Управление динамикой с учетом стабилизации связей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2013. № 9/1(110)

МЕХАНИКА

УДК 531.1, 531.3, 681.5

УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИКОЙ С УЧЕТОМ СТАБИЛИЗАЦИИ СВЯЗЕЙ1

© 2013 Н.В. Абрамов? Р.Г. Мухарлямов3

Приводятся результаты исследований по моделированию динамики сложных систем, содержащих элементы различной физической природы, решению задач динамики и управления твердым телом и робототехническими системами. Определяются необходимые условия устойчивости решений уравнений динамики, и предлагается алгоритм построения уравнений возмущений связей, гарантирующий стабилизацию связей при численном решении. При этом уравнения связей описывают интегральное многообразие уравнений динамики исходной системы.

Ключевые слова: механика, программные связи, реакция, устойчивость, численное решение, стабилизация, динамика, уравнение, построение, система.

Введение

Аналогии между движением механических систем и динамикой систем, содержащей электрические, пневматические и гидравлические элементы [1], позволяют применять методы классической механики для исследования динамических процессов. В [2] для проведения динамических расчетов систем, содержащих элементы различной физической природы, вводятся унифицированные переменные, посредством которых используются методы и модели классической механики. В [3-5] исследуется динамика живых организмов, моделируемая уравнениями механики, и предлагаются методы и алгоритмы решения задач управления. Так, например, движение сустава рассматривается как стержень с шарнирным закреплением и описывается уравнением вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси:

а т,,т

— (иш) + т (ф,ш,Ь) = М, ш = ——. аЬ аЬ

В [6] показано, что уравнениями механики

а {Тл\ [ ¿ь\ аI I — Ь— + т----+ — = М.

аь\ аь I аь аь с

хРабота выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 13-08-00535.

2Абрамов Николай Васильевич (abramoff@mail.ru), кафедра естественнонаучных дисциплин филиала Тюменского государственного нефтегазового университета, 628600, Российская Федерация, г. Нижневартовск, ул. Ленина, 5.

3Мухарлямов Роберт Гарабшевич (robgar@mail.ru), кафедра теоретической механики Российского университета дружбы народов, 117198, Российская Федерация, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6.

может быть описан процесс познания, если под величинами Ь, О, т, и I понимать параметры, характеризующие интеллектуальные свойства субъекта познания, и объем информации.

В [7-9] предлагается вопросы представления процессов в экономике рассматривать посредством динамических моделей, соответствующих механике систем с переменной массой [10]. Работы по динамике систем с переменной массой были развиты до создания нового направления, связанного с управлением программным движением и обратными задачами динамики [11]. Методы аналитической динамики систем с переменной массой [12] позволяют исследовать задачи моделирования и управления динамикой производственных систем [13; 14].

В настоящей работе предлагается метод построения математической модели динамической системы, используемой для решения задачи управления сложными системами с учетом стабилизации связей.

1. Построение динамической модели системы, содержащей элементы различной физической природы

1.1. Унифицированный набор переменных

Унифицированный метод моделирования физических систем основывается на фундаментальных процессах, лежащих в основе динамического поведения системы: хранении, передачи и преобразовании энергии между компонентами системы, а также между системой и внешней средой. Система, содержащая элементы различной физической природы, может быть рассмотрена как некоторая управляемая система, предназначенная для систематического описания, хранения, передачи и преобразования мощности и энергии в физических системах.

В [2] упоминаются идеи Пайнтера [15], предложившего для описания динамических процессов унифицированное множество переменных: усилие, поток, момент и смещение. Первая пара переменных в унифицированном наборе — это усилие в(Ь) и поток ](£), представляющие физические величины, удовлетворяющие постулату: мощность Рj (£) ]-того компонента в системе является произведением усилия в^ (£) и потока ^(£), и суммарная мощность Р(£) системы в момент времени £ складывается из мощностей компонентов:

Вторая пара переменных в унифицированном наборе представляет момент р(Ь) и смещение известные так же, как и энергетические переменные, потому

что кинетическая энергия находится в функциональной зависимости от момента, а потенциальная энергия в функциональной зависимости от смещения.

В таблице отражены междисциплинарные связи в унифицированном наборе переменных.

(1.1)

(1.2)

(1.3)

Таблица

Междисциплинрные связи

Усилие в Поток ! Смещение я Момент р

Сила Г Скорость V Положение х Импульс р

Крутящий Угловая Угол ф Момент

момент т скорость ш импульса Н

Напряжение в Ток г Заряд я Поток А

Давление Р Объемная скорость Q Объем V Импульс давления Рр

Температура Т Скорость энтропии Б Энтропия Б (Отсутствует)

Мгновенная Мощность Объем Изменение

фондоемкость т предприятия V продукции х фондов т

1.2. Построение динамической модели

Рассмотрим управляемую систему, содержащую элементы различной физической природы. Пусть фазовое состояние системы определяется обобщенными координатами цг и обобщенными скоростями = , ''',3 = 1, 2,...,п. На систему наложены связи, заданные уравнениями:

!м-п (дг,г) =0, !р-п (дг^: ,г) =0, (1.4)

¡л = п + 1,.. . ,п + т, р = п + т + 1, .. . ,п + т + г.

Левые части равенств (1.4) являются непрерывными дифференцируемыми функциями по всем переменным. Если известны лагранжиан системы Ь0 = = Ь0 , диссипативная функция Б0 = Б0 (уцг,го:и непотенциальные обоб-

щенные силы Qk = Qk (яг , к = 1, 2,...,п, действующие на нее, то при идеальных связях динамика системы описывается уравнениями Лагранжа

вцг г в (дЬ0) дЬ° дБ0 л к

-Ж = *> вгЫ) - д7 = ^ - + Хф> (1.5)

к = 1, 2,.. . ,т + г,

содержащими неопределенные множители Ак. В равенствах (1.5), как и всюду в дальнейшем, предполагается суммирование по одинаковым индексам и использованы обозначения

— д!м-п р-п д!р-п

ф- =-, ф- =-.

1.3. Управление динамикой расширенной системы

С целью стабилизации связей для исследования поведения решений системы (1.5) по отношению к уравнениям (1.4) введем параметры цм, Vм, ьр, оценивающие отклонения от уравнений связей, изменение которых определяется дополнительными управляющими силами. Рассматривая параметры цм, Vм, ур как дополнительные "избыточные" координаты, заменим исходную систему расширенной системой, фазовое состояние которой определяется обобщенными координатами цг, цм и обобщенными скоростями Vх, Vм, vр, удовлетворяющими уравнениям связей

«* - ^*-п ^^ =0,

V* - - 1*-п = 0, V0 - Iр-п (д1^0,г) =0. (1.7)

Лагранжиан Ь и диссипативная функция Б расширенной системы определяются как функции обобщенных координат да, а = 1,...,п + т, обобщенных скоростей V7, 7 = 1,...,п + т + г, и времени Ь = Ь ,г), Б = Б ,г) и выбираются так, чтобы при д* = 0, V* = 0, Vр =0 выполнялись равенства Ь (д"-^1 ,г) = Ь0 {ц1^!,, Б (д"-^1 ,г) = Б0 (д1,. Начальные условия удовлетворяют сооношениям

д* Ы = я*, V* (¿0) = V*, V0 (г0) = vp0, (1.8)

д* = I*-п «М),

V* = Ф*-п «М о + 1*-п дл), V00 = 10-п («ЙУом).

Динамика расширенной системы описывается уравнениями

т 1 (дЬ) дЬ дБ л к

Л" = ^ - д? = Ч - дУ + ^ (1.9)

(1.10) (1.11)

1д* = * 1 (дЬ\ дЬ = дБ Л ="" , Иуд-и*) дд* = дv*, 1 ( дЬ \ = дБ 'Жудк0) = - дуР .

Представим функции Ь, Б равенствами:

Ь = Т - Р, 2Т = 2Т0 + Шпв (чк) vпVе, 2Т0 = т. (дк) vivо, (1.12) 2Р = 2Р0 (¿,1) + к*„ (¿,1) д*д", (1.13)

2Б = 2Б0 (с/, V0, г) + еГ1е (с/, г) vпVе, (1.14)

V = п + 1, ... ,п + т, = п + 1, .. . ,п + т + г,

где Т (д0^7,г) — кинетическая энергия, Р (д0^7,г) — потенциальная энергия. Будем предполагать, что коэффициенты т,.. ,тпе,к*„,спе и все их частные производные ограничены в области П изменения переменных д1, V0 и при всех г ^ ¿0.

Выражения для множителей ХК определяются, если уравнения (1.9), (1.10), (1.11) представить в виде, разрешенном относительно производных . Учитывая выражения (1.12)—(1.14), запишем уравнения (1.9)—(1.11) в виде системы

(1.15)

% =^, = V*,

,. к .. , (2) г,„в

где

mik^dГ = mi + + т\ ', тпе¡¡г = -кп*«* - ЬпеVе,

дР0 дБ0

т. = п.- .V гик _ Р0_ Б0 Р0 = ^ Б0 = ^

т1 Чт. Ъ,ок" и б. , дд^ , б. дс^ ''

= 1 / дт. + дты дт.к Ъ0к = Д ддк + ддо дс.

)

2

(2) 1 ((дтпе дспЛ п е дк*» * Л

т - д^) ^ - дТд*д )

дт

Ьпе = ~д~П V1 + спе, кри = кир = 0.

Обозначив (ткг) и (теп) матрицы, обратные к матрицам (тгк) и (теп) соответственно, представим систему уравнений (1.15) в виде, разрешенном относительно старших производных

(1.16)

= г,к ОЯИ = аг = и , аг = и ,

¿г = тк + фккАК + тк(2), ¿г = Ч + К Vе,

тк = ткгтг ,фкк = ткг фК, тк(2) = ткгт(2\ Ъпв = —тпаЪае, кП = —тпа каи, а = п + 1,. .. ,п + т + г.

1.4. Определение управляющих воздействий

Для составления правых частей уравнений динамики заданной системы (1.9) остается определить выражения множителей АК через обобщенные координаты ц1

и обобщенные скорости vг. Продифференцировав равенства (1.7):

¿^ = +

¿Ь = фг ¿Ь + п ,

д2 £ {—и £1-1—п £1-1—п

п = ^^ - VV0 + 2 £ уг + £ 2 , дцгдц0 дцгдЬ дЬ2

д£ Р—п д£ Р—п

кР—п =Ляг ^ + ^

и заменив выражения правыми частями соответствующих уравнений системы (1.16), получим следующую систему уравнений для определения множителей АК:

8квАв = кп+Кци + Ъпв+Куе — фКтг — Ьп+К + фКтг(2), акв = фКфгв. (1.17)

П — п = к, в = 1, 2, .. . ,т + г.

Решение системы (1.17) можно представить суммой

Ав = А^ + А(1 + А(2\ (1.18)

А(0 = —8вК (фКтг + Ьп+К) , А(р) = (кп+Кд{ + Ъв+Куе) ,

А(2) = ввкф?тг(2),

где ввК — матрица, обратная к матрице вкв. Подставляя полученное выражение (1.18) в уравнения (1.16), получим систему дифференциальных уравнений

^ = Vк ^ = тк + фкв Л(0) + А (1) + а(2)

И = У , И = т + ф'

(а(30) + А(1) + а(2)) , (1.19)

¿Я{ ,, ,,, ,, , е Зюр , р е ,

= — = + Ъ{ие, — = Ърв Vе. (1.20)

¿Ь ¿Ь и е ¿Ь е у '

Если начальные значения ц0удовлетворяют условиям (1.11), то система уравнений (1.20) допускает тривиальное решение =0, v{ = 0, vp =0, и система (1.19) может быть записана в следующем виде:

= vk, ^ = тк + фкв А(°). (1.21)

¿Ь ¿Ь в

Решение системы (1.21) при соответствующих начальных условиях удовлетворяет уравнениям связей (1.4). Если же начальные значения ц0,^0 соответствуют равенствам (1.8), то поведение решений системы (1.19) зависит от решений системы уравнений (1.20).

2. Стабилизация связей

2.1. Формулировка задачи

Решение системы уравнений (1.19), (1.20) дг = дг (Ь), V1 = V1 (Ь), дц = дц (Ь), уп+к = уп+к (Ь), соответствующее начальным условиям (1.8) удовлетворяет уравнениям связей (1.6), (1.7). Это означает, что уравнения (1.19), в правых частях которых переменные дц ,уп+к выражены через фазовые координаты дг,уг исходной системы, описывают ее динамику. Система уравнений (1.20) допускает тривиальное решение дц = 0, уп+к = 0, соответствующее уравнениям связей (1.4). Выбором правых частей уравнений системы (1.20), которые определяются соответствующими составляющими кинетической энергии Т (дг, дц,уп+ки дисси-пативной функции ,дц,уп+к,Ь^ расширенной системы, можно управлять

изменением во времени возмущений связей дц = дц (Ь), уп+к = уп+к (Ь). Слагаемые фкв (а^ + в правых частях уравнений системы (1.19) представляют собой дополнительные силы, действующие на исходную систему в соответствии с законом изменения переменных дц = дц (Ь), ук = дк (Ь).

Для упрощения последующих рассуждений представим уравнения динамики (1.19), (1.20), уравнения связей (1.6), (1.7) и начальные условия (1.8), соответствующие расширенной системе в матричном виде:

3-Х = X (х, Ь) + Ж (х, Ь) у + X(2), (2.1)

^ = А (х,Ь) у, (2.2)

у - д (х,Ь)=0, (2.3)

х (Ьо) = хо, у (Ьо) = уо, (2.4)

( 1 2п\ к к п+к к

х = [х , ...,х ) , х = д ,х = V ,

Xк = ук, Xп+к = тк - фквввк (<р?т* + Нп+к) ,

( 1 2т+г \ и —п и т+к п+к

у = \у , ■■■, у ), у = д , у = у .

Матрицы Ш, А коэффициентов уравнений (2.1), (2.2) и вектор X (2) определяются составляющими уравнений (1.6), (1.7), (1.19), (1.20):

Ж<*''>=( Ю • =*<>■

^21 = (Юп+г,ц) , ^22 = ('Шп+г,т+к) , ™гц = 0, Ю^т+к = 0,

п+г,ц = 5гкфкв ВвккЦ+К , ™п+1,т+к = 6гкфквВ Ъп+С,

6гк = 0, % = к, 6ц = 1, С = 1, 2,... ,т + г,

кв в»фКтг(2),

X(2) = (х(2)1, ■■■, х(2)2п) , х(2)к = 0, х(2)'п+к = фквврф

дЦ-п = ^ Ц-п (дг, Ь) , дт+Ц-п = фЦ-пуг + /и-п дт + р-п = у Р-п (дг ,Ь) ,

0 А12 0

А= А21 А22 А23

0 А32 А33

A12 = diag (vn+1, ..,vn+m)

л ( m+,

A21 = К —

_ / m+ß-n\ m+ß-n _

^v—n ) , av—n

д _ / m+ß-n\ m+ß-n _ iß

±22 = [am+v-n) , am+v-n

m+ß-n m+ß-n ß

A23 = \am+p-n) , am+p-n = bp ,

A32 = (am+v-n) 1 amXl-l = bV, t = n + m + 1,...,n + m + r,

VI

А _ (пт + Т —пт + Т — П _ 1Т

А33 _ \ ат+р-п) , ат+р-п _ °р ■

Уравнение (2.1) при у _ 0 принимает вид

^х ,

Тг _ Х '

что соответствует системе (1.21), и справедливо равенство

ОХ + дг _ 0,

* = (%)- g- = (¥)

, а = 1,..., 2m + r, l = 1,..., 2n.

2.2. Необходимое условие стабилизации связей

Для обеспечения стабилизации связей необходимо, чтобы решение уравнений динамики замкнутой системы было асимптотически устойчиво по отношению к уравнениям связей исходной системы. Устойчивость по отношению к уравнениям связей будем понимать в смысле следующих определений.

Определение 1. Движение, соответствующее решению системы уравнений (1.19), устойчиво по отношению к уравнениям связей (1.4), если для любого е существует такое S, что при любых начальных условиях ql (to) = q0, v0 (to) = = v0, удовлетворяющих неравенствам \\y (t0)|| ^ S, ||y|| = yTy, при всех t > t0 выполняется неравенство Цу (t)|| ^ е.

Определение 2. Движение, соответствующее решению системы уравнений (1.19), асимптотически устойчиво по отношению к уравнениям связей (1.4), если оно устойчиво и выполняется условие lim Цу (t)|| =0.

t

Определение 3. Движение, соответствующее решению системы уравнений (1.19), экспоненциально устойчиво по отношению к уравнениям связей (1.4), если оно устойчиво и выполняется условие 11у| ^ |yo| ea(t-to), а < 0.

Устойчивость и асимптотическая устойчивость решений систем дифференциальных уравнений динамики (2.1) по отношению к уравнениям связей (1.4) применительно к системе уравнений (2.1), (2.2) соответствует устойчивости по части переменных [16]. Исследование устойчивости проводится методом функций Ляпунова [17]. Используя соответствующий критерий при определении выражений кинетической энергии и диссипативной функции расширенной системы (2.1), (2.2), от которых зависит правая часть уравнения возмущений связей (2.2), можно обеспечить асимптотическую или экспоненциальную устойчивость тривиального решения y = 0 уравнения (2.2). Достаточные условия экспоненциальной устойчивости формулируются следующей теоремой.

Теорема 1. Если A = —K-1L, матрица L = L (x,t) и постоянная матрица K являются симметричными, определенно-положительными и удовлетворяют условиям

1. WL (x,t)|| > Ao > 0,

2. ki < \\KII < к2,

то уравнение (2.2) имеет экспоненциально устойчивое тривиальное решение y = 0.

Составим функцию Ляпунова в виде положительно определенной квадратичной формы с постоянной матрицей коэффициентов K: 2V = yTKy. Производная функции V, вычисленная в силу системы уравнений (2.1), (2.2), является определенно-отрицательной квадратичной формой относительно составляющих вектора y: V = —yTL (x,t) y. Оценим величину производной функции Ляпунова

V= —yTL (x,t) y < —Aq \\y\\2 . (2.5)

Из неравенства (2.5) с учетом оценки ki ЦуЦ2 ^ yTKy ^ \\y\\2 следует, что V < aV,, а = —2А0/к2 или V < VQea(t-to). Следовательно,

\\y\\2 < 2V/ki < 2Voea(t-to)/ki < (k2/ki) \Ы\2 ea(t-to).

Заключение

Для решения задачи стабилизации связей строится расширенная система, позволяющая учитывать возможные отклонения от уравнений связей при отклонении начальных данных от уравнений связей. Построение уравнений возмущений связей позволяет обеспечить необходимое условие стабилизации связей — асимптотическую устойчивость тривиального решения. При этом уравнения связей описывают интегральное многообразие уравнений динамики исходной системы.

Литература

[1] Ольсон Г. Динамические аналогии. М.: Изд-во иностр. лит., 1947. 224 с.

[2] Layton R.A. Principles of Analytical System Dynamics. N. Y.: Springer, 1998. 158 p.

[3] Грдина Я.И. Динамика живых организмов. Екатеринославль, 1911. 107 с.

[4] Коренев Г.В. Введение в механику человека. М.: Наука, 1977. 263 с.

[5] Пятницкий Е.С. Избранные труды: в 3 т. Т. 3. Теоретическая биомеханика. М.: Физматлит, 2006. 448 с.

[6] Саитов Р.И. Математическая модель процесса познания // Проблемы физико-математического образования в педагогических вузах России на современном этапе: материалы II Уральской региональной межвузовской научно-практической конференции, Уфа, 19-21 мая 1997 г. Уфа, 1997. Ч. 2. С. 66-67.

[7] Сиразетдинов Т.К. Динамическая модель прогнозирования и оптимальное управление экономическим объектом // Изв. вузов. Сер.: Авиационная техника, 1972. № 4. С. 3-8.

[8] Сиразетдинов Т.К. Динамическое моделирование экономических объектов. Казань: Фэн, 1996. 223 с.

[9] Сиразетдинов Т.К., Родионов В.В., Сиразетдинов Р.Т. Динамические модели экономического региона. Казань: Фэн, 2005. 320 с.

[10] Мещерский И.В. Работы по механике тел переменной массы. М.; Л.: Гостех-издат, 1952. 280 с.

[11] Галиуллин А.С. Методы решения обратных задач динамики. М.: Наука, 1986. 224 с.

[12] Новоселов В.С. Аналитическая механика с систем с переменными массами. Л.: Изд-во ЛГУ, 1969. 240 с.

[13] Мухарлямов Р.Г. Моделирование динамики простейших экономических объектов как систем с программными связями // Вестник РУДН. Сер.: Физ.-мат. науки. 2007. № 1. С. 25-34.

[14] Ахметов А.А., Мухарлямов Р.Г. Применение методов моделирования механических систем для управления экономическими объектами // Вестник КГТУ. 2008. № 2. С. 81-84.

[15] Pynter H.M. Analysis and Design of Engineering Systems. Cambridge, MA: MIT Press, 1961. 370 p.

[16] Озиранер А.С., Румянцев В.В. Метод функций Ляпунова в задаче об устойчивости движения относительно части переменных // ПММ. 1972. Т. 36. Вып. 2. С. 364-383.

[17] Мухарлямов Р.Г. Построение множества систем дифференциальных уравнений устойчивого движения по интегральному многообразию // Дифференц. уравнения. 1969. Т. 5. № 4. C. 688-699.

Поступила в редакцию 21/XI/2013;

в окончательном варианте — 21/XI/2013.

DYNAMICS CONTROL AND CONSTRAINT STABILIZATION

© 2013 N.V. Abramovf R.G. Mukharlyamov5

Results of researchers on dynamics modeling of the systems containing different physical elements are proposed. The construction method of the physical systems dynamics equations, providing constraints stabilization, is discussed. The problem of corresponding constraints reactions or determination of control actions is reduced to the construction of the system of differential equations, assuming that the partial integrals are given. The conditions of asymptotic stability and exponential stability an integral manifold's corresponding constraint equations are defined.

Key words: mechanics, program constraints, reaction, stability, numerical solution,

stabilization, dynamics, equation, construction, system.

Paper received 21/X7/2013. Paper accepted 21/X7/2013.

4Abramov Nikolay Vasilievich (abramoff@mail.ru), the Dept. of Natural-Science Disciplines, Nizhnevartovsk Branch of Tyumen State Oil and Gas University, Nizhnevartovsk, 628600, Russian Federation.

5Mukharlyamov Robert Garabshevich (robgar@mail.ru), the Dept. of Theoretical Mechanics, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, 117198, Russian Federation.