(

а

V

соБф + аБт ф

+ Бт ф

• (9)

Из (9) видно, что пластический модуль упрочнения наибольшее значение принимает, когда выражение в квадратных скобках обращается в ноль. На основании вышеизложенного определим максимальное значение модуля О0=G*

и направление первой характеристики, для которой 9= 9 0:

со8290 = -1

Л

а

\

—ъ Бт ф ч соБф + аБт ф у

Ъ= (1 + аЩф)соб ф(а-2.

М 8(1 -у) ^

(10)

2=2.

2=2,

2=2

2=2

2

/

Пусть теперь во всех точках материала достигнуто однородное состояние осесимметричного растяжения (>( = а3 либо сжатия (=(>(, которые представляют собой состояния полной пластичности [3]. Для каждого из них соответственно выберем возмущение (& =(& ,& = & = 0 и (& =(&,

& = & = 0. Если предположить, что возмущенные напряжения не зависят от

у, то, используя соотношения [3] для состояний полной пластичности, а также (4), (6) и (7) при а = 0 приходим к системе дифференциальных уравнений относительно ух и у, условие гиперболичности которой записывается в виде

3(1 + v)

¡и 2(2 — v±vcos20)

(1 и 3sin <р)г 36

— I cos20±

1 ± 3sin< 6

(11)

Для определения максимума С0, приравняем производную по в от правой части к нулю, найдем направление первой характеристики:

cos20o = ±1 и

7 — 2v ± (3 — 2v) sin <

3 + 3(1,5 — v)(2 — v и v sin <)

(12)

Знак «плюс» в этих формулах относится к обобщенному растяжению, а «минус» - к обобщенному сжатию. В случае, когда ф = 0, имеем очень слабую зависимость в0 от у и поэтому с достаточной степенью точности можно считать, что максимальное значение 00 при растяжении достигается на характеристике в0 = 49,80, а при сжатии в0 = 40,20. В обоих случаях

G±

1 + v

U 4(12 — 7v)

Следует отметить, что локализация пластической деформации в металлах для осесимметричных нагружений растяжения и сжатия оказалась возможной при положительном модуле упрочнения. Для состояний плоской деформации локализация пластической деформации при положительном модуле упрочнения происходит в случае, если в законе пластического течения не выполняется условие градиентальности.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. - М.: Издательство иностр. Лите-ратуры.-1954. 648 с.

2. Rice J.R. In: Theoretical and Applied Mechanics. Proc. 14th IUTaM Congr. Amsterdam: North-Holland. - 1976. P. 207-220.

3. Коврижных А.М. // Известия АН СССР. МТТ. - 1986. №4. С. 140-146.

© А. М. Коврижных, С. А. Коврижных, 2016

2