CC BY
102
Уменьшение неопределенности результата при обработке и анализе экспертных оценок
Рассматривается применение метода ранжирования и метода медиан для оценки результатов экспертного оценивания проблем управления и принятия решений. Даны рекомендации по совместному применению названных методов. Раскрыты сущность и алгоритм метода согласования кластеризованных ранжировок для устранения субъективных вербальных противоречий при экспертных оценках.
Резникова Н.П.,
д.э.н., профессор,зав. кафедрой ОПАБУ МТУСИ Микиртичан А.Г.,
доцент кафедры ОПАБУ МТУСИ, к.т.н.
1. Обработка экспертных оценок, полученных в порядковой шкале. Методы экспертных оценок традиционно применяются для решения проблем в условиях неопределенности: прогнозирования, планирования и разработки программ деятельности, построения иерархии проблем организации, обоснования эффективности проектов развития и модернизации материально-технической базы организаций, выбора перспективной техники, для оценок нормативных затрат, в частности, при нормировании затрат труда на обслуживание систем различного вида, для оценки ожидаемой цены и качества продукции (работ, услуг) и других аналогичных задач.
Использование методов экспертных оценок дает возможность получить более полное представление об исследуемой проблеме (ситуации), чем это было бы возможно при использовании так называемых "объективных данных". Более того, заключения, полученные в результате коллективного опроса, во многих случаях оказываются более взвешенными, более устойчивыми и надежными, чем мнение лица, принимающего решение.
В настоящее время распространены экспертные, маркетинговые, квалиметрические, социологические и иные опросы, в которых опрашиваемых просят выставить баллы объектам, изделиям, технологическим процессам, предприятиям, проектам, заявкам на выполнение научно-исследовательских работ, идеям, проблемам, программам, политикам и т.п. с целью определения лучших и худших. После получения данных от опроса рассчитывают средние баллы и рассматривают их как интегральные (т.е. обобщенные, итоговые) оценки, выставленные коллективом опрошенных экспертов. Какими формулами пользоваться для вычисления средних величин? Ведь, как известно, существует много разных видов средних величин: среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое, медиана и др. Наиболее часто применяют среднее арифметическое. Между тем, для вычисления среднего балла такой способ не вполне корректен, поскольку баллы обычно измерены в порядковой шкале (см. пример про оценки студента ниже). Здесь более обоснованным является использование медианы. Однако полностью игнорировать средние арифметические и средние геометрические нецелесообразно из-за их привычности и распространенности. Поэтому представляется рациональным использовать одновременно оба метода: и метод средних рангов (баллов), и метод медианных рангов. Такая рекомендация находится в согласии с общенаучной концепцией устойчивости [7,8,9], рекомендующей применять различные методы для обработки одних и тех же данных с целью выделить выводы, которые будут одинаковы при использовании различных методов. Такие выводы, видимо, соответствуют реальной
действительности, в то время как заключения, меняющиеся от метода к методу, зависят от субъективизма исследователя, выбирающего метод обработки исходных экспертных оценок. Далее рассмотрим некоторые вопросы получения надежных интегральных оценок, связанных с ранжировками и рейтингами.
Итак, после проведения опроса осуществляется обработка результатов. Целью обработки является получение обобщенных данных и новой информации, содержащейся в скрытой форме в экспертных оценках. На основе результатов обработки формируется решение проблемы. Исходной информацией для обработки являются числовые данные, выражающие предпочтения экспертов, и содержательное обоснование этих предпочтений. Наличие как обеих групп информации приводит к необходимости применения количественных и качественных методов обработки результатов группового экспертного оценивания.
В работе рассматриваются методы обработки данных, касающихся проблем, характеризующихся достаточным информационным потенциалом.
В зависимости от целей экспертного оценивания при обработке результатов опроса возникают следующие основные задачи:
• построение обобщений оценки объектов;
• определение зависимости между суждениями экспертов;
• определение относительных весов объектов;
• определение согласованности мнений экспертов;
• оценка надежности результатов экспертизы.
При решении многих практических задач часто оказывается, что явления, определяющие конечные результаты деятельности, не поддаются непосредственному измерению. Расположение экспертами этих явлений (факторов, критериев, альтернатив и т.п.) в порядке возрастания (или убывания) какого-либо присущего им свойства называется ранжированием. Ранжирование позволяет выбрать из исследуемой совокупности явлений наиболее существенное (предпочтительное, вероятное, важное, значимое) [3,4,6].
Бывает, что явления имеют различную физическую природу и вследствие этого несоизмеримы, т.е. у них нет общего эталона (единиц меры сравнения). Кроме того, факторы и явления могут обладать только вербально выраженными качествами. В этих случаях установление относительной значимости с помощью экспертов и присвоение чисел натурального ряда, определяющих порядок (место) каждого явления в исследуемой совокупности, облегчает выбор наиболее предпочтительной из альтернатив. Кроме указаннных, ранжирование может применяться также в таких ситуациях, когда:
• необходимо упорядочить объекты в соответствии с каким-либо измеряемым качеством, но при этом не требуется производить его точное измерение;
• исследуемое качество, в принципе, измеримо, однако в настоящий момент не может быть измерено по каким-либо причинам.
Рассмотрим сущность процедуры ранжирования подробней. При ранжировании эксперт должен расположить объекты (факторы, альтернативы или явления) в порядке, который представляется ему
наиболее рациональным, и приписать им числа натурального ряда ранги. При этом ранг 1 получает наиболее предпочтительная альтернатива, а ранг N — наименее предпочтительная. Следовательно, порядковая шкала, получаемая в результате ранжирования, должна удовлетворять условию равенства числа рангов N числу ранжируемых объектов п. Если эксперт не в состоянии указать порядок следования двух и более факторов, он присваивает им одинаковый ранг, и в результате число рангов оказывается меньше, чем число исследуемых факторов (альтернатив). В таких случаях, факторам присваиваются так называемые стандартизированные (связанные) ранги, численное значение которых получают, как среднее арифметическое суммы мест; поделенных между собой факторами, имеющими одинаковые ранги. При этом общее число стандартизированных рангов полагают равным п..
Получаемые от экспертов мнения, выраженные в порядковой шкале, отражают то, что эксперт может сказать (и обосновать), что один тип продукции (услуг) будет более привлекателен для потребителей, или что один показатель качества услуг более важен, чем другой, или первый технологический объект более опасен, чем второй, и т.д. Но он не в состоянии сказать, на сколько или во сколько раз продукт, соответственно, более важен, более опасен или т.п.
Когда ранжирование производится несколькими экспертами т, то сначала для каждого фактора подсчитывают сумму рангов, полученную от всех экспертов
т
= X
]=1
а затем, исходя из этой величины, устанавливают результирующий ранг для каждого из объектов. Наивысший (первый) ранг присваивают фактору, получившему наименьшую сумму рангов, а фактору, получившему максимальную сумму, присваивают низший ранг N. Остальные факторы упорядочивают в соответствии со значением суммы рангов каждого относительно того фактора, которому присвоен первый ранг.
Точность и надежность процедуры ранжирования зависит от количества факторов. В принципе, чем их меньше, тем их различимость с точки зрения эксперта выше, а, следовательно, тем более надежно можно установить ранг фактора. Во всяком случае, количество ранжируемых объектов п должно быть не более 20, а наиболее
надежна процедура ранжирования при п <10.
В ряде случаев суммарные оценки рангов нормируются. Нормирование любой меры означает, что представляющее ее число для всего множества в целом принимается равным единице. С этой целью оценки по всем объектам суммируются, а затем каждая из них делится на полученную сумму. Рассчитанные таким образом нормированные оценки могут быть вновь проранжированы. Нормирование позволяет установить более тесную связь между оценками, приписанными экспертами отдельным объектам.
Ранг это номер объекта экспертизы в упорядоченном ряду в соответствии с ранговой последовательностью (шкалой). Формально ранги выражаются числами 1, 2, 3, ..., но весьма важно то, что с этими числами, вообще говоря, нельзя делать привычные арифметические операции. Например, хотя 1 + 2 = 3, но нельзя утверждать, что для объекта, стоящего на третьем месте в упорядочении (в другой терминологии ранжировке), интенсивность изучаемой характеристики равна сумме интенсивностей объектов с рангами 1 и 2. Например, один из видов экспертного оценивания оценка знаний студентов. Вряд ли кто-либо будет всерьез утверждать, что знания отличника равны сумме знаний двоечника и троечника (хотя 5 = 2 + 3), хорошист соответствует двум двоечникам (2 + 2 = 4), а между отличником и троечником такая же разница, как между хорошистом и двоечником (5 - 3 = 4 - 2). Поэтому очевидно, что для анализа подобного рода качественных данных, выраженных количественно, необходима не арифметика, а другая теория, подходящая для разработки, изучения и применения методов расчета характеристик отношений типа "лучше — хуже".
Для более углубленного рассмотрения проблем экспертных оценок понадобятся некоторые понятия так называемой репрезентативной теории измерений, служащей основой теории экспертных оценок, прежде всего той ее части, которая связана с анализом заключений экспертов, выраженных в качественном (а не в количественном) виде [3]. Репрезентативная (т.е. связанная с представлением отношений между реальными объектами в виде отношений между числами) теория измерений (в дальнейшем сокращенно РТИ) является одной из составных частей эконометрики. Она позволяет интерпретировать мнения экспертов в виде рейтингов.
Рассмотрим пример на сравнение восьми проектов с применения подхода, изложенного в [3]. По заданию руководства фирмы
Таблица 1
Ранги проектов по степени привлекательности для включения в план стратегического развития фирмы
№ эксперта Л В С П Е Р в Н
1 5 3 1 2 8 4 6 7
2 5 4 3 1 8 2 6 7
3 1 7 5 4 8 2 3 6
4 6 4 2,5 2,5 8 1 7 5
5 8 2 4 6 3 5 1 7
6 5 6 4 3 2 ] 7 8
7 6 1 2 3 5 4 8 7
8 5 1 3 2 7 4 6 8
9 6 1 3 2 5 4 7 8
10 5 3 2 ] 8 4 6 7
11 7 1 3 2 6 4 5 8
12 1 6 5 3 8 4 2 7
анализировались восемь авторских проектов менеджеров компании, предлагаемых для включения в план стратегического развития фирмы. Они обозначены следующим образом: А, В, С, D, Е, F, G, Н. Проекты были направлены 12 экспертам, включенным в экспертную комиссию, организованную по решению Правления фирмы. В табл. 1 указаны ранги восьми проектов, присвоенные им каждым из 12 экспертов в соответствии с представлением экспертов о целесообразности включения проекта в стратегический план фирмы. При этом эксперт присваивает ранг 1 лучшему проекту, который обязательно надо реализовать. Ранг 2 от эксперта получает второй по привлекательности проект, и так далее, наконец, ранг 8 получает наиболее сомнительный проект, который реализовывать стоит лишь в последнюю очередь.
Из таблицы 1 следует, например, что четвертый эксперт находит проекты С и D равноценными, уступающими лишь проекту (: Поэтому проекты С и D должны были бы стоять на втором и третьем местах и получить баллы 2 и 3. Поскольку они равноценны, то получают средний балл (2+3)/2 = 2,5 (это, так называемые, связанные ранги, их значение определяется как среднее арифметическое суммы мест, поделенных рассматриваемыми объектами между собой). Анализируя результаты работы экспертов (т.е. упомянутую табл. 1), члены аналитической группы были вынуждены констатировать, что полного согласия между экспертами нет, а потому данные, приведенные в таблице, следует подвергнуть дальнейшей математической обработке.
Сначала для получения группового мнения экспертов был применен метод средних арифметических рангов. Для этого была подсчитана сумма рангов, присвоенных проектам (см. табл. 2). Затем эта сумма была разделена на число экспертов, в результате рассчитан средний арифметический ранг (именно эта операция дала название методу).
По средним рангам строится итоговая ранжировка, т.е. производится упорядочение сравниваемых объектов, исходя из принципа: чем меньше средний ранг, тем лучше объект (в рассматриваемом случае проект). Наименьший средний ранг, равный 2,625, у проекта D. Следовательно, в итоговой ранжировке проект D получает ранг 1. Следующая по величине оценка, равная 3,125, у проекта С, и он получает итоговый ранг 2. Проекты В и F имеют одинаковые суммы (равные 3,250). С точки зрения экспертов они равноценны (при рассматриваемом способе сведения вместе мнений экспертов), а потому они должны бы стоять на 3 и 4 местах и получают средний балл (3+4) /2 = 3,5, и т.д.
В результате ранжировка по суммам рангов (или, что то же самое, по средним арифметическим рангам) имеет вид:
D< С < {В, F} < А < G < Е < Н
(1)
Результаты расчетов по методу средних арифметических для данные, приведенные в таблице 1
А В С 1) Е Р О II
Сумма рангов 60 39 37,5 31.5 76 39 64 85
Среднее арифметическое рангов 5,0 3,25 3,125 2,625 6,333 3,25 5,333 7,083
Итоговый ранг по среднему арифметическому 5 3,5 2 ] 7 3,5 6 8
Мешаны рангов 5 3 3 2,25 7,5 4 6 7
Итоговый ранг по медианам 5 2,5 2,5 ! 8 4 6 7
Здесь запись типа D<C означает, что проект D лучше проекта С. Поскольку проекты В и F получили одинаковую сумму баллов, то по рассматриваемому методу они эквивалентны (эксперты их не смогли различить), а потому объединены в группу (в фигурных скобках). В терминологии математической статистики ранжировка (1) имеет одну связь (один связанный ранг).
Можно ли на основе ранжировки (1) принимать решение о выборе проекта для реализации? Необходимо помнить, что ответы экспертов измерены в порядковой шкале, а потому для них, вообще говоря, лучше использовать метод определения медиан рангов. Это означает, что надо взять ответы экспертов, соответствующие каждому из объектов, например, проекту А. Это ранги 5, 5, 1, 6, 8, 5, 6, 5, 6, 5, 7, 1. Затем их надо расположить в порядке неубывания (проще было бы сказать — "в порядке возрастания", но поскольку некоторые ответы совпадают, то следует использовать термин "неубывание"). Получим последовательность: 1, 1, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8. На центральных местах шестом и седьмом стоят 5 и 5. Следовательно, медиана равна 5.
Медианы совокупностей из 12 рангов, соответствующих определенным проектам, приведены в предпоследней строке табл. 2. (Как получен ранг 2,25? Как известно, медиана — это такое значение признака, которое делит рассматриваемый статистический ряд на две равные группы, т.е. Ме ^ ) находится между 2 и 2,5. При монотонном изменении признака, полагаем, что Ме ^ ) = 2,25. Аналогично получено значение Ме ^ ) = 7,5 и другие значения, т.е. медианы вычислены, как среднее арифметическое центральных членов вариационного ряда).
Итоговое упорядочение мнений (оценок, рангов) экспертов по методу медиан приведено в последней строке табл. 2. Ранжировка (упорядоченное итоговое мнение комиссии экспертов) по медианам имеет вид:
D < {С, В} < F < А < G < Н < Е (2)
Поскольку проекты В и С имеют одинаковые медианы баллов, то с точки зрения примененного здесь метода ранжирования они эквивалентны, а потому объединены в общую группу (кластер).
Сравнение ранжировок (1) и (2) показывает их близость (похожесть), но они не идентичны.
Из-за погрешностей экспертных оценок в одном методе признаны равноценными проекты В и F (ранжировка (1)), а в другом проекты С и В (ранжировка (2)). При этом без большой натяжки можно принять, что проекты С, В, F упорядочены как С< В < [. Вместе с тем существенным является расхождение, касающееся упорядочения проектов Н и Е: в ранжировке (1) Е< Н , а в ранжировке (2), наоборот, Н < Е. Однако эти проекты наименее привлекательные из восьми рассматриваемых, и при выборе наиболее привлекательных проектов для дальнейшего обсуждения и использования на указанное расхождение можно не обращать внимания. В противном случае необходимо дополнительно изучить возникшее противоречие, о чем будет сказано ниже. Рассмотренный пример демонстрирует пользу от совместного применения ранжировок, полученных по методу средних арифметических рангов и по методу медиан.
2. Метод согласования кластеризованные ранжировок. В различных прикладных областях возникает необходимость одновременного анализа нескольких кластеризованных ранжировок объектов (набо-
Таблица 2 и методу медиан
ров). К таким областям относятся, прежде всего, инженерная деятельность, менеджмент, экономика, социология, прогнозирование, научные и технические исследования, экология и т.д., особенно те их разделы, что связаны с неопределенностью результата. В качестве объектов могут выступать образцы продукции (виды работ, услуг), технологии, математические модели, проекты, кандидаты на должность и др. Набор может отражать мнения нескольких экспертов или быть получен при обработке мнений экспертов различными методами.
Кластеризованные ранжировки могут быть получены как с помощью экспертов, так и без них, например, при сопоставлении математических моделей с экспериментальными данными с помощью того или иного критерия качества. В кластеры заключены объекты, по поводу которых некоторые из исходных ранжировок противоречат друг другу. Для их упорядочения необходимо провести новые исследования. Эти исследования могут быть как формально-математическими (например, упорядочение по средним рангам или по медианам, вычисление медианы Кемени [3,8] и т.п.), так и требовать привлечения новой информации из соответствующей прикладной области, возможно, проведения дополнительных научных или прикладных работ. Проблема состоит в выделении общего нестрогого порядка из набора кластеризованных ранжировок (другими словами ранжировок со связями).
Рассмотрим метод построения кластеризованной ранжировки, согласованной (в раскрытом ниже смысле) со всеми рассматриваемыми кластеризованными ранжировками. При этом, противоречия между отдельными исходными ранжировками оказываются заключенными внутри кластеров согласованной ранжировки. В результате упорядоченность кластеров отражает общее мнение экспертов, точнее, то общее, что содержится в исходных ранжировках.
Введем необходимые понятия, затем сформулируем алгоритм согласования кластеризованных ранжировок в общем виде и рассмотрим его свойства.
1. Введем понятие "кластеризованная ранжировка". Пусть имеется конечное число объектов, которые мы для простоты изложения будем изображать натуральными числами {1,2,3,...,к} и называть их совокупность "носителем свойства".
Под кластеризованной ранжировкой, определенной на заданном носителе, понимаем следующую математическую конструкцию. Пусть объекты разбиты на группы, которые будем называть кластерами. В кластере может быть и один элемент. Входящие в один кластер объекты будем заключать в фигурные скобки. Пусть, например, объекты {1,2,3,...,10} могут быть разбиты на 7 кластеров: {1}, {2,3}, {4}, {5,6,7}, {8}, {9}, {10}. В этом разбиении один кластер {5,6,7} содержит три элемента, другой {2,3} два, остальные пять кластеров по одному элементу. При этом должны выполняться два условия:
1. Кластеры не имеют общих элементов, а объединение их (как множеств) есть все рассматриваемое множество объектов (весь носитель).
2. Соблюдается строгий линейный порядок между кластерами, т.е. задано, какой из них первый, какой второй, и т.д. Будем изображать упорядоченность с помощью знака "<". При этом кластеры, состоящие из одного элемента, будем для простоты изображать без фигурных скобок. Конкретные кластеризованные ранжировки будем заключать в квадратные скобки.
Тогда кластеризованную ранжировку на основе введенных выше кластеров можно изобразить так:
А = [1 < {2,3} < 4 < {5,6,7} < 8 < 9 < 10] (3)
Если для простоты речи термин "кластер" применять только к кластеру, состоящему из не менее чем из 2-х элементов, то можно ска-
зать, что в кластеризованную ранжировку А входят два кластера {2,3} и {5,6,7} и 5 отдельных элементов.
Описанная подобным образом кластеризованная ранжировка (3) является бинарным отношением на носителе множестве {1,2,3,...,10}. Его структура такова. Любые два элемента из одного кластера связываются символом равенства "=", т.е. как эквивалентные. Задано отношение эквивалентности для 5-ти элементов, а именно, {2,3}, {5,6,7} и остальных 5 классов, которые состоят из оставшихся 5 отдельных элементов, эквивалентных сами себе.
Далее водится строгий линейный порядок между классами эквивалентности. Такой математический объект называется "кластеризованная ранжировка", поскольку в нем явным образом названы1 основные элементы! изучаемого математического объекта кластеры!, рассматриваемые на этапе согласования ранжировок, как классы! эквивалентности, и ранжировка строгий порядок между ними.
Следующее важное понятие "противоречивость". Оно определяется для отношений: 1) две кластеризованные ранжировки на одном и том же носителе и 2) два различных объекта элементы того же носителя. Пусть А и В две кластеризованные ранжировки. Пару объектов (а,Ь) назовем "противоречивой" относительно кластеризованных ранжировок А и В, если эти два элемента по-разному упорядочены в А и В. Здесь возможны случаи, когда а < Ь в А и а > Ь в В (первый вариант противоречивости), либо а >Ь в А и а < Ь в В (второй вариант противоречивости). Отметим, что в соответствии с этим определением пара объектов (а,Ь), эквивалентная хотя бы в одной кластеризованной ранжировке, не может быть противоречивой: эквивалентность а = Ь не образует "противоречия" ни с а < Ь, ни с а > Ь. Это свойство оказывается полезным при выделении противоречивых пар. Совокупность противоречивых пар объектов для любых двух кластеризованных ранжировок называют "ядром противоречий", обозначим его S(Х,Y).
Рассмотрим, кроме А, еще две кластеризованные ранжировки, которые получены при обработке мнений разных экспертных групп для того же носителя:
В = [{1,2} < { 3,4, 5} < 6 < 7 < 9 < {8, 10}] (4)
С = [3 < {1, 4} < 2 < 6 < {5, 7, 8} < {9, 10}] (5)
Для рассмотренных трех кластеризованных ранжировок А, В и С, определенных на одном и том же носителе {1, 2, 3,..., 10}, имеем:
3(А,В) = [(8, 9)] (6)
S(A,C) = [(1, 3), (2,4)] (7)
^В,С) = [(1, 3), (2, 3), (2, 4), (5, 6), (8,9)] (8)
Как при ручном, так и при программном нахождении ядра противоречий нужно в поисках противоречивых пар последовательно просматривать пары (1,2), (1,3), (1,4), .... , (1,к), затем (2,3), (2,4), ..., (2,к), потом (3,4), ..., (3, к), и т.д., вплоть до последней пары (к-1, к).
Пользуясь понятиями дискретной математики, ядро противоречий можно изобразить графом с вершинами в точках носителя. При этом противоречивые пары задают ребра этого графа. Граф для S(A,B) имеет только одно ребро (один связный компонент), для S(A,C) 2 ребра (два связных компонента более, чем из одной точки), для S(B,C) 5 ребер (три связных компонента, более чем из одной точки, а именно, {1, 2, 3, 4}, {5, 6} и {8, 9}).
Каждую кластеризованную ранжировку, как и любое бинарное отношение, можно задать матрицей ||х(а,Ь)|| порядка к, состоящей из 0 и 1. При этом х(а,Ь) = 1 тогда и только тогда, когда а < Ь либо а = Ь. Тогда в первом случае х(Ь,а) = 0, а во втором х(Ь,а) = 1. При этом хотя бы одно из чисел х(а,Ь) и х(Ь,а) равно 1.
Из определения противоречивости пары (а, Ь) вытекает, что для нахождения всех таких пар достаточно поэлементно перемножить две матрицы ||х(а,Ь)|| и ||у(а,Ь)||, соответствующие двум кластери-
зованным ранжировкам, и отобрать те и только те пары, для которых х(а,Ь)у(а,Ь) = х(Ь,а)у(Ь,а)=0.
Алгоритм согласования некоторого числа (двух или более) кластеризованных ранжировок состоит из трех этапов.
На первом выделяются противоречивые пары объектов во всех парах кластеризованных ранжировок. На втором формируются кластеры итоговой кластеризованной ранжировки (т.е. классы эквивалентности связные компоненты графов, соответствующих объединению попарных ядер противоречий). На третьем этапе эти кластеры (классы эквивалентности) упорядочиваются. Для установления порядка между кластерами произвольно выбирается один объект из первого кластера и второй из второго, порядок между кластерами устанавливается такой же, какой имеет быть между выбранными объектами в любой из рассматриваемых кластеризованных ранжировок. Если в одной из исходных кластеризованных ранжировок имеет быть равенство, а в другой — неравенство, то при построении итоговой кластеризованной ранжировки используется неравенство.
Два объекта из разных кластеров согласующей кластеризованной ранжировки могут оказаться эквивалентными в одной из исходных кластеризованных ранжировок (т.е. находиться в одном кластере). В таком случае надо рассмотреть упорядоченность этих объектов в какой-либо другой из исходных кластеризованных ранжировок. Если же во всех исходных кластеризованных ранжировках два рассматриваемых объекта находились в одном кластере, то естественно считать (и это является уточнением к этапу 3 алгоритма), что они находятся в одном кластере и в согласующей кластеризованной ранжировке.
Результат согласования кластеризованных ранжировок А, В, С,... обозначим ((А, В, С,...). Тогда
((А В) = [1<2<3<4<5<6<7<{8, 9}<10] (9)
((А, С) = [{1,3}<{2,4}<6<{5,7}<8<9<10] (10)
((В, С) = [{1,2,3,4}<{5,6}<7<{8,9}<10] (11)
((А, В, С) = ((В, С) = [{1,2,3,4} <{5,6}<7<{8, 9}<10] (12)
В случае ((А, В), ранжировка (9), дополнительного изучения с целью упорядочения требуют только объекты 8 и 9. В случае ((А, С), ранжировка (10), кластер {5,7} появился не потому, что относительно объектов 5 и 7 имеется противоречие, а потому, что в обеих исходных ранжировках эти объекты не различаются. В случае ((В, С) четыре объекта 1,2,3,4 объединились в один кластер, т.е. кластеризованные ранжировки оказались настолько противоречивыми, что процедура согласования не позволила провести достаточно полную декомпозицию задачи нахождения итогового мнения экспертов. Здесь требуется получить дополнительную информацию о первых четырех объектах, если аналитиков не может устроить решение об их эквивалентности.
При построении алгоритмов согласования следует учитывать некоторые свойства и отношения между объектами носителя.
1. Пусть D = ((А, В, С,...). Если а<Ь в согласующей кластеризованной ранжировке D, то а<Ь или а=Ь в каждой из исходных ранжировок А, В, С, ..., причем, хотя бы в одной из них справедливо строгое неравенство.
2. Построение согласующих кластеризованных ранжировок может осуществляться поэтапно. В частности, f(A,B,C) = f(f(A,B), f(A,C), f(B,C)). Ясно, что ядро противоречий для набора кластеризованных ранжировок является объединением таких ядер для всех пар рассматриваемых ранжировок.
3. Построение согласующих кластеризованных ранжировок нацелено на выделение общего упорядочения в исходных кластеризованных ранжировках. Однако при этом некоторые общие свойства исходных кластеризованных ранжировок могут теряться. Так, при согласовании ранжировок В и С, рассмотренных выше, противоречия в упорядочении элементов 1 и 2 не было: в ранжировке В эти объекты входили в один кластер, т.е. 1 = 2. В то же время 1<2 в кластеризованной ранжировке С. Значит, при их отдельном рассмотрении можно принять упорядочение 1<2. Однако в f(B,C) они попали в один кластер, т.е. возможность их упорядочения исчезла. Это связано с поведением объекта 3, который "перескочил" в ранжировке С на первое место и "вовлек с собой в противоречие" пару (1, 2), образовав противоречивые пары и с 1, и с 2. Другими словами, связный компонент графа, соответствующего ядру противоречий, сам по себе не всегда является полным графом. Недостающие ребра при этом соответствуют парам типа (1, 2), которые сами по себе не являются противоречивыми, но "вовлекаются в противоречие" другими парами.
4. Желательно одновременно применять метод расчета средних рангов и метод определения рангов на основе медианы. Это требует разработки методики согласования двух полученных кластеризованных ранжировок.
5. Рассматриваемый метод согласования кластеризованных ранжировок построен в соответствии с методологией теории устойчивости [3,8,9], согласно которой результат обработки данных, инвариантный относительно метода обработки, соответствует реальности, а результат расчетов, зависящий от метода обработки, отражает субъективизм исследователя, а не объективные соотношения.
Литература
1. Менеджмент в телекоммуникациях/Под ред. Н.П. Резниковой, Е.В. Деминой. — М.: Эко-Трендз, 2005. — 392 с.
2. Менеджмент предприятий электросвязи: учебник для вузов./ Под ред. Е.В. Деминой, Н.П. Резниковой. М.: Радио и связь, 1997. — 464 с.
3. Орлов АИ Теория принятия решений: учебное пособие. — М.: Март, 2004. — 104 с.
4. Хеттсманпергер Т. Статистические выводы, основанные на рангах. М.: Финансы и статистика, 1987.
5. Микиртичан А.Г. Применение методов экспертных оценок для управления в отрасли связи. М.: Инсвязьиздат, 1999. — 41 с.
6. Резникова Н.П Применение методов экспертных оценок для решения задач организации и управления электросвязи. М.:МЭИС, 1981. — 29 с.
7. Орлов АИ Нечисловая статистика. — М.: МЗ-Пресс, 2004. — 516 с.
8. Кемени Дж., Снелл Дж. Кибернетическое моделирование: Некоторые приложения. М.: Советское радио, 1972. — 192 с.
9. Бююль А, Цефель П. SPSS: искусство обработки информации. Анализ статистических данных и восстановление скрытых закономерностей. — Киев: ДиаСофт, 2002. — 608 с.
