Управление хаотическими колебаниями в электронно-волновой системе с помощью непрерывной обратной связи на примере диода Пирса Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 553.9; 51-74

УПРАВЛЕНИЕ ХАОТИЧЕСКИМИ КОЛЕБАНИЯМИ В ЭЛЕКТРОННО-ВОЛНОВОЙ СИСТЕМЕ С ПОМОЩЬЮ НЕПРЕРЫВНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ НА ПРИМЕРЕ ДИОДА ПИРСА

© Е.Н. Егоров, О.И. Москаленко, И.С. Ремпен, А.Е. Храмов

Ключевые слова: управление хаосом; электронный поток; обратная связь.

В работе исследуется структура неустойчивых периодических пространственно-временных состояний, характерных для хаотической динамики электронного потока в гидродинамической модели диода Пирса. Показана возможность управления сложной динамикой электронного потока путем стабилизации неустойчивых периодических состояний с использованием схемы с непрерывной запаздывающей обратной связью.

ВВЕДЕНИЕ

В последние годы достигнуты значительные результаты по управлению сложными колебаниями, включая хаотические, в конечномерных динамических системах (см., например, работы [1, 2]). Работ, в которых бы проводилось исследование вопросов управления хаотическими режимами колебаний в распределенных активных средах, существенно меньше. Однако именно исследование распределенных систем вызывает особый интерес в плане как фундаментального исследования управления сложной динамики и хаосом в динамических системах различной природы, так и практического применения полученных результатов по управлению их динамикой [3].

Особенно важно решение задачи управления хаотическими автоколебаниями в системах релятивистской вакуумной и плазменной сверхвысокочастотной электроники. С одной стороны, это определяется созданием сверхмощных СВЧ генераторов с перестраиваемыми характеристиками выходного излучения (частота и ширина полосы генерации, уровень выходной мощности). С другой стороны, исследование влияния внешних сигналов является существенным при разработке СВЧ генераторов, использующихся в качестве модулей фазированных антенных решеток, управляемых такими сигналами.

Одной из часто используемых характеристик хаотической динамики систем с малым числом степеней свободы является набор неустойчивых периодических орбит, из которых состоит хаотический аттрактор [4]. Стабилизация одной из неустойчивых периодических орбит стала одним из широко распространенных способов управления поведением систем с сосредоточенными параметрами. Однако применение подобного метода к управлению хаосом в распределенной автоколебательной системе, обладающей бесконечным числом степеней свободы, затрагивает ряд вопросов, большинство из которых в настоящее время недостаточно изучены. Среди наиболее важных следует выделить вопрос существования в распределенной системе

аналогичных неустойчивых периодических состояний, возможность их выделения по анализу временных реализаций, снимаемых в отдельных точках пространства, а также адекватности характеристик скалярной временной реализации пространственно-временной динамике исходной распределенной активной среды. Последняя из этих проблем неоднократно затрагивалась исследователями, в т. ч. в работе [5].

ИССЛЕДУЕМАЯ МОДЕЛЬ

Диод Пирса [6] представляет собой две бесконечных плоских параллельных сетки, пронизываемых мо-ноэнергетическим бесконечно широким электронным потоком. Плотность заряда в потоке и его скорость на входе в системы поддерживаются постоянными. Пространство между сетками равномерно заполнено нейтрализующим фоном неподвижных ионов с плотностью заряда, равной по величине невозмущенной плотности заряда в потоке. Единственным параметром, определяющим динамику электронного потока такой системы, является параметр Пирса а=юрЬ/у0 , где

юР = >/пР0 /ео - плазменная частота электронного

потока, ро и у0 - невозмущенные плотность и скорость потока, Ь - расстояние между плоскостями диода, п - удельный заряд электрона и ео - диэлектрическая постоянная.

При а >п в системе развивается неустойчивость Пирса, которая приводит к формированию в пучке виртуального катода [6-8]. Вместе с тем в узком диапазоне параметра Пирса в окрестности а ~ 3п рост неустойчивости подавляется нелинейностью в системе, и в диоде наблюдается режим полного прохождения потока. В этом случае существует возможность рассмотрения динамики распределенной системы со сверхкри-тическим током в рамках гидродинамического приближения с помощью самосогласованной системы уравнений движения, непрерывности и Пуассона, которые в безразмерном виде имеют вид [7]:

др др ду

— + V— + р = 0 ,

дґ дх дх

ду ду = дф

дґ дх дх '

^ = а 2(Р-1) =

дх 2

(1)

(2)

(3)

сматривались временные колебания плотности пространственного заряда р(х0, t) , снимаемые в фиксированных точках х0 пространства взаимодействия. Далее, по временным реализациям р(х0, t) в псевдофазовом пространстве с помощью метода Такенса [10] восстанавливались аттракторы, соответствующие колебаниям в фиксированных точках пространства х0.

с граничными условиями:

Я(ґ) = {р(х0, ґ), р(х0, ґ + ё)р(х0, ґ + (п - 1)ё)},

(5)

у(0, t) = Уо, р(0, t) = ро, ф(0, t) = ф(1, t) = 0. (4)

Начальные условия задаются в виде возмущения плотности пространственного заряда около однородного состояния равновесия у(х) = у0 , р(х) = р0 ,

ф(х) = 0 по закону р(х,0) = р$т2ш, где р « 1. Состояние однородного равновесия теряет устойчивость при а> п.

Численное решение уравнений непрерывности (1) и движения (2) осуществлялось с помощью явной двухслойной по времени схемы с разностями против потока, уравнение Пуассона (3) на каждом шаге по времени интегрировалось с помощью метода распространения вектора ошибки. Основные параметры численной схемы, такие как шаг пространственной сетки Ах и шаг во времени Аt, были выбраны как Ах = 0,005 и Аt = 0,003.

В электронном потоке в диоде Пирса при уменьшении параметра а от 2,88п до 2,86п наблюдается переход к хаосу через каскад удвоений периода, завершающийся установлением слабохаотических колебаний с четко выраженным временным масштабом (т. н. режим «ленточного хаоса» [7, 8]).

С дальнейшим уменьшением величины управляющего параметра при а и 2,8625п происходит перестройка хаотических колебаний в системе. Колебания существенно усложняются: исчезает четко выделенный временной масштаб колебаний, усложняется спектральный состав колебаний электронного потока - это т. н. режим «спирального хаоса» в гидродинамической модели диода Пирса [8].

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕУСТОЙЧИВЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СОСТОЯНИЙ

Первоначальную информацию о наборе неустойчивых периодических орбит, присутствующих в хаотическом аттракторе, позволяет получить построение гистограмм времен возврата фазовой точки к фиксированным «стартовым» состояниям, выбираемым случайным образом по всему хаотическому аттрактору. Этот метод выявления неустойчивых циклов был впервые предложен в работе [9]. Если некоторая фазовая точка х, принадлежит неустойчивому циклу с периодом Т, то фазовая траектория, пройдя точки х,+1, х,+2, хк, окажется вблизи исходного состояния с заданной точностью е > 0 : ||х, - х1+тЦ < е , где т = Т / Аt - период орбиты в дискретных единицах времени.

При анализе неустойчивых пространственновременных состояний в исследуемой распределенной автоколебательной пучково-плазменной системе рас-

где й - длительность задержки метода Такенса, а п - размерность пространства вложения (п = 2) соответствует проекции хаотического аттрактора колебаний на плоскость).

На рис. 1 представлены гистограммы времен возврата при различных значениях параметра Пирса, построенные для хаотических аттракторов, восстановленных по колебаниям плотности пространственного заряда в фиксированной точке пространства взаимодействия х0 = 0,2.

Из рисунка можно видеть, что в режиме ленточного хаоса (рис. 1а, построенный при а = 2,862п) одна из неустойчивых орбит в значительной степени доминирует в спектре времен возврата, т. е. изображающая точка посещает ее значительно чаще, чем другие неустойчивые орбиты. Например, в случае а = 2,862п наиболее

N(1)

800 -

600 -

400 -

200 -

0 20 40 60 80 100

а)

N (Т)

120 -

80

40

О 20 40 60 80 100

б)

Рис. 1. Гистограммы времен возврата фазовой траектории к фиксированным точкам аттрактора при различных значениях управляющего параметра: (а) а = 2,862п; (б) а = 2,857п

б)

Рис. 2. Вид неустойчивых периодических пространственновременных состояний различных периодов Т распределенной системы в режиме развитого (спирального) хаоса: (а) Т = = 4,173, (б) Т = 18,987, Т = 23,115

посещаемой является орбита с периодом Т = 12,177, а при а = 2,861п преобладающей уже становится орбита периода Т = 20,159.

Для режима развитого (спирального) хаоса (см. рис. 1б для а = 2,857п) набор неустойчивых периодических орбит хаотического аттрактора для колебаний плотности пространственного заряда в точке х0 = 0,2 оказывается существенно сложнее. При этом различные неустойчивые периодические состояния, как видно из представленных на рис. 1б гистограмм, посещаются системой более часто и равномерно.

Исследования показали, что гистограммы времен возврата, построенные для скалярной временной реализации р(х/), снятой в различных сечениях х = х0 пролетного промежутка, имеют весьма схожий вид. Это свидетельствует о том, что структура неустойчивых периодических орбит, восстановленных по скалярным временным реализациям некоторой характеризующей систему переменной и определяющих динамику электронного потока в различных сечениях пролетного промежутка, одинакова во всем пространстве исследуемой распределенной системы. Последнее позволяет выделять и анализировать некоторые характеристики неустойчивых пространственно-временных состояний распределенной системы по скалярному временному ряду, снимаемому в некоторой одной точке пространства взаимодействия.

На рис. 2 показаны неустойчивые периодические пространственно-временные состояния исходной распределенной системы - колебания плотности пространственного заряда электронного потока р(х/) для режима развитого спирального хаоса (а = 2,857п).

СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕУСТОЙЧИВЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СОСТОЯНИЙ С ПОМОЩЬЮ НЕПРЕРЫВНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ

Простейшей схемой стабилизации выделенных в предыдущем разделе неустойчивых периодических состояний может стать схема, предложенная в работе [11] с использованием запаздывающей обратной связи, в которой сигнал обратной связи формируется следующим образом:

ф(х = 11) = 1рб 0) =

, (6)

К (р( х0, г) — Р0 (х0, Тк )) = №.,(1)

где К - коэффициент обратной связи и Тк - длительность задержки в цепи обратной связи, равная временному периоду к-го неустойчивого периодического состояния. Здесь, как и в предыдущем разделе, в качестве опорной точки х0, откуда снимается сигнал обратной связи, было выбрано х0 = 0,2.

Численное моделирование показало, что подобная схема является весьма эффективной для стабилизации неустойчивого периодического пространственно-временного состояния с наименьшим периодом Т\. На рис. 3 показана пространственно-временная динамика системы (распределения плотности пространственного заряда р(х,ф в случае свободных колебаний в системе и в режиме стабилизации неустойчивого периодического состояния. Момент включения непрерывной обратной связи обозначен на рис. 4б стрелкой и штриховой линией. На представленных распределениях легко проследить особенности сложного пространственновременного поведения исследуемой системы и перехода системы от режимов хаотических колебаний к периодическому поведению на основе стабилизируе-

Рис. 3. Пространственно-временная динамика диода Пирса в режиме спирального хаоса (а) и в режиме стабилизации неустойчивого состояния Т = 4,173 (б)

Р С С С Р Р2

О 0.04 0.08 0.12 0.16

К

Рис. 4. Зависимость максимальной неустойчивой ляпуновской экспоненты (сплошная линия) и среднего значения сигнала в цепи непрерывной обратной связи (штриховая линия) от коэффициента К непрерывной обратной связи в режиме спирального хаоса (а = 2,857п)

обратной связи становится равным нулю (серая область С на рис. 4), а максимальная ляпуновская экспонента в этой области Л < 0. Пространственно-временная динамика системы в этом случае точно соответствует ранее неустойчивому периодическому пространственно-временному состоянию. Это режим стабилизации хаоса.

На зависимости Л(К) также следует отметить области, в которых амплитуда сигнала обратной связи (5(ґ)) не мала, однако величина Л < 0. Эти режимы,

обозначенные на рис. 4 символом Р, соответствуют периодическим колебаниям системы вблизи неустойчивого состояния равновесия. Отметим также, что с ростом коэффициента обратной связи на базе режима Р в системе имеет место удвоение периода колебаний (область на рис. 4 при больших К, обозначенная как Р2). При больших значениях К > 0,15 в системе наблюдаются резкий рост амплитуды колебаний и, как следствие, отражения частиц в электронном потоке, так что исходная система гидродинамических уравнений становится несправедлива.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе рассматривалась структура неустойчивых периодических пространственно-временных состояний, характерных для хаотической динамики электронного потока в гидродинамической модели диода Пирса, и их связь с неустойчивыми орбитами хаотического аттрактора, восстановленного по скалярной временной реализации сигнала.

На основе численного эксперимента показана принципиальная возможность управления параметрами

мого периодического состояния. Хорошо видно, что в течение 2^3 характерных временных периодов Т1 в хаотической системе устанавливается периодическая динамика, соответствующая динамике системы вблизи неустойчивого периодического состояния (см. рис. 2).

Особенности влияния на исследуемую хаотическую распределенную систему непрерывной обратной связи вида (3) можно проанализировать, рассмотрев зависимости от коэффициента обратной связи К максимальной ляпуновской экспоненты Л и среднего значения сигнала в цепи непрерывной обратной связи (^(ґ)) .

Максимальный ляпуновский показатель рассчитывался по методике, предложенной в работе [12], а среднее значение сигнала в цепи обратной связи определяется как:

Т

(ы}) = {^(ґ №. (7)

0

Соответствующие зависимости показаны на рис. 4, построенные для случая длительности задержки в цепи обратной связи, равной периоду стабилизируемого состояния: ё = Т1. При малых коэффициентах обратной связи в системе имеют место хаотические колебания, практически не отличающиеся от колебаний в системе без обратной связи. С ростом величины К наблюдается уменьшение сложности колебаний в системе (уменьшается величина Л) и одновременно уменьшается амплитуда сигнала в цепи обратной связи. В некото-

ром диапазоне коэффициента обратной связи сигнал

колебаний пространственно распределенных автоколебательных электронно-плазменных систем на основе идей управления хаосом в нелинейных системах с малым числом степеней свободы. Предложенный метод позволяет с высокой точностью задавать требуемые параметры режима колебаний в исследуемой электронной системе, являющейся распространенной моделью приборов, работающих на основе электронных потоков со сверхкритическим током. Как следствие, это дает широкие возможности управления характеристиками генерации с помощью изменения параметров - амплитуды и времени задержки сигнала в цепи обратной связи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2001.

2. Reyl C., Flepp L. et al. // Phys. Rev. E. 1993. V. 47. P. 267.

3. Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Лекции по сверхвысокочастотной электронике для физиков. Т. 1, 2. М.: Наука. Физматлит, 2003, 2004.

4. Ott E., Grebogi C., Yorke J.A. Controlling chaos // Phys. Rev. Lett. 1990. V. 64. №2 11. Р. 1196-1199.

5. Franceschini G., Bose S., Scholl E. Control of chaotic spatiotemporal spiking by time-delay autosynchronization // Phys. Rev. E. 1999. V. 60. № 5. P. 5426-5434.

6. Pierce J. Limiting currents in electron beam in presence ions // J. Appl. Phys. 1944. V. 15. P. 721.

7. High Power Microwave Sources / еd. by V.L. Granatstein & I. Alexeff Boston: Artech Hourse, 1987. Chapter 13, 14.

8. Анфиногентов В.Г., Трубецков Д.И. Хаотические колебания в гидродинамической модели диода Пирса // РЭ. 1992. Т. 37. P. 2251.

9. Lathrop D.P., Kostelich E.J. Characterization of an experimental strange attractor by periodic orbits // Phys. Rev. A. 1989. V. 40. № 7. P. 4028-4031.

10. Takens F. Detecting strange attractors in dynamical systems and turbulence // Lect. Notes in Math. / еd. by D.A. Rand, L.S. Young. Berlin: Springer, 1980. V. 898. P. 321.

11. Pyragas K. Continuous control of chaos, by self-controlling feedback // Phys. Lett. A. 1992. V. 170. P. 421-428.

12. Filatova A.E., Hramov A.E., Koronovskii A.A., Boccaletti S. Synchronization in networks of spatially extended systems // CHAOS. 2008. V. 18. P. 023133.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы».

Поступила в редакцию 12 июля 2010 г.

Egorov Ye.N., Moskalenko O.I., Rempen I.S., Hramov A.Ye. Controlling chaos vibrations in electron-wave system with the help of continuous delaying feedback on example of Pierce diode

In the work the set of nonlinear unstable periodic space-temporal states of chaotic dynamics of electron beam in Pierce diode is investigated. The possibility of control complex nonlinear dynamics of the electron beam by means of stabilization of unstable periodic states with the use of the scheme with continuous delaying feedback is shown.

Key words: controlling chaos; electron beam; continuous delaying feedback.