CC BY
102
А. Х. Валиуллин
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЙ ИЗГИБ БАЛКИ
ИЗ МАТЕРИАЛА С ЛИНЕЙНЫМ УПРОЧНЕНИЕМ
Ключевые слова: изгиб балки, упругопластическая деформация, остаточная деформация,
остаточное напряжение.
На основе модели линейно упрочняющегося упругопластического тела разработана методика расчета балки на поперечный изгиб. Построен численный метод определения изогнутой оси и нормальных напряжений на стадиях нагружения и разгрузки. Определено остаточное напряженно-
деформировнное состояние.
Key words: theory of beam, elastic-plastic deformation, residual stress-strain.
Based on the model of linear hardening elastic-plastic bode is the based method of btam calculating in the transverse bending. A numerical method for determining a curredaxis and the norval stresses of the loading stages. The residual stress- strain state of the beam is determined.
В данной работе продолжено решение задачи, рассмотренной в [1], здесь оно дополнено определением остаточных напряжений и прогиба.
На рис.1 приведены результаты испытания стального образца на растяжение (Сталь 10). Как видно, до начала образования шейки свойства материала с достаточной точностью соответствуют модели упругопластического тела с линейным упрочнением. Эта модель и положена в основу расчета.
Рис. 1 - Результаты испытаний образца: а - машинная диаграмма; б - истинная диаграмма растяжения до начала образования шейки; в - расчетная диаграмма
Для расчета приняты следующие характеристики материала: предел текучести аТ = 300 МПа, «предел прочности», значение которого взято равным истинному напряжению в момент непосредственно перед началом образования шейки, - а В = 600 МПа, соот-
ветствующие им деформации вТ = 0,0015 и вВ = 0,192. Предполагается, что диаграмма сжатия такая же.
Пусть однопролетная балка прямоугольного сечения размерами Ь х Ь х I нагружена силой Г в середине пролета. Обе концевые опоры являются подвижными в продольном направлении, среднее сечение балки может перемещаться только вертикально. Обычно по такой схеме проводят изгибные испытания образцов на испытательной машине.
Когда нормальные напряжения в крайних точках сечения равны пределу прочности, а вблизи нейтральной оси - пределу текучести, достигается предельное состояние. Считая, что вТ « 0, можно определить предельный изгибающий момент по следующей формуле:
Мпр = (к +1,5), (1)
... ЬЬ2 , ав ^ .
где 1/Ух =------момент сопротивления, к =-------1, в нашем случае к = 1.
6 от
Найдем изгибающий момент для общего случая Мт < М < Мпр, здесь Мт = <5т^х -
максимальный упругий изгибающий момент.
При увеличении силы изгибающий момент М в опасном сечении достигает значения Мт, деформация крайних волокон втах =вт , кривизна оси балки кт = 2вт / Ь, в
крайних волокнах начинает появляться текучесть, которая при дальнейшем возрастании нагрузки постепенно проникает вглубь. Когда изгибающий момент превышает значение максимального упругого момента, в точках сечения с ординатами
11 Ь Вт
|у| г Ут = -
^ ьтах
возникают пластические деформации.
Принимая гипотезу плоских сечений и подставляя физические соотношения
2ЕУВ п
о = Ег = Еук =
Л
при У ^ Ут,
о = от +
ов -От ( 2у
8 в 8т
8тах -8Т I при У > Ут
(За)
(36)
в интегральную зависимость
М = | оубА.
получим следующее уравнение, связывающее изгибающий момент в сечении с деформацией наиболее удаленного от нейтральной оси волокна:
т = 1,5
1 -
8
V тах /
+
к8г
1 -
8
тах I
+
8
тах у
(4)
где т =
М
От^х
- безразмерный изгибающий момент.
При выводе уравнения (4) интегрирование ведется по неизменной площади поперечного сечения. Конечно, при решении задач в больших деформациях и перемещениях, к каковым относится и наша задача, этот вопрос требует дополнительного рассмотрения и обоснования пределов применимости.
2
3
8
8
т
т
т
вт
вт
Из этого уравнения при известном значении изгибающего момента m численно -итерационным методом Ньютона - определяется значение максимальной деформации s max, вычисляется кривизна изогнутой оси балки по формуле
К = 2s max/h (5)
и - так же численно, без помощи дифференциального уравнения, определяется изогнутая ось, а затем и напряжения в любой точке балки. В работе [2] при решении задачи в рамках диаграммы Прандтля подобное уравнение решается путем подбора.
Кратко опишем алгоритм решения задачи. Задается значение угла поворота на левом краю:
п = П01 ^ П02 П°
к
где Я01 = - — и Я02 = 0 - начало и конец диапазона возможных значений Я0; задаются
начальные значения длины дуги изогнутой оси, абсциссы сечения, прогиба и угла поворота:
S = 0, z = 0, w = 0, Я = Я0; затем длине дуги дается приращение
s = s + As
и вычисляются новые значения z и w :
z = z + As ■ cos Я0, w = w + As ■ sin Я0.
В сечении с найденным значением z определяется безразмерный изгибающий момент
2fz
m(z ) =
і
где ґ = F/Fт - безразмерная сила, а Fт = 4от^х/1, после чего вызывается процедура
численного решения уравнения (4) и определяется значение 8тах, затем - кривизна по
формуле (5) и угол поворота в конце первого шага:
Я = Я + к • Л5.
В таком порядке расчет ведется до достижения середины балки, где производится проверка второго граничного условия: угол поворота сечения в середине балки должен равняться нулю. Если это условие с заданной точностью выполнено, то итерация прекращается и выдаются на печать результаты; если нет, то производится корректировка граничного условия на левом краю: если Я < 0, то изменяется нижняя граница начального угла поворота
Я01 = Я ,
и, наоборот, если Я > 0, то изменяется верхняя граница начального угла поворота
Я02 = Я,
вычисляется новое значение угла поворота на левом краю
Я = Я01 + Я02 0 = 2 ,
и так далее, расчет повторяется до выполнения второго граничного условия.
В результате решения полностью определена изогнутая ось: для каждого сечения найдены значения горизонтального перемещения, прогиба, угла поворота, максимальной деформации и кривизны.
Далее, в дополнение к этим результатам, в основном полученным в работе [1], определяются напряжения в различных сечениях балки ( с шагом 0,05/ по длине балки и 0,05Л по высоте каждого сечения) по формулам (3), а также остаточные напряжения в тех же точках балки и остаточная изогнутая ось балки после ее разгрузки. Остаточные напряжения определяются вычитанием напряжений разгрузки из напряжений нагрузки по формуле
о ост (г, У ) = ф,у)_ 2т{г )оТу/Ь. (6)
Остаточная изогнутая ось балки определяется так. В среднем сечении балки угол поворота равен нулю, остаточный прогиб предварительно берется равным прогибу под нагрузкой:
й = 0 w = №
^ п,ост п,ост п*
Затем последовательно (с шагом Аз ) по направлению от середины к левому краю вычисляется остаточная кривизна
2т, от
К /,ост = К, , (7)
новое значение угла поворота
о = о К Аз
Х7/,ост ^ /+1,ост к/+1,остАЛ°
и предварительное значение остаточного прогиба І -го сечения
IV- = № ■ , — А Аз
і,ост і+1,ост ^ і,ост ^ •
Рис. 2 - Изогнутая ось балки при различных значениях силы
После определения в таком порядке прогибов всех сечений, в том числе крайнего левого Ам 0ост, найденную кривую следует поднять на величину №0ост и окончательно построить остаточную изогнутую ось:
№ = № - м
/ ост / ост 0 ост
При выводе формул (6) и (7) учтено, что разгрузка происходит по линейному закону.
По описанному алгоритму составлена программа на языке «Фортран-90» и выполнен расчет при следующих исходных данных: I = 200 мм, Ь = І! = 8 мм, остальные были приведены ранее. Результаты расчета приведены в виде графиков на рисунках.
На рис.2 в масштабе балки показана ее изогнутая ось при различных значениях силы (f = 1,0... 3,1), на рис.3 - график зависимости максимального прогиба от силы, на графике точками показаны результаты наших первых экспериментов, правда, опытная установка еще далека от совершенства и требует доработки, тем не менее можно сказать, что результаты опыта и расчета не находятся в противоречии между собой.
Рис. 3 - Зависимость максимального прогиба балки от значения силы
Как видно, график f - №тах по форме напоминает расчетную диаграмму растяжения
(рис.1 в). Этот график можно аппроксимировать кусочно-линейной функцией и предложить следующие простые инженерные формулы для приближенного определения максимального прогиба балки:
№ = < тах '
Рт-12 г 6ВЬ ’
СТ12
6ЕЛ Оті 2 6ЕЛ
(1 +1,8 ( -1)),
(1,9 + 30( -1,5)
при f < 1,0; при 1 < f < 1,5; при f > 1,5.
На рис. 4 приведены эпюры нормальных напряжений в среднем сечении балки под нагрузкой f = 1,5 и остаточных напряжений после снятия нагрузки.
2у/Л 2у?‘ Л
1.0
\1 у/
N. 0.5 / разгрузка у ост. напояжения
- з □ □— 300 200 (т, МПа
/^аг&лкение
-1.0 X X®
Рис. 4 - Нагрузочные и остаточные напряжения в среднем сечении балки при f = 1,5
В заключение отметим, что при решении задачи не приняты во внимание поперечные силы и связанные с ними касательные напряжения. При больших прогибах также может оказаться заметным и влияние нормальных сил. Эти, а также отмеченные ранее нерешенные вопросы предполагается углубленно изучить в дальнейшей работе.
Литература
1. Валиуллин, А.Х. Упругопластический изгиб балки из линейно упрочняющегося материа-ла./А.Х.Валиуллин// Материалы второй международной конференции «Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела», Казань, Казанский государственный университет, 2009, С. 76 - 78.
2. Феодосьев, В.И. Сопротивление материалов/ В.И. Феодосьев. - М., изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001, 592 с.
© А. Х. Валиуллин - канд. техн. наук, доц., проф. каф. теоретической механики и сопротивления материалов КГТУ, 1ш8ш&к81и.т.
