CC BY
47
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Антиобледенительные системы // Строительный сезон. -2001. - №5. - С. 28-33.
2. Способ удаления льда с водостоков крыш зданий и сооружений: пат. 2209906 Рос. Федерация. № 2002118385/03; заявл. 08.07.02; опубл. 10.08.03, Бюл. № 22. - 5 с.
3. ТУ 3468-007-02067824-2003. Многоэлектродные композиционные электрообогреватели (МКЭ). № Гос. рег. 004026 / Разработчик М.В. Халин. - Барнаул, 2003. - 24 с.
4. Евстигнеев В.В., Пугачев ГА., Халина Т.М., Халин М.В. Расчет и проектирование низкотемпературных композиционных электрообогревателей. - Новосибирск: Наука, 2001. - 168 с.
5. Халин М.В. Теория и разработка низкотемпературных электрообогревателей: дис.... д-ра техн. наук. - Барнаул, 1998. -330 с.
6. Справочник резинщика / ред. кол. П.И. Захарченко, Ф.И. Яшунская, В.Ф. Евстратов, П.Н. Орловский. - М.: Химия, 1971. - 608 с.
7. ГОСТ 20214-74. Пластмассы электропроводящие. Метод определения удельного объемного электрического сопротивления при постоянном напряжении.
8. ГОСТ 270-75. Резина. Метод определения упругопрочностных свойств при растяжении.
9. ГОСТ 415-75. Каучуки и резиновые смеси. Метод определения пластоэластичных свойств на пластомере.
10. ГОСТ 9.030-74. Резина. Методы испытания на стойкость в ненапряженном состоянии к воздействию жидких агрессивных сред.
11. Халин М.В., Востриков Е.И., Бутцев Д.В. Энергоэффективная антиобледенительная система на основе композиционных электрообогревателей // Энергообеспечение и энергосбережение - региональный аспект: Матер. докл. XII Всеросс. со-вещ. - Томск: Изд-во «СПБ Графикс», 2011. - С. 32-35.
Поступила 26.12.2011 г.
УДК 621.374.4/5:517
УНИВЕРСАЛЬНЫЙ КРИТЕРИЙ ДЛЯ РАСЧЕТА ПАРАМЕТРОВ НЕЛИНЕЙНОГО КОЛЕБАТЕЛЬНОГО КОНТУРА С ПЕРИОДИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮЩИМСЯ ПАРАМЕТРОМ
Р.А. Вайнштейн, Н.В. Коломиец, В.В. Шестакова
Томский политехнический университет E-mail: [email protected]
Показано, что выполнение условия равенства среднего за период значения собственной частоты параметрических колебаний позволяет получить соотношения между электромагнитными и конструктивными параметрами делителя частоты на границе возникновения колебаний половинной частоты и в стационарном режиме. Полученные соотношения позволяют произвести расчеты сдостаточной точностью.
Ключевые слова:
Делитель частоты, параметрические колебания, средняя частота.
Key words:
Frequency demultiplier, parametric variation, medium frequency.
Данная работа выполнена в связи с использованием электромагнитного параметрического делителя частоты на два в качестве основного элемента источника контрольного тока, используемого для выполнения защиты от замыканий на землю в электроустановках напряжением 6-35 кВ [1].
Электромагнитный параметрический делитель частоты является известным устройством. Впервые параметрические колебания в электрических системах были реализованы и теоретически описаны Л.И. Мандельштамом и Н.Д. Папалекси [2]. Также они предложили использовать для реализации параметрических колебаний в электрических цепях индуктивность с нелинейным ферромагнитным сердечником.
Электромагнитный параметрический делитель частоты содержит два замкнутых магнитопровода из электротехнической стали А и Б, на каждом из которых нанесены по две обмотки с числом витков щ и рис. 1.
ь
Рис. 1. Схема делителя частоты с вентилем в цепи питания
Обмотки w1 вместе с вентилем ¥Б образуют цепь, называемую цепью возбуждения, которая подключается к источнику переменного тока с частотой 2ю. Обмотки w2 образуют вместе с конденсатором СК параметрически возбуждаемый колебательный контур. Обмотки сердечников А и В соединены так, что между ними нет электромагнитной связи, и поэтому вынужденные колебания с частотой 2ю в колебательном контуре отсутствуют. Роль
обмоток щ при таком соединении обмоток заключается в том, что при протекании по ним переменного тока периодически изменяется магнитная проницаемость магнитопроводов, а следовательно, и индуктивность обмоток щ. Диод УБ в цепи возбуждения необходим для того, чтобы при четной зависимости магнитной проницаемости магнито-проводов от напряженности магнитного поля обеспечить основную частоту изменения параметра (индуктивности) колебательного контура, равной частоте источника питания 2о.
При разработке источника контрольного тока ряд важных соотношений получен на основе учета специфических свойств параметрических колебаний, их фундаментального отличия от других видов колебаний.
Параметрические колебания могут возникнуть в колебательной системе, например второго порядка, если параметр накопителя энергии (конденсатора или катушки индуктивности) под действием внешней силы изменяется периодически и между частотой этого изменения и параметрами системы имеется определенное соответствие. Параметрические колебания возникают и поддерживаются без приложения к цепи внешних источников, только за счет энергии, передаваемой посредством периодического изменения энергоемкого параметра.
Особенность параметрических колебаний позволяет классифицировать их как явление промежуточное между вынужденными колебаниями в неавтономных системах и свободными колебаниями в автономных системах. С одной стороны период параметрических колебаний определяется только параметрами системы, так как вынуждающая сила в обычном смысле отсутствует. Это роднит параметрические колебания со свободными колебаниями. С другой стороны, в отличие от чисто автономных систем, фаза параметрических колебаний не может иметь любое значение, зависящее только от случайных или искусственно созданных начальных условий. Фаза параметрических колебаний связана с фазой периодически изменяющегося параметра и может принимать несколько дискретных значений, возможное количество которых зависит от соотношения основной частоты изменения параметра и частоты параметрических колебаний.
Отмеченная двойственность параметрических колебаний впервые была сформулирована следующим образом [3]: «...колебания, хотя и являются вынужденными, все же, в известном смысле, свободны. Поддержание их зависит целиком от энергии, которая сообщается им внешней силой и, тем не менее, внешняя сила нисколько не определяет и даже не изменяет заметно их периодов».
Таким образом, принципиально необходимым условием существования параметрических колебаний является равенство их частоты собственной частоте колебательного контура.
Поскольку один из параметров колебательного контура, в данном случае индуктивность, меняется в течении периода, то и мгновенное значение соб-
ственной частоты в течение периода не остается постоянным. Поэтому точнее говорить о выполнении условия равенства среднего за период значения собственной частоты частоте параметрических колебаний. Ниже показано, что использование одного этого условия позволяет получить ряд необходимых расчетных соотношений с точностью, достаточной для инженерных приложений.
Экспериментальные данные, приводимые для сравнения с расчетными, получены на делителе частоты со следующими параметрами:
• площадь поперечного сечения сердечника -<?=5.10-4м2;
• длина средней силовой линии - /ср=0,306 м;
• число витков обмотки возбуждения - ^=570;
• число витков обмотки колебательного контура
- ^2=3000;
• емкость конденсатора - СК=0,5-5 мкФ.
• коэффициенты аппроксимации кривой намагничивания - а=2,06 А/м; в=4,8 Тл-1. Практически требуется решение двух задач.
Определения количественных соотношений между электромагнитными и конструктивными параметрами делителя частоты на границе возникновения колебаний половинной частоты и в стационарном режиме.
При анализе действительная петлевая зависимость между индукцией и напряженностью поля в сердечниках делителя частоты заменяется средней кривой намагничивания, которая аппроксимируется выражением
И=аЪрЬ,
где к и Ь - соответственно мгновенные значения напряженности магнитного поля и индукции.
Система уравнений для контуров делителя частоты и уравнения намагничивающих сил магни-топроводов позволяют получить следующее уравнение, описывающее процессы в колебательном контуре делителя частоты
й2(РЬА - рьв) +
йт2
+2^, й(вА ~РЪъ) + ( -5]1рЬъ)1 = о, (1)
ат К
где ЬА и ЬБ — мгновенные значения индукции в сердечниках А и Б; 2gt=g/(mC^^); К = 2^Ск.
т=®; q - площадь поперечного сечения сердечника; /ср - длина средней силовой линии; о - половинная частота.
На границе возбуждения колебаний половинной частоты, когда ток в колебательном контуре равен нулю, ЬА=ЬБ, поэтому задача выявления условий возбуждения заключается в исследовании устойчивости нулевого решения дифференциального уравнения (1), которое при малом возмущении АЬ=ЬА-ЬБ сводится к уравнению
а2 в АЬ
+ 2¥„--------+ вАЬ
К
йт
2 + 2^, ^вАЬ +рАЬ1оЪрЬ = 0, (2)
йт
а подстановкой АЬ=цв v к виду d 2п
dT2
- g2 +—ch^ b K
П = 0.
В полученном уравнении (2) коэффициент при вАЬ представляет собой отношение мгновенной резонансной частоты колебательного контура к квадрату половинной частоты о.
Перед возникновением параметрических колебаний индукция в сердечнике принята в виде
Ь = В^т2т + В0, (3)
где В1 - амплитуда основной гармоники индукции; В0 - постоянная составляющая индукции.
Рис. 2. Процесс намагничивания сердечника делителя частоты перед возбуждением колебаний: 1) динамическая петля; 2) статическая петля; 3) средняя кривая намагничивания; 4) ток в цепи обмоток возбуждения
Связь между амплитудой переменной составляющей индукции В1 и постоянной составляющей установлена с учетом того, что перемагничи-вание сердечника происходит по частному циклу (рис. 2). Как видно, В0=ВН+В1. Зависимость ВН от
В1, полученная экспериментально на образцах маг-нитопроводов, имеет такой вид, рис. 3, что ее с достаточной точностью можно аппроксимировать функцией
Bh = BHmaxC— - e),
где BHmax - максимальное значение ВН, определяемое по экспериментальным зависимостям ВН(Д); kb - коэффициент, имеющий размерность, обратную размерности индукции.
При изменении индукции по (3) chpbf, представляет собой периодическую функцию, при разложении которой в ряд Фурье получаем
d 2п
—2- + [Q 0 + 2(Q — sin 2т + Q 2 cos 4 т + ...)]п = 0, (4) d%
где
Qo = —chpBo ЛС/М) - g,2;
K
Q— =1 shp B^-jJ/ B—)];
K
Q2 = -1 chp Bo J2(ft B—);
K
J0(jPB1), -jJ1(jpB1), J2(jPB1) - функция Бесселя от мнимого аргумента (индексы 0, 1, 2... - порядок функции).
Коэффициент Q0 есть среднее значение, а коэффициент Q1 - первая гармоника отношения квадрата периодически изменяющейся собственной частоты колебательного контура к квадрату половинной частоты.
Для полученного уравнения (4) с периодически изменяющимися коэффициентами (уравнение Хилла) известны уравнения линий, разграничивающие области устойчивости и неустойчивости невозмущенного движения [4]. Возбуждению колебаний половинной частоты соответствует первая область неустойчивости, уравнение граничных линий которой имеет вид
(Qo -1)2 + 2(Q0 +1)2g,2 + g,4 = Q —2.
(5)
В данном случае принципиальным обстоятельством является сохранение колебательного характера свободного процесса в контуре делителя частоты, что возможно, если в2<<По и ё*<<Ох. Поэтому в (5) членами, содержащими и§* можно пренебречь, что дает
П0±П;=1 при 00>0, П[>0. (6)
Решение уравнения (6) с учетом выражений для
00 и 01 по (3) позволяет получить значения амплитуды индукции В1 на границах возникновения колебаний половинной частоты.
Сопоставление расчетных и экспериментальных данных приведено на рис. 4. В данном случае и далее расчеты проводятся относительно безразмерной величины рВ, т. к. это дает результаты, не привязанные к конкретному образцу делителя частоты.
Для практических целей достаточно определения значения индукции на нижней границе области неустойчивости или одного из значений индукции, соответствующего попаданию в область неустойчивости. Для решения задачи в такой постановке целесообразно принять точку внутри области неустойчивости с координатами П1=0; П0=1.
рВь о.е.
т
ш
1,0
!
1 \ . _ _ о__ о \
р
° i 1 7 "lZ—2—
■ -
\М
о! 1
1 ! 1 1 1
о
100
200
300 К, о.е.
bA = B0 + B1 sin(2r + q>) + B2 sin t;
bg = B0 + B1sin(2r+^) - B2sin t, (7)
где B2 - амплитуда индукции половинной частоты.
Сначала решим задачу стационарного режима одним из известных методов, каковыми, например, являются методы коллокации [5] и гармонического баланса. Применим метод коллокации. Решая уравнение (1) с учетом (7) для трех точек коллокации т=п/2, т=п/4, т=-п/4, получим
в B2
shpB2
V2 в b2
=rhQi,
(8)
2 = 1
TTVT” = K (1 - 2 g,) sh — в B2
1
V2 в b2 =_____________
2 аъ = K(1 + 2g,) sh — в B2
chQ2,
chQ3,
где
Qi=eBo-eBiSin^, Q2=eBo+eBiCOS^, Q3=eBo-eBiCOS^.
Для определения амплитуды индукции половинной частоты воспользуемся уравнением (8). Левая часть этого уравнения убывает с ростом амплитуды индукции половинной частоты, поэтому ее максимальное значение будет иметь место при минимально возможном значении еЬб1=1, т. е. при 0=0. Максимальное значение амплитуды индукции В2, определенное по (8), при таких условиях хорошо совпадает со значениями, полученными экспериментально, рис. 5.
Рис 4. Амплитуда индукции на границах возникновения колебаний половинной частоты: 1) по условию (6); 2) по условию П0= 1; ооо - опытные данные
Коэффициент П0, как указывалось выше, есть среднее значение квадрата отношения собственной частоты колебательного контура к половинной частоте. Поэтому условие П0=1 одновременно отображает необходимое условие существования параметрических колебаний. Расчетные значения индукции, удовлетворяющие условию П0=1, нанесены также на рис. 4 (кривая 2) и располагаются близко к нижней границе области неустойчивости.
Покажем далее, что условие равенства частоты параметрических колебаний средней собственной частоте дает возможность получить необходимые расчетные соотношения и для стационарного режима деления частоты. В стационарном режиме индукция в магнитопроводах делителя частоты содержит три составляющие
Рис. 5. Амплитуда индукции субгармоники, определенная: 1) методом коллокации; 2) по средней свободной частоте; ооо - опытные данные
Так как максимальное значение амплитуды субгармоники имеет место при й=0, а (}1 определяется составляющими В0 и В1, сделано предположение, что в стационарном режиме электромагнитное состояние делителя частоты в основном определяется составляющей индукции половинной частоты ЬА=Взтт и ЬБ=-Взтт.
При таком допущении для определения амплитуды индукции В2 используем условие равенства сред-
него квадрата частоты квадрату половинной частоты. Среднюю собственную частоту определим как
Так как должно выполняться условие
1 т{ йі
Т о /(I)СК
где /(/) - мгновенное значение индуктивности; Т -период колебаний половинной частоты.
Мгновенное значение индуктивности равно
, 24™2
І (І) = м:
(9)
-ср
В (9) л - магнитная проницаемость магнито-проводов делителя частоты, определяемая как
Л = арсЪрЬ' (10)
С учетом (9) и (10)
2 1 2п /^арсърь
[®2« )]ср = — $ ср ^ йт.
[®2(?)1с
|1 ^[ЛОТО + и2и РВ 2)]+(12)
К /'гг
а
К 2п
При интегрировании периодические составляющие подынтегрального выражения в (12) дадут нулевое значение, поэтому
[Ю2^ )]ср 1
а К
2^ = - з0ир В2).
- = 1, то окончательно получим следующее
2п о 2<7^ск Разделив в (11) левую и правую часть на а2 и разложив сЬрЬ в ряд Фурье, получим
[а2(0]с а2
выражение для определения рВ2
ШВ)=К (13)
Результаты расчетов по (13), рис. 5 (кривая 2), удовлетворительно соответствуют опытным данным. При использовании для электромагнитного параметрического делителя частоты холоднокатаной электротехнической стали коэффициент К принимается в пределах 200...300, чему соответствует индукция В2=1,7...1,8 Тл. Отличие расчетных данных, полученных по средней собственной частоте при таких значениях К, от опытных не превышает 10.15 %.
Выводы
1. Предложен универсальный критерий для расчета параметров нелинейного колебательного контура с периодически изменяющимся параметром.
2. Показано, что использование условия равенства среднего квадрата собственной частоты колебательного контура квадрату частоты параметрических колебаний позволяет получить результаты, приемлемо совпадающие с опытными данными.
3. Полученные соотношения могут быть использованы для расчета конструктивных параметров электромагнитного параметрического делителя частоты.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вайнштейн Р.А., Лапин В.И., Наумов А.М., Доронин А.В. Защита от замыканий на землю в обмотке статора генераторов на электростанциях ОЭС Сибири // Электрические станции. -2009. - № 12. - С. 26-30.
2. Мандельштам Л.И. Собрание трудов. Т. 2. - М.: Изд-во АН СССР, 1950. - 350 с.
3. Релей Дж.В. Теория звука. Т. 1. - М.: Наука. - 1955. - 120 с.
4. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. - М.: Мир, 1968. - 168 с.
5. Математический энциклопедический словарь / гл. ред. Ю.В. Прохоров. - М.: Издательский центр «Академия», 2003. - 860 с.
Поступила 08.06.2011 г.
