Улучшение импульсных процессов на основе дискретнонепрерывной модели Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012/1

УДК 517.977 © И.В. Расина, А.О. Блинов

УЛУЧШЕНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ ПРОЦЕССОВ НА ОСНОВЕ ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНОЙ МОДЕЛИ*

В статье предлагается интерпретация импульсных процессов в виде модели дискретно-непрерывного процесса. Для такого представления на основе аналога достаточных условий оптимальности Кротова строится метод улучшения. В качестве примера для апробации метода рассматриваются улучшения магистрали в задаче об оптимальной стратегии развития региона. Ключевые слова: импульсный процесс, дискретно-непрерывный процесс, метод улучшения, магистраль.

I.V. Rasina, A.O. Blinov

IMPROVEMENT OF IMPULSE PROCESS ON THE BASE OF DISCRETE-CONTINUOUS MODEL

In the article it is proposed an interpretation of impulse process in the form of model discrete-continuous process. For that conception a method of improvement is constructed on the base of analogue of Krotov sufficient conditions. The turnpike improvement in the problem of region development is considered as an example for approbation of the method proposed.

Keywords: impulse process, discrete-continuous process, method of improvement, turnpike.

Введение

В ряде работ [1-8] были предложены модели и условия оптимальности сложных (дискретно-непрерывных) процессов и рассмотрены некоторые их приложения. Эти модели представляют собой конкретизацию весьма общей модели многошаговых процессов, записанной в терминах произвольных множеств и отображений (операторов), где управление на каждом шаге трактуется как комбинация некоторой абстрактной переменной и некоторого непрерывного процесса, описываемого дифференциальной системой с дополнительными ограничениями. Такая трактовка представляет собой удобный аппарат для описания и исследования различных сложных систем и процессов, в том числе импульсных процессов, которые являются по существу дискретно-непрерывными.

Цель данной работы - явное представление импульсных магистральных решений в задачах управления [9] как дискретно-непрерывных, построение для них алгоритма последовательного улучшения, который ге-

* Работа выполнена при финансовой поддержке РГНФ (проект №11.02.00171), РФФИ (проект №09-01-00170-а).

Расина И.В., Блинов А.О. Улучшение импульсных процессов на основе дискретно-непрерывной модели

нерирует улучшающую, в частности минимизирующую, последовательность функционала. Этот подход является альтернативным подходу, где используется аппарат дифференциальных систем, управляемых мерами (см., например, обзор в [10]).

1. Модель дискретно-непрерывной (гибридной) системы

В качестве исходной принимается абстрактная модель дискретной управляемой системы [1,5]:

х(к +1) = /(к, х(к), и (к)), [к е К = к1, к1 +1,..., кр}, (1)

х(к)е X(к), и(к)е и(к,х(к)),

у = (к1,х(к1),кр,х(кр))е Г, (2)

где к - номер шага (этапа), не обязательно физическое время; х, и - переменные произвольной природы (возможно, различной) для различных к ; X (к), и (к, х), Г - заданные множества.

В качестве общей модели гибридной системы предлагается следующая конкретизация указанной абстрактной дискретной модели. Пусть на

некотором подмножестве К'с К, к1, кр й К', и = (ий, ис), ис - некоторый непрерывный управляемый процесс, так что сечение множества и (к, х) при фиксированных х, иа есть допустимое множество

Бс (к,х,иа) с соответствующей дифференциальной системой

у = ^ = Я, *е Т(г), (3)

у е У (г, * )с Ди(к), w е W (г, х, у )с Яр{к), г = ( к, х, иЛ) .

Оператор правой части (1) имеет вид

/(*,х,и) = в(г,Г), Г =(*1,у1,*р,Ур)е Гс(г).

Решением этой комбинированной системы будем считать набор т = (К, х(*), и (*))е Б , где при * = К':

и(к) = (иа (к),тс (к)), тс (к)е Бс (*,х(к),иа (к)),

который назовем сложным (гибридным) процессом.

Эту модель можно рассматривать как двухуровневую управляемую систему. Нижний уровень представляет собой описания непрерывных управляемых процессов на отдельных этапах. Верхний уровень связывает эти описания в единый процесс. В задачах оптимизации оба уровня рассматриваются во взаимодействии. Будем рассматривать для нее задачу

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012/1

оптимального управления в стандартной форме как задачу о минимуме на D функционала I = F(х(tF)) при фиксированных к[ = 0, кР = К , х(к1).

Достаточные условия оптимальности для такой модели получены в [1,5,16]. Задача улучшения формулируется следующим образом. Задан допустимый элемент т1 и требуется найти допустимый элемент т1 такой, что I (т11) < I (т1).

2. Представление импульсного процесса

Построим дискретно-непрерывную модель для некоторого импульсного процесса, траектория которого представлена кусочно-непрерывной функцией. Примером такой функции может служить магистраль, полученная в результате решения производной задачи [9]. Разобьем заданный отрезок на К этапов - переходов между значениями дискретного аргумента (к = 0,1, 2,___, К), где к соответствует очередной точке разрыва траектории. Рассмотрим содержание этапов.

1 этап. Выход на магистраль (к = 0,1).

2 - К — 1 этапы. Движение по магистрали в силу непрерывной систе-

мы с точками переключения переменных.

4 этап. Сход с магистрали (к = К — 1,К ).

Обозначим переменные верхнего уровня как х1, х2,_, хп. Здесь переменные х1 (к), х2 (к),_, хп—1 (к) соответствуют правым пределам непрерывных переменных нижнего уровня х1 (к — 1), х2 (к — 1),_, хп—1 (к — 1), а хп (к) - начальным значениям времени на непрерывных интервалах, т.е. точкам переключения непрерывных управлений; и1 (к), и2 (к) - дискретные управления (импульсы для выхода на магистраль и схода с нее и смещения точек переключения относительно друг друга). Тогда справедливы следующие уравнения:

х' (к +1) = х' (к) + ии (к),

хп (к +1) = хп (к) + и м (к), (4)

ий =(ии, и м), к = 0,_, К — 1.

3. Алгоритм улучшения

Построим алгоритм улучшения для импульсного процесса как модификацию алгоритма улучшения первого порядка [5], дополненную процедурой уточнения точек разрыва переменных управления, предложенную в работе [11].

Расина И.В., Блинов А.О. Улучшение импульсных процессов на основе дискретно-непрерывной модели

Алгоритм.

1. Задаются начальные условия

x' (0) = xic (tj), i = 1,..., n -1, xn (0) = 0

и управляющие воздействия (uu (к),uc (к,t)) .

2. Слева направо решается система дискретно-непрерывных уравнений (4), (1) тем самым определяется элемент m1 и вычисляется значение функционала I'.

3. Справа налево решается дискретно-непрерывная система для сопряженных переменных

У (K) = F;(K), i = 1,., n , y (к) = yic (к,tj (к)), i = 1,., n -1, yn (к) = 1, к = 1,., K -1, yic (к ) = -HXi( кycxc), yic (к, tF (к)) = y1 (к +1), i = 1,..., n -1.

4. Вычисляются новые непрерывные управления, как

/ \П

(uc) = argmaxHc,

V ' uc eU

и новые дискретные управления по формулам

(uld (к))Ij =(uld (к))j + lxHdudl (к), к = 0, K -1,

(u2d (к ))Ij =(u2d (к ))j + l2Q (к), к = 0, K -1.

Здесь H = sup Hc, Hc (к, t, xc, uc ) = (yc) fc (к, t, xc, uc), где

u

c (1c n—1 c \ c ^ т т c

x =(x ,..., x ), u - вектор управлений непрерывного процесса, U -

множество допустимых непрерывных управлений.

Q(n) = yn (к +1) + Hc(к,..., tP (к)), Hu = Yy у' (к +1) f (к, x(к), uld (к), u2d (к)).

5. Пункт 2 повторяется для различных значений /1, 12, и определяется минимум функционала по этим параметрам и соответствующий им улучшенный элемент.

Критерием окончания итерационного процесса служит выполнение условия \1п —11\ < е, где е - заданная точность вычислений.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012/1

4. Приложение к улучшению магистрального решения в социо-эколого-экономической модели

Применим изложенный алгоритм к улучшению магистрали в терминах производной задачи, полученной путем двойного перехода в полной системе уравнений [12]: функционал I = — ), система состоит из двух уравнений:

V = к(в) у — рБЗк — р (Лп(в)/ + БпЗп) — Б (г) +

+ П (в)(Г + N(г — Г) + 'тг — ехг ) —пв (в)г(([/кп]) + Н)(в —в),

в = — ([/ку] + Н )(в —в),

где

П = р (Л'у* + Б'З* )(С*у*)—1, к = р (Е — Л (в)) —П*С (в),

V = I + р(Бк + Б*к* + Буку) — 1п/] (в —в) + Пг,

з

т=р (л'у"+б^ ).

Здесь у, *, V - векторы выпусков продукции по отраслям, активного природо-социо-восстановления, активных инноваций; (к, к*, к),

(и,и*,и - основные фонды, инвестиции (векторы) и тем-

пы амортизации в экономическом, природо-социо-восстановительном и инновационном секторах (диагональные матрицы); р - матрица-строка цен (ценовых поправок); г - вектор индексов состояния природной среды и социума; в - вектор инновационных индексов (агрегированное описание изменения за счет инноваций элементов матриц Л, Л2, Б, Б2, С , С2 и других параметров); в - предельно допустимая величина вектора инновационных индексов; г(t) - заданная функция (опорная); например, получаемая из статистического прогноза; 'тг , ехг - миграционные потоки загрязнений и ресурсов; Л , Л* , Л - матрицы прямых затрат в экономическом, природо-социо-восстановительном и инновационном секторах; Б, Б*, Бv - матрицы фондообразующих затрат в указанных секторах; N - матрица коэффициентов взаимовлияния компонентов природной и социальной подсистем; С - матрица коэффициентов прямого воздействия отраслей экономики на компоненты природной и социальной подсистем, Н - матрица, отражающая влияние инвестиций и диффузии инноваций; [ X ] -диагональные матрицы, построенные из компонент вектора X; П -

Расина И.В., Блинов А.О. Улучшение импульсных процессов на основе дискретно-непрерывной модели

«благосостояние» - накопленный доход за вычетом штрафа за нарушение условий устойчивого развития, функционал исходной задачи.

В отличие от работы [12] матрицы прямых затрат Л2, Л" зависят от в, т.е. претерпевают инновационные изменения аналогично матрице Л. В рассматриваемой системе уравнение для переменной производной задачи д дополнено уравнением инноваций. Переменные д, в являются переменными состояния, а роль управлений играют переменные у, к, к", г .

За начальное приближение берется магистраль из [12], которая формально получается при исследовании только уравнения относительно д .

Заметим, что ее проекция на плоскость (/,в) не проходит через точку (^ ,в1), т.е. разрывна в этой точке. Кроме того, есть точка переключения переменных (к, у) . Представим поведение исследуемой системы в виде

дискретно-непрерывного процесса по схеме, изложенной выше.

В данном случае заданный отрезок разбивается на четыре этапа.

1 этап - выход на магистраль (п = 0,1).

2 и 3 этапы - движение по магистрали в силу непрерывной системы с

точкой переключения переменных (п = 1, 2; 2,3).

4 этап - сход с магистрали (п = 3, 4 ).

Обозначим переменные верхнего уровня как х1, х2, х3. Здесь переменные х1, х2 соответствуют правым пределам переменных д , в, а х3 -начальным значениям времени на непрерывных интервалах; т.е. точкам переключения непрерывных управлений; и2, и3 - дискретные управления (импульс для выхода на магистраль и смещения точки переключения). Тогда справедливы следующие уравнения:

х' (п +1) = х' (п) + и* (п), и1 (п) = 0, п = 0,...,3, и2а (п) = 0, п = 0,4, им (п) = 0, п = 0,...,3. (5)

х1 (0) = д(0,(0)) = 0, х2 (0) = в(^ (0)) = 0, х3 (0) = (0) = 0.

В новых терминах функционал I = — х1 (4).

Расчеты проводились с помощью вышеизложенного алгоритма. Система сопряженных переменных имела следующий вид:

у (п) = 1, У2 (4) = 0, у3 (4) = 0, у2 (п) = у2с (п, (п)), у3(п) = 1, у2с = "УС(в, ис, у2с), у2с(п,х3(п)) = у2(п +1).

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2012/1

Новые непрерывные управления получаются по формулам

Гу'„, при к > 0,

k (в (t )) =

У (t } = 1 - k п

[у], при k < 0, k], при k < 0,

dR k >n

решение уравнения —г, при k > 0,

3k

r7/ =( 25 )-l(hz (в)) N-hqH (в-в), kv (п, t ) = 0, а новые дискретные управления - по формулам

(u2d f = (u2d )' + l2Hduld, п = 0,3, (u3d f =(u3d ) + l3Q , n = 0,3,

Здесь <ИС = supHc, Hc = ylc[g} + y2c{в}, {V},{в} - правые части со-

u

ответствующих дифференциальных уравнений,

Q ( п ) = У (п +1) + К (n,..., tP (п)) , Hd = Yy¥l (п)(x- (п) + u-(п)).

г

Расчеты проводились при следующих исходных данных:

tp = 20, p = 1, d = dz = dv = 0.05, A = 0.5, A (в) = (1 + в) A0, C0 = 0.000406, C (в) = (1 + в) C0, B = 1, Az (в) = 1 + в, Bz = 1, Av (в) = 1 + в, Bv = 1, Cz = 1, k0 = 400 , kF = 800 , k0z = 10 , k0v = 6, в0 = 0 ,

в =-0.8, r0 = 0.8, rF = 0.9, r = 1, N = -0.001, imr = 0.1, exr = 0.1, S (r ) = 5 (r - r )2, 5 = 5000, y, = 0, k, = 0, yu = yjk , 7 = 10, f = 0.0002,

H = 0.03 у = 0.0015. Результаты представлены в таблице и на графиках

и

№ итерации вр * t П u2d (0) u3d (1)

1 -0.7565 9.978 -3.779 -0.723 -9.065

2 -0.771 0.913 41.694 -0.749 -0.205

3 -0.7855 0.708 194.683 -0.774 -0.097

4 -0.8 0.611 468.25 - -

Расина И.В., Блинов А.О. Улучшение импульсных процессов на основе дискретно-непрерывной модели

Рис. 1. Итерации улучшения

Очевидно, что функционал достиг минимума, так как переменная в подошла к своей нижней границе в .

Заключение

Концепция дискретно-непрерывной модели [1-8] как конкретизация общей модели многошаговых процессов применима для практического представления импульсных процессов, которые по существу дискретно-непрерывны. Для их оптимизации могут быть использованы ранее разра-

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012/1

ботанные в этой концепции условия оптимальности и итерационные алгоритмы улучшения. На этапе итерационной аппроксимации известных импульсных решений допустимыми непрерывными процессами переход к дискретно-непрерывной модели дает возможность варьировать точки переключения на каждой итерации, что и ведет к повышению эффективности численных процедур. Приведенный пример хорошо иллюстрирует общую картину.

При практической реализации каждый скачок реализуется последовательностью кусочно-гладких траекторий при неограниченно возрастающих управлениях в окрестностях точек разрыва, а реально - при достаточно больших управляющих воздействиях.

Литература

1. Гурман В.И. К теории оптимальных дискретных процессов. АиТ. - 1973.

- №6. - С. 53-58.

2. Габелко К.Н. Последовательное улучшение многоэтапных процессов // АиТ. 1974. - № 12. - 1974. - С. 72-80.

3. Орлов А.Г., Расина И.В. Достаточные условия оптимальности сложных процессов: тез. докл. III Всесоюз. Четаевской конф. - Иркутск, 1977. -С. 51-52.

4. Орлов А.Г., Расина И.В. Сложные процессы и достаточные условия относительной оптимальности //Управляемые системы. ИМ СО АН СССР.

- Новосибирск, 1979. - Вып. 18.

5. Гурман В.И., Батурин В. А., Расина И.В. Приближенные методы оптимального управления. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1983.

6. Гурман В.И., Расина И.В. Сложные процессы / Методы решения задач оптимального управления на основе принципа расширения. - Новосибирск: Наука, 1990. - С. 84-94.

7. Расина И.В. Две формы достаточных условий оптимальности и метод улучшения второго порядка для сложных процессов: юбил. сб. науч. тр. к 10-летию СИПЭУ. - Иркутск: Изд-во Макаров, 2004. - С. 180-192.

8. Гурман В.И. Модели и условия оптимальности для гибридных управляемых систем // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2004. - № 4. -С. 70-75.

9. Миллер Б.М., Рубинович Е.Я. Оптимизация динамических систем с импульсными управлениями. - М.: Наука, 2005.

10. Гурман В.И. Магистральные решения в процедурах поиска оптимальных управлений // Авт-ка и телемех-ка. 2003. - № 3. - С. 61-71.

11. Гурман В.И., Ни Минь Кань. Реализация скользящих режимов как обобщенных решений задач оптимального управления // АиТ. 2008. - № 3. -С. 51-59.

12. Расина И.В., Блинов А.О., Гусева И.С. Магистрали в задаче оптимизации стратегии развития региона на многокомпонентной модели // Вестник Бурятского госуниверситета. - 2011. - №6. - С. 36-42.

Расина И.В., Блинов А.О. Улучшение импульсных процессов на основе дискретно-непрерывной модели

Расина Ирина Викторовна - кандидат физико-математических наук, зав. кафедрой математических и естественнонаучных дисциплин Сибирской академии права, экономики и управления; тел. (3952)422869, е-mail: irinarasina@gmail. com

Блинов Александр Олегович - инженер-исследователь Института программных систем им. А.К. Айламазяна РАН; тел. (48535)98094, E-mail: [email protected]

Rasina Irina Victorovna - candidate of physical and mathematical sciences, head of department of mathematical and natural sciences, Syberian Academy of Law, Economics and Management.

Blinov Alexander Olegovich - research engineer of Ailamazyan Program Systems Institute of RAS.