Умовна деконволюція в області трансформант Фур’Є. Побудова матриці деградації образу Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Радіотехнічні кола та сигнали

РАДІОТЕХНІЧНІ КОЛА ТА СИГНАЛИ

УДК 621.372.061

УМОВНА ДЕКОНВОЛЮЦІЯ В ОБЛАСТІ ТРАНСФОРМАНТ ФУР’Є. ПОБУДОВА МАТРИЦІ ДЕГРАДАЦІЇ ОБРАЗУ

Рибін О.І. ,д.т.н. професор; Іванюк Н.О., аспірантка

Національний технічний університет України "Київський політехнічний інститут ”, м.Київ, Україна

Вступ

Реставрація образів має велике значення при розв’язанні багатьох задач, пов’язаних з діагностикою (технічною або медичною) in vivo. Одним з розповсюджених методів реставрації є реставрація за методом умовної де-конволюції [1 - 3]. Для реалізації алгоритму реставрації в базисі перетворення Адамара [4, 5]

fHad tG2 Had ^ r, C2Had

1 =

1-1

X GHad X LHad

(1)

необхідно сформувати матриці С2Я^та C2Had, які за алгоритмом [3] формально обчислюються за формулами

G2Had = Had X G2 X Had та C2Had

== = T

Had x CHad x Had ,

де fHad, LHad — стовпці дискретних відліків оцінки реставрованого образу та образу спотвореного розміру N xl; G2 = GT x G; G — дискретний матричний оператор згортки (конволюції) порядку N; С2 = CT x C; Had — матричний оператор дискретного перетворення Адамара порядку N; C — матричний дискретний оператор корегуючої імпульсної характеристики «гладкості» [1]; X — коефіцієнт варіації Лагранжа; Т — знак транспортування.

Матрицю G2Had можна представити у вигляді

= = — Т — Т

G2Had = Had x GT x Had x Had x G x Had , звідки видно, що слід детальніше розглянути формування матриці

GHX = Had x G x Had . (2)

Матриця G є циркулянтною, тому GH1 є блочно-діагональною матрицею, причому величина блоків зростає із зростанням номерів рядків матриці. Так, перші два елементи цієї матриці є діагональними

8н 1,00 = (g 0 + gl + g 2 +... + Sn );

gH 1,11 = (g0 - g1 + g2 - g3 + g4 ... + g2n - g2n+1... + gN X

30

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№47

Радіотехнічні кола та сигнали

де gt — i-й відлік імпульсної характеристики деградації (i=0,1,2, ...N-1); N = 2п — формат перетворення (оскільки імпульсна характеристика завжди значно коротша, ніж формат образу N, то рядки матриці G доповнюються нулями); n — ціле позитивне число.

Елементи другого та третього рядків утворюють матрицю другого порядку, елементи якої

gH 1,22 = gH 1,33 = (g0 _ g2 + g4 ~ g6 + g8 _ g10 + "•)’ gH 1,23 = ~gH 1,32 = (g1 _ g3 + g5 _ g7 + g9 _ g11 + ••■)•

(3а)

Наступним блоком є матриця четвертого порядку з елементами

gH 1,44 = gH 1,66 = [g0 (g1 ~ g3) ~ g4 (g5 ~ g7) + g8 + ^ (g9 ~ g11) ~ g12 ~ •••]>

gH 1,45 = gH1,67 = _gH 1,54 = _gH 1,76 = ^ [(g1 + g3 ) _ (g5 + g7) + (g9 + g11) _ •••]; gH 1,55 = _gH 1,77 = [g0 (g1 _ g3) + g4 (g5 _ g7) _ g8 (g9 _ g11) _ g12 + "-L

_Г1 11 11 1 (3б)

gH 1,46 gH 1,64 ^ g1 ^ g2 + 2 g3 2 g5 g6 2 g7 ^2 g9 ^ gW ^2 gU •••]’

r1 11 11 1

_gH 1,57 = gH 1,75 = g1 _ g2 + ^ g3 _ ^ g5 + g6 _ ^ g7 + ^ g9 _ g10 + ^ g11 _ "-L

_ gH 1,17 = gH 1,52 = ~gH 1,71 = gH 1,65 = [^ (g1 _ g3) + ^ (g5 _ g7) + ^ (g9 _ g11) _ g12 + •••]•

Наступний блок - матриця восьмого порядку з номерами рядків та стовпців 8.. .15, далі матриця з номерами рядків та стовпців 16.. .31 і т.д.

Алгоритм обчислення коефіцієнтів блочно-діагональної матриці

Безпосереднє обчислення добутку матриць (2) в чисельній формі призведе до громіздких математичних операцій (враховуючи порядок N матриць Had та G, який для одновимірних сигналів зазвичай становить

Л Л

128.512, а для двовимірних образів відповідно (512) .(2048)). Використання того, що матриця Gm в (2) має блочно-діагональний вигляд, дозволяє зекономити на кількості операцій множення в (2), якщо не обчислюва-

= T =

ти ті добутки рядків та стовпців матриць Had та Had на матрицю G, які апріорі дорівнюють нулю. Тим не менше, обчислення ненульових добутків в (2) в чисельному вигляді призведе (враховуючи великі порядки N) до накопичення великої операційної похибки за рахунок обмеженої розрядності операнд.

Дійсно, як видно з символьних виразів (3), значна кількість коефіцієнтів при gt дорівнює нулю, що зумовлено їх багаторазовим додаванням та

відніманням при обчисленні (2). Але враховуючи структуру матриці G, можна проводити обчислення без згаданого накопичення операційної по-

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№47

31

Радіотехнічні кола та сигнали

хибки. Для пояснення розглянемо структуру матриці G та процедуру обчислення матриці Gm на простому прикладі матриць в (2) восьмого порядку для найбільшої можливої для такого порядку кількості (вісім) відліків імпульсної характеристики gt. Так, матриця G восьмого порядку має вигляд

go g7 g6 g5 g4 g3 g2 gl

g1 go g7 g6 g5 g4 g3 g2

g2 gl go g7 g6 g5 g4 g3

g3 g2 gl go g7 g6 g5 g4

g4 g3 g2 gl go g7 g6 g5

g5 g4 g3 g2 gl go g7 g6

g6 g5 g4 g3 g2 gl go g7

g7 g6 g5 g4 g3 g2 gl go

(4а)

а, наприклад, елемент gm45 можна обчислити множенням цієї матриці G на четвертий рядок had4 матриці Had ліворуч та п’ятий стовпець kad5 мат-

===Т

риці Had праворуч для даного прикладу

had4 = [1111 -1 -1 -1 -1],

had5 = [1 -11 -1 -11 -11]T, (4б)

де T - знак транспортування.

Можна показати, що знаки перед елементами g добутку (2) для множників (4) можна отримати у вигляді матриці ф множенням had4 у вигляді стовпця на had у вигляді рядка, тобто

' 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1

1 -1 1 -1 -1 1 -1 1

1 -1 1 -1 -1 1 -1 1

ф = 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1

-1 1 -1 1 1 -1 1 -1

-1 1 -1 1 1 -1 1 -1

-1 1 -1 1 1 -1 1 -1

(5)

Порівнюючи (4) та (5), можна визначити, з якими знаками підсумовуються елементи gt. Так, наприклад, коефіцієнт перед відліком g0 при пред-

32

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№47

Радіотехнічні кола та сигнали

ставленні елемента матриці 0НІ в символьному вигляді в клітині (4,5) дорівнює сумі всіх елементів 1 та -1 головної діагоналі матриці (5), а, наприклад, елемент g має коефіцієнт, обчислений як сума (4) елементів третьої нижньої під діагоналі матриці (5) та верхньої п’ятої. При запропонованому способі обчислення коефіцієнтів перед відліками g:

а) обчислюються тільки ненульові елементи матриці Gm, для чого перемножуються з цією матрицею тільки ті рядки і стовпці дискретних матричних операторів перетворення Адамара, які і утворюють відповідні елементи добутку;

б) обчислення коефіцієнтів перед ненульовими елементами матриці GH1 проводиться підсумовуванням цілих чисел +1 та -1, що дозволяє запобігти накопиченню операційної похибки за рахунок обмеженої розрядності опе-рандів при підсумовуванні чисельних значень g.

Алгоритм обчислення елементів блоків діагоналі матриці Gm має наступний вигляд.

1. Для наданого формату N матриці G (N = 2n, n - ціле число) визначити номери рядків та стовпців матричного оператора дискретного перетворення Адамара Had, які відповідають номерам рядків та стовпців окремих блоків діагоналі матриці Gh 1 .

2. Множенням /-го стовпця матриці Had на j-й рядок отримати матрицю Щ для обчислення коефіцієнтів при відліках імпульсної характеристики g, що дозволить обчислити значення елемента hv блоків діагоналі матриці GH1 .

3. Послідовно обчислюючи усі елементи h блоків діагоналі побудувати блочно-діагональну матрицю Gh 1.

При реалізації алгоритму слід враховувати додатково властивості отримуваних матриць

G,

( a...b )( a...b )

G M M G M M

( a...a H--1),( a...a-\--1) ( a...a-\--1),(b----...b )

2 2 2 2

G M M G M M

( a...aH--1),(b---...b ) ( a...aH-1),( a...a H-1)

2 2 2 2

(6)

де M = 2m — порядок матриці-блока діагоналі, m - ціле число.

Таким чином, для формування будь-якої з матриць G(a.. b)(a.. b) достатньо сформувати лише матриці G m та G m . Формування цих матриць за

(a...a 1) (b ...b)

2 2

запропонованим алгоритмом дозволяє в символьному вигляді знайти запис

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№47

33

Радіотехнічні кола та сигнали

кожного елемента матриці ОНІ будь-якого порядку.

Символьний метод формування матриць

Для цього у подальшому будемо зберігати значення усіх коефіцієнтів при відліках g кожного ненульового елемента hkl матриці GHl в масивах чисел л, в яких номери І = 0,1,2,..., D -1, D — кількість відліків імпульсної характеристики (D = 2s, s - ціле число).

Тоді для матриці G(0),(0) (нульовий за номером елемент діагоналі матриці

GH1) маємо д00 = [1,1,1,...,1]. Аналогічно л = [1,-1,1,-1,1,-1,...,1,-1]. Матриця другого порядку з номерами рядків та стовпців 2 та 3 має коефіцієнти

Л,2 = Лз,3 = [1,0,-1, 0,1,0,-1,0,...,1,0,-1,0]

л,з =-Дз,1 = [0,1,0,-1,0,1,0,-1,...]. ( а)

Матриця четвертого порядку має коефіцієнти при відліках імпульсної характеристики для під матриці G(4 5) у вигляді

Л4,4

Л5,5

Л4,5

Л4,6

Л5,7

Л6,5

І1,!,0. - 1-і, - і,0.1....,1,!,0,^,

[1,-і,0,і,4°,- ї-1,-і,0,..],

-Д.,4 = [0,і.0.і.0. - - і....,0,^Л...].

|0;1,1,іг,0, -1,1, -1.....0.1.1....],

[0, - Ъ, -1,0,1,-1,1,...,0, -1,1,...],

2 2 2 2 2

-л=а - 1,0,1а - ),..а -1,0,..1

(7б)

Блок G м (6) підматриці л восьмого порядку (рядки та стовпці з

номерами 8...15) має коефіцієнти (для рядків та стовпців з номерами 8...11) у вигляді Д,..ц,8...ц =

(1,3/4, 1/2, 1/4, 0, -1/4, -1/2, -3/4, -1, -3/4 -1/2, -1/4, 0, 1/4, 1/2, 3/4, 1, 3/4..) (0, 1/4, 0, 1/4, 0, 1/4, 0, 1/4, 0, -1/4, 0, -1/4, 0, -1/4, 0, -1/4, 0, 1/4,.) (0, 1/4, 1/2, 1/4, 0, 1/4, 1/2, 1/4, 0, -1/4, -1/2, -1/4, 0, -1/4, -1/2, -1/4, 0, 1/4,...) (0, -1/4, 0, 1/4, 0, -1/4, 0, 1/4, 0, 1/4, 0, -1/4, 0, 1/4, 0, -1/4, 0, -1/4,.)

(0, -1/4, 0, -1/4, 0, -1/4, 0, -1/4, 0, 1/4, 0, 1/4, 0, 1/4, 0, 1/4, 0, -1/4,...) (1,-3/4, 1/2, -1/4, 0, 1/4, -1/2, 3/4, -1, 3/4 -1/2, 1/4, 0, -1/4, 1/2, -3/4, 1, -3/4,.) (0, 1/4, 0, -1/4, 0, 1/4, 0, -1/4, 0, -1/4, 0, 1/4, 0, -1/4, 0, 1/4, 0, 1/4..) (0, -1/4, 1/2, -1/4, 0, -1/4, 1/2, -1/4, 0, 1/4, -1/2, 1/4, 0, 1/4, -1/2, 1/4, 0, -1/4,...)

34

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№47

Радіотехнічні кола та сигнали

(0, -1/4, -1/2, -1/4, 0, -1/4, -1/2, -1/4, 0, 1/4, 1/2, 1/4, 0, 1/4, 1/2, 1/4, 0, -1/4,...) (0, 1/4, 0, -1/4, 0, 1/4, 0, -1/4, 0, -1/4, 0, 1/4, 0, -1/4, 0, 1/4, 0, 1/4,.) (1, 1/4, -1/2, -1/4, 0, 1/4, 1/2, 1/4, - 1, -1/4, 1/2, 1/4, 0, -1/4, -1/2, 1/4, 1, 1/4,...) (0, 3/4, 0, -1/4, 0, -1/4, 0, 3/4, 0, -3/4, 0, 1/4, 0, 1/4, 0, -3/4, 0, 3/4, ...)

(0, -1/4, 0, 1/4, 0, -1/4, 0, 1/4, 0, 1/4, 0, -1/4, 0, 1/4, 0, -1/4, 0, -1/4,...) (0, 1/4, -1/2, 1/4, 0, 1/4, -1/2, 1/4, 0, -1/4, 1/2, -1/4, 0, -1/4, 1/2, -1/4, 0, 1/4,...) (0, -3/4, 0, 1/4, 0, 1/4, 0, -3/4, 0, 3/4, 0, -1/4, 0, -1/4, 0, 3/4, 0, -3/4, ...) (1, -1/4, -1/2, 1/4, 0, -1/4, 1/2, 1/4, -1, 1/4, 1/2, -1/4, 0, 1/4, -1/2, -1/4, 1, -1/4,...)

(8а)

При цьому видно, що Д,9 =-д9,8;д0Д1 = —Ц1Д0; матриця

^8...9,10...11 = —Мо...11,8...9 ■

Блок ^ м Ь) в (6) підматриці Д восьмого порядку (номери рядків

8...11, номери стовпців 12...15) має коефіцієнти при відліках g наступного виду

Д8. ..11,9...15 Д9. .. 15,8... 11

0. 1/4, 1/2, 3/4, 1, 3/4, 1/2, 1/4, 0, -1/4, -1/2, -3/4, - 1, -3/4, -1/2, -1/4, 0, 1/4 (0, -1/4, 0, -1/4, 0, 1/4, 0, 1/4, 0, 1/4, 0, 1/4, 0, -1/4, 0, -1/4, 0, -1/4.) (0, -1/4, -1/2, -1/4, 0, 1/4, 1/2, 1/4, 0, 1/4, 1/2, 1/4, 0, -1/4, -1/2, -1/4, 0, -1/4,...) (0, 1/4, 0, -1/4, 0, -1/4, 0,-1/4, 0, -1/4, 0, 1/4, 0, 1/4, 0, -1/4, 0, 1/4,.)

(0, 1/4, 0, 1/4, 0, -1/4, 0, -1/4, 0, -1/4, 0, -1/4, 0, 1/4, 0, 1/4, 0, 1/4,.) (0,-1/4, 1/2, -3/4, 1, -3/4, 1/2, -1/4, 0, ,1/4, -1/2, 3/4, -1, 3/4, -1/2, 1/4, 0, -1/4,...) (0, -1/4, 0, 1/4, 0, 1/4, 0, -1/4, 0, 1/4, 0, -1/4, 0, -1/4, 0, 1/4, 0, -1/4,.) (0, 1/4, -1/2, 1/4, 0, -1/4, 1/2, -1/4, 0, -1/4, 1/2, -1/4, 0, 1/4, -1/2, 1/4, 0, 1/4,...)

(0, 1/4, 1/2, 1/4, 0, -1/4, -1/2, -1/4, 0, -1/4, -1/2, -1/4, 0, 1/4, 1/2, 1/4, 0, 1/4,-) (0, -1/4, 0, 1/4, 0, 1/4, 0, -1/4, 0, 1/4, 0, -1/4, 0, -1/4, 0, 1/4, 0, -1/4,.) (0, -1/4, -1/2, 1/4, 1, 1/4, -1/2, -1/4, 0, 1/4, 1/2, -1/4, -1, -1/4, 1/2, 1/4, 0, -1/4,...) (0, 1/4, 0, -3/4, 0, 3/4, 0, -1/4, 0, -1/4, 0, 3/4, 0, -3/4, 0, 1/4, 0, 1/4,-)

(0, 1/4, 0, -1/4, 0, -1/4, 0, 1/4, 0, -1/4, 0, 1/4, 0, 1/4, 0, -1/4, 0, 1/4,.) (0, -1/4, 1/2, -1/4, 0, 1/4, -1/2, 1/4, 0, 1/4, -1/2, 1/4, 0, -1/4, -1/2, -1/4, 0, -1/4,...) (0, 1/4, 0, 3/4, 0, -3/4, 0, 1/4, 0, 1/4, 0, -3/4, 0, 3/4, 0, -1/4, 0, -1/4,-) (0, 1/4, -1/2, -1/4, 1, -1/4, -1/2, 1/4, 0, -1/4, 1/2, 1/4, -1, 1/4, 1/2, -1/4, 0, 1/4,...)

(86)

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" 35 Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№47

Радіотехнічні кола та сигнали

При цьому видно, що ц8Л3 =-^9,i2;Mo,i5 =_Mi,i4, а матриця

^8... 11,12... 15 = - М2...15Д..11 •

Отриманої інформації про коефіцієнти достатньо для пошуку закономірностей прямого (без обчислень виду(5)) формування матриці GH1 в (2). При цьому, по-перше, слід відзначити, що обчисленні коефіцієнти при відліках імпульсної характеристики періодично повторюються при зростанні кількості таких відліків. Так, для матриці першого порядку Gh 1,1,1 період повторень коефіцієнтів /ип дорівнює двом, для матриці другого порядку з період становить чотири, для матриці четвертого порядку Gm 4 7 4 7

період дорівнює восьми, для матриці восьмого порядку - шістнадцять, а для матриці шістнадцятого порядку - тридцять два. Тобто період повторення коефіцієнтів при відліках імпульсної характеристики дорівнює мінімальному порядку матриці Gm, в якій розміщується матричний блок діагоналі, для якого ці коефіцієнти обчислюються.

По-друге, усі коефіцієнти діагональних елементів з парними індексами ^2ка1 матриць d обчислюють «розширенням» індексів елементів попе-

реднього матричного блоку, яке полягає в поповнені ряду індексів, додаючи нові індекси між вже існуючими зі значеннями, що дорівнюють середньому арифметичному чисел праворуч та ліворуч поповнення. Так наприклад, елемент

ft'W= (0,1 / 4,1 / 2,1 / 4,0,1 / 4,1 / 2,1 / 4,0, -1/4, -1/2, -1/4,0,-1/4,-1/2,-1/4,...) ма-

триці ^8...11,8...11 отримаємо по елементу М4,5 матриці

Д...7.4...7 = (0,1,0,1,0,-1,0,-1,...,0,1,0,...). Кожен наступний елемент ^2к+1,2/+1

тієї ж діагоналі отримуємо множенням коефіцієнтів елемента ^2к 2/ 1,-1,1,-1,1,..., тобто, наприклад, елемент

^911 = (0,-1/4,1/2,-1/4,0, -1 / 4,1 / 2, -1/4,0,1/4, -1/2,1/4,0,1/4,-1 / 2,1 / 4,...). Таким чином, для усіх діагоналей (для матричних блоків), які починаються елементами ^2к 2/ обчислення елементів діагоналі не становить труднощів.

Трошки інакше формуються ті діагоналі матричних блоків, які починаються елементами ц2к+12/ або ju2k,2/+1. Для пояснення процедури формування таких елементів розглянемо спочатку структуру матриць коефіцієнтів при

відліках більш детально. Матриці G м 1W м „ та G м м в

^ ^ ^ ^ (a...a +—-.1),( a...a +—-.1) (а.^а+^ЩЪ-^.Ъ)

(6), як і відповідні матриці коефіцієнтів, мають певну структуру. Так, мат-

^4...5,4...5^4...5,6...7

риця коефіцієнтів має вигляд ц4.

.7,4...7

^4...5,6...7^4...5,4...5

матриця

36

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№47

Радіотехнічні кола та сигнали

_ М44М44 М46М47

М4...7,4...4 = ~М45 М44 _ , а матриця м4...5,б...7 = _-М47М46 _

. Аналогічно

М8...15,8. ..15

М8...11,8...11М8...11,12...15 -М8. . . 11,12. . . 15М8. . . 11,8 . . . 11

, прич0му ^8...15,8...15

М8...9,8...9М8...9,10...11 -М8...9,10...11М8...9,8...9

Матриці м8...9,8...9

М88М89 _ ^10,10^10,11 _ М8,10М8,11

_-М89М88 _ ’М10...11,10...11 = -^10,11^10,10 5 М8...9,10...11 = 1 1 і 1

Так

сам0 ^8...11,12...15

М...9 ,12...13М8...9,14..15 -М...9 ,14..15М10...11,14..15

пРичомУ Ц%.. .9,12 . 13

M,12M,13 = ^8,14^8,15 = ^10,14^10,15

-М8,13М9,13 , М8...9,14...15 = -М8,15М9,15 , М10...11,14...15 = -^10,15^11,15

(9)

Аналогічні закономірності структури матриць коефіцієнтів при відліках спотворюючої сигнал (образ) імпульсної характеристики системи відображення. Для описаної структури усі закономірності формування коефіцієнтів елементів матриці М2к+1,2/ та м2к,2/+1, які будуть наведені нижче, вірні

лише для блоків G M M та G M M , а не для всієї матриці

(a...a +-1),( a...a+ 1) ( a...a+-1),(b ...b)

2 2 2 2

G(a...b){a...b) в (6). Зауважимо також, що для формування матриці G(a..bхa..b)

достатньо сформувати лише верхньотрикутні (або нижньотрикутні) частини (разом з головною діагоналлю) матриць коефіцієнтів

М

. M ...M ..

( a... a+-1),( a... a+-1)

2 22 2 7

M

та (a... a++M-1),( b-

M...b) . Коефіцієнти M2k+1,2/ та M2k.

21 +1

формуються за наступними рекурентними кроками. Так, за матрицею М2...3,2...3 елемент M23 = (0,1,0,-1,0,1,0,-1,...). Тоді елемент матриці

M4...7,4...4 =Mx2.2x2+1 = (0,2,0,2,°-“,0,-“,0,...) одержуємо «розширенням»

послідовності коефіцієнтів елемента M23 обчисленням проміжних значень між 0 та 1 і 0 та -1 та «проріджуванням» отриманого результату заміною чисел послідовності (0, 1,0,-1,0,1,0,-1,...) нулями, тобто (0,1/2,1,1/2,0,-1/2,-1,-1/2,0,...)—^(0,1/2,0,1/2,0,-1/2,0,-1/2,0,...). Елемент м5,е отримаємо з м4,5

множенням на послідовність (1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,...). Для матриці М8...15,8...15

(підматриць M8...11,8...11 та M8...11,12...15) отримуємо наступні діагональні елементи з непарними індексами. Елемент

M8,9 = M4x2,4x2+1 = (0,1/4,0,1/4,0,1/4,0,1/4,0,-1/4,0,-1/4,0,-1/4,0,-1/4,0,1/4,...) отримуємо з елемента м45 «розширенням» та «»проріджуванням». Аналогічно для елемента М,13 = M4x2,6x2+i. по елементу м4>7. Елементи тих самих ді-

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№47

37

Радіотехнічні кола та сигнали

агоналей д9Д0 та д9Д4 отримуємо множенням на послідовність (1,1,-1,-1,1,1,1,-1,...) елементів д8>9 та д8ДЗ відповідно. Треті елементи діагоналей, що починаються елементами д8Д1 та д8ДЗ отримуємо «розширенням» та «проріджуванням» елементів даа та дЛ6 з їх подальним множенням на послідовність (1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,...). При формуванні матриці Д6 31Д6 31 процедура

формування аналогічна попередньо зазначеній з урахуванням збільшення кількості подвоєних індексів.

Для формування матриці Д довільного порядку слід зазначити наступні властивості отримуваних матриць.

Будь-яка матриця Д порядку N = 2n, n - ціле позитивне число, складається з чотирьох підматриць порядку 2”~', причому дві підматриці головної діагоналі рівні між собою , а підматриці зворотної діагоналі мають елементи на однакових позиціях рівні за модулем, але протилежні за знаком. Кожна з цих під матриць складається з чотирьох підматриць порядку 2”“2, причому підматриці головної діагоналі вже різні, а підматриці зворотної діагоналі так, як і раніше, мають елементи, рівні за модулем, але протилежні за знаком. Аналогічною є структура під матриць меншого порядку (до четвертого включно).

Таким чином, алгоритм формування матриці коефіцієнтів Д довільного порядку N = 2n, n - ціле позитивне число, має наступний вигляд.

1. Розбити матрицю порядку N = 2n, n - ціле позитивне число, на блоки четвертого порядку для використання описаних вище її структурних властивостей. Усі подальші операції по формуванню матриці Д застосовувати для вказаних блоків, що утворюють верхньотрикутну частину цієї матриці.

2. За матрицею Д порядку 2n_1 сформувати коефіцієнти діагоналей з парними індексами Д2к21 по елементам Дк1 матриці Д порядку 2т_1, використовуючи процедуру «розширення».

3. За елементами Дк,l+1 матриці Д порядку 2n_1 «розширенням» послідовності коефіцієнтів (обчисленням проміжних значень) та «проріджуванням» отримаємо елемент Д2к 21+1, а множенням отриманого результату на послідовність (1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,...) отримаємо елемент Д2к+i,2l+2. Елемент Д2к ,п+з = ~Д2к ,и+1. Виконання пунктів 2,1 алгоритму дозволяє сформувати перші два рядки верхньотрикутної підматриці четвертого порядку.

4. Третій елемент піддіагоналі Д2к+22l+3 отримаємо «проріджуванням» Д2к,2l та множенням отриманих коефіцієнтів на послідовність (1,1,-1,1,1,1,-1,...). =

Таким чином, безпосереднє формування матриці GHad в (1) можливе і до

38

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№47

Радіотехнічні кола та сигнали

того ж легко програмується, що дозволяє зекономити на кількості операцій множення матриць високих порядків. Обчислення матриці G2Had можливе

множення вже сформованих матриць GHad та GTHad, які є блочно-діагональними. Але більш цікавим та швидким є алгоритм безпосередньо формування цієї матриці, використовуючи інформацію про коефіцієнти при відліках імпульсної характеристики. Для пояснення розглянемо структуру матриці G = GT х G. Ця матриця складається з елементів (по одному в кожній клітині матриці)

s-1 s - 2 s - 3 0

Ро =Zgk; Pi = Zgkхgk+iA = Zgkхg^-Zgkх&-i = gkхgs-i$^ N,

k=0 k=0 k=0 k=0

де N - формат матриці G2.

Тоді, наприклад, для підматриці діагоналі матриці G2 порядку 8 (S=4) матиме вигляд

Ро Рі в2 Рз Рз в2 Рі

Рі Ро Рі в2 Рз Рз в2

в2 Рі Ро Рі в2 Рз Рз

Рз в2 Рі Ро Рі в2 Рз

Рз в2 Рі Ро Рі в2 Рз

Рз Рз в2 Рі Ро Рі в2

в2 Рз Рз в2 Рі Ро Рі

Рі в2 Рз Рз в2 Рі Ро

(10)

Порівнюючи тепер (10) та (4а) ,можна знайти коефіцієнти при рк. Так, ро займає в (10) ті ж самі позиції, що й g0 в (4а), рі займає ті ж позиції що й gj та g7 ; р2 - ті ж самі позиції, що й g2 та g6 , а рз — ті ж позиції, що й g3 та g5 і т.д. Тому для визначення коефіцієнтів при рк слід підсумувати коефі-

цієнти /л при відліках імпульсної характеристики. Так при форматі імпульсної характеристики 8 з вищенаведених формул для /лч отримаємо елементи матриці G2Had (порядку А>16):

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№47

39

Радіотехнічні кола та сигнали

в

0,0

в

в

2,2

в

4,4

в

в

4,4

: Ро + 2Д + 2 Р2 + 2Ръ + 2Р4 + 2Рб + 2Рб + 2Рі;

Д, - 2Р1 + 2Р2 - 2Рз + 2Р4 - 2Р5 + 2Р6 - 2Рі;

: в3,3 = Р0 + 0 - 2Р2 + 0 + 2Р4 + 0 - 2Р6 + 0; в2,3 = в3,2

: в6,6 = Р0 + Р1 + 0 - Р3 - 2Р4 - Р5 + 0 + Рі;

в5,4 = в6,1 = в1,6 = в4,6 = в6,4 = в5,1 = в1,5 = 0;

в6,6 = 0 - Р1 + 0 + Р3 - 2Р4 + Р5 + 0 - Р1;

0;

і т.д. Аналогічно знаходимо елементи матриці C2Had в (1).

Таким чином, єдиний алгоритм формування коефіцієнтів ди та ви дозволяє безпосередньо (використовуючи символьні залежності) обчислити

матриці G2Had та С2Had .

Висновки

Запропонований алгоритм формування матриць G2Had та GHad слід віднести до символьних, що дозволяє значно зекономити час на проведення обчислень за сформованими коефіцієнтами при відліках g імпульсної характеристики деградації та перед коефіцієнтами Ри добутків цих коефіцієнтів. Враховуючи обмежену довжину імпульсної характеристики деградації коефіцієнти дг] та вг] можна від генерувати один раз і для різних імпульсних характеристик підставленням значень д та в . одразу ж отримати

матриці G2Had та Gmd.

Обчислення матриць G2Had та GHad чисельними методами спряжене з великою кількістю операцій додавань та віднімань тих самих виразів, що призводить до накопичення великої похибки. Символьний алгоритм є вільним від цього недоліку.

Формування матриці G2Had не є самоціллю. Для реставрації образу необхідно знайти обернену матрицю (1) при різних значеннях коефіцієнта варіації Л. Цю задачу теж можна розв’язати, використовуючи символьні методи, що буде показано в наступних роботах.

Література

1. Jan Jrnn ^slicova filtrace, analyza arestaurace sign^ / VUT v BRNE, 1997,438s.

2. Рибін О.І. Реставраврація образів методом умовної деконволюції в області просторових частот / О.І. Рибін, В.Ю. Корольов // Вісник Технічного університету Поділля.— 2000.— C. 145 — 147.

3. Рыбин А. И. Реставрация образов в частотной области методом взвешенной фильтрации / А.И. Рыбин, В.Ю. Королев // Радиоэлектроника — 2001.— №4.— С. 51 — 56 (Изв. вузов).

4. Ахмед Н. Ортогональные преобразования при обработке цифрових сигналов / Н.Ахмед, К.Р. Рао / Пер. с англ. / Под ред. И. Б. Фоменко. - М.: Связь, 1980. - 248 с.

40

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№47

Радіотехнічні кола та сигнали

5. Рибін О.І. Аналіз лінійних систем в області трансформант перетворення Уолша-Адамара / О.І. Рибін, А.П. Ткачук // Вісник НУТУ «КПІ». Сер. Радіотехніка. Радіоапа-ратобудування.— 2006.— №33.— С.14— 23.

Рибін О.І., Іванюк Н.О. Умовна деконволюція в області трансформант Фур’є. Побудова матриці деградації образу. В роботі запропоновано символьний метод формування матриці деградації образу в області трансформант перетворення Адамара. Розроблено алгоритм формування коефіцієнтів при відліках імпульсної характеристики системи, яка спотворює вихідний образ для будь-якої кількості відліків імпульсної характеристики, а також алгоритм обчислення коефіцієнтів при добутках таких відліків. Отриманий алгоритм відрізняється простотою, символьні вирази дозволяють підвищити швидкодію формування матриць, використовуваних при реалізації алгоритму реставрації образу з адитивним шумом за методом умовної деконволюції. Символьні вирази дозволяють значно підвищити точність обчислення елементів матриць, враховуючи обмежену розрядність операнд.

Ключові слова: Реставрація та деградація образу, умовна деконволюція, перетворення Адамара, матричні оператори деградації образу, точність, швидкодія.

Рыбин А.И., Иванюк Н.А. Условная деконволюция в области трансформантов Фурье. Построение матрицы деградации образа. В работе предложен символьный метод формирования матрицы деградации образа в области трансформантов преобразования Адамара. Разработан алгоритм формирования коэффициентов при отсчетах импульсной характеристики системы, которая искажает исходный образ для любого количества отсчетов импульсной характеристики, а также алгоритм вычисления коэффициентов при произведениях таких отсчетов. Полученный алгоритм отличается простотой, символьные выражения позволяют повысить быстродействие формирования матриц, используемых при реализации алгоритма реставрации образа с аддитивным шумом по методу условной деконволюции. Символьные выражения позволяют значительно повысить точность вычисления элементов матриц, учитывая ограниченную разрядность операнда.

Ключевые слова: Реставрация и деградация образа, условная деконволюция, преобразование Адамара, матричные операторы деградации образа, точность, быстродействие.

Rybin А., Ivaniuk N Fourier transformant area deconvolution condition. Construction of the image degradation matrix. Symbolic method of forming image degradation matrix at Adamar conversion transformants area is proposed. Algorythm of forming coefficients at distortion system impulse characteristics samples for any range of samples and product coefficients evaluation algorythm were developed. Algorithm obtained differs in simplicity, symbolic expressions enable to increase matrix forming speed-performance for matrixes, those are used for image restavration algorythm with additive noize with method of conditional deconvolution. Symbolic expressions enable to notably increase accuracy of matrix elements evaluation, considering to limited operand dimensionality.

Keywords: image restavration and degradation, deconvolution condition, Adamar conversion, image degradation operators, accuracy, speed-performance

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№47

41