CC BY
29
УПРАВЛЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ СИСТЕМАМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА С РАЗРЫВНЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ
В Н Павленко *
Челябинский государственный университет Е mail pavlenko&cqu chel su
Рассматриваются задачи оптимального управления сингулярными система ми в банаховых пространствах с разрывными операторами Вариационным методом устанавливаются предложения о непустоте и слабой замкнутости множества до пустимых пар "управление - состояние" Общие теоремы применяются затем к ис следованию управляемых распределенных систем эллиптического типа с разрывными нелинейно с теми Изучаются свойства решения как функции управления (возможно многозна той)
Ключевые слова, сингулярные эллиптические системы, разрывные нелипеи поста оптимальная пара "управление состояние"
Решение ряда важных прикладных задач приводит к изучению крае вых задач для полулинейных уравнений эллиптического типа с разрывной по фазовой переменной нелинейностью (например, математическое модели рование отрывных течений в несжимаемой жидкости [1], задача о нагреве неоднородного проводника в постоянном электрическом поле, в частности, явление сверхпроводимости [2], задачи с препятствием и о просачивании воды через земляную плохину [3] и другие) В данной работе рассматрива Ю1ся задачи управления такими системами, причем, допускается сингуляр ный случай [4], те когда для некоторых допустимых управлений решение уравнения состояния либо не существует, либо не единственно Для поставленных задач управления приводятся достаточные условия существо вания оптимальной пары "управление - состояние", исследуются свойства решения уравнения состояния как отображения, заданного на множестве допустимых управлений Доказательства базируются на общих результа iax об управляемых системах с разрывными операторами в банаховых пространствах, полученных в первой части работы вариационным методом В отличие от [5], где методом монотонных операторов изучался класс задач управления системами с разрывными операторами в банаховых простран ствах, монотонность оператора в уравнении состояния не предполагается В качестве приложения общих результатов в [5] рассматривается задача }правления распределенной системой эллиптическою типа с моноюннои по фазовой переменной нелинейностью, не зависящей от иространс.авенной
* Работа поддержана грантами РФФИ N97-01-00444 и Фонда Дж Сороса
переменной В данной работе монотонность нелинейности не требуется и допускается зависимость от пространственной переменной
Рассмотренные постановки задач и основные результаты автор излагал в Институте математики и механики УРО РАН на семинаре академика Ю С Осипова и в Московском университете на семинаре В М Тихомирова, М И Зеликина и А В Фурсикова Я благодарен участникам этих семинаров за участие в обсуждении полученных результатов и полезные замечания
1. Абстрактная постановка задачи и общие результаты
Пусть X, У, У\ — вещественные банаховы пространства, причем X, У — рефлексивные и X компактно вложено в У и в У\ Обозначим через Р и Р\ операторы вложения X в У и У\ соответственно Предположим, что управляемая система в банаховом пространстве X описывается уравнением
1де Р* оператор, сопряженный с Р, Т\ X —» X* деминепрерывный оператор [6], У\ К* ограниченный (возможно, разрывный), а В линейный ограниченный оператор, действующий из банахова пространства управлений I/ в пространство У*, сопряженное с У, управление V £ IIС и (иа<1 - множество всех допустимых управлений) Решением уравнения со-сюяния (1) при фиксированном управлении V назовем х £ X, удовлетворяющий вк точению
где ЯТъ - секвенциальное замыкание оператора определяемое следующим образом для гб! значение ЗТ2{х) равно замкнутой выпуклой оболочке всех слабых частичных пределов последовательностей вида (Т2хп) в У*, где последовательность (хп) С У\ сильно сходится к х в У\ Пара управление состояние" (г>, х) называется допустимой, если V € иаа, а ж -решение уравнения (1) На множестве Б всех допустимых пар "управление - состояние" определена функция стоимости
Тхх \-Р*Т2Рхх = Р*Вь
(1)
- Тхх + Р*Ву е Р*{ЗТ2)(Р1х)
(2)
Дь,х) = \\х-хй ||| + Л|М|[/
(3)
где з о € Я, константы к,1,А положительные и || - норма в пространстве Ь, Ъ банахово пространство, в которое X непрерывно вкладывается
Рассматривается задача об отыскании пары (и, г) £ О такой, что
3{и,г) = Ш 3{ь,х). (4)
Пару (и, г) € О. удовлетворяющую (4), будем называть оптимальной. Для доказательства основных общих результатов потребуется ряд вспомогательных утверждений.
ТЕОРЕМА 1.1. Пусть Т : Е\ —> Е2 - локально ограниченное отображение на Е\ (Е\ - банахово, а Е2 - рефлексивное банахово пространство) и
Ти(х) = р| сд{у = Тг : \\г - ж|| < е}
е >0
овыпукление Т [7]. Тогда Та = БТ (БТ - секвенциальное замыкание оператора Т, определенное выше).
Доказательство теоремы 1.1. Пусть х Е Е\. Согласно определению Т° и 5Т имеем Т°{х) 3 5Т(х). Если предположить, что Та{х) ф 5Т(х), то найдется у Е Та(ж)\5Т(ж). Так как 5Т(ж) выпуклое замкнутое множество в пространстве Е2} то по теореме о строгой отделимости существуют <р £ и а > 0 такие, что
4>(г) > <р(у) + а (5)
Рассмотрим полупространство Н = 6 Е2 | <£>(го) < ц>{у) +а/2}. Оно открыто, выпукло и содержит у. Дополнение к Я в & замкнуто и выпукло, Поскольку у Е Н П ТП(х), то для любого £ > 0 найдется хе с — х\\ < е, для которого Тхе Е II. Действительно, в противном случае для некоторого е > 0 множество {г = Т(ги) | ||го — ж|| < е} целиком содержится в Е2\Н, а значит, в силу выпуклости и замкнутости Е2\П и множество со {г = Т(ы) | ||го — ж|| < е} содержится в Е2\Н, по это противоречит II П7,п(.г') - 0. В частности, для любого натурального п найдется у» с ||.т„ - .г|( < 1 /тг, для которого Тха Е И. По условию, Т - локально ограниченное отображение. Поэтому последовательность (Тхп) ограничена и, значит, поскольку пространство Е2 рефлексивно, из последовательности ('Тха) можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность (ТхПк) к некоторому г Е Е2. По определению 5Т(ж) элемент г Е БТ(х). С другой стороны, для любого натурального к у{ТхПк) < <р(у) + а/2. Отсюда в пределе при к —> оо получим 1р{г) < <р(у) + а/2, что противоречит (5). Теорема 1.1 доказана.
ТЕОРЕМА 1.2. Пусть Е1 (г = 1,2) - банаховы пространства, причем Е2 -рефлексивное, а отображение Т ■ Е1 —> Е2 ~ локально ограниченное на Е\. Тогда секвенциальное замыкание вТ оператора Т слабо-сильно замкнуто [8], то есть из хп х в Е[, уп Е 5Т(жп) и уп у следует, что у Е БТ(х).
Доказательство теоремы 1.2. Допустим, что хп —> х в Е\, уп £ ЗТ(хп) и уп у, но у $ БТ(х). По теореме о строгой отделимости найдутся I/) € £г и а > 0 такие, что
Полупространство Н ~ {w Е Е2 \ <p(w) < tp(y) + а/2} - открытое и выпуклое множество, а его дополнение СН := Е2\Н замкнуто и выпукло. Заметим, что у £ Н, а из (6) следует, что ST{x) С Н. Так как уп —1 у, то ÁVn) f{y) И1 значит, существует натуральное по такое, что для любого п > по элемент уп принадлежит множеству Н П ST(xn). В силу теоремы 1.1 множество ST(xn) совпадает с Та(хп). Из непустоты множества НПТ°(хп), как и в доказательстве теоремы 1.1, следует существование для каждого п > по элемента хп с ||ж„ — жп|| < 1/п, для которого Tín £ Н. Из локальной ограниченности Т заключаем об ограниченности последовательности (Tiп) и, значит, в силу рефлексивности пространства i?2 найдется подпоследовательность Txnk, слабо сходящаяся к некоторому z £ Е2. Йо определению ST(x) элемент г принадлежит ST(x). С другой стороны, если щ > по, то Тх,ч £ Я, то есть ^>(Тхщ) < v>(y) + а/2. Отсюда в пределе при к -> оо получим (¿j(.z) < + а/2. Но это противоречит (6). Теорема 1.2 доказана.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1 ([9]). Оператор Т : Е -> £* (Е - вещественное банахово пространство) называется квазипотенциальным, если существует функционал f : Е —ь R такой, что для произвольных x,h £ Е
1 дс (х,у) - значение линейного функционала у £ Е* на элементе х Е Е. При этом / будем называть квазипотенциалом оператора Т.
ТЕОРЕМА 1.3. Пусть оператор Т : Е —> Е* квазипотенциален и локально ограничен (Е - вещественное рефлексивное банахово пространство), и его квазипотенциал / имеет минимум в точке х. Тогда 0 £ 8Т(х) (БТ секвенциальное замыкание оператора Т, определенное выше).
Доказательство теоремы 1.3. Предположим, что 0 ^ 5Т(ж), тогда по теореме о строгой отделимости с учетом рефлексивности Е найдутся
2 £ Е и а > 0 такие, что {у, г) < -а для любого у £ БТ(х). Так как х -точка минимума /, то существует <5 > 0, для которого
Ф) > <р(у) + a VzeST{x).
(6)
f(x + tx) - /(ж) > О Ví£(0,¿).
(7)
Покажем, что
lim4_*+o {Т(х + sz), z) < -а (8)
Если допустить противное, го найдется последовательность sn —> +0 такая что
lim (Т(х + sz),z) > -а (9)
«->4-0 ~
В силу локальной ограниченности Т и рефлексивности Е существует под последовательность вПк, для которой T(x+snk z) —- у Тогда по определению 57 (х) элемент у 6 ST(x) и, значит, Ьт^-юо (Т(х + sHkz),z) — (y,z) < -а что противоречит (9) Из (8) следует, что для некоторого 0 < е неравенство 0 < s < е влечет (Т(х + sz),z) < —а Отсюда и квазипотенциальности Т получим для 0 < t < е
f{x + tz) - f{x) = t f {T{x + rtz), z) dr < -та < 0,
J о
но это противоречит (7) Теорема 1 3 доказана
ТЕОРЕМА 1 4 Пусть Тг Е —> Е* (г = 1, 2) - квазипотенциальные one раторы, Е вещественное рефлексивное банахово пространство, причем оператор 1\ монотонный и радиалъно непрерывный на Е [10], оператор компактный, а квазипотенциал / оператора Т = Т\ +Т2 удовлетво рж т условию
lim f{x) = +оо (10)
Тогда существует х G Е, удовлетворяющий включению
-TIXEST2(X) (И)
(ST2 - секвенциальное замыкание оператора Т2)
Доказательство теоремы 1 4 Из монотонности Т\ и компактности Т2 следует слабая полунепрерывность снизу квазипотенциала / оператора 12 [9] Поскольку пространство Е рефлексивно, то отсюда и условия (10) теоремы 1 4 заключаем о существовании х £ Е такого, что f(x) = mf^ f(v) [b] В силу теоремы 1 3 0 Е ST{x) Последнее равносильно (11), так как для монотонною оператора радиальная непрерывность равносильна деминепре рывности [10] и, шачит, ST(x) = ,ST2(x) + Т\(х) Теорема 1 4 доказана
ЛЕММА 1 1 Пусть X , Y, \\ банаховы пространства, причем Y ре флексивное пространство, А непрерывно вложено в Y и в Y\, оператор 7 Y\ —> \ * локально ограничен Тогда
5(Р*ТР0(£) С P*{ST)(PlX), (12)
где Р и Р\ - операторы вложения X в У и в У\ соответственно, Р* -оператор, сопряженный с Р.
Доказательство леммы 1.1. Множество ЗТ(Рхх) выпукло и замкнуто в У*. Линейный оператор переводит выпуклое множество в выпуклое, поэтому множество Р*(5,Т)(Р1ж) выпукло. Покажем, что оно замкнуто. Пусть (у„) С Р*{ЗТ)(Р1х) 1луп^у, тогда уп - Р*гп, гп £ ЗТ(Ргх), значит последовательность (гп) - ограничена. В силу рефлексивности У найдется подпоследовательность гПк последовательности гп, слабо сходящаяся к некоторому г € У* Так как Р* - линейный непрерывный оператор, то Р*гПк —Р*г. Заметим, что поскольку ЗТ(Рхх) слабо замкнуто в У*, то г £ 5,Т(Р1аг). Следовательно, у = Р*г £ Р*(5Т)(Рхх). Замкнутость Р*(ЗТ)(Рхх) установлена Множество 3(Р*ТР\)(х) - минимальное выпуклое замкнутое множество, содержащее все слабо предельные точки последовательностей вида (Р*ТР\(хп)), где хп сильно сходится к х в X. Поэтому для доказательства (12) достаточно показать, что если хп —» х и Р*ТР\(хп) у в У*, то у £ Р*(5Т)(Рхж). Из локальной ограниченности Т следует ограниченность (ТР\(хп)) в У*, поскольку сходимость хп —> х в X и непрерывность оператора Р\ влекут сильную сходимость (Р\хп) в Ух. В силу рефлексивности У из последовательности (ТР\(хп)) можно выделить слабо сходящуюся к некоторому г £ У* подпоследовательность (ТРх(хПк)). По определению БТ^х), элемент 2 е ЗТ(Ргх) и, значит, у - Р*г £ Р*(5Т)(Р1ж). Лемма 1 1 доказана
ТЕОРЕМА 1.5. Предположим, что X, У, Ух - вещественные банаховы пространства, причем пространства X, У - рефлексивны, а X компактно вложено в У и Уц оператор Т\ : X X* - квазипотенциальный, монотонный и радиально непрерывный на X, оператор Т2 : У\ —> У* ограниченный, причем отображение Р*Т2Р\ квазипотенциально (здесь Р, Рх - операторы вложения X в У и У\ соответственно), а оператор Т = Ту + Р*Т2Р\ коэрцитивен на X, то есть для любого х £ X (Тх,х) > С(1М1) ' 1М1, где с : -> Я непрерывная функция и Нт^+00 с(£) = -Ьоо. Пусть Оператор В : II —> У* (V - пространство управлений) - ограничен. Тогда для любого управления V £ и найдется х £ X, удовлетворяющий включению (2).
Доказательство теоремы 1.5 Из компактности операторов вложения Ри Рх и ограниченности Т2 следует компактность оператора Р*Т2Р\. Так как оператор Т = Т\ + Р*Т2Р\ коэрцитивен, то его квазипотенциал / удовлетворяет условию
1
/(х) + (<?,х) = ДО) + I (Т(1х),х) (И + (д, х) > о
||*Н
>/(0) + I с(г)<1х- 1Ы1 ■ |И1 =/(0) + I т-\\д\\)йг о о
для любых х £ X и д £ X*. Отсюда заключаем, что для любого д £ X*
Ит (/(ж) + {д,х)) = +оо,
||х||—>+оо
поскольку Пт с(Ь) = +оо. Таким образом, для любого фиксированного
t—>+oo
управления и £ и для оператора Т(-) = Т(-) — Р*Вь выполнены все условия теоремы 1.4 и, значит, найдется х £ X, удовлетворяющий включению 0 € 5Т(ж). Осталось заметить, что 5Т(ж) = Тг{х) + 3{Р*Т2Р1){х) - и
воспользоваться леммой, чтобы получить заключение теоремы 1.5.
ЗАМЕЧАНИЕ 1 1 Теорема 1 5 является достаточным условием непустоты множества Ю всех допустимых пар "управление - состояние" для уравнения (1).
ТЕОРЕМА 1 6 Предположим, что X, У, У\ - вещественные банаховы пространства, X, У - рефлексивные и X компактно вложено в У и У\, оператор Т X —> X* - монотонный и радиально непрерывный на X, а Т2 У —> У* локально ограничен; банахово пространство II управлений рефлексивно, а оператор В ■ II —> У* - линейный и ограниченный. Тогда, если множество (7а(/ всех допустимых управлений слабо замкнуто, а множество В С и х X всех допустимых пар "управление - состояние" уравнения (1) непусто, то В - слабо замкнуто.
Доказательство теоремы 1 6 Пусть ((уп,хп)) С В, ип —г> в [I и х„ —^ .г в X Надо показать, что (ь,х) £ Б Так как 1]а(1 слабо замкнуто, ю -г; £ иаа По определению допустимой пары для произвольного натурального п найдется уп £ ЗТ2(Р]хп) такое, что —Т\хп + Р*Вип = Р*уп Так как вложения Р и Р\ пространства X в У и У\ соответственно компактны, то Р*Вьп —» Р*Вь в X*, а Р\хп —> Р\х в У\. Из локальной ограниченности Т2 вытекает ограниченность последовательности (уп) Отсюда и из рефлексивности У следует существование подпоследовательности (упк), слабо сходящейся к некоторому у в У*. В силу теоремы 12 у £ ¿>Т'¿{Р1Х) Имеем -ТгхПк = Р*уПк ~ Р* ВуПк -> Р*у - Р*Вь - г а X* Покажем, что г = —Т\х Действительно, для любых ги £ X и натурального к (Т1Х11к — 7\и>,хПк — ш) > 0, из чего в пределе при к —> оо получим для произвольного ио £ X {—г — Т\ги, х — ш) > 0. Поскольку Т\ - монотонный и радиально непрерывный на X оператор, то отсюда следует, что г = —Т\х [6] Таким образом, показано, что —Т\х + Р*Вь £ Р*(ЗТ2)(Р1х), и, значит, (и,х) £ В Теорема 1.6 доказана.
СЛЕДСТВИЕ 1 1. Пусть выполнены условия теоремы 1 6 и, кроме того, для каждого допустимого управления и существует единственное решение уравнения (1), а отображение Т = Т\ + P*(ST2)Pi коэрцитивно на X (Р, Р\ - вложения X в Y uYi соответственно, ST2 - секвенциальное замыкание оператора Т2) Определим на множестве Ua(i всех допустимых управлений оператор Г со значениями в X равенством Г« = х, где х -решение уравнения (1), отвечающее управлению v £ Uad- Тогда Г - слабо непрерывный оператор на то есть из (vn) С Uad и vn —v в U следует, что Tvn Гг> в X. Если Г рассмотреть как оператор из Uad в Y\, то он - усиленно непрерывный [6]
ЗАМЕЧАНИЕ 1 2 Если отображение Т = Тг + P*{ST2)P-i строго монотонно, то уравнение (1) имеет не более одного решения для каждого фиксированного управления и.
Доказательство следствия 1.1 Пусть (vn) £ Ua({ и vn v в U. Возьмем произвольную подпоследовательность (v'n) последовательности (vn) Так как v'n ь, го (v'n) ограничена в U Отсюда и коэрцитивности Т следует ограниченность последовательности (Гг^) в X, поскольку для любого натурального п имеем (Bv'n,xn) = (Т\хп + уп,хп) > с(||жп]|)||а;п||, где сп = IX, yn+Tixn = Bv'n, уп £ P*(ST2)(Pixn), a lim c(t) = +оо. Из рефлек-
t—>оо
сивности нрос гранства X получаем существование подпоследовательности ?>,' такой, что Гг?^ —>• у В силу теоремы 1 6 у = Гг> Отсюда и произвольности выбора подпоследовательности v'n последовательности г>„ следует слабая сходимость (Ги„) к Fv в X Если рассмотреть Г как оператор из Uad С U в Y\ получим, что (Гг>„) сильно сходится к Гг> в Yj Следствие 1 1 доказано
ТЕОРЕМА I 7 Пусть X, Y, Y\ - вещественные банаховы пространства, причем пространства X, Y - рефлексивны и X компактно вложено в Y и Y\, оператор Т\ X —> X* - квазипотенциальный, монотонный и радиаль-но непрерывный па X, оператор Т2 Y\ —» Y* - ограниченный, а Р*Т2Р\ -квазипотеициалъный (Р, Р\ - операторы вложения X в Y и Y\ соответственно) Предположим также, что отображение 7\ -4 Р*(ST2)P\ коэрцитивно на X, пространство управлений U рефлексивно, множество 11ш1 допустимых управлений непусто и слабо замкнуто, а оператор В U -> Y* - линейный и ограниченный Тогда множество D всех допустимых пар "управление - состояние'' непусто, и задача (4) имеет решение
Доказательство теоремы 1 7 Согласно лемме Тхх + P*(ST2)(Pix) 'J\x г S{P*T2Pi)(x) для любого х £ X Отсюда и коэрцитивности + P*(ST2)Pi следует коэрцитивность Т\ + Р*Т2Р\ на X и, значит, в силу
теоремы 1 5 для любого v £ Uad существует решение уравнения (1) Не пустота D установлена Пусть ((г>„,а;п)) С В минимизирующая после довательность для функции стоимости J(v,x) на В, то есть J(vn,xn) d = mft> J(v,x) Тогда последовательность (vn) ограничена в U Отсюда и из коэрцитивности Т\ + P*{ST2)Pi следует ограниченность (хп) в X По с кольку пространства X и U рефлексивны, то найдется возрастающая по с ледовательность натуральных чисел (п^) такал, что vnk и в U, хПк z в X В силу слабой замкнутости В (теорема 1 6) (u, z) £ D, а из слабой полунепрерывное! и снизу J(v,x) на В имеем
d= lim J{vnk,x7lk) > J(u,z)
к—too
Гак как d = info J{v, x), то из последнего неравенства следует, что J (и, z) = d Теорема 1 7 доказана
2. Приложения
Управляемая система описывается уравнением
тгп(х) + д(х, IV(т)) — Вг>(х), х £ ш (13)
с 1 раничными условиями
^(¿Хх) = О, хе5, 0 < к < гп - I, (14)
где г — (х)Ва - формальный дифференциальный оператор
в дивиргентной форме, определенный в ограниченной области ш с кусочно гладкой границей 5 и удовлетворяющий неравенству
(-1)'" £ аа0(х)С+Р > к|£|2т, хец
\а\-Щ=тп
Здесь постоянная к положительна и не зависит от х и функции аар £ С ^ (и) причем апр{х) = ара(х) на и>, 1 < |а| = |/3| < т, 3^(3) произ водные в направлении внутренней нормали к 5, функция д и> х Я —» Я с уперпозиционно измерима и для почти всех х £ и> сечение д(х, ) имеет разрывы 1 олько первою рода, оператор В и Ьч{ш) линейный и огра ниченный (д > 1 II банахово пространство управлений)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 1 Решением задачи (13)-(14) при фиксированном управ-
о
лении V называется функция w GW™ (ш) П W(¡m, удовлетворяющая для почти всех i включению
- rw(x) + Bv{x) G (ж, Цж)), д+ (ж, w(x))}, (15)
где
(x,w{x)) = mm{gí (x,w(x)~) ,g(x,w(x)+)}, g+ (x,w(x)) = ma,x{g(x,w{x)~) ,g{x,w{x) + )} Обозначим через Ua¿ множество всех допустимых управлений (Ua¿ С U)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 2 Пару (v,w) назовем допустимой парой "управление состояние" для системы (18)-(14), если v G Ua(¡, a w является решением задачи (13)-( 14), отвечающим v
ЗАМЕЧАНИЕ 2 1. Допускается, что для некоторых v G Uad задача (13)-(14) либо не имеет решений, либо имеет более одного решения
На множестве D всех допустимых пар системы (13)-(14) рассмотрим функционал J(v, w) — ¡{ш — u>o|lz + А||г>||у, где Z - функциональное банахово
о
пространство на ш, в которое W™ (ш) непрерывно вкладывается, wo G Z и I, р, А - положительные константы Ставится задача о нахождении нары (и z) С D гакой, что
J(u, z) = inf J(v, w) (16)
ТЕОРЕМА 2 1 Предположим, что
1) функция g lo х R —»• R борелева (mod 0) (7], (то есть g отлична от некоторой борелевской функции лишь на множестве G С ivxR, для которого проекция на и> имеет меру нуль в Rn), для почти всех х G ш функция д(с, ) имеет разрывы только первого рода на R,
2) либо п > 2т и для некоторого р, 1 < р < 2п/(п — 2т) |g(x,w)| < a|wp 1+6(ж) Vk; G R и почти всех ж G ш, где а > 0, b G Lq(ui), q — p/{p—l), либо п < 2т и для любого d > 0 существует функция ad G Lq(co), q > 1 такая, что |д(ж,и;)| < a¿(х) Vw G [—d, d] и почти всех ж G ш,
3) Е (~1)1/5|/ао/3(ж)dx > М Е \\Daw\\l2{uj) Ww еЩ1 (ш), где K|a|-|/3|Sm ш |а|=т
постоянная М > 0 не зависит от w,
4) <j(i,w) w > -kw2 — A,](x)\w\2 7 k2{x) Vw С R и почти всех ж G ш, где к > 0, 0 < 7 < 2, ki G L2/7M, £ L{u>), причем М — кС > О, С
- постоянная в неравенстве 1М!12(Ш) < С С \\^>а'ш\\'ь2(и}) Н
|а\=т
(постоянная М из условия 3);
5) множество допустимых управлений иас[ С II - непустое и слабо замкнутое, пространство управлений II рефлексивно, оператор В : II —> Ья(ш)
- линейный и ограниченный (ц из условия 2). Тогда множество В всех пар "управление - состояние" для системы (13)-(14) непусто и задача (16) имеет решение.
о
Доказательство теоремы 2.1. Пусть X ^Ж™ (ш) с нормой
1/2
им
Е ./ \Ваш(х)\Чх
; если п > 2то, то полагаем У = = Ьр(ш)
с р из условия 2) теоремы 2.1, а в случае п < 2т положим У\ — С{ш) и У = Ьр(ш), где р — — 1) (д из условия 2) теоремы 2.1). Согласно теореме вложения Соболева операторы вложения Р и Р\ пространства X в У и У\ соответственно - компактны Определим отображение 7\ ■ X —> Л'* равенством {Тю,у) = XI ( —1)'^' / аа^{х)Ваш(х)В^у{х)дх для любых 1<|а| = |/У|<т ш
ю,у £ X и оператор Т? : У\ —> У* равенством 72«; = д(х,ги(х)) Уи) € У1 Заметим, что оператор 7\ - радиально непрерывный монотонный и потенциальный, 72 - ограниченный, а Р*Т2Р\ ~ квазипотенциальный [11]. Из условий 3) и 4) теоремы 2.1 следует коэрцитивность на X отображения Т = '1\ + Р*(572)Р1 (572 " секвенциальное замыкание оператора Тг). Так как пространства X, У рефлексивны, то утверждение теоремы 2.1 будет следовать из теоремы 1 7, если установить для любого фиксированного управления V £ II эквивалентность включения
Р*Вь - Тхш £ Р*(572)(Р1ги) (17)
проблеме отыскания решения задачи (13)-(14). В силу теоремы 1.1 5Т2 = Т2° С другой стороны, = где для произвольной гу(ж) € Ух <7,°(ги(а:)) = {г и;—>/?: г - измерима на и; и г(х) 6 [<7 (т,ги(х)), д^(х,ю(х))} для почти всех х £ и;} [7]. Для любой го(х) € У\ отсюда и условия 2) теоремы 2 1 получим, что принадлежность г множеству БТ^ш равносильна г £ Ьч{и)) О д^,(и>(х)). Следовательно, если и> £ X удовлетворяет (17), то найдется 2 6 Тч(ю) П и>(х)). для которой тю = Вь — г £ Ьч[ш). Последнее влечет принадлежность т пространству \УдШ(и>) [12], и, значит, для почти всех х £ и> функция и>(х) удовлетворяет включению (15) Таким образом, и>{х) решение задачи (13)-(14) Обратно, если ги(х) - решение задачи (13)-(14) при фиксированном управлении V £ Ц, то существует г 6 П д^(ш(х)) такая, что —тш(х) + Ви(х) = г(г) для почти всех
х £ и. Отсюда легко заключить, что -ш(х) удовлетворяет (17). Теорема 2.1 доказана.
Прямое применение следствия 1.1 дает следующий результат.
'ГЕОРЕМА 2.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.1 и кроме того для каждого допустимого управления v задача (13)-(Ц) имеет единственное решение. Тогда оператор Г, определенный на множестве Ua(i всех допустимых управлений равенством Г и — w, где w - решение задачи (13)-(14), соответствующий управлению v £ Ua(t, слабо непрерывен но Uad как оператор из U в X и усиленно непрерывен на Uaci как оператор из U в У^. В частности, если п < 2т, то Р усиленно непрерывен на Uad из U в С(сО), то есть из Ua(i Э vn v в U следует, что vn =- Fvn —> Гг> = w в С{ш).
ЗАМЕЧАНИЕ 2.2. Если выполнены условия теоремы 2.1 и дополни-шльно для почти всех х £ и функция д(х, ■) - неубывающая, то для каждого управления v £ U задача (13)-(14) имеет единственное решение.
ЗАМЕЧАНИЕ 2.3. Усиленную непрерывность оператора Г : Uad С U -> I7! в геореме 2.2 для распределенных управляемых систем эллиптического типа с разрывными нелинейностями можно рассматривать как аналог свойства S, которое было введено и изучено в [13] А. В. Кряжимским yi К. "J. Ловцким для управляемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью.
Список литературы
1 г.шьдштнк М А // Докл. АН СССР 1962. Г1. 147, N0. С. 1310-1313. I Kuipei 11 .1 // Rend. Ciic. Mat. Palm mo. Sei.2 1971. Vol. 20, №2-3 P I13-J Jc5 i Clung К -С // Differential Equation!, 1983. Vol. 49, N-l. P. 1-28 1 Лионе Ж-Л. Управление сингулярными распределенными системами. М.. 1987. ri Hi yen Быонг // Современный анализ и его приложения- Сб. науч тр. Киев, 1989 С 141-146.
() В.шиберг М. М. Вариационный меюд и метод монотонных операторов М., 1972.
7 Красносельский М. А., Покровский А. В. Системы с гистерезисом. М., 1983.
8 Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М., 1988.
(J Павленко В Н. // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, №8. С. 1397-1402. 1(1 Глене кий X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные ураьнения и опера ] ориые дифференциальные уравнения. М., 1978.
11 Павленко В II. // Укр. мат. журн. 1991. Т.43, №2. С. 230-235.
12 Кошелев А И, //Успехи мат. наук. 1958. Вып. 4. С. 29-89.
13 Кряжимский А В , Ловцкий К. Э. // Дифференц. уравнения 1986. Т 22, N'-11. С 1895-1905.
SUMMARY
01 concern aie the problems of optimal control of singular systems with discontinuous operators in Banach spaces. Using the variational method the proposals about non-emptiness and weak closure of a sel of acceptable pairs "(ontiol-state'' aie found. General theorems are applied to investigation of controlled distributed elliptic type systems with discontinuous non-linearities. Piopertics ot solution as a control function (possibly multivalued) aie studied.
