Управляемость нелинейной математической модели развития системы: генеральная компания совместное предприятие Текст научной статьи по специальности «Математика»

Экономические и гуманитарные науки

УДК 517.938

УПРАВЛЯЕМОСТЬ НЕЛИНЕЙНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РАЗВИТИЯ СИСТЕМЫ: ГЕНЕРАЛЬНАЯ КОМПАНИЯ - СОВМЕСТНОЕ ПРЕДПРИЯТИЕ Е.С. Дюба

Кафедра «Математика и методика преподавания математических дисциплин», ГОУ ВПО «Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина»;

[email protected]

Представлена членом редколлегии профессором В.И. Коноваловым

Ключевые слова и фразы: дифференциальные уравнения; максимальная прибыль; управление; функционал; экономическая система; экстремум.

Аннотация: Рассмотрена задача управления математической модели развития системы «генеральная компания - совместное предприятие», которая описана нелинейной системой дифференциальных уравнений в непрерывном времени. Задача управления сформулирована как задача достижения максимальной прибыли генеральной компанией за некоторый промежуток времени. Найдены условия существования решения системы дифференциальных уравнений, позволяющего максимизировать прибыль компании.

В настоящей статье рассматривается нелинейная математическая модель взаимодействия генеральной компании с предприятиями, работающими под ее маркой, то есть рассматривается связь: генеральная компания - совместное предприятие. Подобная система является выгодной формой ведения бизнеса и в последнее время становится все популярнее в России. Исследованием взаимодействия генеральной компании с совместными предприятиями занимались В. Д. Руда-шевский и М. А. Фурщик [1].

С целью изучения динамики процессов, происходящих в этой системе, используется система дифференциальных уравнений вида

x = A(t) x + B(t )u + f (t, x, u), (1)

где xi(t), X2(t),...,xn(t) определяют доли рынка, занятые генеральным и совместными предприятиями, ликвидные средства и задолженности этих компаний в момент времени t; x i (t) определяет темп изменения каждой из этих величин при t е[0, T], T > 0 - некоторое положительно число; ^4(t) - n х n -матрица, коэффициенты которой находятся вне модели, учитывают оптимальный вступительный взнос для каждого совместного предприятия, определяют проценты по кредитам, ликвидности в зависимости от того, к какому из xi (t) они относятся; u = (ui, u2, ..., um) - вектор-управление; B(t)u определяет расходы на рекламу и

исследования рынка для каждой территориальной единицы; Б(1) - п х m -матрица, m < п ; вектор-функция /(t, х, и) имеет порядок больше первого по x и ы одновременно, учитывает влияние на темп изменения величин Х^), *2(1),..., хп (t) нелинейных членов.

Генеральная компания старается максимизировать свою прибыль, которая

Т

определяется функционалом I = | Ф(1, х, u)dt, Ф(1, х, и) - некоторая функция.

0

Ставится задача - найти управление и, при котором решение системы (1), определенное на сегменте [0, Т], приносит генеральной компании максимальную прибыль, то есть доставляет максимум функционалу I.

Предположим, что х = х(1, а, ио), х(0, а, ио) = а произвольное решение системы (1), определенное на сегменте [0, Т], а е Еп, ио е Ет . Заменой переменных у = х - х(1, а, ио), V = и - ио система (1) сведется к системе

у = Л(1) у + Б(1 > + / (1, у, V). (2)

Функционал I в новых переменных определится равенством

Т

I = |Ф(1, у + х(1, ио), V + ио^.

о

Введем следующие обозначения: -0(5о) = {(1, у, V): t е[о, Т], у е Еп, |у| < 5о, V е Ет, V <|8о}, С(8о) = {с: с е Еп, С <8о), У(8о) ={v : V е Ет, V <8о), 8о < о -некоторое число, г = (у, V), |г| = тах{у|, VI}, у = (с, V), |у| = тах{с\, V}.

Будем предполагать, что на множестве -0(5о) матрицы Л(1), Б(t) и вектор-функция /(t, у, V) определены, непрерывны, \/(t, у1, V) - /(t, у2, V) < Ь|у1 - у2 ,

Ь > о - некоторое число, Пт /(1, y, v) = о равномерно относительно t е[о, Т].

г^о |г|

Непосредственно подстановкой убеждаемся, что у = о является решением системы (2) при V = о. Тогда существует 5е (о, 5о] такое, что при любых с е С (5) и V еУ (5) система (2) имеет решение у = у(1, с, V), у(о, с,о) = с, определенное на сегменте [о, Т], непрерывное на множестве [о, Т]х С(5) х У (5) и удовлетворяющее на этом множестве неравенству |у(/, с, V)| < 5о .

Одновременно с системой (2) рассмотрим систему

у = Л(0 у + Б(^ + / (1, у(1, с, V), V). (3)

Теорема 1. Решение у = у(1, с, V) системы (2) является решением системы (3), а решение у(1) = X (1 )с + Л(1 ^ + Р (1, у(1, с, V), V), где X (1) - фундаментальная

г

матрица системы у = Л(1)у , X(о) = Е, Л(1) = X(1)| X_1(т)В(т^т,

о

г

Р(1, у(1, с, V), V) = X(1)| X_1 (т)/(т, у(т, с, V), v)dт , системы (3) является решением

о

системы (2) и справедливо равенство у(1) = у(1, с, V) при любом 1 е[о, Т].

Доказательство. Тот факт, что решение у = у(ґ, с, у) системы (2) является решением системы (3) проверяется непосредственной подстановкой у(ґ, с, у) в равенство (3).

Решением системы (3) является и вектор-функция у(ґ) = X(ґ)с + Я(Ґ)у + +Р(ґ, у(ґ, с, у), у), принимающая значение с при ґ = 0 и у = 0 .

Таким образом, система (3) имеет два решения с одинаковыми начальными данными. По теореме существования и единственности решений линейных систем дифференциальных уравнений получим, что при любом ґ є [0, Т] у(ґ, с, у) = X(ґ)с + Я(ґ)у + Р(ґ, у(ґ, с, у), у) .

Теорема доказана.

Теорема 2. Решение у(ґ, с, у) системы (2) представимо в виде

у(ґ, с, у) = X(ґ)с + Я(ґ)у + о(|у|).

ґ

Доказательство. Из того что у(ґ,с,у) = с +1(А(т)у(т,с,у) + В(т)у +

0

+/(т, у(т, с, у), у))Л, следует, что |у(ґ, с, у)| < с +1В(-)||уТ + (IА(-)|| + Ь)|у(т, с, у)|, ||А(0||, ||В()|| - нормы соответственно матриц А(ґ) и В(ґ). Тогда по лемме Гро-нуолла-Беллмана [2] |у(ґ, с, у) < (|с| +1|В(-)||у|Т) ехр(||А(-)|| + Ь)Т . Поэтому

ііш у(ґ, с, у) = 0, а следовательно, учитывая, что г(ґ,с,у) = (у(ґ, с, у), у), и

7 —0

Ііш г(ґ, с, у) = 0 равномерно относительно ґ є [0, Т].

у ——0

Так как |г(ґ,с,у) < |у(ґ,с,у) + |с|, ^у(^c,у) < (і + |В(-)|Т)ехр(||А(-)|| + Ь)Т на

Ы

множестве [0, Т] х С(5) х V(5), то на этом множестве величина ^(ґ’с’у) ограничена.

М

По предположению Ііш ^(ґ,y, у) = 0 равномерно по ґ є [0, Т]. Поэтому

г—0 |г| "

,• /(ґ, у(ґ, с, у), у) \/(ґ, у(ґ,с,у),у) |г(ґ,с,у)

Ііш-------—-------= ІішJ---- ------- --J———= 0 равномерно относительно

у—0 |у| у—0 |г(ґ, с, у) |у|

ґ є [0, Т]. Отсюда в силу ограниченности матриц X(ґ), X 1(ґ) на сегменте [0, Т] получим Р(ґ, у(ґ, с, у), у) = о(|у|), а у(ґ, с, у) = X(ґ)с + Я(ґ)у + о(|у|) на множестве [0, Т]х С(5) х V(5).

Теорема доказана.

Предположим, что в окрестности точки (с, у) = (0,0) функционал имеет вид I = Ф(а, «0) + ^(а, «0)с + ^(а, «0)у + й (а, «0, у) + о(| у|1), где Ф(а, «0) =

т _

= | Ф(ґ, х(ґ, а, «0), «0 )Л, ^і(а, «0) и ^(а, «0) - известные матрицы; 0>і (а, «0, у) -

0

вектор-форма порядка і, і > 2, относительно координат вектора у.

Справедливы следующие теоремы.

Теорема 3. Необходимым условием существования точки экстремума функционала I является выполнение равенств £>і(а, «0) = 0 и ^(а, «0) = 0 .

Теорема 4. Пусть векторы а и и0 таковы, что £1(а, и0) = 0 и ^(а, и0) = 0 . Тогда:

1) если форма Ql(а,и00,у) знакоопределенная, то на решении х = х(^а,и0)) системы (1) функционал I имеет экстремум, минимум - при Ql (а, и0, у) > 0, максимум - при Ql (а, и0, у) < 0 .

2) если форма Ql (а, и00, у) - знакопеременная, то функционал I на решении х = х(/, а, и0) системы (1) экстремума не имеет.

Таким образом, теоремы 3 и 4 определяют условия существования векторов а и и0, при которых функционал I имеет максимум на решении х = х(/, а, и0) и, следовательно, определяют существование стартового состояния системы «генеральная компания - совместное предприятие» и ее управление, при которых генеральная компания получает наибольшую прибыль.

Пример. Предположим, что математическая модель связи генеральная компания - совместное предприятие имеет вид

х = Ах + Ви + /(х, и), (4)

где А = (со1оп(18,0), со1оп(12,6)), В = (со1оп(12,24)), /(/, х, и) = (со1оп(3х12Х2 -

—12Х1 и — 32х^ + 2Х1Х2 + 4x2и —12х^и — 16м — 9x1 — 4Х2 —12Х1Х2 + 4м ), (Х1Х2 +

2 2 3 2 2

+ 2x2и — 16х^и — 32м — 3x^2 — 6Х2М —12Х]М + 8м — 2x2)), t £ [0,1]. Функционал

1

прибыли описывается равенством I = | Ф(х, и)Л , в котором Ф(х, и) = 3Х]2 + 3x2 —

0

— 500и2 — 51x1 — 39x2 + 500и + 9x1x2 .

Определим условия существования управления и, при котором генеральная компания получит максимальную прибыль.

Решением системы (4) является вектор-функция х(и) = (со1оп(2 — 2и),

(3 + 4и)). Заменой переменных у = х — х(и0), V = и — и0 система (4) сведется к системе

у = Ау + / (у, V), (5)

в которой А = (со1оп(—12,— 6), со1оп(—18,0)), а /(у, V) - известная вектор-функция второго и выше порядков. Фундаментальная матрица системы у = Ау

определится равенством X(0 = (со1оп(еа, — е6), со1оп(3е—18, е—т)). Таким образом, по теореме 2 решение системы (5) запишется как у(^ с) = X(Г)с + о(|у|).

Функционал в новых переменных примет вид I = Ф(и0) + ^1(и0)с + +^(и^+Q2(иo,у) + о(|у|2). Непосредственными вычислениями устанавлива-

Г е6 ^

со1оп — (18м0 — 9)

I 6 У

- - — е12 2

= 0, ^2(и0) = (—500и0 + 250) = 0 и Q2(u0, У) = —4—С1 +

ется, что при и0 = -2 Ф(и0) = 2, ^1(и0) =

Г — е—18 ^

—18—(78м0 — 39)

V //

е—12 19е—36 2 2

+—2— С1С2-12— с2 — 250у . Следовательно, выполнены условия теоремы (3).

Непосредственным вычислением согласно критерию Сильвестра [3] получим, что форма Q2(uo, у) является определенно-отрицательной. Это значит, что в

точке и0 = 2 функционал принимает максимальное значение.

Таким образом, найдено управление и0 = 1, при котором генеральная компания получит максимальную прибыль I = 2 .

Список литературы

1. Рудашевский, В.Д. Проблемы предприятий. Оптимальная стратегия развития франчайзинговой системы / В.Д. Рудашевский, М.А. Фурщик // Экономика и мат. методы. - 1998. - Т. 34, вып. 2. - С. 89-104.

2. Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович. - М. : Наука, 1967. - 472 с.

3. Ильин, В.А. Линейная алгебра / В.А. Ильин, О.Г. Поздняк. - М. : Физмат-лит, 2002. - 320 с.

Controllability of Nonlinear Mathematical Model of Development System: General Company - Joint Enterprises

E.S. Dyuba

Department «Mathematical and Methods of Teaching of Mathematical Disciplines», Ryazan State University of a Name of S.A. Yesenin; [email protected]

Key words and phrases: differential equations; economic system; extreme; functional; management; the maximum profit.

Abstract: We consider the task of managing the development of a mathematical model of the general company - a joint venture, which is described by nonlinear differential equations in continuous time. The control problem is formulated as maximizing profit General for a period of time. The conditions of existence of solutions of differential equations, which allows companies to maximize profits.

Steuerbarkeit des nichtlinearen mathematischen Modells der Systementwicklung: Generalgesellschaft - Partnerschaftsunternehmen

Zusammenfassung: Es wird die Aufgabe der Steuerung des mathematischen Modells der Systementwicklung: die Generalgesellschaft - das Partnerschaftunternehmen betrachtet. Sie wird vom nichtlinearen System der Differentialgleichungen in der kontinuierlichen Zeit beschrieben. Die Aufgabe der Steuerung wird als Aufgabe des Erreichens des Maximalgewinnes wahrend der einigen Zwischenzeit formuliert. Es werden die Bedingungen des Existierens der Losung des Systems der Differentialgleichungen fur die Maximierung des Gesellschaftsgewinnes gefunden.

Commande du modele non-lineaire mathematique du developpement du systeme: compagnie generale - entreprise mutuelle

Resume: Est examine le probleme de la commande du modele mathematique du developpement du systeme compagnie generale - entreprise mutuelle qui est decrit par un systeme non lineaire des equations differentielles dans un temps continu. Le probleme de la commande est formule comme le probleme de l’obtention d’un revenu general maximum dans une certaine periode du temps. Sont trouvees les conditions de l’existance de la solution du systeme des equations differentielles permettant de maximiser le revenu de la compagnie.

Автор: Дюба Елизавета Сергеевна - аспирант кафедры «Математика и методика преподавания математических дисциплин», ГОУ ВПО «Рязанский государственный университет имени С. А. Есенина».

Рецензент: Терехин Михаил Тихонович - доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Математика и методика преподавания математических дисциплин», ГОУ ВПО «Рязанский государственный университет имени С. А. Есенина».