Управление беспилотным самолетом методом динамического программирования в теории графов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 536.21:27.35:25

УПРАВЛЕНИЕ БЕСПИЛОТНЫМ САМОЛЕТОМ МЕТОДОМ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ТЕОРИИ ГРАФОВ

Е.А. Пегачкова, Е.Л. Кузнецова, Ю.А. Горбунова

Рассматривается задача управления беспилотным самолетом, которому необходимо выполнить заданный маневр с минимальными затратами топлива. Используя математическую модель полета, описывающую движение самолета в канале тангажа, был составлен орграф, в котором в качестве длины дуги выступают затраты топлива на выполнение одного из двух маневров: увеличение скорости при постоянной высоте или набор высоты при фиксированной скорости. К рассматриваемой задаче применяется обобщение классического принципа оптимальности и метода динамического программирования в терминах теории графов, то есть минимальный расход топлива является кратчайшим путем на ориентированном графе.

Ключевые слова: оптимальное управление, ориентированный граф, динамическое программирование.

Рассматриваемая задача полета летательного аппарата в вертикальной плоскости с минимальным расходом топлива носит прикладной характер. Предлагается упрощенный способ решения поставленной задачи, дающий приемлемый результат с минимальной погрешностью.Составлена упрощенная модель полета самолета в вертикальной плоскости, а также предполагается, что для набора требуемых значений по высоте и скорости, беспилотный летательный аппарат совершает ряд последовательных шагов, причем на каждом этапе происходит только увеличение высоты или только увеличение скорости. Решение задачи рассматривается в классе непрерывно-дискретных систем. Используя математическую модель полета строится орграф, в котором в качестве длины дуги выступают затраты топлива на выполнение одного из двух маневров: увеличение скорости при постоянной высоте или набор высоты при фиксированной скорости. Вершины графа определяются парой координат, равных количеству шагов от вершины, отвечающей начальным значениям, по осям скорости и высоты до рассматриваемой вершины. Обобщением сформулированной задачи является одновременное увеличение скорости беспилотного самолета и набора им высоты, что приближает задачу к реальному полету, тогда перемещение по графу происходит по восходящей диагонали графа. К рассматриваемой задаче применяется обобщение классического принципа оптимальности и метода динамического программирования в терминах теории графов, то есть минимальный расход топлива является кратчайшим путем на ориентированном графе.Полученную на орграфе серию наборов высоты и увеличения скорости далее необходимо подставить в соответствующие системы дифференциальных уравнений, перейдя при этом к непрерывной системе. Моделирование полета производится с помощью программного

комплекса, позволяющего строить траектории движения самолета и вычислять расход топлива на выполнение заданного маневра для различных моделей и параметров беспилотных самолетов.

Постановка задачи. Рассматривается задача поиска оптимального управления беспилотным самолетом (А его бон ёе). Необходимо осуществить набор скорости и высоты полета до требуемых значений с минимальными затратами топлива. Задача рассматривается в классе непрерывно-дискретных систем. Ограничимся движениями самолета с приращением высоты на постоянной скорости и ускорениями на постоянной высоте.

Движение летательного аппарата описывается системой дифференциальных уравнений:

dt т

' Ра

— д sin в;

dt \ mV V

— = V sin в; ^

dt

— = V COS в]

dt

dm

- = —rn

dt ceK'

ti = в + a,

где V- скорость; H- высота; t - время; а - угол атаки; д- угол тангажа; в- траекторный угол; су0- коэффициент подъемной силы при = 0; суа-коэффициент производной первого порядка по углу атаки; сх0- коэффициент минимального лобового сопротивления; Р- тяга двигателя; шсек- секундный расход топлива при максимальной тяге; p(Ji)~ плотность воздуха; S- плотность крыла; I- размах крыла; е- коэффициент Освальда.

Приведем некоторые технические характеристикиАегозопёе: размах крыла - 2,8956 м; площадь крыла - 0,55 м ; коэффициент минимального лобового сопротивления - 0,0434; коэффициент подъемной силы при нулевом угле тангажа - 0,23; коэффициент подъемной силы производной первого порядка по углу атаки - 5,6106; масса самолета при полных баках - 13,5 кг; масса самолета при пустых баках - 8,5 кг.

Граничные условия:

vlt0) = 20 м/с; H(t0) = 50 m;V(T) = 50 м/с; Н(Т) = 1000 ж

Требуется найти оптимальное управление, позволяющее выполнить заданный маневр с минимальным расходом топлива:

т

m = I

р

1тек

--mrpKm„dt тт.

р сектах

гтах

Алгоритм решения задачи. Будем рассматривать задачу в классе дискретных систем, в плоскости обобщенных координат высота - скорость. Задавая интервалы изменения скорости ЛК =-—-; и высоты

АН = разбиваем полученные интервалы на М и N шагов, соот-

ветственно. На рис. 1 представлена схема такого разбиения.

Рис. 1. Схема разбиения

Далее строим взвешенный орграф^,/), каждая вершина которого однозначно определяется парой координат, равных числу шагов от вершины, отвечающей начальным значениям, по осям скорости V и высоты Н к рассматриваемой вершине. Вес дуги - затраты топлива на выполнение самолетом элементарных операций по увеличению скорости на постоянной высоте и по набору высоты при постоянной скорости. Расход топлива определяется из решения двух отельных систем, учитывая допущение о том, что расход топлива считается от полного бака, т.к. изначально нет информации о количестве топлива при попадании в заданную точку на графе.Рассмотрим отдельно каждый маневр.

Набор высоты (вычисление весов вертикальных дуг графа): самолет находится одинаково ориентированным в пространстве и скорость и

угол тангажа постоянны, т.е. V = const, = 0, $ = const. Поэтому система (1) преобразуется к виду:

Р = сх0+

(суа(0-б))' п-е-12

S\ у2

S • p(h)--1- mg sinO ;

йв P{V-e) + (cy0+cya{V-e))s-p{h)\ g

— =------ — - cos в ;

dt mV V

— = V sin в ; dt '

dm dt

= —m

сек>

где в качестве состояния выступает четверка (jd,0,H,in), а управление производится тягой Р.

Набор скорости (вычисление весов горизонтальных дуг графа): самолет летит на постоянной высоте с неизменным траекторным углом, т.е. Н = const, в = 0, а значит система (1) принимает вид:

m-g-cy0-S-p{h)~ а =---— ■

U V2 I

cya-S-p(h)-—+P

= (3)

dx _ у

dt ~ '

dm _

V ~тсек>

где вектором состояния является (V,x,m), а управление производится углом атаки а.

Таким образом, получили взвешенный орграф специального вида, правый верхний угол которого представлен на рис. 2. В соответствии с методом динамического программирования определим функцию£(7, Я), аналогичную функции Беллмана, как длину кратчайшего пути (минимальный расход топлива) от предпоследней вершины до конечной вершины, при этом Lk(Vm,Hn) = 0.

Рис. 2. Взвешенный орграф специального вида

Выпишем несколько начальных шагов решения. Если из данной вершины путь единственный, то сразу вычисляем функцию Ь(У,Н)как сумму веса дуги при переходе от предыдущей вершины к следующей и ранее вычисленного расхода топлива:

Ьк-1(Ум-1>Нн) = с1(<(ум_1,Нм) -> (УМ,НМ)) + ЬК(УМ,НМ); Ьк-1(Ум>Ни~1) = (1(<(УМ)НМ_1) (УМ)НМ

)) +

Ьк-2(Ум-2>Нн) = с1((Ум_2,Нм) -> (УМ,НМ_1)) + Ьк_1(ум,Нм_1);

Ьк-г(Ум>^-г) - ^(УМ,НМ_2) -> (УМ,НМ_1)) + Ьк_1(ум, Нм_1).

Если существует несколько путей, то выбирается тот, при котором суммарный расход топлива будет минимальным:

^к—2 (Ум—1> ^N—1) ~ тт{с1(<(ум_1,Нм_1) -> (УМ,НМ_1)) + Ьк_1(ум,Нм_1);

^((УМ_1,НМ_1) -> (УМ_1,НМ)) + 1К_1(УМ_1,НМ)}.

Аналогичным образом последовательно вычисляем значения функции во всех вершинах орграфа, при этом расчеты ведутся, переходя от указанной выше «диагонали» к следующим нижестоящим. Последней вершиной, в которой будет вычислено значение функции, является начальная вершина (Уо^0); Н0(^0)).Оптимальное управление строится, начиная с вершины (%(г:0);Я0(г:0)), с использованием условно-оптимальных траекторий, полученных на предыдущем шаге.

Полученную на орграфе серию наборов высоты и увеличения скорости подставляем в соответствующие системы дифференциальных уравнений, перейдя при этом к непрерывной системе. Построив траектории движения самолета, вычисляем расход топлива на выполнение заданного маневра.

Численное решение. Рассмотрим решение задачи с помощью программного комплекса, позволяющего задавать параметры летательного аппарата, граничные значения скорости и высоты, а также выбирать количество интервалов разбиения. Для наглядности приведем разбиение плоскости обобщенных координат 4x4.Числа между вершинами графа указывают затраты топлива в килограммах на выполнение операций по увеличению скорости или набору высоты. При этом считается, что при выполнении заданного маневра самолету не разрешается снижать скорость и высоту полета, т.е. изменение параметров полета должно проводиться на графе по стрелкам, направленным вправо при ускорении или вверх при подъеме. На рис. 3 красным цветом выделены условно-оптимальные управления, а синим - представлен оптимальный путь, вычисленный по приведенному выше алгоритму при следующих параметрах: угол тангажа д = 10°, начальная скорость = 20м/с, конечная скорость — 20м/с, текущая высота Н(£0) = 50 м, конечная высотаЯ(Г) = 100м, максимальное значение тяги двигателя Ртах = 70 Н, секундный расход топлива при максимальной тяге шсек = 0,0002 кг/с.

Расход топлива при таком режиме составляет 0,1301 кг. После построения полученной траектории в классе непрерывных систем расход в силу введенного допущения незначительно сокращается до 0,1299 кг. Ниже на рис. 4-7 приведены графики полученных траекторий.

На рис. 6-7 "скачки" отражают, что переключение с режима набора высоты на набор скорости не происходят мгновенно и естественно такая схема полета является субоптимальной и не отражает реальный полет, но полученный таким образом расход топлива является верхней границей, т.е. минимальные затраты топлива на выполнение требуемого маневра должны получиться заведомо меньшими значения, полученного при решении в классе дискретных систем.

Рис. 3. Интерфейс программы

Рис. 4. Зависимость скорости от времени

Рис. 5. Зависимость высоты от времени

357

Рис. 6. Зависимость траекторного угла от времени

Рис. 7. Зависимость угла атаки от времени

Заключение. Рассмотренная задача управления полетом беспилотного самолета в вертикальной плоскости до достижения заданных конечных условий с учетом минимизации расхода топлива решается в классе непрерывно-дискретных систем, с учетом определенных допущений обоснован переход к дискретной системе. Полет самолета в работе разбивается на отдельные маневры: увеличение скорости или набор высоты полета до требуемых значений, расход топлива выступает в качестве длины дуги орграфа и требуется найти кратчайший путь. Для решения задачи была разработана программа, позволяющая рассчитывать оптимальный расход топлива как для дискретной, так и для непрерывной системы.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ16-38-00079 мол_а, гранта Президента Российской Федерации МД-4560.2015.8.

Список литературы

1. Горбунова Ю.А., Пегачкова Е.А. Задача управления беспилотным самолётом методом динамического программирования в теории графов // ХЬП Международная молодёжная научная конференция «Гагаринские

358

чтения - 2016»: сборник тезисов докладов в 4 т. М.: Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), 2016. Т. 1. С. 467-468.

2. Вентцель Е.С. Элементы динамического программирования. М.: Наука, 1964. 175 с.

3. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. М.: Наука, 1965. 458 с.

4. Лебедев А. А., Чернобровкин Л.С. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов. М.: Оборонгиз, 1973. 615 с.

Пегачкова Елена Александровна, канд. физ.-мат. наук, доц., [email protected], Россия, Москва, Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет),

Кузнецова Екатерина Львовна, д-р физ.-мат. наук, проф., [email protected], Россия, Москва, Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет),

Горбунова Юлия Антоновна, студент, julia_gorbunova@,list.ru, Россия, Москва, Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет)

CONTROL OF THE PILOTLESS AIRCRAFT BY METHOD OF DYNAMIC PROGRAMMING IN THE THEORY OF COUNTS

E.A. Pegachkova, E.L. Kuznetsova, Yu.A. Gorbunov

The task of control of the pilotless aircraft which needs to execute the set maneuver with the minimum costs offuel is considered. Using the mathematical flight model describing movement of the plane in the channel of pitch the orgraf in which fuel costs for accomplishment of one of two maneuvers act as length of an arch was constituted: increase in speed with a fixed height or ascent at the fixed speed. Generalization of the classical principle of an op-timality and method of dynamic programming in terms of the theory of counts is applied to the considered task, that is the minimum consumption of fuel is in the shortest way on the oriented count.

Key words: optimum control, the oriented count, dynamic programming.

Pegachkova Elena Aleksandrovna, candidate of physical and mathematical sciences, docent, [email protected], Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National research university),

Kuznetsova Ekaterina Lvovna, doctor of physical and mathematical sciences, professor, [email protected], Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National research university),

Gorbunov Yulija Antonovna, student, iulia_gorbunova@,list. ru, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National research university)