CC BY
9
УДК 512.643.8
УЛУЧШЕНИЕ ОЦЕНКИ МАКСИМУМ НОРМЫ ОБРАТНЫХ БЛОЧНЫХ МАТРИЦ НЕКРАСОВА*
© 2015 г. Л. Цветкович, К. Дорословачки, Б.Л. Крукиер, Л.А. Крукиер
Цветкович Лилиане - PhD, профессор, факультет естественных наук, кафедра математики и информатики, Университет Нови Сад, г. Нови Сад, Сербия, e-mail: [email protected]
Дорословачки Ксения - PhD, факультет технических наук, университет Нови Сад, г. Нови Сад, Сербия, email: [email protected]
Крукиер Борис Львович - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высокопроизводительных вычислений и информационно-коммуникационных технологий, Институт математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: [email protected]
Крукиер Лев Абрамович - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра высокопроизводительных вычислений и информационно-коммуникационных технологий, Институт математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: [email protected]
Cvetkovich Ljiljana - PhD, Professor, Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia, e-mail: [email protected]
Doroslovacki Ksenija - PhD, Faculty of Technical Science, University of Novi Sad, Serbia, e-mail: [email protected]
Krukier Boris L'vovich - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Department of High Performance Computing and Information and Communication Technologies, Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: [email protected]
Krukier Lev Abramovich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Department of High Performance Computing and Information and Communication Technologies, Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: krukier@sfedu. ru
Ранее авторами были получены границы максимум нормы матриц, обратных матрицам из некоторого подкласса блочных Х-матриц. Полученные границы будут улучшены для блочных матриц Некрасова первого и второго типа на основе соответствующих результатов Л. Колотилиной.
Ключевые слова: Х-матрицы, блочные матрицы, матрицы Некрасова, максимум нормы, обратные матрицы.
The maximum norm bounds of the inverse of a given matrix from some subclasses of block X-matrices were obtained. For block Nekrasov matrices, of the first and second type we will improve obtained bounds, by using a corresponding point-wise bound, published in L. Kolotilina.
Keywords: X-matrices, block matrices, Nekrasov matrices, maximum norm, inverse matrix.
Матрица A = [ av Je □ nxn со свойством
(A) := £ Ы, i eN :={l,2,...,n}
a,, > r
(1)
|a,, I > h (A) , i e N, (2)
где h (A), i e N, определяются рекурсивно h ( A) = Г (A)
jeN \{i}
называется строго диагонально определенной (СДО) матрицей. Известно [1], что класс СДО-матриц связан с анализом сходимости классических итерационных методов. Так, для метода Якоби решения систем линейных алгебраических уравнений максимальная норма итерационной матрицы метода Яко-би меньше 1 (т.е. метод сходится) тогда и только тогда, когда матрица системы является матрицей со строгим диагональным определением.
h, (A) = £|a
,hj (A)
i = 2,3,
Матрица A = [Jf Некрасова, если
называется матрицей
1=1 \ил\ 1='+ Класс матриц, связанный с анализом сходимости итерационного метода Гаусса - Зейделя, это класс матриц Некрасова. Более точно, максимальная норма итерационной матрицы метода Гаусса -Зейделя меньше 1 (т.е. метод сходится), если матрица системы есть матрица Некрасова.
Следующее утверждение было доказано в [2]. Теорема 1. Каждая матрица Некрасова невырождена.
* Работа частично поддержана Министерством образования и науки Сербии, грант 174019, и Секретариатом по науке и технологическому развитию Воеводины, гранты 1136 и 3626, грантами РФФИ № 15-01-00441_а и № 14-01-31076мол_а.
Отметим, что оба класса матриц, и СДО, и матрицы Некрасова, принадлежат классу невырожденных Х-матриц (подробнее в [3]).
Блочные матрицы Некрасова
Два возможных обобщения точечных свойств матриц на блочную их структуру были исследованы в [4]. Кратко здесь повторим основные используемые идеи.
Через я = |р} | обозначим разделение индексов множества К, если неотрицательные числа р, ] = 1,2,..1, удовлетворяют условиям
Ро = 0 < Р1 < Р2 <"•< Р1 = П
Тогда, используя это разделение, пхп -матрица А разделится на 1х1 блока:
A =
Ап Д—
А А 21 22
АЛ А11
Аи А
А„
(3)
Для любой блочной матрицы А вида (3) мы сконструируем два вообще различных, сравниваемых (1х1 )-блока действительных матриц. Мы обозначим их (А" и ((А) , чтобы подчеркнуть, что они зависят от разделения я.
Первая из сравниваемых матриц (А)я конструируется, как это предложено в [5], а вторая^ А У - как это сделано в [6].
Первая сравниваемая матрица (А" = _Му] определяется следующим образом:
Д^Ц | , г = j и Д7 невырождены
0, г = j и Д вырождены ■
-||Д"1 , г * j
Ъ =
Вторая сравниваемая матрица ^ (A))' = [m
1, i = j и А невырождены,
- АЙ1 Д,. , i Ф j и А невырождены,
II Над
0, иначе.
(A ' =
— А"1
А12
(КИГ _
- №1 ( А22 I )
II Над \И Над /
№ ' =
— А"1 Ал
"ЦДгД'Ц
— А"1
А12 II 12 Над
— 1|А1-А12
А"1
И—i
А А» II ад)-1
— | 1 А1 11аА11 II 1 1 А22 А211|
1 |А11 'ii'l
1АЦ А12 1
ll 12 Над
Очевидно,
diag(IiАЦад JА——IIад ,4 АIIа)(А'< (А)' . (4)
Таким образом, можно определить два блочных варианта свойств точечных СДО и матриц Некрасова.
Определение 1. Для данного разделения ' блочная матрица A = [А ] ; называется:
— B' -СПО матрицей, если (A)' - СДО;
— B' -СДО матрицей, если ((A))' - СДО;
— B' -матрицей Некрасова, если (A' - матрица Некрасова;
— B' -матрицей Некрасова, если ((A)' - матрица Некрасова.
Обратные к блочным матрицам Некрасова и известные верхние границы их максимальных норм
В работе [4, теорема 9] приведены две вообще различные возможности оценить максимум нормы обратных матриц к B ] -матрицам Некрасова и одна возможность [4, теорема 10] для B"n -матриц Некрасова. Далее повторим эти теоремы.
Пусть для произвольной матрицы A = [ц}.]eD" " ,
- (A), i e N, рекурсивно определено i—1 z (A)
-(a)=\, zt(A^lal-rY+\, i=2,3,...,n.
j=\ \ajj\
Теорема 2. Если A = [Д,-] , B' -матрица Некрасова, тогда
Важно отметить, что все блочные классы матриц, которые будут рассматриваться здесь, будут иметь все свои диагональные блоки невырожденными, поэтому наши сравниваемые матрицы будут всегда иметь вид
IIa—1'II <-
max z
i<<<i i
(< A')
min
1<i <l
IIA1\\ <- n „ .
1—^tel (( A')
s (11A ад1—* (< a) '))'
maXIAад - (<A')
1<i <l
(5)
1
Теорема 3. Если A = [A] , ВЦ -матрица Некрасова, тогда
«< A)ц)
A < max A,.,.
II Ilm 1<,- <; II "
max z, К (A)
i<i <i
Ж(1 -hi («A»"))'
(7)
A-1 <
maxT
(8)
-п\аи\ -К (А) Используя эту оценку, можно поправить верхние границы, представленные ранее.
Теорема 5. Если А = [Л] 1 , Б' -матрица Некрасова, тогда
■■ - (<А")
A-1 <
max-
llm 1</</ A -1
(9)
A < max A.. max-
II Ilm 1<i<l II " Ilm 1<i</
(10)
1 - К («А»') ■
Для доказательства теорем 5 и 6 достаточно использовать основную связь между точечным и блочным случаями, установленную из [4, теорема 4]
Теорема 7. Если для данного разделения " матрица А = [Лу ] ^:
(1) Б"Н -матрица, тогда
и Н(< А)*г| •
' ' да
(и) Б"Н -матрица, тогда
(«А)")-' • (12)
»A 1 < max У A-1
'Im ieL N I
A1=
Максимум норма обратной матрицы -новые верхние границы
Для точечной матрицы Некрасова в [2] получена оценка
Теорема 4. Если А = [ а. 1 - (точечная) мат-
1_ V ]пхп
рица Некрасова, тогда
(А)
A2=
A3=
ки - h « Ац ■
Теорема 6. Если A = [A] , ВЦН -матрица Некрасова ВЦ , тогда
........ * (« A)ц)
Легко видеть, что результаты теорем 5 и 6 являются прямым следствием теорем 4 и 7.
Численные примеры
Мы будем сравнивать оценки (5) — (8) с новыми оценками (9) и (10).
Рассмотрим следующие матрицы:
A5=
A4=
"11 -7 0 2 0 0 0 0 0 "
6 9 -1 01 0 0 0 0
0 -1 3 0 0 0 0 0 0
1 0 0 4 - 10 0 0 0
0 1 1 -1 6 -1 0 1 0
0 0 0 00 4 0 0 1
0 0 0 0 0 0 -1 0
0 0 0 04 -1 1 6- -1
0 0 0 00 1 0 -1 4
"-1,5 -0,1 0- 0,1 0 0
-0,1 1,7 0,1 0 0 0
0 -0,1 0,4 0,1 0,1 -0,1
0 0 0,5 1 0 0
-0,1 0 0 0,1 1 -0,4
0 0 0,5 0 -1 1
" -4 0 0 -2 0 0 0 0 0 0
-1 -5 2 0 0 0 0 0 0 0
0 -3 -5 4 1 0,1 0 0 0 0
0 0 -0,5 2 0 0 0 0 0 0
0 0 0 -0,1 2 -0,4 0 0 0 0
0 0 -0,5 0 2 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 4 1 1 0
0 0 0 0 0 1 1 6 0 0
0 0 0 0 0 0 0 6 12 6
0 0 0 0 0 0 0 6 -0,4 14
"7 -2 1 - 20 0 0 0 0 0
-1 7 0 00 0 0 0 0 0
0 1 8 4 1 -2 0 0 0 0
-2 0 1 70 0 0 0 0 0
0 0 0 1 8 1 0 0 0 0
0 0 2 2 2 7 0 0 0 0
0 0 0 00 0 6 2 0 0
-2 0 0 00 0 2 8 0 0
0 -2 0 00 1 0 0 5 0
0 0 -2 00 -1 0 -1 0 8
"12 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 12 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 12 0 1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 8 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 12 1 0 0 2 2 0 0
0 0 2 2 2 12 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 12 2 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 2 114 2 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 14 0 1 0
0 0 0 0 2 2 1 0 1 814 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 8 1
0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 8
m
А ||A-'J (8) (5) (6) (7) (9) (10)
A1 0,5347 1,1267 2,5029 2,5029 1,0583 2,5029 0,9828
A2 10,8364 21,9875 - - 20,6162 - 20,6162
A3 1,0762 - 1,5848 2,4844 1,7152 1,4224 1,6141
A4 0,3445 1,2955 5,2255 5,2255 0,8391 5,2255 0,7916
A5 0,1796 0,1869 0,6204 0,4802 0,3838 0,4744 0,3106
Для этих пяти матриц в таблице приведены указанные выше оценки. Кроме того, для каждой матрицы самые лучшие оценки выделены жирным шрифтом. Знак «—» означает, что оценка неприменима.
Матрица A1 иллюстрирует случай, когда оценка (10) работает наилучшим образом.
Матрица A2 — пример матрицы, для которой блочные оценки первого типа (5), (6) и (9) не работают.
Матрица A3 иллюстрирует случай, когда оценка (9) работает наилучшим образом.
Матрица A4 показывает важность блочных оценок второго типа.
Матрица А5 — пример, когда оценка (8) работает наилучшим образом.
Литература
1. Varga R.S. Matrix iterative analysis. Prentice-Hall, USA, 1962. 322 p.
2. Kolotilina L.Yu. On bounding inverses to Nekra-sov matrices in the infinity norm // Zap. Nauchn. Sem. POMI. 2013. Vol. 419. P. 111 - 120.
3. Gudkov V.V. On a certain test for nonsingularity of matrices // Latv. Mat. Ezhegodnik 1965. Zinatne, Riga, 1966. P. 385 — 390.
4. Cvetkovic L., Doroslovacki K. Max norm estimation for the inverse of block matrices // Appl. Math. Com-put. 2014. Vol. 242. P. 694 — 706.
5. Fiedler M., Ptak V. Generalized norms of matrices and the location of the spectrum // Czech. Math. J. 1962. Vol. 12(87). P. 558—571.
Поступила в редакцию_
6. Feingold D.G., Varga R.S. Block diagonally dominant matrices and generalizations of the Gerschgorin circle theorem // Pacific J. Math. 1962. Vol. 12. P. 1241 -1250.
References
1. Varga R.S. Matrix iterative analysis. Prentice-Hall, USA, 1962, 322 p.
2. Kolotilina L.Yu. On bounding inverses to Nekra-sov matrices in the infinity norm. Zap. Nauchn. Sem. POMI, 2013, vol. 419, pp. 111-120.
3. Gudkov V.V. On a certain test for nonsingularity of matrices. Latv. Mat. Ezhegodnik 1965. Zinatne, Riga, 1966, pp. 385-390.
4. Cvetkovic L., Doroslovacki K. Max norm estimation for the inverse of block matrices. Appl. Math. Com-put., 2014, vol. 242, pp. 694-706.
5. Fiedler M., Ptak V. Generalized norms of matrices and the location of the spectrum. Czech. Math. J., 1962, vol. 12 (87), pp. 558-571.
6. Feingold D.G., Varga R.S. Block diagonally dominant matrices and generalizations of the Gerschgorin circle theorem. Pacific J. Math., 1962, vol. 12, pp. 1241-1250.
20 февраля 2015 г.
