Улучшение интерферограмм методом вейвлет-преобразования Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

4

КОМПЬЮТЕРНЫЙ АНАЛИЗ ИЗОБРАЖЕНИЙ И СИГНАЛОВ

УЛУЧШЕНИЕ ИНТЕРФЕРОГРАММ МЕТОДОМ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ А.В. Беляков, И.П. Гуров

Рассмотрены свойства непрерывного многомасштабного анализа (непрерывный вейвлет-анализ). Данный метод реализован применительно к задачам восстановления одномерного интерференционного сигнала из смеси с шумом и улучшения качества картин интерференционных полос на основе использования усредненных по соседним строкам изображения вейвлет-карт.

Введение

Картины полос, получаемые методами муаровой и голографической интерферометрии, часто имеют сложную структуру, локальные особенности и искажены влиянием шума. Для анализа интерференционных картин требуются методы, позволяющие определять не только глобальные пространственно-частотные характеристики интерференционных полос, но и локальные особенности.

Для анализа интерференционных картин широко применяется метод преобразования Фурье, предложенный в работе [1] и основанный на использовании свойств аналитических сигналов [2], теория которых для оптических полей разработана Д. Габором. Преобразование Фурье представляет сигнал, заданный в области независимой переменной, в виде разложения по ортогональным гармоническим базисным функциям, т.е. частотным компонентам. Недостаток преобразования Фурье состоит в том, что эти компоненты вычисляются на основе интегрального преобразования, примененного к реализации сигнала полной протяженности, и поэтому не могут быть локализованы.

В последнее время получил широкое распространение метод анализа сигналов, названный вейвлет-анализом (wavelet analysis) [3, 4]. В литературе данный метод часто называют также многомасштабным (multiscale) анализом [5, 6]. В его основе использованы идеи, сходные с Фурье-преобразованием. Главное отличие состоит в выборе базисных функций или функций, с которыми осуществляется свертка сигнала, а именно, вейвлетов. Вейвлеты - это функции, ненулевая часть которых локализована на ограниченном интервале изменения независимой переменной и являются пространственно масштабируемыми, что позволяет разделять сигналы по различным частотным компонентам и одновременно изучать их локальную структуру с разрешением, соответствующим выбранному масштабу. Именно поэтому свойства вейвлет-преобразования позволяют успешно решать задачи анализа локальных свойств сигналов и изображений.

Английский термин wavelet ("маленькая волна") хорошо передается русским термином "волновой всплеск". При вейвлет-преобразовании в пространственной области фунция-всплеск свертывается с сигналом при различных масштабах этой функции. В результате оказывается возможным выделять местоположение особенностей сигнала, а не просто осуществлять его глобальное частотное разложение.

В статье рассмотрены свойства непрерывного многомасштабного_анализа и представлен пример выделения сигнала из смеси с шумом, а так же улучшения интерференционной картины на основе метода волновых всплесков. Далее по тексту используются термины "всплеск" и "вейвлет", поскольку в настоящее время терминология не установлена в окончательном виде.

Непрерывный вейвлет-анализ

Всплеск (или вейвлет) - это функция, удовлетворяющая двум условиям: функция должна быстро убывать в области независимой переменной; площадь под графиком функции должна быть равна нулю. Первое условие означает, что существенно ненулевая часть всплеска сосредоточена на отрезке конечной протяженности. Не попавшие в отрезок значения сигнала будут слабо влиять на результат. Следовательно, появляется возможность локализовывать особенности сигнала. Именно это отличает вейвлет-преобразование от преобразования Фурье.

Непрерывное вейвлет-преобразование одномерного сигнала s(х) определяется в форме

Ж(а,Ь) = Г ^ (х)И ^^^Цёх, (1)

■V а 1 а I

а

где к" (х) является базисной вейвлет-функцией (звездочкой обозначено комплексное сопряжение). Результат преобразования является функцией, зависящей от двух переменных: "текущей" координаты Ь и масштаба а. При каждом масштабе, согласно (1), исходная функция к* (х) растягивается по горизонтали и сжимается по вертикали.

Обозначив волнистой линией Фурье-преобразование функции в области частот и, на основе известной теоремы о свертке из (1) получим соотношение

Ж(а,и) = л[а ~(и)к * (аи). (2)

С изменением масштаба а спектр вейвлета к (аи) , рассматриваемый при обработке сигнала как частотная характеристика фильтра, сжимается и расширяется по соответствующим осям, сохраняя при этом неизменной свою форму.

Исходная функция £ (х) может быть восстановлена с помощью обратного преобразования

£(х) = С }} 1 Ж^Ь^т (3)

С •'•'л/а V а ) а

—ад—ад » V /

где С - норма базисной функции, определяемая как

с = Г АМёи.

0 и

Для восстановления сигнала необходимо, чтобы выполнялось условие к 2 (0) = 0, и площадь под графиком базисной функции должна быть равна нулю.

Для анализа интерференционных полос удобно использовать вейвлет Морле, который определяется выражением

к(х) = exp[уа х — х2 /(2а2)], (4)

где а - частотный параметр, а - параметр масштаба.

На рис. 1 приведена вейвлет-функция Морле. При увеличении параметров а и а в (4) соответственно возрастает частота "заполнения" и ширина огибающей. Выбор подходящих значений параметров позволяет "адаптировать" свойства вейвлет-преобразования к конкретной задаче обработки интерференционных полос. Спектр вейвлета Морле сконцентрирован в окрестности частоты а0, спектр сжатого в п раз

вейвлета, согласно известным свойствам Фурье-преобразования (свойству подобия), будет сконцентрирован вокруг частоты па0 (см. рис. 1, б). Из рис. 1 видно, что

использование вейвлета Морле позволяет осуществлять локальную спектральную фильтрацию интерференционных сигналов.

( 1 I '-,1 А. ■ Т 1 1 ' | 1 1 1 ' % I * Л 1 ' { \ 1 ,' А \ 1 } ^ \ 1 1 / '| \

4 Л. / ' 1 ' ] 1 1 } ч % 1 ' г \ 1 1 |' 1 1 1 1 ■ 1 ■

а)

-1 1

с ч

СЕп

2 ап

Ъ)

Рис. 1. Комплексный вейвлет Морле (а) и изменение Фурье-спектра при изменении параметра модуляции (Ь)

Фильтрация сигналов из смеси с шумом

Интерференционные сигналы часто оказываются значительно зашумленными. Получение сигналов, "очищенных" от шумов, является одной из важнейших задач обработки. Рассмотрим способ, использующий для этой цели непрерывное вейвлет-преобразование.

На рис. 2 представлен интерференционный сигнал и карта вейвлет-коэффициентов. Коэффициенты представлены с помощью градации яркости. Масштабы изменяются по вертикали от единичного внизу (соответствующего высокочастотному сигналу) до ста вверху.

Ж

Л « А*!..,

Рис. 2. Вейвлет-преобразование с использованием всплеска Морле. Сигнал (вверху) и карта его вейвлет коэффициентов

На вейвлет-карте хорошо видны масштабы, характерные для данного сигнала. Как видно из рисунка, пики и провалы на вейвлет-карте соответствуют локальному периоду сигнала. Чем больше по абсолютному значению коэффициенты разложения, тем

большую роль они будут играть при обратном преобразовании, как это видно из формулы (3). Остальные коэффициенты можно считать представляющими шум, и их вклад не следует учитывать при обратном преобразовании, так же как вклад коэффициентов из области высоких частот.

Таким образом, следует учитывать коэффициенты соответствующие локальным максимумам и достаточно значительные по модулю, а остальные обнулить. Результат такого преобразования вейвлет-карты, а также результат обратного преобразования представлены на рис. 3. Как видно из рисунка, сигнал стал гладким, и появилась возможность различить изменения сигнала не только в его центральной части, но и по краям. При этом амплитуда сигнала несколько уменьшилась.

Рис. 3. Прореженная карта вейвлет-коэффициентов (вверху) и данные полученные при обратном преобразовании

Рассмотренный метод дает хорошие результаты для одномерных сигналов, но мало пригоден для построчной обработки интерферограмм, так как при такой обработке информация, содержащаяся в соседних строках, не учитывается.

Рис. 4. Исходная интерферограмма

Рассмотрим интерферограмму, приведенную на рис. 4. Данная интерферограмма характеризуется высоким уровнем шумов. Границы интерференционных полос нечетки. Часто встречаются небольшие темные вкрапления размером примерно в пять пикселов по каждой координате.

Для фильтрации картины полос проведем вейвлет-преобразование каждой строки изображения, используя вейвлет Морле. Для соседних строк коэффициенты, находящиеся в одинаковых позициях вейвлет-карт, не должны сильно различаться. Если такое отличие велико, то можно сделать вывод о наличие шума. Различие следует сгладить, тогда при обратном преобразовании соседние строки будут меньше отличаться друг от друга. Для того, чтобы локальные особенности изображения не влияли на результат обратного преобразования, следует использовать статистику по нескольким соседним строкам.

Рис. 5. Улучшенное изображение

На рис. 5 показан результат обработки, полученный усреднением вейвлет-карт семи соседних строк. Значения вейвлет-карт учитываются с весовыми коэффициентами, зависящими от расстояния до "текущей" обрабатываемой строки. Как видно из рисунка, в результате удалось добиться четкой картины полос, свободной от локальных особенностей и шумов. Таким образом, можно заключить, что вейвлет-преобразование с использованием предложенной методики, позволяет улучшить качество интерферограмм, получаемых методами муаровой и голографической интерферометрии.

Литература

1. Takeda M., Ina H., Kabayashi S. Fourier - transform method of fringe-pattern analysis for computer-based topography and interferometry //J. Opt. Soc. Amer. 1982. Vol. 72. №.1. P.156-160.

2. Папулис А. Теория систем и преобразований в оптике. М.: Мир, 1971.

3. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001.

4. Воробьев В. И., Грибунин В. Г. Теория и практика вейвлет-преобразования. СПб.: Изд-во ВУС, 1999.

5. Akansu A.N., Haddad R.A. Multiresolution signal decomposition. Boston: Acadamic Press, 1992.

6. Mallat S. A theory for multiresolution signal decomposition: the wavelet representation //IEEE Trans. on Pattern Anal. and Mach. Intel. 1989. Vol. 11. № 7. P. 674-693.

7. Angrisany L., Daponte P., D'Apuzzo M. A method for the automatic detection and measurement of transients. //Measurement 1999. Vol. 25. P. 19-40.