CC BY
27
А
нализ и синтез систем управления
УДК 519.876.2
УПРАВЛЕНИЕ РАВНОВЕСНЫМИ СОСТОЯНИЯМИ БИЛИНЕЙНЫХ НОРМИРОВАННЫХ МОДЕЛЕЙ
Е.К. Корноушенко
Рассмотрен класс так называемых билинейных нормированных моделей (БНМ), состояния которых и внешние воздействия определены в кубе [0, 1]", а допустимые управления — в кубе [—1, 1]р, р < п. В предположении, что совокупности управлений и внешних воздействий на БНМ являются константными векторами, а БНМ — асимптотически устойчива, решается задача поиска управлений, переводящих БНМ в какое-либо равновесное состояние, «достаточно близкое» к наперед заданному состоянию. Представлены процедуры обеспечения условий, достаточных для решения указанной задачи и гарантирующих корректность интерпретации процессов в БНМ в терминах качественных шкал [0, 1] и [—1, 1]. Приведен пример, иллюстрирующий все этапы решения исходной задачи управления.
Ключевые слова: билинейная нормированная модель, асимптотическая устойчивость, управляемое равновесное состояние, допустимое управление.
ВВЕДЕНИЕ
При разработке интеллектуальных систем управления широко используются графовые модели как средство наглядного отображения структуры информационных потоков в исследуемой системе [1]. При исследовании динамики графовой модели каждой переменной модели сопоставляется уравнение, описывающее в функциональной форме зависимость значений данной переменной от значений переменных, непосредственно влияющих на данную переменную. В литературе большое внимание по понятным причинам уделяется линейным графовым моделям. Подчеркивается необходимость обращения к более сложным моделям, разработки методологии использования таких моделей в практических ситуациях [1].
При моделировании разнообразных практических ситуаций (экономических, политических и др.) приходится учитывать тот факт, что некоторые переменные могут входить в модель лишь как мультипликаторы при других переменных (к таким мультипликаторам относятся удельные цены (товаров, услуг и т. п.), всевозможные ставки налогов, пошлин и т. д.). Учет подобных мультипликаторов в модели приводит к тому, что в уравнения модели начинают входить билинейные члены, что
сразу же ограничивает возможность применения линейных методов при анализе такой модели.
Предмет настоящего рассмотрения — качественные билинейные нормированные модели (БНМ), функционирующие в дискретном времени, причем значения координат состояния БНМ определены в качественной непрерывной шкале [0, 1]. Некоторые (или все) уравнения БНМ содержат билинейные члены в виде произведений мультипликаторов на координаты состояния БНМ, эти мультипликаторы рассматриваются как управления, с помощью которых можно изменять динамику БНМ. Рассмотрение ограничено выбором константных управлений, значения которых лежат в интервале [—1, 1]. Основная задача настоящей работы состоит в том, чтобы для асимптотически
устойчивой БНМ, определенной в кубе [0, 1]", найти константные управления, переводящие БНМ из произвольного начального состояния в какое-либо равновесное состояние, «достаточно близкое» (разъяснение этого термина см. далее в § 2) к наперед заданному состоянию (не обязательно равновесному). Сформулированы достаточные условия, при которых эта задача имеет решение, предложена процедура нахождения искомого управления.
В общем случае анализ управляемости (равновесных) состояний билинейной системы представ-
ляет собой довольно сложную математическую задачу. Так, в работе [2] проведен детальный анализ особых множеств лишь для двумерной билинейной модели и показано, что даже в этом случае особые множества могут иметь весьма сложную форму. Возможность получения результатов, представленных в настоящей работе, обусловлена рядом существенных упрощений: введением дискретного времени, константностью управлений, наложением достаточных условий, гарантирующих асимптотическую устойчивость БНМ.
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим БНМ, функционирующую в безразмерном дискретном времени и определяемую в матричной форме как
Х(г + 1) = АХ(г) + В(и)Х(г) + Ж, г е J+. (1)
Здесь г — моменты дискретного времени, принадлежащие множеству J+ неотрицательных целых чисел, состояния Х(г) для любого г е J+ принадлежат положительному единичному кубу К = [0, 1]", А — (п х п)-матрица коэффициентов при линейных членах БНМ, ик = [—1, 1]р — множество р-векторов и = (Ир ..., ир) константных управлений, ик е [—1, 1], к = 1, ..., р, р < п. Запись В(и) означает, что элементами (п х п)-матрицы В являются те или иные управления ир являющиеся координатами вектора и и стоящие (с соответствующими коэффициентами) при тех или иных координатах вектора состояния Х. Структура матрицы В(и) определяется конкретным видом модели (1). Координаты вектора W интерпретируются как независимые внешние воздействия на БНМ, также определенные в интервале [0, 1], внешние воздействия считаются неизменными на рассматриваемом интервале моделирования. При переходе к другому интервалу моделирования (например, при моделировании какого-либо сценария развития ситуации) вектор W заменяется на константный вектор Ж', соответствующий другому интервалу моделирования и т. д.
Замечание 1. Далее считаем, что каждое управление и е и может входить не более одного раза в каждое из уравнений БНМ и каждое из уравнений БНМ содержит не менее одного управления. ♦
Для каждого состояния Х(0) е К, каждого константного вектора управлений и е ик и вектора внешних воздействий W обозначим через х(-, Х(0), и, W) траекторию БНМ с начальным состоянием Х(0) и заданными векторами и и W. Для БНМ каждая траектория определяется однозначно на J+ для
каждого t е J+, при этом X(t, X(0), U, W) непрерывно зависит от X(0), U и W. При существовании предела lim X(t, X(0), U, W) предельная точка
t ^ ю
X *(U, W) называется управляемым равновесным состоянием (РС)1, соответствующим векторам U и W.
Наложим очень важное ограничение на БНМ. Будем считать, что для любого константного вектора U е UK справедливо:
|A + B(U)|| < 1,
(2)
где ||A + B(U)|| — евклидова норма матрицы A + B(U). Из неравенства (2) следует, что БНМ в этом случае асимптотически устойчива (а. у.), т. е. всякая траектория БНМ стремится к соответствующему РС. Для обеспечения условия (2) может потребоваться дополнительная процедура стабилизации БНМ, рассматриваемая в § 3.
Следующая проблема вытекает из того факта, что даже при выполнении условия (2) множество управляемых РС может выходить за границы куба K. Достаточным условием принадлежности всех траекторий БНМ к кубу K служит выполнение следующих покоординатных соотношений:
A^X(t) + B(U)X(t) + W е [0, 1], i = 1,..., n, t е J+, X(t) е K, U е UK, (3)
для каждого i, где индекс i при матрице обозначает i-ю строку этой матрицы. В § 4 показано, что для обеспечения условий (3) необходимо в общем случае введение соответствующих ограничений на величину допустимого интервала значений для каждого из управлений. В силу этого исходный куб управлений UK «сжимается» до параллелепипеда
тт г min max-, p тт
= [ uk , uk ] . С множеством иВ, которое назовем множеством допустимых управлений, ассоциируется множество Хупр (UB, W) управляемых РС, определяемое как множество предельных точек X*(U, W) траекторий X(t, X(0), U, W), X(0) е K, U е UB при фиксированном векторе W. Множество Хупр (UB, W) может иметь весьма сложную форму (как минимум, не быть выпуклым множеством), его оценка даже для БНМ небольшой размерности может представлять довольно трудоемкую задачу.
Замечание 2. Обеспечение «вложимости» траекторий БНМ в куб K необходимо в целях корректной интерпретации процессов в БНМ в терминах качественных шкал [0, 1] для значений координат состояний БНМ и [—1, 1] для значений управлений.
1 Далее везде звездочка при векторе состояния будет обозначать РС.
2. ФОРМУЛИРОВКА И РЕШЕНИЕ ИСХОДНОЙ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ
Будем считать, что для исходной БНМ выполняются условия (2) и (3), т. е. исходная БНМ а. у., и ее траектории при начальных состояниях из куба К полностью принадлежат кубу К при допустимых управлениях из множества Цв = Цк = [—1, 1]р. Нетрудно привести примеры таких БНМ. Поскольку при фиксированных константных векторах Ц е ив и Ждинамика БНМ описывается уравнением
Х(? +1) = (А + В(Ц))' +1Д0) +
( '
+
I + £ (А + В( Ц)Г| Ж
я = 1
(4)
где I — единичная (и х и)-матрица, то в силу условия (2) первое слагаемое в правой части соотношения (4) стремится к нулю с возрастанием ?, а РС в данном случае определяется формулой
(5)
Х(Ц, Ж) = I + £ (А + В(Ц))'| Ж, ^ ' = 1
и матричный ряд по степеням матрицы А + В( Ц) — сходящийся. В случае, когда
- (А + В(Ц)) * 0,
(6)
РС Х(Ц, Ж) может быть найдено из условия Х*(Ц, Ж) = (А + В(Ц))Х*(Ц, Ж) +Ж, откуда
Х *(Ц, Ж) = (I - (А + В(Ц ))-1Ж.
(7)
При выполнении условия (2) матрица (I — (А + + В(Ц)) 1 в формуле (7) является сходящимся рядом. Важно подчеркнуть, что координаты вектора Ц, входящие в эту формулу существенно нелинейным образом (в виде отрезков степенных рядов), принадлежат некоторому р-мерному многообразию в кубе К. Какие-либо конструктивные утверждения о структуре множества Хупр (Ж) требуют отдельного рассмотрения (см., в частности, замечания в конце настоящего параграфа).
Воспользуемся следующей грубой оценкой множества Хупр (ЦВ, Ж). Обозначим через уег^Ц^) множество вершин параллелепипеда ЦВ, а через {Х*(Ц)} — множество управляемых РС, соответствующих вершинам Ц е уег1( ЦВ) и, естественно, принадлежащих множеству Хупр (ЦВ, Ж). Обозначим через ХВ интервальный вектор (брус), описанный вокруг множества {Х*(Ц)}, рассматриваемого как многогранник. Сложности с оценкой множе-
ства Хупр( ЦВ, Ж) возникают, в частности, в силу того, что в общем случае многогранник {Х*(Ц)} может быть криволинейным, при этом элементы его граней могут выхолить за границы множества ХВ.
Формальная постановка решаемой в данной работе задачи выглядит следующим образом. Пусть X' е ХВ — некоторое заданное состояние (не обязательно равновесное). Необходимо определить вектор Ц(Х') е Цв константных управлений, переводящий БНМ из произвольного начального состояния внутри бруса ХВ в РС2 Х*, «достаточно
близкое » к состоянию X, и оценить степень близости состояния Х* к состоянию X'.
Для решения этой задачи вначале предположим, что задаваемое состояние X' само является равновесным, тогда справедливо предположить, что
(А + В(Ц)) Х = Х — Ж. (8)
В соотношениях (8) неизвестны лишь значения «точечных» константных управлений из множества Цв, образующих искомый вектор Ц. Перенося все известные слагаемые в правую часть, получаем переопределенную систему из и линейных уравнений относительно р управлений:
= н,
(9)
в которой допустимое решение Ц* должно принадлежать множеству Цв. Это требование реализуется наложением р соответствующих двусторонних ограничений на значения координат ик искомого вектора Ц:
ик > —1,
ик т 1,
к = 1,
., р.
(10)
Для простоты ограничимся случаем, когда (и, р)-матрица С (р < и) в выражении (8) имеет 4
полный ранг , т. е.
гапк( С) = р.
(11)
Решение задачи (9), (10) находится с помощью обыкновенного метода наименьших квадратов (МНК) с учетом ограничений. Из условия (11) следует единственность МНК-решения Ц*, определяющего РС Х*(Ц*). В силу ограничений (10)
В силу сказанного ранее, искомое РС Х* может не принадлежать брусу ХВ.
3 Не зная границ множества Хупр(ив, Ж), говорить о РС, ближайшем к состоянию X', некорректно; в этом случае термин «достаточная близость» означает тот факт, что порядки покоординатных разностей между Х' и Х* меньше порядка тех значащих цифр, которые учитываются при моделировании в указанных качественных шкалах.
4 Это условие всегда можно обеспечить незначительной коррекцией координат заданного состояния X'.
вектор и* является допустимым управлением, так что РС Х*(и *) е К. При выполнении для вектора и* условия (6) искомое РС Х*(и *) вычисляется по формуле (7), а близость решения Х*(и *) к X' связывается с порядком покоординатных разностей между X' и Х*(и *) (см. предыдущую сноску). Описанный подход к решению исходной задачи можно назвать МНК-подходом. Практическая пригодность этой задачи зависит от размеров множества Хупр в кубе К, что определяется свойствами самой БНМ, и от размеров бруса ХВ.
Расширение МНК-подхода на поиск допустимых управлений путем учета нелинейных вхождений управлений ик в выражение (5) и применения алгоритмов нелинейной оптимизации вряд ли возможно для практических значений п и р (по крайней мере, такая задача составляет предмет отдельного рассмотрения). Кроме того, с учетом сказанного ранее о сложности формы множества Х^пр, можно предположить, что плотность распределения управляемых РС может оказаться разной в разных областях множества Хупр. В такой ситуации невозможно предложить какие-либо априорные оценки для координат разностей X' — Х*(и *), связав их с координатами задаваемого состояния X'. С другой стороны, учитывая качественный характер рассматриваемой БНМ, высокая точность решения Х*(и *) может и не потребоваться, поскольку при качественном рассмотрении ситуаций важно правильно управлять тенденциями протекающих процессов. В этом плане предложенный подход может быть практически перспективен.
3. ФОРМАЛЬНАЯ ПРОЦЕДУРА СТАБИЛИЗАЦИИ БНМ
Суть стабилизации состоит в том, чтобы, не изменяя структуры исходных уравнений БНМ, уменьшить (но не обнулить) количественные значения коэффициентов (но не управлений) при координатах состояния в этих уравнениях. Рассмотрим два варианта стабилизации БНМ: путем нормировки столбцов матрицы А + В( и) и путем умножения этой матрицы на стабилизирующий множитель.
Вариант А. Стабилизация путем нормировки столбцов матрицы А + В(и). Обозначим через /к правые части уравнений (1). Поскольку каждая из функций /к непрерывна по переменным состоя-
Гд/~
ния, рассмотрим якобиан J(Х) = —
I дХ;
1, к = 1,
вычисляемый в некоторой точке Х е К и зависящий от управлений и как от параметров. Заменим все элементы каждой строки в нем их абсолютны-
ми значениями и положим us = 1, s = 1, ..., р, результирующую неотрицательную матрицу обозначим как MJ. Нормируем матрицу MJ , для чего элементы k-го столбца в матрице MJ делим на соответствующий нормирующий множитель Nk. k = 1, ..., n, определяемый как сумма элементов этого столбца плюс некоторая константа а > 0 (о которой см. далее). В итоге для результирующей матрицы MJ N = MJD, где D — диагональная матрица с элементами 1/Nk на главной диагонали, обеспечивается условие ||MJN || < 1. Обозначим A' + B' (U) = (A + B(U ))D, при этом для любого U е UJA' + B' (U)|| < 1.
Назовем БНМ с матрицами A' и B' (U) стабилизированной. Для удобства переменные состояния в стабилизированной БНМ обозначим как zk, причем значения переменных zk по-прежнему принадлежат интервалу [0, 1], а управлений — интервалу [—1, 1]. Достоинство данного варианта заключается в его «щадящем» характере: нормирующие множители для столбцов матрицы MJ выбираются независимо, и их значения зависят от суммы модулей элементов соответствующего столбца.
Вариант Б. Стабилизация путем умножения матрицы A + B(U) на стабилизирующий множитель. Это частный случай варианта А, когда D = kstab1, где, как и ранее, I — единичная (n х п)-матрица. Его достоинство состоит в пропорциональности евклидовых норм матриц MJ и MjD:
||MJ N И = ksiJM
(12)
Отсюда получаем простое правило выбора значения кйаЬ: значение нормы матрицы М} н выбирается с учетом длины интервала моделирования, наблюдаемых скоростей сходимостей процессов в БНМ к равновесным значениям и т. д. Для выбранного значения \\MJj значение к$шЬ определяется из соотношения (12), причем
A' + B'(U) = kstab(A + B(U)).
(13)
Важное свойство данного варианта стабилизации заключается в пропорциональности собственных значений матриц А' + В' (и) и А + В(и): X] = к^^, / = 1, ..., п. Это говорит о том, что апериодические и колебательные составляющие в динамике исходной БНМ сохраняются и в стабилизированной БНМ. Более того, из соотношений (5) и (13) следует, что для любого конечного Т
т
между элементами матричного ряда ^ (А + В(и)/
1 = 1
исходной БНМ и элементами матричного ряда
£ (A' + B'(U)) стабилизированной БНМ сущест-
t = 1
вует зависимость
(A' +B(U))t = kStab (A + B(U))t,
stab '
Vt e J+, t > 0.
(14)
Поскольку на конечном интервале моделирования длины Т динамика исходной БНМ описывается уравнением (4), то при условии, что траектории исходной и стабилизированной БНМ начинаются из нулевого состояния Х(0) = 0, между элементами этих траекторий существует взаимосвязь вида (14).
Замечание 3. При выполнении условия (6) асимптотическая оценка для любого управляемого РС стабилизированной БНМ находится с помощью формулы (7), в которой матрицы А и В(Ц) заменены на матрицы А' и В'(Ц). Выбор константы а в варианте А стабилизации БНМ либо значения к^аъ в варианте Б определяется эмпирически путем анализа скорости сходимости элементов матрич-
да
ного ряда £ (А" + В"(Ц))' к предельным значени-
' = 1
ям. Условием выбора этих параметров служит выполнение неравенства
да
£ (А' + В'(Ц))' т ||р||,
' = 1Л + 1
где | Т | — наименьшая длина используемых интервалов моделирования, а ||р|| — евклидова норма допустимой накапливаемой ошибки из-за обрезания матричного ряда на уровне |Т |. ♦
Наличие линейных членов и аддитивных добавок w¡ в уравнениях стабилизированной БНМ может привести к тому, что при использовании интервала [—1, 1] для значений управлений возможен выход некоторых из управляемых РС из куба К. Чтобы устранить подобные ситуации, допустимые интервалы для значений управлений необходимо сузить до некоторых пределов, что и описывается далее.
4. ВЛОЖЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ СТАБИЛИЗИРОВАННОЙ БНМ В КУБ К
Рассмотрим два варианта сужения интервалов допустимых управлений.
Вариант 1. Пусть каждое управление ик в стабилизированной БНМ может принимать константные значения из интервала [ и-, и+ ], где 0 1 и- 1 —1, 0 < и+ < 1 — неизвестные значения. Обозначим
через X1 интервальный вектор, координаты которого, соответствующие переменным состояний,
входящих в /-е уравнение БНМ, заменены интервалами [0, 1]. Аналогично, пусть, Ц' — интервальный вектор, в котором каждое управление ик, входящее в /-е уравнение БНМ, заменено интервалами [ и-, и+ ], а wг. — исходное «точечное» значение.
Найдем наименьшее (/ (X1, Ц1, wг.)) и наибольшее (/+ (X1, Ц1, wг.)) значения интервальной функции / (X1, Ц1, wг.), / = 1, ..., и по правилам интервальной арифметики5. При этом каждое из условий вида (3) трансформируется в два линейных неравенства вида:
f (X, U, w) l 0, u-, u+ e U< i = 1, ..., n,
f+ (X', U', Wi) m 1, u+, u- e U\
(15)
/ = 1, ..., и. (16)
Подчеркнем, что эти условия формируются с учетом ограничений
0 i u+ i -i, 0 m u- m 1, k = 1
k
■ P,
поэтому достаточно проверить лишь совместность совокупности неравенств (15), (16). Если система неравенств (15), (16) совместна, ее решение определяет р-мерный параллелепипед UB = [ uk", uk+ ]p
в кубе Kс длинами сторон [uk", uk+ ], k = 1, ..., р, содержащий нулевой вектор управлений U = 0. Этот факт является недостатком варианта 1 в силу его неприменимости в ряде ситуаций. Так, если в матрице A; отсутствуют положительные элементы,
а сумма Sa- абсолютных значений отрицательных элементов i-й строки матрицы At меньше для вектора U = 0 невозможно выполнение условия (15). Аналогично, если в матрице A; отсутствуют
отрицательные элементы, а сумма Sa+ положительных элементов i-й строки матрицы A; больше 1 — Wp для вектора U = 0 невозможно выполнение условия (16). Вариант 2 свободен от подобных недостатков.
Вариант 2. Будем считать, что каждое управление uk может принимать константные значения из
r min max п min ^ max ,
интервала [ uk , uk ], где uk i — 1, uk m 1 — неизвестные значения (т. е. в отличие от варианта 1
min max
интервалы [uk , uk ] могут быть знакоопреде-
Другими словами, для каждого из 2п интервальных уравнений, реализующих соответствующее условие (3), найдем границы объединенного множества решений (см., например, работу [3]).
ленными). При этом система неравенств (15), (16) трансформируется в систему
f (X1, U1, w) l 0,
min max
uk , uk
e U1, i = 1, ..., n,
ft+(x1, и1, w.) m 1,
max min TTi ■
Uk , Uk e U , i = 1,..., n,
(17)
(18)
l - 1,
m 1, k = 1, ..., p,
max min ^ a 7 1
uk - uk l 0, k = 1, ..., p.
Поскольку, по аналогии с вариантом 1, неравенства (17), (18) формируются с учетом соответс-
min max
твующих ограничении на значения uk , uk , на
совместность достаточно проверить систему неравенств (17), (18). Для такоИ проверки удобен критерии С.Н. Черникова (см. работу [4], теорему 1.5). В Приложении на конкретном примере показано применение этого критерия. Искомые значения
min max , r
uk , uk , k = 1, ..., p, находятся с помощью обыкновенного МНК.
Таким образом, в результате выполнения описанных этапов исходная БНМ трансформируется в стабилизированную БНМ с множеством UB допустимых управлении, для которои полностью пригодна процедура решения исходной задачи, описанная в § 2. Приводимый далее простой пример служит конкретнои иллюстрациеи рассмотренных этапов. Построение и анализ более сложной БНМ для конкретной экономической ситуации планируется представить в отдельной работе.
ПРИЛОЖЕНИЕ
ПРИМЕР
Исходные данные. Пусть исходная БНМ описывается уравнением в матричной форме:
Х(г + 1) = АХ(г) + В(и)Х(г) + Ж, где Х(г) = (Х1(г), ..., Х4(г)) — вектор переменных состояния в момент г, матрицы А и В( и) имеют вид6:
A =
Л
0 0 0 0 0 -0,4 0 0 0 0 -0,3 0,5 V 0 0 0 0 J
B =
0
и
из 0
-U2 U3
0 -u
2 0 u3
'
Поскольку изначально значения всех управлений определены в интервале [—1, 1], то для наглядности полагаем, что при нормировке матрицы А + В( и) исходные коэффициенты в билинейных членах включаются в соответствующие управления, поэтому в матрицу В(и) управления входят без коэффициентов.
а Ж = (0,1; 0,3; 0; 0,5) — вектор независимых внешних воздействий. Управления и1, и2 и и3 — константные со значениями из интервала [—1, 1].
Стабилизация БНМ. Для стабилизации выберем вариант Б с использованием стабилизирующего множителя кв(аЬ. В данном случае матрица Ы] имеет вид:
Mj = A =
Л
0 10 1 1 -0,4 1 0 1 1 -0,3 0,5 V 0 1 1 1 J
||Ш = 2,3798.
Значение кзаЬ выбрано равным 1/2,7 = 0,3704, так что при любом и е ик\\А' + В'(Ц)|| < 0,8814. При длине интервала моделирования, равной 20, справедливо:
I (к^аЬыА Ж- С £ (К(аЬыА Ж = 0,0413. (П.1)
t = 1
t = 1
Это выражение можно рассматривать как верхнюю границу для ошибки при определении координат РС, обусловленной остатком матричного ряда от 20-го такта до его равновесных значений. Если при моделировании мы следим за значениями первого знака после запятой в вычисляемых значениях переменных БНМ, то ошибка, оцененная согласно формуле (П.1), представляется вполне приемлемой.
Вложение стабилизированной БНМ в куб К. Следующий шаг состоит в обеспечении выполнения условия (3) для БНМ с матрицей А'+ В'(и). Выберем вариант 2 сужения допустимых интервалов значений для управлений. Совокупности линейных неравенств (17), (18), обозначенные в данном случае как (П.2), выглядят следующим образом:
0,3704 и!Т + 0,3704 и^1 > -0,1;
0,3704 иГ + 0,3704 и^ > -0,1519; -0,3704 и!Т + 0,3704 иГ1 > +0,1111;
3
-0,3704 иГ + 0,3704 и™" - 0,3704 и™ > -0,5;
0,3704иГ + 0,3704и< +0,9; 0,3704 иГ + 0,3704 и^ < +0,7;
(П.2)
-0,3704 и, + 0,3704 и
< +0,8148;
Для простоты полагаем, что матрица системы неравенств (17), (18) размером 8x6, является матрицей полного ранга . Совместность этой системы неравенств
Полноту ранга этой матрицы всегда можно обеспечить добавлением в какое-либо уравнение незначительного регуляри-зирующего члена.
min
max
u
u
k
k
-0,3704 и, + 0,3704 и, - 0,3704 и, < +0,5.
2
3
проверяем по С.Н. Черникову с помощью теоремы 1.5 из работы [4]. Для этого выберем наибольший невырожденный минор М1, содержащий строки 2—4 из первой четверки неравенств (со знаком >) и строки 2—4 из второй четверки неравенств (со знаком <). Будем обрамлять минор М1 снизу какой-либо из оставшихся строк (1-й или 5-й) из совокупности (П.2), и справа — столбцом соответствующих свободных членов. Два таких «расширенных» минора обозначим как М21 и М22. Согласно теореме 1.5 [4] необходимым и достаточным условием совместности системы неравенств (П.2) является выполнение условий:
1
det( M1 )
det(M2.) 1 0, i = 1, 2,
справедливость которого легко проверяется. Поскольку матрица данной системы неравенств — полного ранга, то она имеет единственное МНК- решение для значе-
тт тах 1 ^ ,
ний uk , uk , k = 1, 2, 3, определяющее интервалы значений допустимых управлений:
щ е [-1, 0,2271], и2 е [-0,7855, 1] и и3 е [0,7639,1].
Заметим, что интервал для и3 является знакоопреде-ленным. Декартово произведение этих интервалов является искомым множеством ив допустимых управлений, не выводящих траектории БНМ из куба К, начинающиеся в нем.
Решение исходной задачи управления. Пусть уег1( ив) — множество вершин найденного ранее параллелепипеда ив. Определим множество РС вида {Х*(иу)}, где и е уег1;( ив), и вложим его в брус ХВ, который в данном случае имеет вид:
ХВ = [0,0733; 0,4880] х [0,2978; 0,5561] х х [0,0726; 0,2607] х [0,2843; 0,54554].
Пусть заданное состояние есть X' = (0,2; 0,5; 0,2; 0,5) е ХВ. В результате операций, проводимых над аналогом уравнения (7) в данном случае, система (8) приобретает следующий вид:
(П.3)
f 0 1 1 1 ( \ Ui ' 0,1 Ï
1 0 1 0,9398
0 -1 1 u2 0,1259
1 -1 1 -1 \ u3 у V 0 У
с добавлением ограничений
„ . . min
0 1 uk1 Um ,
„ . . max 0 < uk < >
к = 1, ..., 3.
(П.4)
МНК-решение задачи (П.3), (П.4) есть и* = (-0,2052 0,1776; 0,7639). При этом РС Х*(и*) = (0,2476; 0,4163 0,2027; 0,4248), причем разность X' - Х*(и*) = (0,0476 -0,0837; 0,0027; -0,0752). Если в проводимых вычисле-
ниях обращать внимание лишь на первый знак после запятой, то координаты полученной разности говорят о приемлемом качестве найденного решения.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Описанный подход к построению и анализу билинейных нормированных моделей ориентирован на практическое их применение в моделировании, прежде всего, социально-экономических систем (СЭС). Необходимо отметить двойственность положения автора: с одной стороны — билинейные системы с сопутствующими математическими проблемами, с другой — моделирование плохо формализованных и слабо структурированных СЭС. Важно подчеркнуть, что при моделировании СЭС все элементы модели — переменные, коэффициенты, уравнения — должны быть предметно интерпретированы, а происходящие в модели процессы не должны противоречить известным правилам, характеризующим данную предметную область. Если в математических исследованиях по билинейным системам всякая переменная есть величина, допускающая над собой те или иные операции, то в моделях СЭС переменная есть конкретное понятие, контекстно (в зависимости от предметной области) связанное с другими понятиями модели. Именно поэтому математические результаты, полученные для билинейных систем, могут быть слабо интерпретируемыми в качественных моделях СЭС. Цель настоящей работы — дать методологию построения практических билинейных моделей, для чего и был принят ряд допущений, упрощающих анализ билинейных систем.
ЛИТЕРАТУРА
1. Васильев В.И., Ильясов Б.Г. Интеллектуальные системы управления. Теория и практика. — М.: Радиотехника, 2009. — 312 с.
2. Жермоленко В.Н. Особые множества и динамические свойства билинейных систем управления // Фундаментальная и прикладная математика. — 2005. — Т. 11, № 8. — С. 105—117.
3. Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. — Новосибирск: Наука, 1986. — 363 с.
4. Черников С.Н. Линейные неравенства. — М.: Наука, 1968. — 488 с.
Статья представлена к публикации руководителем РРС Б.Г. Ильясовым.
Корноушенко Евгений Константинович — д-р техн. наук, гл. науч. сотрудник, Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, г. Москва, ® (495) 334-90-00, И [email protected].
