Управление безопасностью объектов повышенного риска Текст научной статьи по специальности «Математика»

Данилов А.М., Голованов О.А., Гарькина И.А, Лапшин Э.В. УПРАВЛЕНИЕ БЕЗОПАСНОСТЬЮ ОБЪЕКТОВ ПОВЫШЕННОГО РИСКА

Рассматривается управление безопасностью объектов повышенного риска. Дается иллюстрация на примере объекта хранения и уничтожения химического оружия

В работе осуществляется определение риска от деятельности объектов повышенной опасности (атомных электростанций, объектов хранения и уничтожения химического оружия, баз и арсеналов хранения боеприпасов и др.) с использованием теорий случайных ветвящихся процессов и принципов оптимального управления.

Стохастические ветвящиеся процессы являются частным случаем марковских процессов со счетным множеством состояний и определяются на основе изучения организации деятельности объекта, расчленения его на группы функционирующих блоков с установлением их взаимосвязей.

Пусть число элементов (блоков) , находящихся в момент времени t в состояниях S , равно m , S2 - m

Si - mt ^ Sj - mj ^ ^ - m . Переход объекта из состояния в момент времени t в состояние, соот-

етствующее моменту времени

(m, m2, . . . , m, ■ ■ ■ , m, ■ ■ ■ , m„) ^(m, m, ■ ■ ■ , m +1, ■ ■ ■ , m -1, ■ ■ ■ , m) (i)

'¿2,..., II т ,•••, т ^ у ^ ^ ,

осуществляется с вероятностью

Ру =аут^А£ + 0(А/) ; г,у = 1,2,...,п (2)

или

(т,т2,...,т,...,|,...,тп) ^ (т1,т2,...,| -1,

с вероятностью

Р = ДтА/ + 0(А/) ; / = 1,2,...,п . (4)

Состояние ветвящегося процесса описывается случайным вектором

КО = С"! (0^2 (О- ' (0) '

^ (/), к = 1,п (в момент времени / число элементов, находящихся в состоянии Бк , равно ¡ик(/) = т ) Для полученной математической модели (1)-(4) производящая функция [1-3] имеет вид

Р(/;х1,х2,...,х„) = М[х^')х^2(')...л:Пп(/)] ; (5)

математическое ожидание М удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных

др п п ( Я21

~д/~

=22^

i=1 j=1

^ 2 ö2F öFЛ

aj (xi - xixj)т-Z— + A(1 “ xi )t~

ox, ox, ox.

* j

, (6)

где V I п ■ ■

и 1 0 при г = у.

Подстановка (5) в (6) приводит к линейной нормальной системе обыкновенных дифференциальных уравнений ¿р<

-г- = 22sj (a (mi-1)( mj +1) P + ß (mi+1) Pr- (ammj- ßimi) ps ); (7)

ж ууу \-"г я

ш г=1 j=1

£ соответствует случаю, когда числа элементов объекта, находящихся в состояниях S■í,...,Si,...,SJ,...,Sn , соответственно равны 7И 7Ии ; аналогично д - — 1,;

г - т,...,т+1,...,т,...,т.

В общем случае (Ху=&у(/) , Д=Д(/) . Естественным образом возникает задача оптимального управления

: определить траекторию вероятностей P (f)

и управление

U (f) , достав-

ветвящимся марковским процессом:

ляющее минимум функционалу Т

J (Р, и ) = | С (t, Р, и) dt (8)

*0

при дифференциальных связях Шр = f(/,Р,и) , (9)

граничных условиях р (/о ) = р0 , (10)

Р(Т) = Рт (11)

и ограничениях на управление

иеб , (12)

где Р=( Р , Р2,..., р ^.^ Рт ) , И (а11,а12,...,ау ,...,апп ,Д1,Д2,...,Д,...,Дп ) - векторы фазовых вероятностей и управлений, f =( /и Л — Л,- /т ) - вектор правых частей дифференциальных уравнений (7), б - замкнутое множе-

ство (I = п2 +п ) -мерного пространства.

По принципу максимума Понтрягина оптимальное управление И(/) при каждом / доставляет абсолютный максимум Гамильтона функции

Н (Ü) = max// (U) = шах

v ' Ue Q U eQ

2wifi (t, P, U)-С (t, P, U)

. i=1 .

і = 1,2,..., га (14)

определяется из системы уравнений

_ дИ & др 5

Оптимальное управление и (/, Р, у) определится как решение краевой задачи (9), (13), (14) при граничных

условиях (10), (11) (системы 2т дифференциальных уравнений с 2т граничными условиями).

Что касается прямых методов, то наибольшее распространение получили методы, использующие идеи спуска в пространстве управлений. Часто в задачах оптимального управления ищется минимум функционала

3 = ¥ (Р (Т)) (15)

при условиях (9), (10) и (12) - задача со свободным правым концом. Так, например, при оценке риска

от деятельности объектов повышенной опасности используется математическое ожидание количества блоков, находящихся в момент времени Т в аварийном состоянии:

п

3 = Хт0 -М [Мк (Т)] .

к = 1

В методах спуска в пространстве управлений последовательно получаются управления Ц. е 0 вида

Ик+1 (0=Ик (0+*И (?)' (16)

где 5Ик (?) - вариация, которой соответствует монотонно убывающая последовательность значений функционала. Для уменьшения значения функционала (15) на каждой итерации следует выбирать значение (/)

из условия

(?)=»— , ц< 0

ку) ди

(следует из (9); ^ (Т) = —

дЕ (Р (Т ))

, / = 1,2,...,т ; 53 = — [—ЗиЛ

[ ЯТ7

дР

ди

дН

Производная ------ определяется при управлении И (?) ,

ди х '

точно малой

тветствующей траектории р (?) . Выбор доста-

зеличины /Л допускает линеаризацию и возможность уменьшения функционала 3 = ¥(Р(Т)) . Процесс спуска (16) начинается с некоторого И (?) и заканчивается, когда на некоторой итерации |&/| становится меньше некоторого заданного 8 .

Ниже приводится иллюстрация указанного выше на примере оценки риска от деятельности объекта по хранению и уничтожению химического оружия (блок-схема приводится на рис.1, структура вероятностных переходов - на рис. 2) . На рисунках Л1 (?) , Л2 (?) и Лз(?) - соответственно число единиц химических боеприпасов, находящихся на объекте хранения в момент времени ? ; подготовленных для уничтожения и уничтоженных химических боеприпасов ( л(?), Л(?), Л (?) - случайные величины). Управление безопасностью объекта состоит

в определении значений С^2, ^21, ^23, ^2, ,^1, А, А как функций времени. Их минимальные и максимальные

значения (табл. 1) используются в качестве ограничений на управление И (?) .

Объект хранения химических боеприпасов щ(Ч = щ “а Объект подготовки «1! Объект уничтожения химических боеприпасов и ,а) = т,

«21 химических боеприпасов к уничтожению «и

= т.

А А

Аварийность: С(І)= -Л/[|1^^)]

Рис. 1. Блок-схема функционирования объекта хранения и уничтожения химического оружия Соответствующая блок-схеме структура вероятностных переходов (1) и (3) приводится на рис.2.

В качестве подынтегральной функции в функционале (8) используется математическое ожидание числа химических боеприпасов, находящихся в аварийном состоянии (разлив отравляющего вещества на объекте подготовки к уничтожению - р2 или при уничтожении - Д ):

С (/,Р,и) = ]Г т0 —М [Мк ^)] .

Таблица 1. Минимальные и максимальные значения а , Д

Т

к=1

а 12 а21 а23 а32 3 а1 3? А Д3

min 0,110—2 О О* 0,1 -10—2 0,2 -10—3 О 0,5-10—4 0,9-10—6 0,9-10—6

max О © 1, о о 0,5 -10—2 0,8 -10—3 0,6 -10—3 0,5-10—3 О О о О

Краевые условия (10), (11) соответственно имеют вид:

P (t0 ) =

1 при ml = m°, m2 = m°, m3 - ml 10 при (m,m2,m3)^(m°,m0,m°)

(17)

11 при (m,,m9,m) = (0,0,m° + m° + m° )

/ L • (і®)

0 при (mi, m2,m,) ^(0,0,mi + m2 + m, )

Краевое условие (17) определяет начальное состояние объекта (хранится т^ химических боеприпасов,

о О , , - п .

подготовлены к уничтожению - т , уничтожены - т ), краевое условие (18) определяет конечное состояние

объекта (за время т = Т — /0 все т0 + т0 + т0 химические боеприпасы уничтожены).

Рис. 2. Структура вероятностных переходов

Оптимизация управления осуществляется на основе принципа максимума Понтрягина с использованием функционала

J(P’U) = jfZ< ~М[л (t)]]dt

t0 \ k = 1 )

в среде Matlab с использованием стандартных программ.

Управление U(t) = (^12 (t),^2l(t),^^(t),^32 (t),^13 (t),^3i(t),Ä(t),A(t)) должно обеспечивать максимально возможную безопасность функционирования объекта в течение года (результаты оптимизации из условий минимума среднего значения математического ожидания числа химических боеприпасов, находящихся в аварийном состоянии, в течение одного года функционирования объекта приводятся на рис.3.4). Результаты управления

U (t) , полученные на основе принципа максимума Понтрягина, используются как начальное приближение в методе спуска. При t<4 управление объектом - нестационарное, при t >4 - стационарное; наблюдается снижение безопасности при нестационарном управлении. При оптимальном управлении

Qmx (t) = с(2,5) = 0,025 ;

р{м (t) + М (t) + Мз (t) ф 2501 Мі (0) = 250, м2 (0) = 0,м3 (0) = 0| < 10“'

Если краевые условия задаются и на правом конце (см. (18)), то вычислительный алгоритм значительно усложняется (введение штрафа за невыполнение краевых условий, например, вместо (15) использовать функ-

ционал J = F(P(T)) + ХЛ (P (T)“Pt )\ Л > 0 ).

i=1

12 t, месяцы

Рис3. Оптимальное управление: U(t) = (а12 (t ),а21 (t ),а23 (t) ,а32 (t ),а13 (t ),а31 (t ),ß2 (t ),ß3 (t)) :

10“2a12(t) - 1; 10“3a(t) - 2; 10“2a(t) - 3; 10“3a32(t) - 4; 10“3a13(t) - 5; 10“3a31(t) - 6; 10“6ß2(t) -

10“5ß3 (t) - 8; m0 = 250 , ml = 0 , m30 = 0

При стационарном управлении:

4 =а(12), а° = а21(12), а° = а23(12), а302 = а32(12),

-*12 ” 12 \

а° -а13

21 21

а0з = 4 (12), 4 = 4 (12), $ = ß2 (12), ß,0 = ß (12)

4

С(2,5) = 0,135 (при оптимальном управлении - 0,0245 ). Кол. боеприпасов

2 4 6 8 10 12 месяцы

Рис. 4. Безопасность функционирования объекта по хранению

и уничтожению химического оружия: кривая 1 - М \_^)] ; 2 - М [^2 ^)] ;

3 - М )] ; 4 - 10^ С (/) .

ЛИТЕРАТУРА

1. Севостьянов Б.А. Ветвящиеся процессы, М.: Наука, 1971.

2. Данилов А.М., Гарькина И.А., Голованов О.А., Еремкин А.И., Прошин А.П. Теория катастроф в решении задач безопасности объектов хранения и уничтожения химического оружия. /Вестник Волжского регионального отделения РААСН, вып. 4, Н-Новгород, 2000.

3. Данилов А.М., Гарькина И.А., Голованов О.А., Еремкин А.И., Прошин А.П. Вероятностная оценка тяжелых аварий на объектах хранения и уничтожения химического оружия. /Новое в экологии и безопасности жизнедеятельности. Т. 2, С-Петербург, 2000.