CC BY
47
УДК 539.3
УПРУГОЕ РАВНОВЕСИЕ ТЯЖЁЛОЙ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОЙ ТОЛСТОСТЕННОЙ СФЕРЫ С ЖЁСТКО ЗАКРЕПЛЕННОЙ ВНУТРЕННЕЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
А. В. Зайцев, А. А. Фукалов
Пермский государственный технический университет (национальный исследовательский университет),
614990 Пермь, Комсомольский пр-т, 29.
E-mails: [email protected]
С использованием разложения компонент вектора перемещений по окружной и радиальной координатам в тригонометрические и обобщенные степенные ряды получено новое точное аналитическое решение задачи о равновесии толстостенного полого тяжёлого трансверсалъно-изотропного тела с центральной симметрией, жёстко скрепленного по внутреннему контуру и находящегося под действием равномерного внешнего давления. Из полученного решения в частном случае следуют выражения для напряжений, деформаций и перемещений в точках полой тяжёлой изотропной сферы. В качестве примера на основе многокритериального подхода, описывающего различные реальные механизмы 'разрушения анизотропных тел с центральной симметрией, проведена оценка начальной прочности монолитной железобетонной сферы.
Ключевые слова: толстостенные тяжёлые упругие трансверсально-изотроп-ные сферы, точные аналитические решения, многокритериальная, оценка начальной прочности.
Введение. Конструкции и сооружения в виде массивных толстостенных сфер, изготавливаемых из анизотропных материалов, находят широкое применение в различных отраслях промышленности, строительстве, геологии, на предприятиях нефтегазохимического комплексов. Наиболее распространенными видами нагрузки этих объектов являются статическое внешнее и/или внутреннее давление и собственный вес.
Проблема исследования напряжённо-деформированного состояния анизотропных массивных центрально-симметричных тел от действия собственного веса недостаточно изучена: в отечественной и зарубежной литературе практически отсутствуют монографии и статьи, посвященные этой проблеме. Вместе с тем этот вопрос не нов, и решение частных задач по оценке влияния гравитационных сил на характер распределения напряжений и деформаций в изотропных массивных полых толстостенных центрально-симметричных телах содержится в ограниченном числе работ [1—3]. Поэтому важными и актуальными являются задачи получения новых точных аналитических решений о равновесии жёстко закрепленных по внутренней поверхности тяжёлых толстостенных анизотропных упругих тел с центральной симметрией, находящихся под действием равномерно распределенного внешнего давления, и разработка на основе этих решений инженерных методов уточненного прочностного анализа. Кроме того, получение аналитических зависимостей важно еще и для тестирования численных алгоритмов решения более сложных
Зайцев Алексей Вячеславович (к.ф.-м.н., доцент), докторант, каф. механики композиционных материалов и конструкций. Фукалов Антон Александрович, магистрант, каф. механики композиционных материалов и конструкций.
задач, в которых отдельные элементы конструкций и сооружений имеют ана-логичную геометрию и граничные условия, а также для отработки методик эксперимента с тяжёлыми телами простейшей геометрии.
1. Тяжёлая трансверсально-изотропная сфера. Рассмотрим задачу о равновесии толстостенного линейно-упругого трансверсально-изотропного тяжёлого сферического тела, ограниченного поверхностями радиусов р\ и р2 (р1 < р2) и находящегося под действием нагрузки, симметричной относительно вертикальной оси, проходящей через геометрический центр, в который поместим начало сферической ортогональной системы координат р, 9 и ср. Будем считать, что материал сферы однородный, сферически трансверсаль-но-изотропный относительно любого радиус-вектора, проведенного из центра тела в рассматриваемую точку. Радиальные и меридиональные перемещения (ир и щ), радиальные (арр и ерр), окружные (а^ и е^), меридиональные {а ев и е$$) нормальные напряжения и осевые деформации, а также касательные напряжения тр$ и сдвиговые деформации 7^ в силу симметрии тела и приложенной внешней нагрузки не зависят от окружной координаты и удовлетворяют геометрическим соотношениям Коши:
дир 1 див ир ив ир
?рр = -^-, £ве = -^7Г + —, = ctg в ~\ -,
др р дв р р р
(1)
и уравнениям равновесия:
+ ~Р1ю + ~Р (2<трр ~ а^ ~ ам + тРв^в) + рР = О,
1^? + уж + ~Р авв ~ в + 37>б] + Рв = °'
(2)
Здесь Рр = —'усозв и Рв = 7вт0— компоненты вектора массовых сил, 7 — удельный вес материала.
Определяющие соотношения
Срр — Ацбрр + А\2 (е^ + £вв) ) &<р<р — А\2£рр + А22£(р(р + А2з£вв,
(Увв = А^Ерр + ^23%^ + А22£вв, Трв = А^рв
(3)
для сферически трансверсально-изотропного тяжёлого тела можно записать с помощью технических постоянных:
Ё(1 — и) л ЕР Е ( „2Е
Ац —----------, А\2 —, А2 2 — у——:—
т т (1 + и) т V е
л Е ( ~2^\ , А,
^23 = т——^—(и + и2— , АЫ = С, т = 1 — и — 2и
(1 + и)т\ е; Е
Здесь Е и Е — модули Юнга вдоль координаты р ив ортогональном к ней направлении; С — модуль сдвига для диаметральной плоскости; Р и V — коэффициенты Пуассона, характеризующие сокращение тела в направлениях в
и р при растяжении вдоль радиальной координаты р, и поперечные деформации в плоскости, нормальной радиус-вектору р, при растяжении в той же самой плоскости соответственно.
Пусть толстостенная сфера жёстко закреплена по внутренней поверхности и находится в равновесии под действием внешнего равномерного давления р. Тогда для рассматриваемого случая граничные условия запишем следующим образом:
и
Р\р=
р=р 1
= °> ио\Р=Р1 = °>
рр\р=
Р=Р 2
-Ру Трв\р=
Р=Р 2
0.
(4)
Для любых граничных условий, не нарушающих осевой симметрии задачи, решение системы дифференциальных уравнений в частных производных:
1
4 2 р2
А
44
др2
д2иг,
„ , ди0 2А^1 —------Ь Нз
др
д2ив див
дип
—7вт0 = А.
дв2 ' дв д2и
дрдв др див
+
+ с1]ё °) + (Я1 “ +ивсЛёв) + ЪНхир
44
др2 д (див дв [~дв
1
н— р
2А,,8^ + Я, д%и-
др { дщ V дв
дв
+
+ иР ) + ( ~^7Г + ив с1]ё в \cige
тт I дир + НА^в~Щ
(5)
полученных путем последовательной подстановки геометрических соотношений (1) в определяющие соотношения (3), а затем полученного результата — в уравнения равновесия (2), можно представить в виде тригонометрических рядов [1-3]:
(6)
га=О
га=О
Здесь Н\ = А\2 — Я4, Н2 = А23 + 2А44, Я3 = А\2 + А44 И Н4 = А22 + А23.
Подставляя выражения (6) в систему (5) и приравнивая коэффициенты при соответствующих функциях аргумента в, получим п систем обыкновенных дифференциальных уравнений:
(га)^+4гаЧ(га)
2 ир
(п)Лп)
И------о ( 0-4 и
р
I (п) (п)
+ «5 Щ
) = л(га),
ь(п) //(га) + I /&(га) ,(га) + Ь(п)иКп)\ + 4 (6(»)>) + Ь(п) = Б(п})
Н— (о р 1
(7)
где
Ъ^ = -п (А22 + н2), Ь(5П) = —Н2 - А22 [п (п - ctg в ctg пв) + ctg2 в]
(га) 1 (га)
а\ = -а\ '
= А
11 ч
= Я3Я5,
— 2 Н\ — пА44Н^}
4га) = Я5 (Я! - А44), 6(!га) = \ъ\^ = А44,
и(п)
Ъ^] = -Язи,
Н$ = п + 9 tg п9,
д{п) ________________ / 7) п 1) д(га) _ / _П
— | 0, п = О, п > 1; — | О, п = О, п > 1.
Эти системы для каждого п должны быть дополнены граничными условиями, которые получаются разложением заданных на поверхностях тела перемещений, напряжений или их комбинаций в тригонометрические ряды по меридиональной координате в. Поэтому вычисление перемещений, деформаций и напряжений связано с решением п самостоятельных задач.
Итак, при п = 0 система дифференциальных уравнений (7) значительно
упрощается, а ее общее решение выглядит следующим образом:
40) = 0, = С^р-1'2-к + С^р~1/2+к,
где к = л/1/4 — 2Н\/Ац — показатель анизотропии, а и — константы интегрирования.
При п = 1 будем иметь неоднородную систему дифференциальных уравнений (7), решение которой можно представить суперпозицией общих реше-
„ .(1) .(1) Л „ _(1) _(1) нии ир и щ и любых частных решении ир и щ соответствующих однородной и неоднородной систем. Последние, например, определим в виде:
ёр = Нрр2, = нвр2,
Нр = 7Я6 (Я4 - 2Я3), Нв = 7Я6 [2 (Лц - А44) - Я4] ,
^6 = 2 [^11 (-^4 — 4А44) + 2^44 (#4 — ЗЛ12) — 2А22\
Общее решение однородной системы будем искать в форме обобщенных степенных рядов
сю сю
'41, = £й!1У+‘. 4ц = £Л‘+‘
г=0 г=0
с характеристическими числами
1 1
21 = -*, г2 = -г-1, = —* — ^ — ^, = _г - 2+1,
где £ = д/9/4 + [(-4ц + 2А44) Н4 — 2А\2 (Н4 + 2Л44)]/(АцА^) — показатель анизотропии для центрально-симметричного тела, находящегося под действием равномерно распределенной вертикальной осесимметричной нагрузки. Обратим внимание на то, что в отличие от показателя к для центрально-симметричного тела, находящегося под действием центрально-симметричной нагрузки, £ зависит от модуля сдвига для диаметральной плоскости. Эта зависимость является следствием появления сдвиговых деформаций, которые отсутствуют в случае, когда и нагрузка, и само тело обладают центральной симметрией.
При п > 1 системы дифференциальных уравнений (7) являются однородными, а их решения также находятся в виде степенных рядов. В рассматриваемом случае для любого п четыре характеристических числа (,?’€{ 1, 2, 3, 4}) являются корнями нелинейного уравнения четвертой степени
из + (3^ (г + г) + Р1а> из + сх^’ (г + г) +
р(«)
(га)
V4 '
(га)
V4 '
(г + г) + /3^ (г + г) + /3^
где из = (г + х) (г + х — 1).
(гг) ('
По известным г- и быть определены следующим образом:
По известным и = 1 коэффициенты могут
Л (га) ^ (га) й<”> = ■>
аА — а
а
(га)
\{п)(х(п) и . (гг) /э№\ I № о
Л) 1 + а2 ~ ^4 ) + «3 - А
(га) ,(га)
о (га) ^ \ (га) (
$ =7=г + 4
з(га) ’
а
а
(га) '
‘1 "1 Тогда общее решение системы (7) записывается так:
и
<п) = + 4П)<^В) + 4га)с,зга)рл^)+4га)^(га)^п)
р
и
{п) = с[п)р^п)
+ сЫр^) + сМр^)+с<Г>р^\
а постоянные интегрирования С^, С^\ С^ и для каждого п определяются из граничных условий (4). Однако при разложении заданных на поверхностях тела перемещений и напряжений (4) в тригонометрические ряды по меридиональной координате в получим при п > 1 однородные системы дифференциальных уравнений с однородными граничными условиями. Все
(тъ) (тъ)
эти системы имеют единственное тривиальное решение: ир = 0 и щ ' = 0. Таким образом, общее решение системы (5) запишем в виде
ир = с^р-1/2~к + с!20)р-1/2+к+
+ ((11с{11) + уЬС{21] + р~1/2+* + V172-* + Нрр2) СО8 0, (8)
щ = (С« + ±С<1} + с(1}р-1/2+* + С^р-1'2-1 + Нвр2) вт0.
Здесь
с*4 = ^(В- 2Я3*)
Б = М-ЗЛ44, £ = 2Я| - Ли (Л22 + Я2), М = Н1-Н4.
Постоянные интегрирования при п = 0 в равенствах (8) могут быть определены из граничных условий (4):
С[0) = -2р1кС^0) = 2р\к-
3/2+к
РР2
Н7р2к + Н8р2к ’
Н7 = Ац (2к + 1) — 4^12, Н$ = Ац (2к — 1) + 4^12.
Группа слагаемых с постоянными интегрирования С^\ С^\ С^ и С^\ соответствующая п = 1, отражает в общем решении (8) вклад массовых сил. Эти постоянные находятся из решения системы линейных алгебраических уравнений:
скС^ + —с12С{^ + (кС^ р~1/2+1 + скС^ р“1/2“* = -НрР1 Р1
С® + 1с™ + с<1,л1/2+‘ + С< V1''2-1 = -Н„А,
Р1
4С'51)Л12 (к + 1) Р2/2+* + Я12Р2 1/2+* + Я9р2* + Ни = -Н10р1/2+\
2С[1) (к + 1) р\/2+Ь + 2С^1) (с12 + 2) р~1/2+1 + (2с?3 -24 + 3) р^+
+С^1) (2^4 + 24 + 3) = 2 (Нв - Нр) р52/2+\
где
Яд = Сд1^ [4^12 ((1з + 1) + Ацс1з (24 — 1)] ,
Ню = С|1} [4^12 (с?4 + 1) — Ацс14 (24 + 1)],
Нц = 4 [Нр (Ац + А\2) + НдА^], Н\2 = 2С<21'> [2Л12 (с?2 + 1) — Ацй2\ ,
и не приводятся из-за громоздкости их выражений.
Подставляя найденные выражения для перемещений (8) последовательно в геометрические (1) и определяющие (3) соотношения, получим компоненты тензоров деформации
1
£РР - ~2
я
13 + 2к(с[0)р-3/2-к - С^р~^2+к) + Нпсоёв
£<р<р = £вв = Н13 + Я15 сое в,
1рв = [(5/2 - £)Я16 - #15 - 2Нвр\ ятв
(9)
и напряжении 1
<т
до
= ^{^0)Н8р-^+к - с^н1Р-^-к+ 1
+
—2 #12 + (#9 + Яю) Р 3/2 * + Яцр 1рг
соъв
(Т<р<р = (7вв = кА12(с^р1/2~к - р~3/2~к^ +
+^ (2Я4ЯМ - Л12Я17) сое в - м(с(2]р1/2-к + С^р-3/2-к трв = А44 [(5/2 - 4)Я16 - Я15 - 2Нвр\ эт в,
при записи которых были использованы следующие обозначения:
#16 = с«Р-3/2+* + V372-*,
Я17 = + (1 - 24) (с^С^р"372^ + V372-*) - 4Нрр.
В частном случае, когда при определении напряжённо-деформированного состояния можно пренебречь вкладом массовых сил, из полученных уравнений следует классическое аналитическое решение задачи Ламе для трансвер-сально-изотропной сферы [4]. Из этого решения для закрепленной по внутренней поверхности трансверсально-изотропной сферы со свободной от нагрузок внешней границей следует тривиальный результат: рассматриваемое тело находится в ненапряжённом состоянии.
2. Тяжёлая изотропная сфера. Из уравнений (8)—(10) может быть получено решение задачи о равновесии толстостенного тяжелого жёстко закрепленного по внутренней поверхности изотропного центрально-симметрично-го тела, находящегося под действием внешнего давления р. Действительно, осуществляя замену материальных констант Е = Е, Р = ииС = С = = Е/[2(1 +г/)], запишем выражения, определяющие распределение перемещений, следующим образом:
Обратим внимание на то, что соотношения (11) следуют, как частный случай, из равенств (8) при подстановке в последние показателей анизотропии к = 3/2, 4 = 5/2 и коэффициентов с1\ = —1, с?4 = 2. Постоянные интегрирования при п = 0 и п = 1:
(1) = 7 (г/ + 1) 1 3 ЖРр!
|2 [9р| (2г/2 - Зг/ + 1) - р| (бг/2 + V - 5)] -
- Р1Р2 [р\ (6г/2 + у ~ 2) + 9р? (8г/2 - 12г/ + 5)] |
= -р2^(4^2 + ^-3), N = 6 Е(и-1), Р = 2(3и-2)р1-(и + 1)р1 сз ] = 7 ^р ^ [2р! (Зг/2 - 41/ + 1) - (1 + V) [у(?2 + р1) р\] ,
С11} = р\р2^ здгр^ ^ ^ (1 + ^)] ,
а также множители
7(1 -V)
Нп
3 Е
и =_^Е А _ 4(! -V) А _ 4г/- 1
’ е ЗЕ’ 2 41/-3 ’ 3 21/-3’
входящие в (11), значительно упрощаются.
Деформации и напряжения в точках, отстоящих от центра симметрии сферы на расстояние р, вычисляются при помощи следующих соотношений:
£рр = #20 - (#18 - 2#1э) сое в
£(р(р = £вв = #21 +
#18 + #19 + #22 + ^ ^ - 4С'11) Р2 V Р
сое в,
7рв = - ^#18 + #19 - #22 + 81п61>
(1 + и) (1 - 21/)
Е
#20 + ^ ( ^0) + #21
+
+
(1 + I/) (1 - 21/)
Е
2 [#19 + г/ (#22 + #2з)] + (Зг/ - 1) #18 } сое в,
ст<
(#21 + ^#20 ) +
+ -
(1 + I/) (1 - 21/)
Е [(1 - V) #18 + (1 + 2у) #19 + #22 + #2з] сов 61,
(1 + V) (1 - 2у)
Трв = -уТТТТл (Нг8 +Я19 - #22 + ) вШ0.
2(1 + и)
г
Здесь
#18 —
2(1 — ^) ^(1) 3 (1)
4г/ — 3 °2 +^°4
я19=(И1}+я^)л
#20 = ^°} - -|с;0), #21 = С^°} + 1с'{0), #22 = (С?} + #,) Р,
#23 = 4 Г - 4а(1)
Р"
р
,2 4
3. Оценка начальной прочности тяжёлой железобетонной сферы. В качестве примера, используя полученные выражения (10), проанализируем вклад массовых сил в напряженное состояние анизотропной толстостенной тяжёлой сферы. В работе [5] были введены независимые величины
Л
■т,
п
аРР1 а — \/
+ 4 т2„ •/,!'
Чр + Чр’
инвариантные относительно ортогональных преобразований, допустимых над сферически трансверсально-изотропным однородным телом, которые могут быть применены для описания различных механизмов разрушения (от растяжения или сжатия в окружном и радиальном направлениях, от сдвигов по поверхности изотропии и в диаметральной плоскости соответственно) и оценки начальной прочности по совокупности критериев [6].
На рис. 1 показано распределение приведенных к безразмерному виду инвариантов тензора напряжений ^ ^ /(7г) вдоль меридиональной и
обезразмеренной радиальной координаты р = (р — р\)/{р2 — р\) в тяжёлой железобетонной сфере (7 = 40,0 кН/м3) со свободной от нагрузок внешней (р = 0) и жёстко закрепленной внутренней поверхностью. Параметры геометрии тела и упругие постоянные железобетона были выбраны следующими: 5 = р\/р2 = 0,5; Е = 40,0 ГПа, Ё = 25,0 ГПа, С = 11,0 ГПа, V = 0,075 и V = 0,15.
Как видим, на внешней, свободной от нагрузок поверхности тяжёлого железобетонного центрально-симметричного тела ненулевым является только первый инвариант который в верхней полусфере всюду возрастает вдоль р, а в нижней - всюду убывает, принимая нулевое значение при р = 0,11. Наибольшие по абсолютной величине значения J1a принимает в точках, лежащих на вертикальной оси, проходящей через геометрический центр. Для верхней полусферы эти точки являются наиболее опасными из-за возможности по-
•'а
Рис. 1. Распределение обезразмеренных инвариантов тензора напряжений на закрепленной внутренней (^), свободной ОТ нагрузок внешней (.Тех) И серединной (./мы) поверхностях железобетонной сферы
тери способности сопротивляться растяжению (при р < 0,11) или сжатию (при 0,11 < р ^ 1) в окружном и меридиональном направлении, для нижней полусферы — сжатию (при р < 0,11) или растяжению (при 0,11 < р ^ 1) соответственно. Второй инвариант нелинейно распределен вдоль радиальной координаты, имеет при р = 0,03 локальный минимум в верхней и локальный максимум в нижней полусферах соответственно. Обратим внимание на то, что начало разрушения верхней полусферы от сжатия, а нижней — от растяжения в радиальном направлении возможно в точках, принадлежащих вертикальной центральной оси.
Третий инвариант JlII во всех точках принимает нулевые значения. Последнее связано с тем, что т^е = 0, а при п = 0 и п = 1 имеет место равенство окружных и меридиональных напряжений = иСледовательно, механизмы разрушения от сдвига по поверхности изотропии для рассматриваемых условий нагружения тяжёлой сферы и деформационных свойств материала не реализуются. Четвертый инвариант ^ равен нулю в точках, расположенных на вертикальной оси и возрастает по мере увеличения угла 9, достигая своих максимальных значений при 9 = тт/2. Вместе с тем при изменении радиальной координаты от внутренней закрепленной границы бетонной сферы к внешней всюду убывает до нулевых значений на свободной поверхно-
На рис. 2 проиллюстрировано влияние толщины сферы Ь = р\)р2 на характер распределения ненулевых инвариантов тензора напряжений вдоль радиальной координаты р, показавшее, что с ростом 5 увеличивается наклон кривых и возрастают (по абсолютной величине) значения ^ в точках закрепления. Кроме того, точка, в которой происходит смена знака первого инварианта 7^, при увеличении толщины железобетонной сферы смещается к внутренней закрепленной поверхности.
Заключение. Таким образом, на основе полученого нового точного аналитического решения задачи о равновесии находящегося под действием внешне-
Рис. 2. Распределение в характерных сечениях толстостенной железобетонной сферы: 1-6 = 0,5, 2-5 = 0,6, 3 - 5 = 0,7, 4 - <5 = 0,8, 5-6 = 0,9
го равномерного давления тяжёлого трансверсально-изотроиного центрально-симметричного тела с жёстко закрепленной внутренней поверхностью проанализирован вклад массовых сил в напряженное состояние, исследовано влияние геометрии, проведена оценка начальной прочности монолитной железобетонной сферы.
Авторы признательны профессору И. И. Шардакову за обсуждение полученных результатов. Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект РФФИ-Урал № 07-01-96056-а).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Кожевникова Л. Л., Кузнецов Г. Б., Матвеенко В. П., Шардаков И. И. Аналитическое исследование упругого равновесия полой сферы, жёстко закрепленной по внешнему контуру// Пробл. прочности, 1974. — №9. — С. 20-23.
2. Кузнецов Г. Б. Упругость, вязкоупругость и длительная прочность цилиндрических и сферических тел. — М.: Наука, 1979. — 112 с.
3. Кожевникова Л. Л., Кузнецов Г. Б., Роговой А. А. Равновесие тел вращения под действием массовых сил. — М.: Наука, 1983. — 102 с.
4. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. — М.: Наука, 1977. — 416 с.
5. Победря Б. Е. Механика композиционных материалов. — М.: МГУ, 1984. — 336 с.
6. Вильдеман В. Э., Соколкин Ю. В., Ташкинов А. А. Механика неупругого деформирования и разрушения композиционных материалов. — М.: Наука, 1997. — 288 с.
Поступила в редакцию 16/V/2010; в окончательном варианте — 18/VIII/2010.
MSC: 74В05, 74G05
ELASTIC EQUILIBRIUM STATE OF THICK-WALLED HEAVY TRANSVERSALLY-ISOTROPIC SPHERES FIXED ON THE INTERIOR SURFACE
A. V. Zaitsev, A. A. Fukalov
Perm State Technical University (National Research University)
29, Komsomolskiy pr., Perm, 614990, Russia.
E-mails: [email protected]
Using decomposition of hoop and radial components of displacement vector to the trigonometrical and generalized power series, the new precise analytical solution to problem on equilibrium state of thick-walled heavy transversally-isotropic central-symmetric body, which is fixed on the interior surface and is subject to the action of uniform external lateral pressure, is obtained,. This can set a pattern for precise solutions in particular cases of the relations for displacements, stresses and strains at the points inside thick-walled heavy isotropic sphere, the interior surface of which is fixed, while the exterior one being under the uniform pressure. The estimation of an initial strength of solid-cast reinforced concrete sphere is carried out on the basis of a multicriteria approach taking into account real damage mechanisms (i.e. damage from tension or compression in radial, hoop and axial directions, and from transversal and antiplane shear) of anisotropic central-symmetric bodies.
Key words: thick-walled heavy transversally-isotropic, exact analytical solutions, multicriteria estimation of an initial strength.
Original article submitted 16/V/2010; revision submitted 18/VIII/2010.
Alexey V. Zaitsev (Ph. D. (Phys. & Math.)), Doctoral Candidate, Dept, of Mechanics of Composite Materials & Structures. Anton A. Fukalov, Master Student, Dept, of Mechanics of Composite Materials & Structures.
