CC BY
47
УПРАВЛЕНИЕ НАДЕЖНОСТЬЮ СЛОЖНОЙ ТЕХНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ НА ОСНОВЕ ПРОГНОЗИРУЮЩИХ ПАРАМЕТРОВ
УДК 681.51
Геннадий Александрович Беркетов,
к.т.н., проф., профессор кафедры Автоматизированных систем обработки информации и управления, Институт компьютерных технологий, Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Эл. почта: [email protected]
Анатолий Петрович Цуркин,
к.ф.м.н., доц., профессор кафедры Автоматизированных систем обработки информации и управления, Институт компьютерных технологий, Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Эл. почта: [email protected]
Статья посвящена проблемам управления надежностью сложной технической системы на базе использования прогнозирующих параметров. Построена полумарковская математическая модель процесса эксплуатации сложной технической системы, в которой более адекватно описываются ситуации, при которых отказу системы предшествует процесс накопления дефектов (старения системы), что ведёт к снижению её надежности. Модель позволяет рассчитывать критические уровни снижения надежности, при достижении которого осуществляется профилактическое обслуживание или ремонт системы (обслуживание по состоянию). Предлагаемый подход позволяет снизить затраты на профилактическое обслуживание и ремонт системы.
Ключевые слова: надежность сложных технических систем, прогнозирующий параметр, моделирование надежности, обслуживание систем по состоянию.
Gennadiy A. Berketov,
PhD in Engineering, Professor, the Department of Automated Systems of Information Processing and Management, Institute of Computer Technology,
Moscow State University of Economics, Statistics and Informatics
E-mail: [email protected]
Anatoly P. Tsurkin,
PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Professor, Department of Automated Systems of Information Processing and Management, Institute of Computer Technology,
Moscow State University of Economics, Statistics and Informatics
E-mail: [email protected]
RELIABILITY MANAGEMENT OF COMPLEX ENGINEERING SYSTEM BASED ON PREDICTORS
The article is devoted to the problems of reliability management of complex engineering system which is based on usage of predictors. The authors constructed a semi-Markovian mathematical model of the process of operation of a complex engineering system which contains more adequate description of situations, where the process of defect accumulation (system ageing) takes precedence of the system failure and it leads to lower reliability. The model allows the calculation of the critical levels of reliability degradation, which performed preventive maintenance of the system (as service). The proposed approach can reduce the cost of preventive maintenance of the system. Keywords: reliability of complex engineering systems, predictor, modeling reliability, maintenance systems by their state.
1. Введение
Работоспособность восстанавливаемых систем обычно поддерживается с помощью непрерывного или периодического контроля их технического состояния и периодического профилактического обслуживания: регулировки, ремонта или замены части оборудования.
Будем предполагать, что можно указать случайно меняющийся скалярный или векторный параметр п(/), с помощью которого прогнозируется отказ системы. Это означает, что между вероятностью возникновения отказа и значениями параметра п(/) имеется стохастическая связь. Отметим отличие данного подхода от классического, при котором считается, что параметр П(0 детерминировано описывает техническое состояние системы и отказ происходит при выходе самого параметра п(/) за пределы некоторого поля допусков (параметрический отказ).
Предлагаемая в работе модель позволяет более адекватно описывать ситуации, при которых отказу системы предшествует процесс накопления дефектов (старение системы), что ведет к снижению ее надежности.
Приведем несколько примеров возможного использования прогнозирующего параметра при моделировании отказов.
Отказ в механических системах часто происходит под воздействием внутренних изменений (износ, усталостные повреждения, коррозия) и внешних факторов - пиковые нагрузки. Прогнозирующим параметром, влияющим на вероятность отказа, в этом случае является величина накопленного износа, выраженная в подходящих физических единицах.
Некоторые внезапные отказы в радиоэлектронной аппаратуре, такие, например, как пробои, короткие замыкания, обрывы цепей, происходят под влиянием определенных процессов, носящих постепенный характер: насыщение изолятора влагой, коррозия мест соединения, механические деформации конструкций и т.п. Количественное описание подобных процессов играет роль прогнозирующих параметров.
В системах с нагруженным резервированием интенсивность отказов системы зависит от количества отказавших основных и резервных блоков. По мере выхода блоков из строя вероятность отказа системы возрастает. Количество отказавших блоков в описываемом случае выступает как прогнозирующий параметр, определяющий интенсивность отказа системы в целом.
Ниже приводится формальное определение прогнозирующего параметра, дается описание организации профилактического обслуживания системы с использованием этого параметра после чего формулируется задача определения оптимальной программы обслуживания системы с использованием этого параметра. Далее приводится математическая модель процесса обслуживания и метод решения поставленной задачи.
2. Организация процесса обслуживания и постановка задачи
Пусть / - текущее время, т - случайная величина времени безотказной работы системы, п(/) - некоторый параметр, отражающий техническое состояние системы.
Параметр п(/) называется прогнозирующим [2], если
г < т < г + Аг | ц(г) = П, т> г} = Х(ц) ■ Аг + 0(Аг), (1)
при малых А/.
Таким образом, предполагается, что вероятность отказа зависит от значения п(/) в момент /, пропорциональна А/ и некоторой функции Х(п). Физически это означает, что значение параметра п(/) определяет (прогнозирует) интенсивность отказа системы.
Профилактическое обслуживание по наблюдаемому прогнозирующему параметру организуется следующим образом. Выбирается некоторый критический уровень значений параметра п. Если п(/) достигает этого уровня до отказа системы производится профилактический ремонт (ПР). В противном
№6, 2012
106
к
П0
Отказ -ч^ \ \ \ \
АР
и
о
и
и
2
I
3
и
4
г
Рис. 1. Возможная реализация процесса обслуживания по прогнозирующему параметру
случае (отказ произошел до достижения параметром критического уровня) производится аварийный ремонт (АР). Индикация отказа происходит в момент его возникновения. Как обычно, полагаем, что при АР и ПР система полностью восстанавливается и прогнозирующий параметр принимает свое первоначальное значение. Длительности ПР и АР могут значительно различаться. На рис. 1 показана реализация процесса профилактического обслуживания при использовании прогнозирующего параметра.
В случае векторного параметра вместо критического уровня для п(0 указывается поле допусков Б. Профилактический ремонт осуществляется при достижении параметром п(0 границы области Б или при выходе параметра за ее пределы.
В целях упрощения изложения в дальнейшем будем считать п( ^) скалярной величиной. Далее также предполагается, что время эксплуатации системы не ограничено, т.е. будем рассматривать только стационарный процесс эксплуатации.
Задача построения оптимального режима профилактики заключается в определении такого уровня к*, при котором коэффициент готовности системы был бы максимальным.
3. Модель процесса обслуживания и метод решения задачи
Предположим, что критический уровень к уже выбран. Найдем выражение для коэффициента готовности Кт(к)при этом уровне.
Согласно принятым предположениям система в процессе эксплуатации может находиться в трех состояниях: - система работоспособна, 52 - система находиться в АР; 53 - система находится в ПР. Случайный процесс смены состояний обозначим . В общем случае этот процесс является полумарковским.
Р = Р(к) =
Рп(Ь) Рп(Ь)
Л
(
Г = Г (к) =
Г
Га (Т)
г (т)
12(т; к)
о о
0 0
У
Г1з(т; к) о о
(2)
(3)
+ Р
где
ии
Т1(к) = Р12(Л)|х- dFl2(v, к) + о
ГО ГО
;(к)/х- ^13 (т; к) = |х-к),
оо
к) = Ри(к) • ^(х; к) + + Рз(к) • *1з(т; к)
(4)
[1]. Учитывая структуру матриц Р(к) и F(k), получаем следующее выражение:
Тг(к)
К (к)--
[Г1(к) + Ри(к)-Т2 + Рз(к)■ Т]' (5)
Полумарковский процесс описывается с помощью матрицы переходных вероятностей Р и матрицы переходных распределений F (см. [1]). Для эти матрицы имеют вид
Применение в формулах символа h означает, что соответствующие вероятности и распределения вычисляются для фиксированного критического уровня к.
Процесс ^У) - регенерирующий [1], точками регенерации являются мо -менты времени возвращения системы в состояние после проведения АР или ПР. Среднее время пребывания системы в состоянии на цикле регенерации равно
1з 1з
Распределения времени переходов 5,- — могут быть как непрерывными, так и дискретными функциями, поэтому математические ожидания в (4) представлены в форме интегралов Стильтьеса. Функция Q(т; к) является безусловным распределением времени пребывания системы в состоянии работоспособности (5;) на цикле «работа - восстановление».
Для определения стационарного коэффициента готовности системы можно использовать теорему Смита
где Т2 = ■ (т) - среднее время ава-о рийного ремонта;
да
Т3 = |т ■ dFn (т) - среднее время про-о филактического об-
служивания.
Выражение (4) может быть использовано для определения критического уровня к* в тех случаях, когда удается установить зависимость Т1, Т2, Т3 от функции Х(к) и поведения прогнозирующего параметра ц(к). Рассмотрим один из таких случаев, который часто встречается на практике.
Пусть техническое состояние системы определяется (прогнозируется) с помощью параметра, эволюцию которого во времени можно описать с помощью однородного марковского процесса ср(/), который имеет п уровней (состояний) 20, 2Х, ..., 2п и меняется только в сторону увеличения номера уровня. Исходным состоянием для р>(/) в момент t = 0 является состояние 20. Уровень 2п соответствует предельному состоянию параметра, при котором вероятность отказа системы превышает допустимое значение. Состояние 2п считаем поглощающим. При его достижении система переходит в состояние ПР. Интенсивности переходов — будем считать заданными и обозначать их через )ч (, = 0, 1, ..., п - 1).
В принятой схеме уровням прогнозирующего параметра соответствуют номера состояний процесса р( /). Переход к подобной схеме описания эволюции непрерывного скалярного или векторного параметра п(0 осуществляется следующим образом.
Область У возможных значений П(0 разбивается на непересекающиеся подобласти У0, Уь ..., Уп такие, что
п
= У. Попадание значения п(0 в
к=0
область Ук означает, что процесс <р(0 переходит в состояние 2к. Процесс р>(/) является дискретной аппроксимацией процесса п(0.
Выбор прогнозирующего параметра осуществляется таким образом, чтобы его эволюция во времени отражала изменение технического состояния системы. Это означает, что для случайного процесса п(0 должно (хотя бы приближенно) выполняться марковское свойство. При аппроксимации п(0
Экономика, Статистика и Информатика
107
№6, 2012
процессом ф(/) марковское свойство сохраняется. Интенсивности X,- для переходов 21 ^ 2+1 можно оценить на основе экспериментальных статистических данных или данных, собранных в процессе эксплуатации системы.
Вернёмся к исследованию процесса ф(/). Выберем состояние 2т(0 < т < п) в качестве критического и выразим КГ(т) через параметры прогнозирующего марковского процесса. С этой целью преобразуем процесс ф(/) в новый процесс ф*(/) путём удаления состояний 2т+1, ..., 2п и введения дополнительного состояния 2*т+\. Граф состояний процесса ф*(/) изображен на рис. 2.
Состояния 2т и 2т+1 являются поглощающими. При переходе процесса в критическое состояние 2т производится восстановление системы, т.е. производится ПР. Попадание в состояние 2^ означает отказ системы. В этом случае производится АР. Считаем, что после каждого из ремонтов система возвращается в исходное состояние, т.е. полностью обновляется.
Величины ц,- характеризуют интенсивность переходов из 21 в состояние отказа:
ходов процесса ф*(/) и дополненную диагональными элементами. Матрица Л имеет следующую структуру:
-(10 + Цо )
0 0 0
^0
-(l0 + Цо )
Цо Ц1
-()'ш 1 +Цт 1)
о ---
о ---
Строки матрицы Л, соответствующие поглощающим состояниям 2т и 2*т+1 содержат только нули.
Система уравнений Колмогорова для процесса У*(/) имеет вид
Р'(/) = ЛТ • Р(/), (6)
где ЛТ - транспонированная матрица Л;
Р'(/), Р(/) - вектор-столбцы из элементов Р'(/), Р(/), , = 0, 1, ..., т + 1.
Величина Ри(Н) в формуле (5) применительно к процессу У (/) равна вероятности поглащения траектории процесса состоянием 2*т+1, а Рп(Л) -вероятности поглащения процесса состоянием 2т. Для стационарного режима выполняются
Ри(Ь) = Рп(т) = Нш рт+1(г) = Ря+1(®),| Ри{Н) = Рз(т) = Нш Р1з(<) = Рт(ад). I (7)
I ^ад
Применив к обеим частям системы (6) преобразование Лапласа
Р\Ф* (г + Аг) = Ф* (г) = =
= ц {■ Аг + о(Аг)
при А/^-0.
Сопоставляя эту запись с (1), видим, что состояние 21 определяет вероятность отказа системы в интервале (/, /+А/), следовательно, ф(/) можно рассматривать как прогнозирующий параметр.
При профилактике по прогнозирующему параметру рабочий цикл оканчивается либо при отказе, либо при достижении процессом ф*(/) критического состояния 2т. Для определения величин, входящих в формулу (4) применим стандартную технику нахождения вероятностей состояний марковского процесса.
Обозначим через Л матрицу, составленную из интенсивностей пере-
П
(S) = J е -stPi (t )dt,
ä™
m+1
Рис. 2. Граф состояний процесса ф*(0
возвращаться от изображений П,(5) к оригиналам Р,(/).
Величина Т^й) = Т1(т) равна математическому ожиданию времени до попадания процесса У(/) либо в состояние 2т, либо в состояние 2т+1.
Эта величина определяется следующим образом [1].
Обозначим через А0 порядка т - 1, получающуюся из АТ вычёркиванием двух строк и двух столбцов, соответствующих поглощающим состояниям. Заменяем в матрице А0 все элементы первой строки (в том числе и равные нулю) единицами. Получившуюся матрицу обозначим через А1.
Тогда
detAl
Ti(m) = -■
det4„
(11)
получим следующую систему линеи-ных алгебраических уравнении:
(Is - AT )n(s) = Р(0), (8)
где П? - вектор-столбец из элементов Щ?), I - единичная матрица, P(0) = (10...0)г
Для определения P12(m) воспользуемся следующим свойством преобразования Лапласа:
Pi2(m) = lim pm+i(t) = |rn[Snm+i(s)]. (9) Очевидно, что
Pi3(m) = 1 - Pi2(m) (10) Таким образом, для нахождения P12(m) и P13(m) нет необходимости
Таким образом, определены все величины, входящие в (5).
Для получения оптимального уровня И* = ш* необходимо вычислить значения Ка(ш) при 1 < ш < n и выбрать ш* из условия К(ш*) = maxKi(m).
4. Заключение
Поддержание необходимого уровня надежности сложных систем является важной практической задачей. В статье разработан инструментарий для принятия решений, связанных с управлением надежности технических систем. Построена полумарковская модель поддержания надежности системы на основе использования прогнозирующих параметров. Модель позволяет рассчитывать критические уровни снижения надежности, при достижении которого осуществляется профилактическое обслуживание системы (профилактический ремонт). Предлагаемый подход позволяет снизить затраты на профилактическое обслуживание и ремонт системы.
Литература
1. Барлоу Р., Прошан Ф. Математическая теория надёжности. Издательство «Советское радио», 1989.
2. Половко А.М., Гуров С.В. Основы теории надежности: учебное пособие. - СПб.: БХВ-Петербург, 2006.
References
1. Barlow, R., Proschan F. Mathematical theory of reliability. Publishing house "Soviet Radio," 1969.
2. Polovko AM, SV Gurov Fundamentals of reliability theory: a manual. - St.: BHV-Petersburg, 2006.
№6, 2012
108
