CC BY
37
В. В. Стружанов
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКАЯ СРЕДА С РАЗУПРОЧНЕНИЕМ.
СООБЩЕНИЕ 2. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ПРИ СЛОЖНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
Определяющие соотношения для одноосного растяжения упругопластического материала, обобщены на случай сложного напряженно-деформированного состояния. Установлена ортогональность соответствующих векторов, связанных с приращением пластических деформаций, к предельным поверхностям в пространствах напряжений и деформаций на всех стадиях деформирования, включая и разупрочнение. Показана необходимость возникновения угловой точки на предельной поверхности в месте догружения при сохранении материалом изотропности.
Целью работы является обобщение определяющих соотношений для одноосного растяжения упругопластического материала, приведенных в первом сообщении [1], на случай сложного напряженно-деформированного состояния.
1. Основные допущения. Эффективный (представительный) объем материала, задающий масштаб описания напряженно-деформированного состояния, не изменяется в процессе деформирования.
На всех стадиях деформирования справедлива гипотеза о разгрузке [2, 3], а именно, полную деформацию всегда можно представить в виде суммы упругой и неупругой (пластической) деформаций.
Упругие свойства эффективного объема не изменяются и не зависят от величины накопленной неупругой деформации. Разгрузка происходит по линейному закону, совпадающему с первоначальным законом упругости.
Справедливы постулаты Ильюшина А. А. [2, 3] и Друккера [4].
2. Инкрементальный закон пластичности. Рассмотрим произвольное сложно напряженное состояние элементарного материального объема, характеризуемое симметричными тензорами второго ранга напряжений о и деформаций e . Свойства материала на стадиях упругости и упрочнения (разупрочнения) задают симметричные тензоры четвертого ранга соответственно модулей упругости С и инкрементальных (мгновенных, касательных) модулей Сp. Известно [5], что тензор С положительно определен, т.е. e -C ••е> 0, e Ф 0. Положительно определен и обратный ему тензор модулей податливости S (S• C = C •-S = I), т.е. о-S•о> 0, ОФ 0. Здесь I — единичный тензор четвертого ранга, двумя точками обозначено двойное скалярное
произведение тензоров [6]. Компоненты единичного тензора равны Iijmn = ^(dimdjn + Sindjm).
Он может быть представлен суммой шарового тензора и тензора девиатора, т.е. I = 10 + Id . Компоненты этих тензоров соответственно равны I0mn = 35im8jn, Idmn = Ijjmn -I0mn . Компоненты тензоров упругости и податливости определены выражениями Cjmn = 18j-dmn +
+m (SimSjn + SOT8jm ) ; Sijmn = -l[2Ц ( + 2^)] 1 §j§mn + (4M>)-1 (S,m§jn + d,ndjm ) . ОчевВДно что
С0 = C •10 ; S0 = S •10 ; Сd = C • -Id ; Sd = S • -Id . Здесь i, j, m, n = 1,2,3; 8;j = (0, i Ф j;1, i = j) —
символ Кронекера; 1 = vE [(1 + v)(1 - 2v)] 1, m = E [2 (1 + v)] 1 — коэффициенты Ляме; E —
модуль Юнга; v — коэффициент Пуассона.
При изотермическом процессе элементарная работа деформации совершается за счет изменения свободной энергии. Параметрами термодинамического состояния материала являются
ee и ep — тензоры упругих и неупругих (пластических) деформаций. Из определения разгрузки вытекает, что тензор полной деформации представим суммой e = ee +ep . Так как упругие свойства материала не зависят от пластических деформаций, то функция свободной энергии
F = F(ee). Отсюда она пропорциональна потенциальной энергии упругих деформаций, т.е.
F = ee • • C • • ee . Здесь р — плотность материала.
Запишем уравнение второго закона термодинамики с учетом необратимости и изотермич-ности процесса деформирования. Имеем [7]
й¥ =1 о-■de — dg, (2.1)
Р
где dg > 0 — некомпенсированное тепло (механическая диссипация энергии). С другой стороны dF = (-Эр) ■ ■ dее. Здесь (-Эр) — симметричный тензор второго ранга, компоненты которого
равны частным производным функции Р по компонентам тензора ее. Подставляя это выражение в равенство (2.1), заменяя dе на сумму dее + dер и группируя члены, получаем
/чг Л / 1 Л
ЭР О , е , 1 , р
------■■d е + dg—о^ ер = 0.
1°ее РІ I Р )
Отсюда [7]
1 ЭР ,1 , р „ч
о =------, dg = — о^ ер. (2.2)
Р Эее р
Из первого равенства (2.2) с учетом вида функции Р находим, что
о = С■ ее = С■■(е — ер). (2.3)
Здесь и ниже dе, dее, dер — приращения симметричных тензоров второго ранга полных, упругих и пластических деформаций.
Из формулы (2.3) следует, что любой тензор напряжений, реализованный в материале,
т Р т ґ~і
представляется в виде разности тензоров о = о —о , где о = С ■е — тензор мгновенных напряжений, которые при заданной деформации появились бы в материале с идеально упругими свойствами, а ор = С ■ ер — тензор релаксационных напряжений, характеризующий уровень падения напряжений от идеально упругого состояния, происходящего вследствие диссипативных процессов. Таким образом, при деформировании в материале как бы происходит два последовательных процесса. Сначала при сохранении идеально упругих свойств возникают напряжения, составляющие тензор от . Затем за весьма малый промежуток времени происходит их релаксация (энергия диссипирует за счет пластической деформации) на величины, определяемые компонентами тензора ор .
Используя закон (2.3), запишем выражение для приращения напряжений:
d о = С ■^ ее = С ■■^ е—dep). (2.4)
С другой стороны, dо/dе = Ср и справедливо инкрементальное соотношение [8, 9]
dо = Ср ■Ле. (2.5)
В равенстве (2.5) инкрементальные модули зависят от величин деформаций элемента материала в момент начала догружения. Таким образом, равенство (2.5) задает линейную зависимость между дифференциально малыми приращениями напряжений и деформаций. Отметим, что, вообще говоря, компоненты инкрементальных тензоров, определяющих мгновенные свойства материала, зависят от деформаций и путей деформирования сколь угодно сложным образом.
Приравнивая выражения (2.4) и (2.5), находим инкрементальное соотношение
dep = (і — £■ Ср )■ ^е = Wг■ ^е. (2.6)
Обращая равенство (2.5) (если это возможно), получаем соотношение
d е = Sp■ ■ d о, (2.7)
где Бр — тензор мгновенных модулей податливости (Бр ■ ■ Ср = Ср ■ ■ Бр = I). Подставив выражение для приращения тензора полной деформации (2.7) в равенство (2.6), получаем
d ер =( Бр — 5 )■ ■ d о = Жо ■ ■ d о. (2.8)
Формулы (2.6) и (2.8) являются двумя формами одного закона, описывающего кинетику формирования неупругих деформаций на всех стадиях деформирования. Он называется инкрементальным законом пластичности [9], так как в его выражения входят тензоры инкрементальных модулей (мгновенных свойств материала) Ср и Бр . Тензор Ш'е = I — £■ ■ Ср назовем первым инкрементальным тензором пластичности, а тензор РТо = Бр — 5 — вторым инкрементальным тензором пластичности. Первый — любому полю приращений полных деформаций ставит
в соответствие поле пластических деформаций, второй — любому полю приращений напряжений ставит в соответствие поле пластических деформаций.
Если обратить равенство (2.8), то получим определяющее соотношение
й о = Жо—1 --йер = Б --й ер . (2.9)
Здесь Б = Ж-1 — тензор инкрементальных модулей упрочнения (разупрочнения).
Далее, используя выражение для приращения тензора релаксационных напряжений и закон (2.6), получаем
й ор = С--й ер = С- -Же--й е = (с - Ср)-- й е = Я - -й е.
Здесь Я = С — Ср — тензор инкрементальных модулей релаксации, ставящий в соответствие любому полю приращений полных деформаций поле релаксационных напряжений.
Наконец, из равенства Ср - - Жо - - Б = Ср следует связь между тензорами мгновенных (касательных) модулей и инкрементальных модулей упрочнения, а именно, Ср = Б - -( + 5- -Б) 1.
3. Инкрементальные тензоры изотропной среды. При сохранении материалом изотропности на всех стадиях деформирования его инкрементальные свойства задают только два параметра, а именно, мгновенный касательный модуль Ер и мгновенный коэффициент поперечной деформации Vр. Для одноосного растяжения они определены в [1]. Тогда тензоры Ср и 5р
можно представить в виде Ср = асС*, 5р = а^5*, где ас = Ер[(1 + пр)(1 — 2vp)] , С*тп =
= Vр 8у Ътп + 1 I1 — 2\р )(8гт 8 п +8п 8 т), 5 *тп = —^Р8гП8тп + !(1+^р) (8ш8;п + 8т8пт), а = Ер ■ Вычислим детерминанты С* и 5* (к = 1,2,..., 6) главных миноров матриц, отвечающих тензорам С * и 5 * . Имеем
С * = 1 — пр, С * = 1 — 2vp, С 3 = (1 + vp )(1 — 2vp )2, С 4 = 1 (1 + Vр )(1 — 2vp )3,
С * = 1 (1 + пр)(1 — 2пр )4, С 6 = |(1 + пр)(1 — 2пр)5;
2 2 3
51 = 1, 5* = 1 — ^р) , 5 3 = (1 + Vр) (1 — 2vp), 5* =1 (1 + vp) (1 — 2vp),
5 * = 1 (1 + пр )4 (1 — 2пр), 5 * = | (1 + пр )5 (1 — 2пр).
Если —1 < Vр < 3, то все эти детерминанты положительны. Следовательно, согласно критерию Сильвестра [10, 11] матрицы тензоров С * и 5 * , а равно и сами тензоры, положительно определены. Когда Vр = —1 или Vр = ^ тензоры С * , 5 * положительно полуопределены.
Знак коэффициентов ас и ах при условии —1 <Vр < ^ совпадает со знаком модуля Ер. Отсюда для Ер > 0 (ас, ах > 0) тензоры Ср и 5р положительно определены, при Ер < 0 (ас, ах < 0) — отрицательно определены. Если Ер = 0 , то компоненты тензора Ср обращаются в нуль, а компоненты тензора 5р — в бесконечность.
Далее второй инкрементальный тензор пластичности и тензор упрочнения представимы
соответственно в виде Жо=уоЖ *, Б = уйБ *, где уо = Н-, = Н [(1 + л)(1 — 2^)] 1, Ж *тп =
= —Л8у8тп + 1(1 + Л)(8т8пп + 8т8]т ) , Б *тп = Л8у8тп + 1 (1 — 2Л)(8т8пп + 8т8]т ) - Здесь Н=
ЕЕр , ч Е Vр—EРV
= Е Ер --- инкрементальный модуль упрочнения (разупрочнения), Л = Е ер -------- мгновенный
коэффициент остаточной поперечной деформации [1], 1 + Л = Е^Е Е , 1 — 2Л =
= Е(1 2v ) Е (1 2V) . Коэффициент л изменяется в тех же пределах, что и коэффициент Vр. Ра-
Е—Ер
венство между ними может быть только тогда, когда при догружении не возникают упругие деформации, например, при Ер = 0. Проводя рассуждения, аналогичные изложенным выше, находим, что при 2, 1 теноры Ж * и Б * положительно определены. Следовательно,
тензоры Wa и В будут положительно определены при Н > 0 и отрицательно определены при Н < 0.
Отметим, что тензоры Ср и Бр вырождаются, если выполняется хотя бы одно из равенств Vр = —1, Vр = 3, Ер = 0. Аналогично тензоры и В вырождаются при ^ = —1, Л = 2, Н = 0.
4. Постулат Друккера. Вычислим работу напряжений на произвольном замкнутом по напряжениям цикле нагружения. Обобщая рассуждения, приведенные в сообщении [1], получаем
Ло = о--йер + 2йо-• йер = йЛр + 2йо-• йер .
Здесь йЛр — элементарная работа напряжений на приращениях пластических деформаций. Так как йЛр = pdg > 0 (см. формулу (2.2)), то величина Ло будет положительной (требование постулата Друккера), если
йо-• йер > 0. (4.1)
Подставляя сюда сначала выражение для йо из формулы (2.9), а затем выражение для
йер
из равенства (2.8), находим, что
(В - - йер) - - йер = йер - - В - - йер > 0, йо - - Wо - - йо> 0. (4.2)
Кроме того йо--йер = йо- (йе — йее) = йо--йе — йо--йее > 0. Тогда, используя равенство
(2.4), получаем неравенство йо - - йее = йее - - С - - йее > 0 (тензор С положительно определенный). Следовательно, для удовлетворения неравенства (4.1) необходимо, чтобы для любого пути догружения выполнялось неравенство
й о- - й е>0. (4.3)
Используя равенства (2.5) и (2.7), из формулы (4.3) получаем неравенства
йе - - Ср - - йе> 0, йо - - Бр - - йо > 0 . (4.4)
Выражения (4.2) и (4.4) означают, что постулат Друккера требует положительной опреде-
ленности тензоров В, Wо , Ср, Бр при любых путях догружения.
ЭЛ
Далее дифференциал йЛр = ^ йер- =
/ЭЛ1Л V —
- йер . Здесь по повторяющимся индексам про-
изводится суммирование, Лр (ер) — функция полной работы напряжений на пластических деформациях при имеющем место пути активного деформирования. Так как йЛр = о - йер , то о- = 'Л и функция Лр (ер) является потенциалом напряжений. Теперь йо- =Э°-йе^ =
Эе- V / Эетп
Э2Л Э2Л
= т . С другой стороны йо = В - йер или йо- = Б1]тПйт , т.е. Вутп =Эе^ . Таким
°ьу°ьтп °ьу°ьтп
образом, матрица, отвечающая тензору В, является матрицей Гессе функции Лр [11]. Известно [11], что функция Лр будет строго выпуклой (выпуклой вниз), если ее гессиан положительно определен. Если гессиан отрицательно определен, то это строго вогнутая (выпуклая вверх) функция.
Составим потенциальную функцию для процесса активного деформирования:
Ф(ер,д-) = Лр (ер) — Ар,
е I
где Лр =| д-йер — работа на пластических деформациях, действующих на элементарный
0
объем внешних усилий. Здесь компоненты тензора пластической деформации ер- играют роль параметров состояния элементарного объема, а д - — параметров управления. Считая функцию Лр , по крайней мере, дважды дифференцируемой, запишем два члена разложения функции Ф в ряд Тейлора. Имеем
ДФ = Ф +1 й2Ф .
2
Эа. 2 2
В положении равновесия йФ = ^-|йер — д - = 0, а й Ф = й Лр = йер- - В- - йер . Отсюда, если
Э£ - J J г
2
й Лр > 0 (тензор В положительно определен), то функция Ф имеет локальный минимум, и
данное положение равновесия элементарного объема устойчивое. Когда й2Лр < 0 (тензор В
отрицательно определен), то функция Ф имеет локальный максимум, и данное положение равновесия неустойчивое. Если тензор В знаконеопределенный, то характер равновесия не определен [11]. Таким образом, выполнение постулата Друккера гарантирует устойчивость процесса деформирования и определяет устойчивые состояния материала. Такие процессы называют упрочнением.
Постулат Друккера нарушается, если существуют такие пути деформационного догружения, на которых
йо-- йер < 0. (4.5)
Условие (4.5) определяет реологически неустойчивое состояние материала, называемое разупрочнением. В этом случае инкрементальные тензоры В, Wо, Ср, Бр либо отрицательно определенные, либо знаконеопределенные. В том случае, когда материал сохраняет изотропность, данные тензоры отрицательно определены (см. пункт 3).
Наконец, из приведенных рассуждений следует, что условием перехода материала на стадию разупрочнения является вырождение тензоров Ср и Wо .
П р и м е ч а н и е 4.1. Левая часть в выражении (4.1) равняется нулю, если при деформировании не возникают пластические деформации. Это согласуется с тем, что в упругости работа напряжений на замкнутом пути нагружения равна нулю.
П р и м е ч а н и е 4.2. Существование потенциала напряжений при активном нагружении обусловлено тем, что в данном случае с формальной точки зрения можно считать материал нелинейно упругим [4]. Различие нелинейно упругого и упругопластического материала выявляется разгрузкой, а именно, при разгрузке упругопластический материал имеет уже другой потенциал напряжений. Поэтому работа напряжений на замкнутом пути нагружения отлична от нуля.
5. Постулат Ильюшина. Обобщая рассуждения, приведенные в сообщении [1], находим, что работа напряжений по любому замкнутому по деформациям пути деформирования равна
А = о-- йе + 2йе-- Ср • - йе—1 йе-- С- - йе — йе- -(о + йо — С- - йе) =
= 2йе- -(С — Ср)-- йе =1 йе - Я-• йе.
Постулат Ильюшина требует положительности работы Ае (в упругом теле она равна нулю). Следовательно,
й е- - Я- • й е>0, (5.1)
и тензор релаксации Я = С — Ср — положительно определенный как при упрочнении, так и при разупрочнении. Используя равенства йо = Ср • - йе, йот = С • - йе, йот — йо = йор, из неравенства (5.1) получаем
йе- С--йе — йе--Ср • -йе = (йот — йо)--йе = йор • -йе> 0 . (5.2)
Кроме того,
й ор • - й е = йер • - С • - й е = й от • - йер > 0.
Отметим, что требование постулата Друккера является более сильным. Он представляет собой лишь достаточное условие для выполнения постулата пластичности Ильюшина. Действительно, если постулат Друккера выполняется, то
йо - - йер = (йот — йор) - - йер = йот • - йер — йор • - йер > 0 .
Так как йор • - йер = йер • - С • - йер > 0, то необходимо йот • - йер = йор • - йе > 0 .
Наконец, приведем несколько полезных сведений о свойствах некоторых тензоров. Имеем, используя равенство (2.6),
й ер- - С- - й ер = (й е-- We)• - С--(^^- - й е) = й е- •[We• (С- - We)]• - й е>0. Следовательно, тензор (I — 5- • Ср )• (С — Ср) обладает свойством положительной определенности. Далее, тензор We = 5- (С — Ср) является двойным скалярным произведением поло-
Р и с. 6.1. Предельная поверхность. Векторы деформаций, приращений деформаций и релаксационных напряжений. Пунктиром обозначено положение предельной поверхности после догружения
жительно определенных тензоров 5 и (с — Ср). Известно [11], что результирующий тензор
будет положительно определенным тогда и только тогда, когда сомножители коммутируют. Это выполняется, если тензоры 5, С, Ср — изотропные. Итак, для изотропных тензоров йе • • We• • йе> 0, или, вспоминая равенство (2.6), йе • • йер > 0 .
6. Предельные поверхности и свойство градиентальности. Рассмотрим в шестимерном евклидовом пространстве деформаций в общем случае кусочно-гладкую предельную поверхность, заданную функциями фк (е-) = 0 , где к — число гладких поверхностей, е- — компоненты тензора полной деформации, являющиеся координатами некоторой точки в пространстве. Поверхность разделяет области упругого (точки внутренней по отношению к поверхности области) и неупругого (точки внешней области) поведения материала . Центр ее находится в точке с координатами
ер (рис. 6.1). Здесь ер — тензор накопленных пластических деформаций.
Очевидно, что расположение центра, а также инкрементальные свойства материала в точках предельной поверхности и ее вид зависят от пути деформирования , по которому полная деформация, отвечающая точке N, была достигнута. При любом догружении, определяемом вектором йе , исходящим из некоторой точки N предельной поверхности во вне поверхности, начинается процесс образования неупругих деформаций. Здесь и в дальнейшем, где необходимо, будем использовать векторный язык, ведя разговор о тензорах напряжений и деформаций, а именно, каждый такой симметричный тензор представляется шестимерным вектором, компонентами которого являются компоненты тензора.
При выводе формулы (5.1) был рассмотрен частный случай, когда нагружение по замкнутому пути NPN идет из точки N , которая лежит на предельной поверхности (рис. 6.1) и кото-
рой соответствует тензор напряжений о = С • • ее. Общий случай требует производить деформирование из произвольной точки Ь, лежащей внутри области, ограниченной предельной поверхностью, по замкнутому пути ЬNPЬ .Упругие деформации в точке Ь обозначим е * - , а напряжения о *- (о* = С • • е * ). Тогда к выражению А необходимо добавить величину
Ае =о *• -(ее — е *) +1 (ее —е *)• -( — о *) — — (ее —е *)• -(а — а *) — (ее —е *)• • С • -(е * — й ер) =
= (ее —е*)• -С- йер =(ее —е*)• йор.
Из постулата Ильюшина следует, что
(ее —е*) • -йор + йе • • йор > 0. (6.1)
Рассмотрим два основных случая. В первом — (ее — е*) ^ 0. Приращение йе является
сколь угодно малым и имеет более высокий порядок малости по сравнению с (ее —е*). Отсю-да, из выражения (6.1) необходимо следует неравенство
(ее —е *)• -йор > 0. (6.2)
Если (ее —е *) = 0, то получаем неравенство (5.2).
Согласно неравенству (6.2) угол между векторами (ее —е*) и йор должен быть острым.
В силу произвольности е * это условие выполняется тогда и только тогда, когда вектор йор ортогонален к предельной поверхности (рис. 6.1), а сама поверхность выпуклая.
Условие (5.2) также определяет острый угол между векторами йе и йор. В силу произвольности йе и независимости направления векторов йе и йор (постулат Ильюшина не пред-
73
полагает никакой определенной зависимости йер от йе) непосредственно снова получаем ортогональность вектора йо р к предельной поверхности.
Отметим, что в особых точках предельной поверхности направление вектора йор не определено. Он расположен внутри конуса (конус В , рис. 6.1), образованного нормалями к гладким участкам поверхности, пересекающимся в особой точке.
Далее перепишем неравенство (6.2) в виде
(ее —е *)• -С- • й ер = (о — о *)•• й ер > 0. (6.3)
В частном случае (о = 0) имеем о • • йер > 0. Таким образом, из постулата Ильюшина вытекает справедливость принципа максимума Мизеса (6.3) [12] и положительность механической диссипации энергии на всех стадиях деформирования. Следовательно, процесс деформирования, включающий стадию разупрочнения, не противоречит законам термодинамики.
Итак, множество тензоров деформаций Ме{е: ф(е) < 0} является выпуклым. Сдвиг Ме на
ер (т. е. множество М£ = Ме — ер), где ер — фиксированный тензор неупругих деформаций, образовавшихся к данному моменту при деформировании по некоторому пути, — также выпуклое множество. Посредством линейного преобразования С • • ее = о множество М£ отображается во множество Мо шестимерного пространства напряжений, а поверхность ф = 0 — в поверхность /(о-) = 0, называемую поверхностью нагружения. Так как тензор С осуществляет взаимно однозначное отображение, то множество Мо должно быть выпуклым. Отсюда поверхность / = 0 также выпуклая. При этом особая точка на предельной поверхности переходит в особую точку поверхности нагружения.
Выпуклость поверхности нагружения вытекает также и из неравенства (6.3). Кроме того,
это неравенство определяет ортогональность вектора йер к предельной поверхности.
Таким образом, если точка догружения находится на гладкой части предельной поверхности, то вектор йер ортогонален к поверхности нагружения в пространстве напряжений, а вектор йор ортогонален к поверхности нагружения в пространстве деформаций на всех стадиях деформирования, включая и разупрочнение. Этот результат называется свойством градиен-тальности.
7. Свойства отображений пространств напряжений и деформаций. В девятимерном пространстве тензоров второго ранга ортонормированным базисом являются девять диад £е-.
Здесь векторы е1 ={1,0,0}, е2 ={0,1,0}, е3 ={0,0,1}, {ех,е2,е3} — ортонормированный базис в трехмерном евклидовом пространстве, £е- — тензорное произведение векторов [6]. Эти диады попарно ортогональны (двойное скалярное произведение равно нулю), а двойная свертка каждой из них с самой собой равна единице.
В шестимерном пространстве симметричных тензоров второго ранга ортогональным базисом являются тензоры 2(ее- + е-е(). После нормирования получаем ортонормированный базис
Л1 =
Л4 = 1
Л
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
Л2 =
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
Л3 =
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0
(7.1)
Считая тензоры (7.1) базисом в пространстве тензоров напряжений, отобразим данные орты посредством линейного оператора, заданного изотропным тензором 5, в пространство деформаций. Получим шесть тензоров ак (к = 1, 2,..., 6), где ак = 5 • • Лк. Эти тензоры обладают следующими свойствами:
п у(у—2) I 1-,-, ^ \
• • а = 4 , (т, п = 1,2,3, т ф п);
Е2 4 '
= 0 (т = 1,2,...,6, п = 4,5,6, т ф п);
ат• • ат = (т = 1,2,3);
а”. ап = £р)1 (и = 4,5,6).
Таким образом, единичные орты, рассматриваемые в пространстве напряжений, преобразуются в векторы (тензоры), имеющие меньшую длину и тупой угол между векторами ат и а” при т, п = 1,2,3, т Ф п .
Если единичные орты из пространства деформаций отобразить посредством изотропного тензора С в пространство напряжений, то получаем шесть тензоров Ьк (к = 1,2,...,6), которые обладают свойствами:
Ьт • Ь” =—пЕ (2—п) (, ” = 1,2,3, т Ф п);
[(1+у)(1-2у)]
Ьт. ьт = е2(1-2п+3п22 (т = 1,2,3);
+п)(1-2 V)] 2
Ьт • Ь” = 0 (т = 1, 2,..., 6, п = 4,5,6, т Ф и);
Ь”. Ьп =^у (и = 4,5,6).
(1+п)2 4 '
Таким образом, единичные орты пространства деформаций преобразуются в векторы, имеющие большую длину и острый угол между векторами Ьт и Ьп т, п = 1,2,3, т Ф п .
Отметим, что отображение без искажения углов осуществляется лишь при условии V = 0.
Непосредственно проверяется факт нарушения ортогональности тензоров после их отображения. Если в пространстве напряжений Л1. • о = 0, то (5. • Л1 )• •(£• • о)ф 0. Если в пространстве деформаций Л1 • • е = 0, то (С • • Л1) • (С • • е) Ф 0 .
Рассмотрим, наконец, отрезок в пространстве напряжений = ІО1 + (1 — 1)о2, который ка-
сается поверхности /к = 0 в точке догружения, т.е. существует единственное значение 1 = 1 такое, что 1N 01 + (1 — 1N )о2 Є /к . Здесь 0 <1 < 1, 0 < < 1, оь о2 — симметричные тензоры
напряжений. Из результатов предыдущего параграфа следует равенство • • йер = 0. При ото-
бражении отрезка (о в пространство деформаций получаем отрезок (е = 15• • о1 +(1 — 1) 5- • о2. Очевидно, что 1 м5^ • о1 +(1 — 1 и) 5^ • о2 є фк, и отрезок (е касается в точке догружения поверхности фк = 0. Рассуждения, приведенные выше, показывают нарушение ортогональности, т.е. ( • (о)(5^ • йер) Ф 0. Однако, (о • • йер = ( • ^о)••(C• • йер ) = (е • • йор = 0, т.е. в пространстве деформаций ортогональным к отрезку (е является вектор йор.
Таким образом, когда вектор йор ортогонален к поверхности фк = 0, то ортогональность
вектора йер к поверхности /к = 0, представляющей отображение фк = 0 в пространство напряжений, является следствием особенностей отображения шестимерных евклидовых пространств напряжений и деформаций друг в друга посредством тензоров С и 5.
В заключении данного параграфа заметим, что при п = 0 тензор С = ЕІ. Тогда
йор = ЕІ • • йер = Ейер, и, следовательно, векторы йор и йер коллинеарны. Они одновременно ортогональны как к предельной поверхности, так и к поверхности нагружения.
8. Нагружение, разгрузка и разрушение. Для сложного напряженно-деформированного состояния процессы активного нагружения, нейтрального нагружения и разгрузки определяются по отношению к предельным поверхностям векторов догружения в пространствах напряжений и деформаций. Рассмотрим эти процессы сначала в пространстве деформаций. Очевидно, что при активном деформировании вектор йе направлен вовне предельной поверхности, т.е. Ие • • йе> 0. Здесь Ие — симметричный тензор второго ранга с компонентами Эфк/деу , задающий внешнюю нормаль к поверхности фк = 0 в точке догружения. При этом возможно два варианта, а именно, Ые • • йее > 0 (йее • • С • • йер > 0) — упрочнение и Ие • • йее < 0 (йее • • С • • йер < < 0) — разупрочнение, когда вектор йее составляет с вектором йор тупой угол и, следова-
тельно, направлен внутрь предельной поверхности (упругая деформация материала уменьшается ). При догружении йер Ф 0 .
Разгрузка отвечает неравенству Ме-- йе<0. Кроме того, йер = 0. Для нейтрального нагружения имеем Ыг- - й е = 0, й ер = 0 .
В пространстве напряжений нейтральное нагружение определяется равенством Ма - • й а = 0, где Ма — симметричный тензор второго ранга с компонентами Э/к/Эау , задаю -
щий внешнюю нормаль к поверхности /к = 0. При этом йер = 0 .
Активному нагружению в случае упрочнения соответствует неравенство - йа>0
(йер Ф 0). Вектор догружения йа направлен вовне поверхности нагружения.
При разупрочнении состояние материала неустойчивое. Поэтому догружение в пространстве напряжений за пределы поверхности нагружения невозможно. Сохранение равновесного характера процесса активного деформирования возможно лишь при жестком нагружении, а именно, заданием деформаций. При этом для вектора догружения й а должно выполняться неравенство Ыа - • йа< 0 (вектор йа направлен внутрь поверхности нагружения). Но это неравенство справедливо и для разгрузки. Отличие заключается в том, что при нагрузке Ма'-йат = Ма--(С- -йе)>0 (йер Ф0), а при разгрузке Ма--йат <0 (йер = 0).
Стадия разупрочнения материала завершается его разрушением. Будем считать материал разрушенным, если существуют такие пути догружения в пространстве деформаций, на которых материал не диссипирует подводимую энергию, т.е. dg = а- - й ер = 0. Вообще говоря, это
условие может выполняться и для неразрушенного материала, когда тензоры а и йер ортогональны, и не выполняться для разрушенного материала на некоторых путях догружения, например, при всестороннем сжатии. Поэтому существенно требование наличия некоторого набора путей догружения, где равенство dg = 0 выполняется. Тогда очевидным следствием данного дополнительного условия является отсутствие в материале напряжений в точке догружения, т.е. а = 0. Еще одним признаком разрушения является равенство йат = йар. Следовательно, й а = 0 и приращение полных деформаций равняется приращению неупругих деформаций, т.е. йе = йер.
Используя рассуждения, приведенные выше, покажем на качественном уровне изменение предельных поверхностей при активном деформировании. На рис. 8.1 изображена трансформация предельных кривых при активном деформировании в плоскости двух главных деформаций. На рис. 8.2 изображена трансформация кривых нагружения при активном нагружении в плоскости двух главных напряжений. Пунктиром обозначены кривые, разделяющие области упругости и разупрочнения.
Отражен трансляционный характер изменения кривых, а именно, расширение области упругости при упрочнении и сужение ее при разупрочнении. Показано влияние на расположение кривых эффекта Баушингера и его инверсии на стадии разупрочнения [1]. После достижения
путем деформирования точки В (рис. 8.1), где йе = йер, и путем нагружения точки О (рис. 8.2), где а = 0 , материал разрушается. Однако, при последующем нагружении в область сжатия существует небольшая область, где этот фрагментированный материал может вести себя упругим образом.
Рассмотрим теперь случай, когда нагружение осуществляется из особой точки, в которой пересекается несколько гладких поверхностей. Тогда активное нагружение элемента материала прогнозируется, когда условия активного нагружения выполняются хотя бы для одной из по-
а
Р и с. 8.2. Трансформация кривых нагружения при активном нагружении в плоскости главных напряжений: а — процесс упрочнения; б — процесс разупрочнения
верхностей. Нейтральное нагружение — это нейтральное нагружение относительно одной из поверхностей, не являющееся нагрузкой по отношению к другим поверхностям. Условия разрушения не изменяются, т.е. в особой точке а = 0 и при любом догружении посредством задания деформаций йе = йер.
Отметим, наконец, что в случае кусочно-гладких поверхностей, когда точка догружения расположена на гладкой части или в особой точке, не являющейся результатом процесса деформирования, при разгрузке виды предельной поверхности и поверхности нагружения не изменяются.
9. Ассоциированный и инкрементальный законы пластического течения [9]. В силу ортогональности вектора йер к поверхности /к = 0 (гладкая часть поверхности нагружения) справедлив ассоциированный закон течения [12]
й ер = ка Ма Ма--й а, (9.1)
где диадное (тензорное) произведение тензоров Ма представляет симметричный тензор четвертого ранга. Аналогично в пространстве деформаций имеем
С --й ер = ке Ме Ме--й е. (9.2)
Здесь параметры ка, ке могут быть скалярными функциями напряжений и деформаций или функционалами, каждый из которых в общем случае зависит от пути нагружения (деформирования).
Кроме того, справедлив инкрементальный закон пластического течения, как более общий и не связанный с предельными поверхностями. Тогда, подставляя в равенство (9.1) выражение
для йер из формулы (2.8), а в равенство (9.2) выражение для йер из формулы (2.6), получаем
Жа= Бр - Б = каМа, (9.3)
Я = С - Ср = кеМеМе. (9.4)
Непосредственно проверяется, что
^ • • Ме Ме > 0 , ^ • • Nа Ма > 0 ,
где ^ — произвольный симметричный тензор второго ранга. Следовательно, тензоры МеМе и МаМа — положительно определенные. Так как и тензор С - Ср положительно определен, то
ке> 0. При ка> 0 тензор Жа положительно определен (стадия упрочнения), при ка< 0 этот
тензор отрицательно определен (стадия разупрочнения). При ка= 0 он вырождается (переход упрочнения на разупрочнение).
Для гладких предельных поверхностей, имеющих в точке догружения только один вектор внешней нормали, равенства (9.3) и (9.4) определяют тензоры Жа и Я как анизотропные, имеющие в общем случае 21 ненулевой элемент, т.е. инкрементальные свойства материала в этом случае задают анизотропные тензоры Ср и Бр .
Если в процессе деформирования, материал сохраняет изотропность, т.е. тензоры Ср и Бр
и, следовательно, тензоры Wа и Я являются изотропными, равенства (9.3) и (9.4) не выполняются, т.к. диадное произведение NN двух одинаковых симметричных тензоров не может дать в результате изотропный тензор четвертого ранга. Действительно, для изотропности результирующего тензора необходимо, чтобы компоненты тензора N удовлетворяли следующим условиям: N ^т„ = 0 при і = j, т Ф п ; N ^т„ Ф 0 при і = ] , т = п и N ^т„ = 0 при і Ф ] , т Ф п , і = т, j = п (і, j,т,п = 1,2,3). Очевидно, что данные условия несовместимы.
Данное противоречие может быть разрешено только следующим образом. Используя орто-нормированный базис пространства симметричных тензоров второго ранга, построим ортонор-мированный базис пространства симметричных тензоров четвертого ранга. Имеем
Фп = ЛпЛп (п = 1, 2,..., 6);
фт =_!= (л1Лі + Л 'Л1) (і = 2,3,..., 6, т = і + 5);
л/2
72
ф 9 = -= 72
72'
12(л2Лг+Л ‘л2) (і = 3, 4, 5, 6, I = і + 9); І2(Л3Лг+Л ‘л3) (і = 4,5,6, и = і +12); 1=г(л4Л‘+Л‘Л4) (і = 5,6, д = і +14);
I, (л5л 6+л 6л 5).
ф21 =-
Разлагая по этому базису изотропный тензор Wа , получаем ^0 = 2! ((а —Ф *) Ф к = — (л1Л1 + Л 2Л 2 + Л 3Л3) -
к=1 н
л Г(л1Л 2+Л2 Л1)+(л1л 3 + Л 3Л1)+(л 2Л3+Л3Л2)] + !±Н(Л 4Л4 +Л 5Л5+Л6 Л6).
н
н і=1
н
3
Добавим и вычтем тензор н2£Л ‘Л‘ и после преобразований получим
н н ,=1 Напомним, что
1+2 = Е(1 + ур)-Ер ( + у) = С-Ср н ЕЕр 2GGp ,
- 32 = 3 ер у- Е у р = Е (1 - 2у р)-ер I1 - 2у) __Е (1+ Ур)-ер I1 + у) = К - Кр _ р - ар н ЕЕр ЕЕр ЕЕр ККр 2GGp
Ер Ер Е Е
ар =—Е—-, кр = ——, а = , ., к = -
!(1 + ур) 1 -2ур ’ 2(1 + у)
1 - 2у
К , О — объемный модуль и модуль сдвига в области упругости, Ор, Кр — соответствующие инкрементальные (мгновенные) модули в областях упрочнения и разупрочнения.
Для выполнения равенства (9.3) теперь необходимо, чтобы в точке догружения в пространстве напряжений, определяемой некоторым тензором р , выполнялось равенство
ка N а N а = к°° N0 N0 + ка £ N0 N0 =1
>0 = 2 и* = 1 + 2
где к0 = -, к0 =-, Nа = Л — единичный тензор второго ранга, N0 = л'. С геометриче-
н
ской точки зрения NS --------- это внешняя нормаль к плоскости /о =Оц +^22 +^33 —
—X (Р' 'Лп ) = 0, М^ (і = 1,2,3) — внешние нормали к плоскостям / = о ^ — (р --Лі) = 0,
П=1
а М^, М^, М^ — внешние нормали соответственно к плоскостям / = — ^2 (Р' 'Л4) = 0,
/5 = -^2 °13 — ^2 ( Р "Л$ ) = 0, /6 = ^ °23 — ( Р ''Лб ) = 0 ( °12 = °21 , °13 = °31, °23 =°32)- Отме-
тим, что /0 — плоскость, равнонаклоненная к осям, по которым откладываются значения оп,
°22 , °33 •
Таким образом, вспоминая формулы (2.8) и (9.1), получаем, что тензор й ер является суммой семи тензоров. Точка догружения является угловой точкой на поверхности нагружения, образованной пересечением семи плоскостей /0, / (і = 1,...,6), а вектор йер есть сумма семи векторов, ортогональных данным плоскостям, и он должен быть расположен внутри пирамидального конуса, образованного нормалями, восстановленными в угловой точке к каждой плоскости / .
Аналогично равенство (9.4) при сохранении материалом изотропности выполняется тогда, когда тензор Я разлагается на сумму
Я = Г(( — Кр) — 2(О — ОР )10 + 2(а — ОР )ЛіЛі ,
і=1
а тензор ке Ме Ме представляется суммой
кЕ МЕ МЕ = к0е М0 М0 + к* X ме М’е і=1
где м0 = Л, МІе=Лі, к0 =Г' ' ' '
(К - Кр) - 2 (G - Gp) 13, £* = 2 ^ - Ор). С геометрической точки
3
зрения N0 — это внешняя нормаль к плоскости ф0 =£11 + е22 + е33 -^(е "Лп ) = 0; N1
П=1
(] = 1,2,3) — внешние нормали к плоскостям ф= е^ - (е • Л]) = 0; а N‘^, N , N^6 — внешние нормали соответственно к плоскостям Ф4 =-^е12-^2(е ^Л4) = 0, ф5
= 12 е13 М) = 0
ф6 = е23-(е••Л6) = 0 (е12 = е21, е13 = е31, е23 =е32). Здесь е — тензор деформаций, отве-
чающий точке догружения на предельной поверхности в пространстве деформаций.
Таким образом, вспоминая формулу (9.2), можно утверждать, что тензор йор является суммой семи тензоров. Точка догружения является угловой точкой на предельной поверхности,
образованной пересечением семи плоскостей ф0, ф;- (/ = 1, 2,..., 6), а вектор йор есть сумма семи векторов, ортогональных данным плоскостям, и он должен быть расположен внутри пирамидального конуса, образованного нормалями, восстановленными в угловой точке к плоскости ф;- .
Отметим, что данные выводы согласуются с экспериментальными результатами, приведенными в работе [13].
П р и м е ч а н и е 9.1. Так как упругие свойства материала не изменяются, то при разгрузке предельная поверхность восстанавливает свою регулярность [13] и приобретает форму начальной поверхности с соответствующими изменениями, связанными с характером упрочнения или разупрочнения (изотропным или трансляционным).
10. Основные результаты.
1. Инкрементальный закон пластичности:
йер =(/-5••Сре, йер =(Бр -5)йо ;
^е = (I - 5 • Ср) — первый инкрементальный тензор пластичности;
Wо=( Бр - 5) — второй инкрементальный тензор пластичности.
2. Основные инкрементальные соотношения: йо = Ср ••йе, йе = Бр ••йо, йо = Б • •йер,
йеР = Га-- йо, йоР = (с — СР)-- йе = Я- -йе, йоР = С- -йеР ,
СР, £Р, В, Я — соответственно симметричные тензоры четвертого ранга инкрементальных модулей упругости и податливости (БР = (СР)—1), упрочнения - разупрочнения (В = ^О"1), релаксации.
3. Тензоры В, РТО , СР, БР — положительно определенные на стадии упрочнения. Если материал сохраняет изотропность, то эти тензоры на стадии разупрочнения отрицательно определенные.
4. Тензор релаксации Я — положительно определенный на всех стадиях деформирования.
5. Тензор Ш'е — положительно определенный для изотропного материала.
6. Условием перехода со стадии упрочнения на стадию разупрочнения является вырождение тензоров СР, БР, ^О , В.
7. Если свойства материала характеризуются гладкими предельными поверхностями, то вектор йеР ортогонален к поверхности нагружения в пространстве напряжений, а вектор йоР ортогонален к предельной поверхности в пространстве деформаций на всех стадиях деформирования, включая разупрочнение.
8. В пространстве деформаций нагрузке отвечает неравенство Ме - - йе > 0, где Ме = ,
°е5
разгрузке — Ме - - йе < 0, нейтральному нагружению — равенство Ме - - йе = 0.
9. В пространстве напряжений нейтральному нагружению отвечает равенство
МО - - йо = 0 (МО = ^О^), нагрузке в области упрочнения — неравенство МО - - йо > 0, в области
іі
разупрочнения — неравенства Мо - - йо < 0, Мо - - йот = Мо - (С - - йе) > 0, разгрузке — неравенства Мо - - йо < 0, Мо - -йот < 0.
10. Признаки разрушения: dg = 0 и о = 0; йот = йоР, йо = 0, йе = йеР.
11. Если предельные поверхности сохраняют гладкость при деформировании, то материал становится инкрементально анизотропным. Тензор РТо на стадии разупрочнения отрицательно определенный.
12. При сохранении материалом изотропности на предельной поверхности появляется угловая точка, образованная пересечением семи плоскостей в шестимерных пространствах напряжений и деформаций, а векторы йеР и йоР являются суммами семи векторов, перпендикулярных соответствующим плоскостям.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Стружанов В. В. Упругопластическая среда с разупрочнением. Сообщение 1. Свойства материала и инкрементальный закон пластичности при растяжении // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер: «Физ.-мат. науки», 2006. — № 42.— С. 49-61.
2. Ильюшинн А. А. Об основах общей математической теории пластичности / В кн.: Вопросы теории пластичности. —М.: Изд-во АН СССР, 1961. — С. 3-29.
3. Ильюшинн А. А. Пластичность. — М.: Изд-во АН СССР, 1963. — 271 с.
4. РаботновЮ. Н. Механика деформируемого твердого тела. — М.: Наука, 1988. — 712 с.
5. ХанХ. Теория упругости: Основы линейной теории и её применения. — М.: Мир, 1988. — 344 с.
6. Лурье А. И. Теория упругости. — М.: Наука, 1970. —940 с.
7. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 2. — М.: Наука, 1970. — 568 с.
8. Стружанов В. В., Миронов В. И. Деформационное разупрочнение материала в элементах конструкций. — Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 1995. — 192 с.
9. Стружанов В. В. Ассоциированный и инкрементальный законы пластического течения для сред, проявляющих деформационное разупрочнение // Изв. Урал. гос. ун-та, 1999. — № 14. (сер. Математика и механика. Вып. 2). — С. 119-134.
10. Белман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Наука, 1969. — 368 с.
11. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: — Мир, 1989. — 655 с.
12. Ивлев Д. Д., Быковцев Г. И. Теория упрочняющегося пластического тела. — М.: Наука, 1971. — 232 с.
13. Шевченко Ю. Н. К построению поверхности нагружения в теории пластичнсоти // Прикладная механика, 1996. — Т. 32, № 11. — С. 31-37.
Поступила 11.09.2006 г.
