CC BY
35
Секция «Модели и методы анализа прочности динамики и надежности конструкций КА»
УДК 539.3
Д. Баляков, А. Герус, С. Ильяшевич, Е. Мироненко, А. Снытко Научный руководитель - Р. А. Сабиров Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Красноярск
УПРОЩЕННЫЙ ВАРИАНТ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ЗАДАЧИ ОБ ИЗГИБЕ ПЛАСТИНКИ ДЛЯ УЧЕБНОГО ПРОЦЕССА
Получен функционал Лагранжа для изгибаемой пластинки и на его основе построен метод конечных элементов; при решении учебных примеров применяется упрощение, заключающееся в обнулении угловых смещений.
Главная трудность изложения в учебном классе метода конечных элементов и его восприятие слушателями связана с формулами большого объема, вызванными аппроксимацией функции прогиба. Кроме того, классическая постановка метода - расширением матриц жесткости элементов до глобальной матрицы жесткости влечет объемы информации, не умещающиеся на классной доске. Возникает необходимость введения упрощений, не нарушающих понимания метода.
Получен функционал Лагранжа для прямоугольной пластинки 0 < x < а и 0 < у < Ь
эл ^ у)) = щ
+2 (1 -ц)
( V ^
ду
\ дУ2 /
( д2w ^
дxдy
„ д2w д2w + 2ц——---
дх 2 ду 2
(1)
-q (х у) w} ^у -1 (( - Mx) dУ|XIo -
0
- } (RyW - Му 9у ) ¿х\уЮ + (у + Нух ) • w|в углах . 0
Здесь w = w(x,y) - функция прогиба; qz - распределенная нагрузка нормальная к базисной поверхности; К = Ях + дНух / дУ и К = Яу + дНху /дх - реакции на контуре объединенные с перерезывающими силами и интенсивностями крутящих моментов; 9х = дw / дх и 9у = дw / ду - углы поворота; Б - цилиндрическая жесткость; ц - коэффициент Пуассона.
Рассмотрим треугольный конечный элемент, сориентированный в локальной системе координат 0ху2 , как показано на рис.1; длины катетов элемента равны а и Ь . Здесь упрощение заключается в привязке узлов элемента к фиксированным координатам. Для определения матрицы жесткости элемента девятью степенями свободы примем аппроксимирующий полином в виде
w( х, у) = а1 +а2 х + а3 у + +а4 х2 +а5 ху + а6 у 2 + +а7 х3 + а8 (х2 у + ху2) + а9 у3.
(2)
Введем вектор обобщенных перемещений qi (/ = 1,2,...,9) элемента е (рис. 1). Собственно: - q1, q4, q7 - линейные смещения узлов 1, 2, 3; - q2, q5, q8 - углы поворота узлов 1, 2, 3 вокруг оси х ; - q3, q6, q9 - углы поворота узлов 1, 2, 3 вокруг оси у . Удовлетворив (2) обобщенным перемещениям получим коэффициенты аi:
а1 = я;
а4 = (-3q1 + 3q4 - 2aq2 - aq5) / а2;
а9 = (2q1 - 2q7 -Ъq3 + Ъq9)/Ь3; (3)
2 2 2 2 2 2
а5 = (а q2 - а q8 - Ъ q3 + Ъ q6) /(аЪ - а Ъ);
а6 = (-3q1 + 3q7 - 2Ъq3 -Ъq9)/Ъ2 ;
а 3 — qз;
а7 = (2q1 - 2q4 - аq2 + aq5) / а3;
а8 = (aq2 - aq8 - Ъq3 + bq6)/(a2Ъ - аЪ2) ;
а 2 — q2 .
Подстановка (3) в (2) даёт ЭЛ(q1,q2,...,q9). Производные дЭЛ (q1, q2,..., q9)/ дqi = 0, дают девять уравнений, связывающие обобщенные усилия в узлах с обобщенными перемещениями. На этом этапе учитываются все обобщенные перемещения. Основное упрощение рассматриваемого варианта МКЭ состоит в том, что в полученных уравнениях равновесия принимаем углы поворота q2, q5, q8, q3, q6, q9 узлов элемента е равными нулю. Это жесткое ограничение. Однако оно позволяет доводить решения задач до числовых результатов, причем, не привлекая вычислительную технику. Таким образом, используем только линейные смещения, то есть прогибы узлов. Интегрирование по площади треугольника даёт искомую матрицу жесткости ке элемента е :
(4)
Здесь
к" = 12Б(а4 + Ъ4)/(а3Ъ3) , к[2 = Г21 =-12БЪ/а3,
кз = = -12а/Ъ3, к^2 = 12БЪ/а3,
к23 = к3е2 = 0, к3е3 = 12Ба /Ъ3, К1, К4, К7 - реакции
узлов элемента е от смещений. Далее локальные
К е к\1 к12 ке к13 Я
К4 = ке к21 ке л22 ке "23 - q4
ке К 31 ке 32 ке "33 ^7
Актуальные проблемы авиации и космонавтики. Технические науки
переменные в е можно переименовать как: д1, д2,
При первоначальном изучении МКЭ лучше рассматривать формирование глобальной матрицы жесткости приёмом расширения локальных матриц жесткости элементов. Рассмотрим пример изгибаемой конструкции (рис. 2). «Разобьём» конструкцию на
конечные треугольные элементы, изображенные на рис. 2, где в кружочках обозначим номера элементов, а номера узлов (в глобальной системе координат) переименованы 1, 2, ..., 6. Приведём уравнения, имеющие смысл отсутствия реакций в узлах от сме-
щений и реакций от внешних нагрузок Я_
р.
4 + ¿3 ¿12 0
4 + 4
ь 1 ¿21
¿11 + ¿11 Ь 2
¿21 0
¿3 + 4
0
ь 2
¿12 Ь 2
Л22
0
Ь 2
32 0
31 0 0
¿11 + ¿11 ^ + ^
¿13 + 4 ¿;3 + ¿2,
4 + 4
¿33 + ¿33 + ¿22 + ¿22
0 0 0
¿13
д1 К
д2 яР 0
д3 + яр 0
> = <
д4 яР 0
д5 яр 0
д6 яр
(5)
2а
'' / / / / \6
/ / /
/ '' / 4 \ 5
, 1 ' / / / / ' г ' У
1 а 2 а
х
а
3
Рис. 1
Учёт граничных условий д1 = д4 = д6 = 0 , приводит систему (5) к системе уравнений третьего порядка. Если принять Яр = яр = яр = 1, то получим сле-
Рис. 2
дующие прогибы узлов: д2 = 0,128а2/ В; д3 = 0,211а2/В ; д5 = 0,109а2/В .
© Баляков Д., Герус А., Ильяшевич С., Мироненко Е., Снытко А., 2012
УДК 539.3
Е. А. Грачева, Г. С. Дмитриев, А. Г. Булдаков, В. И. Сайбель, Е. В. Ёжикова Научный руководитель - Р. А. Сабиров Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Красноярск
ОСОБЕННОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМУЛИРОВКИ ЗАДАЧИ ОБ ИЗГИБЕ ПЛАСТИНКИ В ФОРМУЛИРОВКУ ИНТЕГРАЛЬНУЮ
Из дифференциального уравнения равновесия изгибаемой пластинки в прямоугольной декартовой системе координат получено вариационное уравнение. Особенности преобразования связаны с вычислением «интегралов по частям» скалярных произведений.
Пусть плоскость базисной поверхности пластинки поверхности. Напомним, что в классической модели
совпадает с плоскостью Оху; примем правую систе- изгиба тонких пластин Кирхгофа, в законе Гука, од-
му координат и покажем внутренние усилия, дейст- новременно принимают гипотезу, что шпр^етте стг,
вующие на бесконечно малый элемент пластинки нормальное к базисной поверхности равно нулю и
(рис. 1) со стороны отброшенной части пластинки. гипотезу о неизменности длины прямолинейного эле-
Распределенная нагрузка - нормальная к базисной мента е г (х, у, г) = 0 .
