Упрощенная модель краткосрочного прогноза погоды Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК519.95

УПРОЩЕННАЯ МОДЕЛЬ КРАТКОСРОЧНОГО ПРОГНОЗА ПОГОДЫ

© С.Е. Жуликов

Ключевые слова: климат; прогноз погоды; модель циркуляции атмосферы; разностная схема.

Предложена упрощенная модель локального краткосрочного прогноза климатических параметров, основанная на упрощенных уравнениях движения, притока тепла, неразрывности и массопереноса. Показана адекватность модели для решения задач прогноза погоды на локальной области и на небольшой промежуток времени.

Теоретические исследования Мирового океана, атмосферы и климата сегодня имеют весьма важное значение для выявления закономерностей в процессах формирования климатических и погодных условий, а также их прогнозирования.

К настоящему времени предложен ряд математических моделей задач прогноза погоды и общей циркуляции атмосферы и численных алгоритмов для их решения [1-7]. Вместе с тем необходимо отметить, что уравнения гидротермодинамики атмосферных процессов настолько сложны, что до сих пор имеется необходимость разработки более качественных алгоритмов, способных с высокой точностью описать широкий спектр задач динамической метеорологии и прогноза погоды. Построение качественных алгоритмов решения таких задач тесно связано с проблемой аппроксимации уравнений и устойчивости полученных разностных схем, которые вообще являются основными проблемами при конструировании новых численных алгоритмов. Усложнение математических моделей влечет за собой необходимость применения и более мощных вычислительных устройств, а также может потребоваться больший промежуток времени для их работы. С другой стороны, если речь не идет о глобальном прогнозировании, то на базе глобальной модели возможно построение ее упрощенной версии для прогнозирования отдельных климатических параметров в небольшом локальном регионе и на незначительный промежуток времени.

Основу всех моделей атмосферы составляют уравнения движения, притока тепла, неразрывности, переноса влаги и атмосферных примесей, являющиеся математическим выражением законов физики (законов сохранения импульса, энергии и массы), а также уравнения состояния. Эти уравнения составлены для идеальной атмосферы без учета турбулентной вязкости в абсолютной (инерционной) системе координат с началом в центре земли, осью г, совпадающей с осью Земли и направленной с юга на север, а также в относительной системе координат, связанной с Землей, вращающейся с угловой скоростью ш. В локальной декартовой системе координат ось х направлена на восток, ось у - на север, ось г - по местной вертикали; а проекции вектора угловой скорости вращения Земли ю равны: юх = 0, юу = ю • cosф, ю2 = ю • sinф, где

2п

ю = — - абсолютная величина угловой скорости вращения Земли, Т = 1 сутки, ф - широта места.

Для реализации математической модели гидротермодинамики атмосферных процессов примем следующие дополнительные допущения:

- изменение влажности воздуха пренебрежимо мало;

- выброс загрязняющих веществ отсутствует;

1868

- подвод (отвод) тепла отсутствует (адиабатические условия). С учетом принятых допущений уравнения модели имеют вид:

du 1 др

— =---------— + 1^-11^и/,

dt р дх

йу 1 др

— =-----— +1 • и,

М р ду

dw 1 др

-г-=--------Ч~ + 11 •и-д,

dt р дг

dp /д(ри) д(ру) 3(рш)\

dt у дх ^ ду ^ дг )

dT _ /д(Ти) д(Тр) д(Хю)\ dt у дх ^ ду ^ дг )’

р = р • К • Т • ц,

где ц - молярная масса воздуха, и,р^ - проекции вектора скорости на оси координат; р, р, Т - давление, плотность и температура воздуха; 1 = 2о ^тф - параметр Кориолиса, 1г = = 2о • cosф.

Приведенная система уравнений является замкнутой относительно функций и, V, ж, р, р, Т. Ее следует дополнить начальными и краевыми условиями. Все функции зависят от четырех переменных (т, х, у, г).

Начальные условия имеют вид:

и(0,х,у,г) = и0(х,у,г), р(0,х,у,г) = р0(х,у,г), ы(0,х,у,г) = ш0(х,у,г), р(0,х,у,г) = р0(х,у,г),

Т(0,х,у,г) = Т0(х,у,г).

Граничные условия имеют вид:

и(г, 0, у, г) = их(т,у, г), и(г, х, 0, г) = иу(т, х, г), и(г, х, у, 0) = иг(т, х, у),

Кт, 0, у, г) = ^(т, у, г), у(т, х, 0, г) = ру(т, х, г), у(т, х, у, 0) = г?2(т, х, у), ш(т, 0, у, г) = и^(т, у, г), ш(т, х, 0, г) = (т, х, г), ш(т, х, у, 0) = м/2(т, х, у),

р(т, 0, у, г) = рх(т, у, г), р(т, х, 0, г) = ру (т, х, г), р(т, х, у, 0) = р2(т, х, у),

Т(т, 0, у, г) = Тх(т,у, г), Т(т, х, 0, г) = Ту(т, х, г), Т(т, х, у, 0) = Г2(т, х, у).

Система уравнений является нелинейной системой уравнений в частных производных. В связи с этим решение в аналитическом виде получить затруднительно и для их интегрирования применяются численные методы.

Для решения системы уравнений применялся метод сеток, при котором производные замечи Лу У1,],к~У1-1,],к

няются системой разностных уравнений: — = —-——— ---------------частная производная по координа-

,, йи иь+1-иь ,

те у, ап - шаг по координате, — = ——------------частная производная по времени, ш - шаг по вре-

мени, Ь - индекс переменной по оси времени.

Область решения задачи представляет собой ограниченную часть плоскости с нанесенной на нее сеткой. Ее можно представить в виде квадратной матрицы, состоящей из ячеек, размером Ы^Ы.

Единицей времени в модели является одна секунда. Отсчет времени начинается с нуля. Направление ветра задается тангенсом угла наклона к фронту. Сила ветра определяется в граничных условиях. Ось х направлена на восток, ось у направлена на юг. Воздушные массы рассмат-

1869

риваются над горизонтальной плоскостью, чтобы исключить из модели необходимость учитывать рельеф поверхности земли.

Очевидно, имеет место масштабируемость модели как по поверхностным координатам, так и по времени и относительной разности температур начальных и граничных условий.

В качестве демонстрационных примеров были рассчитаны поля температур в приземном слое, при начальных условиях Т = 20 °С и граничных условиях Т = 30 0С.

На рис. 1 приведена условная температурная шкала.

20,0 °С 21,4 °С 22,8 °С

24,2 °С

25,6 °С

27,0 °С Рис. 1

28,4 °С 30,0 °С

В нижеследующем численном эксперименте граничное условие задано на осях х и у частично, ветер направлен под углом 45° к фронту теплого воздуха (рис. 2).

Начальный момент времени Момент времени т = 1000 с Момент времени т = 3000 с

Рис. 2

Из предоставленной Тамбовским гидрометеоцентром базы данных метеорологических наблюдений рассмотрим условия, близкие к моделируемым. Например, 30 августа 2005 г. в течение суток в Тамбове дул северо-западный ветер скоростью 2-4 м/с. Замеры температуры производились в четырех точках Тамбова и пригородов, расположенных приблизительно в вершинах квадрата в 7, 13 и 19 часов.

Таблица 1

Замеры температуры в четырех точках Тамбова и пригородов, расположенных приблизительно в вершинах квадрата

1870

Небольшое падение температуры к 19 часам обусловлено вечерним снижением солнечной активности, что не учитывалось в модели. Очевидно, что реальные данные хорошо согласуются с результатами численного эксперимента, что свидетельствует об адекватности предложенной модели краткосрочного прогноза температуры.

В следующем эксперименте граничное условие задано на оси у частично, ветер направлен под углом 45° к фронту теплого воздуха (рис. 3).

Начальный момент времени Момент времени т = 1000 с Момент времени т = 3000 с

Рис. 3

Из результатов численных экспериментов очевидна адекватность модели, описывающей стандартное поведением струи в гидродинамической среде при наличии разности температур, концентраций, окраски и т. п.

Таким образом, даже очень упрощенная модель, в которой не учитывалось влияние рельефа поверхности, верхних слоев атмосферы, соседних областей, дает результаты, достаточно хорошо соответствующие реальным данным. Учет приведенных факторов и упразднение допущений, введенных в исходную систему уравнений, позволит создать более точную модель для краткосрочного прогноза не только температуры, но и давления, влажности, силы и направления ветра.

ЛИТЕРАТУРА

1. Иващенко А.Б. Анализ моделей прогноза погоды: автореф. по выпускной работе магистра. URL: http://masters.donntu.edu.ua/2006/fvti/ivaschenko/diss/index.htm

2. Катцов В.М. Исследование динамики климата высоких широт с помощью моделей общей циркуляции атмосферы и океана: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. URL: http://vak.ed.gov.ru/ announcements/ fiz_mat/KattsovVM.pdf

3. Томский государственный университет: электронный образовательный ресурс. URL: http://www.ctc.tsu.ru/ EEResources/ IWS/text/1_2.html

4. Беркович Л. В. Гидродинамический краткосрочный прогноз погоды в пунктах для территории России: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. URL: http://vak.ed.gov.ru/announcements/fiz_mat/486/

5. Дымников В.П. Моделирование климата и его изменений // Глобальные изменения природной среды и климата: избр. науч. тр. М., 1997. С. 21-231.

6. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.

7. БахваловН.С., ЖидковН.П., КобельковГ.М. Численные методы. Изд. 2-е. М.; СПб.: Физматлит, 2001.

Поступила в редакцию 27 августа 2010 г.

Zhulikov S.Ye. Simplified model of short-term weather forecast

Simplified model of local short-term weather forecast based on simplified equations of movement, heat infiltration, continuity and mass-transfer was offered. The validity of model for problem solution of weather forecast on local region and for small time period is shown.

Key words: climate; weather forecast; atmospheric circulation model; difference scheme.

1871