Улучшение характеристик класса регулярных сетей с помощью алгоритма эволюционного синтеза Текст научной статьи по специальности «Математика»

Наука и Образование

МГТУ им. Н.Э. Баумана

Сетевое научное издание

Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2014. № 10. С. 273-283.

Б01: 10.7463/1014.0728878

Представлена в редакцию: 16.09.2014

© МГТУ им. Н.Э. Баумана

УДК 519.87+519.6+681.324

Улучшение характеристик класса регулярных сетей с помощью алгоритма эволюционного синтеза

1,*

Монахов О. Г. ' , Монахова Э. А.

1 Институт вычислительной математики и математической геофизики

СО РАН, Новосибирск, Россия

топакЬоу Згау. с ги

В работе исследуется решение оптимизационной проблемы построения оптимальных по диаметру регулярных сетей (графов). Регулярные сети обеспечивают практический интерес как графо-теоретические модели надежных сетей связи параллельных суперкомпьютерных систем, как основа структуры в модели малого мира, в нейронных и оптических сетях. Вводится новый класс параметрически описываемых регулярных сетей - гиперциркулянтные сети (графы). Разработан подход, использующий эволюционные алгоритмы для автоматического порождения параметрических описаний оптимальных гиперциркулянтных сетей. Проведен сравнительный анализ структурных характеристик гиперциркулянтных, тороидальных и циркулянтных сетей. Показано преимущество гиперциркулянтных сетей по таким структурным характеристикам, как диаметр, средний диаметр и ширина бисекции, при соизмеримых затратах на число узлов и число связей системы

Ключевые слова: гиперциркулянтные сети, эволюционные алгоритмы, параллельные кластерные системы, тороидальные структуры, циркулянтные сети, диаметр, средний диаметр, ширина бисекции

Введение и постановка задачи

В работе исследуется решение оптимизационной проблемы построения оптимальных по диаметру регулярных сетей (графов). Регулярные сети обеспечивают практический интерес как графо-теоретические модели надежных сетей связи параллельных суперкомпьютерных систем, как основа структуры в модели малого мира, в нейронных и оптических сетях. Вводится новый класс параметрически описываемых регулярных сетей - гиперциркулянтные сети (графы). Разработан подход, использующий эволюционные алгоритмы для автоматического порождения параметрических описаний оптимальных гиперциркулянтных сетей. Проведен сравнительный анализ структурных характеристик гиперциркулянтных, тороидальных и циркулянтных сетей. Показано преимущество гиперциркулянтных сетей по таким структурным характеристикам, как

диаметр, средний диаметр и ширина бисекции, при соизмеримых затратах на число узлов и число связей системы.

Пусть ^,,...,,N - целые числа такие, что 1 < ^ < в2 < ... < < N и пусть

£ = {^,,. .,\} . Неориентированный граф C(NS) с множествами вершин

циркулянтным, числа из множества S - образующими, n - размерностью, N - порядком графа. В n -мерном циркулянте степень вершин p = 2n, за исключением тех случаев, когда образующая представляет собой циклическую подгруппу порядка два.

Циркулянтные графы (сети) являются графами Кэли абелевых групп и находят широкое применение при построении и анализе топологий сетей и мультипроцессорных систем, в теории кодирования, распределенных вычислениях, моделировании химических реакций [1-7].

Диаметром графа G называется d (G) = maxd (i, j) где d (i, j) - длина кратчайшего пути из вершины i в вершину j графа G. Средним диаметром графа порядка N

Еще одним показателем для оценки и сравнения топологий сетей (параллельных архитектур, кластерных систем) является ширина бисекции графа BW (bisection width) -минимальное число ребер, которые должны быть удалены, чтобы граф G = ( V, E)

разделился на две равные части G1 и G2 такие, что | V(G:)|= cN / 2t и | V(G2)|=' N / 2p,

количество данных, которые могут быть переданы между этими частями графа. Вторая характеристика зависит от первой, поэтому большинство работ посвящено исследованию ширины бисекции графа. Проблема нахождения ширины бисекции графа является NP-полной, но нижние и верхние границы известны для большинства регулярных топологий сетей связи (гридов, гиперкубов, торов).

Введем некоторое обобщение циркулянтных сетей - класс гиперциркулянтных сетей. Пусть множество вершин V = {0,1,..., N -1} графа HC разбито на k < N классов

эквивалентности: V = ia |а £V,a = i(mod k)}, где i = 0, k -1 и k - делитель N. Пусть L = {lim }, 1 < lim < N, i = 0, k -1, m = 1, v, - множество положительных целых чисел,

которое назовем множеством образующих (отметок ребер) графа HC , а v - его степень. Определим множество ребер графа HC :

E = {(a, b) : а = i (mod k), b - a = 1ги! (mod N), 1ги! e L, m = 1, v}. Обозначим такую

гиперциркулянтную сеть как HC(N, v, L,k) или HC(N, v,{lim }, k) . Следует отметить, для

каждого ребра с отметкой l из множества L существует ребро с отметкой l* = N -1 , и

V = {0,1,...,N -1} и ребер E = {(i, j) : j = i ± ^ (modN),i eV,m = 1,n} называется

где

Ширина полосы пропускания BBW (bisection bandwidth) оценивает

если удалить из множества Ь одно ребро из каждой пары ребер, связанных данным соотношением, то получим множество Ь - минимально необходимое множество отметок. Например, множества Ь={1,49,19,31,14,36; 1,49,19,31,22,28} и Ь*={1,19,14; 1,19,22} для гиперциркулянтной сети НС(50,6, Ь,2).

Рис.1. Циркулянтная сеть С(50;1,19) (слева) и гиперциркулянтная сеть НС(50,6,{1,19,14;1,19,22},2)

(справа).

Пример циркулянтной сети и гиперциркулянтной сети (с двумя классами - четных и нечетных вершин) приведен на рис. 1. Заметим, что класс гиперциркулянтных сетей является подклассом более общего класса (N, V) графов [1, 8]. Отметим также, что, в отличие от циркулянтных сетей, где каждая вершина имеет ребра с одинаковым множеством образующих, в гиперциркулянтных сетях у разных классов вершин может быть разный набор образующих.

Рассмотрим предлагаемый подход к синтезу оптимальных гиперциркулянтных сетей, то есть к построению сетей с минимальным диаметром (средним диаметром). Снижение степени регулярности сети (при к >1) позволяет уменьшить ее диаметр (средний диаметр). Покажем это в данной работе экспериментально, следующим образом. Будем синтезировать оптимальные гиперциркулянтные сети на основе оптимальных циркулянтных сетей с меньшей степенью вершин. Для построения оптимальной гиперциркулянтной сети НС (N, v,{lim}, к) будем использовать циркулянтную сеть

С (N; Б) из известных оптимальных семейств [2,9,10] циркулянтных сетей размерности п , с требуемым числом вершин N, с меньшей степенью вершин р = 2п < V. При этом, множество образующих Б циркулянтной сети будет использовано как подмножество образующих гиперциркулянтной сети (для всех классов вершин - одинаковое), а недостающие V - р образующих (для каждого класса вершин - свои) будут синтезироваться с помощью описанного далее эволюционного алгоритма,

осуществляющего минимизацию диаметра (среднего диаметра) сети. Пример гиперциркулянтной сети степени 6, построенной описанным образом на основе циркулянтной сети степени 4, приведен на рис. 1. Новизна предлагаемого подхода состоит, во-первых, во введении нового класса регулярных сетей - гиперциркулянтных сетей, позволяющих, как покажет дальнейший анализ, существенно улучшить структурные характеристики сетей без увеличения их стоимости, во-вторых, в использовании в качестве базовых структур (темплейтов) для построения гиперциркулянтов - оптимальных семейств циркулянтных сетей меньшей размерности, и, в-третьих, в применении алгоритма эволюционного синтеза для поиска оптимальных гиперциркулянтов на основе темплейтов. Можно отметить связь нашего подхода с подходом к построению сетей "малого мира" [11], когда введение некоторой нерегулярности сети приводит к существенному улучшению ее характеристик (таких как диаметр и средний диаметр).

1. Алгоритм эволюционного синтеза оптимальных регулярных сетей

Основными методами, используемыми для построения регулярных сетей с минимальным диаметром и/или минимальным средним расстоянием являются локальный поиск, а также переборные и эвристические алгоритмы. Предлагаемый подход основан на задании начальных темплейтов в виде циркулянтных графов меньшей размерности и использует эволюционные вычисления на основе генетического алгоритма для синтеза оптимальных регулярных сетей. Основная идея алгоритма состоит в эволюционных преобразованиях над множествами описаний графов, основанных на естественной селекции - выживает "сильнейший". В нашем случае этими особями являются графы, имеющие наименьший средний диаметр. Функция пригодности Е оценивает в данном случае средний диаметр полученных графов с заданными степенью, множеством образующих и порядком. Особи представлены строками натуральных чисел (описаниями образующих или хромосомой), при этом подмножество образующих, полученных от исходного (оптимального) циркулянтного графа остается неизменным (постоянная часть темплейта), а поиск осуществляется только для недостающих до заданной степени образующих (переменная часть темплейта). Алгоритм начинается с генерации начальной популяции. Все особи в этой популяции создаются случайно, затем отбираются наилучшие особи и запоминаются. Для создания популяции следующего поколения (следующей итерации), новые особи формируются с помощью генетических операторов селекции (отбора), мутации, кроссовера и добавления новых элементов (для сохранения разнообразия популяции).

Оператор мутации применяется к особям, случайно выбранным из текущей популяции с вероятностью ртШ е [0,1]. Мутация хромосомы состоит в изменении

значения случайно выбранного параметра (гена хромосомы) на другую, случайно выбранную величину из множества допустимых значений. Оператор кроссовера (скрещивания) применяется к двум особям (родителям), случайно выбранным из текущей

популяции с вероятностью pcros e [0,1]. Кроссовер состоит в порождении двух новых

особей путем обмена частями хромосом родителей. Оператор создания нового элемента (особи) состоит в генерации случайных значений параметров хромосомы. Это позволяет увеличить степень разнообразия особей при создании популяции. Оператор селекции реализует принцип выживания наиболее приспособленных особей. Он выбирает наилучших особей с минимальными значениями целевой функции F .

Для поиска оптимума заданной целевой функции F итерационный процесс вычислений в генетическом алгоритме организован следующим образом.

Первая итерация: порождение начальной популяции. Все особи популяции создаются с помощью оператора новый элемент, с проверкой и отсеиванием всех непригодных особей. После заполнения массива популяции лучшие особи отбираются и запоминаются в массиве best. Промежуточная итерация: шаг от текущей к следующей популяции. Основной шаг алгоритма состоит в создании нового поколения особей на основе массива best, используя операции селекции, мутации, кроссовера и добавления новых элементов. После оценки целевой функции для каждой особи в поколении проводится сравнение величин этих функций с величинами целевых функций тех особей, которые сохранены в массиве best. В том случае, если элемент из нового поколения лучше, чем элемент best [i] для некоторого i, помещаем новый элемент на место i в массив best и сдвигаем в нем все остальные элементы на единицу вниз. Таким образом, лучшие элементы локализуются в верхней части массива best. Последняя итерация (критерий остановки): итерации заканчиваются либо после исполнения заданного числа шагов, либо после нахождения оптимального значения целевой функции F .

2. Экспериментальные результаты

Алгоритм эволюционного синтеза был применен для поиска оптимальных гиперциркулянтов. Предельное число итераций равно 1000, размер популяции изменялся в диапазоне 10 - 100, pmui=0.15, pcras =0.7, указанные параметры выбирались

экспериментальным путем. Эволюционный синтез гиперциркулянтов проводился на основе известного [9,10] оптимального семейства двумерных циркулянтных сетей с описанием: C(N;1,s) , где N = 2d2, s = 4d -1, d = 1(mod2), d > 2. Отметим, что данные

результаты были получены на ресурсах Сибирского Суперкомпьютерного центра в ИВМиМГ СО РАН. В табл. 1 и 2 проведено сравнение топологий циркулянтов, гиперциркулянтов и тороидальных структур по диаметру d , среднему диаметру d и

ширине бисекции BW. Порядки циркулянтов и гиперциркулянтов в табл. 1 и 2 являются наиболее близкими к числу вершин соответствующих торов. Для сравнения в данных

таблицах выбирались известные семейства оптимальных циркулянтов размерности три и

k k j

четыре [12]. Диаметр k-мерного, k > 2, тора с числом вершин N = ^ ^ равен D = >СЧ .

i=1 i=1 2

Известно, что торы дают меньший диаметр и лучшую производительность, если число

вершин в каждом направлении одинаково, то есть ( = l для всех / = 1,2,...,к. В этом случае диаметр тора равен D = к<3 /21, а средний диаметр - ^ = ^ 1 k /1. Точное

значение ширины бисекции для k-мерных торов общего вида Тk) 1к, которые имеют I вершин вдоль размерности i для / = 1,2,...,к и где I > 12 > ... > 4, найдено в [13]:

а k

(Т(! ) = 2^ ^ 1;., где а - наименьший индекс, для которого 1г - четное число

i =1 ] =г+1

(а = k, если такого индекса нет). Для многомерных циркулянтных и гиперциркулянтных графов в табл. 1 и 2 оценка ширины бисекции получена с помощью программы Mathematica 10.

Сравнение структурных показателей в табл. 1 и 2 демонстрирует преимущество гиперциркулянтных сетей указанных размерностей по сравнению с циркулянтами и торами (более чем в 1.5 - 3 раза для диаметра и для среднего диаметра) и увеличение ширины бисекции без дополнительных затрат оборудования. Следует отметить преимущество гиперциркулянтных сетей размерности три перед торами большей размерности, равной четырём. Таким образом, оптимизация гиперциркулянтных сетей размерности три является более эффективной, чем введение дополнительной размерности для соответствующих тороидальных структур. Отметим также лучшие структурные показатели у гиперциркулянтных сетей по сравнению с перспективными iBT-сетями, предложенными в [14] для петафлопсных суперкомпьютеров на основе попеременного дополнения тороидальных структур циркулянтными связями. Например, iBT-сеть при степени 8 и числе вершин ^ 32400 имеет ¿=12, ^ =7.515, BW=7200, а у

гиперциркулянтов при степени 8 и числе вершин N= 32258 имеем ¿=10, =7.23, BW=15852.

Заключение

Улучшение рассмотренных структурных показателей у гиперциркулянтных сетей указанных размерностей по сравнению с торами и циркулянтами (более чем в 1.5 - 3 раза для диаметра и для среднего диаметра) позволяет уменьшить задержки при передаче информации, сократить время исполнения заданий, увеличить показатели надежности и живучести системы, и, соответственно, при соизмеримых затратах на число узлов и число связей получить большую производительность и экономическую эффективность.

Таблица 1. Сравнение топологий 3D-торов, циркулянтов и гиперциркулянтов размерности три

3D-torus N d d av BW

16x16x16 4096 24 12 512

32x32x32 32768 48 24 2048

64x64x64 262144 96 48 8192

128x128x128 2097152 192 96 32768

Circulants C ( N ; ^, s2, s3 ) N d d av BW

1, 210, 232 4431 15 11.27 886

1, 820, 862 33661 30 22.22 3366

1, 3240, 3322 262521 60 44.11 13126

1, 12880, 13042 2073841 120 87.86 51846

H Circulants HC ( N, 6, {lim }, 2) N d d av BW

1, 187, 1750; 1, 187, 1178 4418 11 7.27 1070

1, 507, 12292; 1, 507, 3208 32258 18 12.05 7016

1, 1451, 5510; 1, 1451, 17900 263538 31 20.5 24554

1, 4091, 27328; 1, 4091, 23744 2093058 60 36.9 59256

Таблица 2. Сравнение топологий 4D-торов, циркулянтов и гиперциркулянтов размерности четыре

4D-torus N d d av BW

8x8x8x8 4096 16 8 1024

14x14x14x14 38416 28 14 5488

16x16x16x16 65536 32 16 8192

32x32x32x32 1048536 64 32 65536

Circulants C (N ; ^, s2, s3, s4 ) N d d av BW

1, 9, 378, 460 4231 9 7.2 1696

1, 17, 2192, 2482 37537 16 12.6 9384

1, 19, 3096, 3458 59167 18 14.14 13148

1, 39,28196,29718 1101127 38 29.5 115908

H Circulants HC ( N, 8, {1ш }, 2) N d d av BW

1, 179, 3392, 1446; 1, 179, 1210, 564 4050 7 5.04 2712

1, 507, 1188, 4224; 1, 507, 15766, 3009 32258 10 7.23 15852

1, 723, 24790, 6314; 1, 723, 7618, 28340 65522 12 8.28 21360

1, 2971, 32116, 20376; 1, 2971, 29544, 30642 1104098 25 15.28 118622

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 14-01-00031

Список литературы

1. Монахов О.Г., Монахова Э.А. Параллельные системы с распределенной памятью: структуры и организация взаимодействий. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. 242 с.

2. Монахова Э.А. Структурные и коммуникативные свойства циркулянтных сетей // Прикладная дискретная математика. 2011. № 3 (13). С. 92-115.

3. Bermond J.C., Comellas F., Hsu D.F. Distributed loop computer networks: a survey // Journal of Parallel and Distributed Computing. 1995. Vol. 24, iss. 1. P. 2-10. DOI: 10.1006/j pdc.1995.1002

4. Hwang F.K. A survey on multi-loop networks // Theoretical Computer Science. 2003. Vol. 299, iss. 1-3. P. 107-121. DOI: 10.1016/S0304-3975(01)00341-3

5. Martinez C., Beivide R., Gabidulin E.M. Perfect codes from Cayley graphs over Lipschitz integers // IEEE Transactions on Information Theory. 2009. Vol. 55, no.8. P. 3552-3562. DOI: 10.1109/TIT.2009.2023733

6. Нестеренко Б.Б., Новотарский М.А. Клеточные нейронные сети на циркулянтных графах // Искусственный интеллект. 2009. № 3. С. 132-138.

7. Muga II F.P., Saldana R.P., Yu W.E.S. Building Graph-Based Symmetric Cluster // NECTEC Technical Journal. 2001. Vol. 2, no. 9. P. 195-199.

8. Monakhov O.G., Monakhova E.A. A Class of Parametric Regular Networks for Multicomputer Architectures // Intern. Scientific Journal "Computing and Systems". 2000. Vol. 4, no. 2. P. 85-93.

9. Монахова Э.А., Монахов О.Г. Эволюционный синтез семейств оптимальных двумерных циркулянтных сетей // Вестник СибГУТИ. 2014. № 2. С. 72-82.

10. Jha P.K. Dense bipartite circulants and their routing via rectangular twisted torus // Discrete Applied Mathematics. 2014. Vol. 166. P. 141-158. DOI: 10.1016/j.dam.2013.09.021

11. Watts D.J., Strogatz S.H. Collective dynamics of "small-world" networks // Nature. 1998. Vol. 393. P. 440-442. DOI: 10.1038/30918

12. Монахова Э.А., Монахов О.Г. О некоторых характеристиках циркулянтных и тороидальных структур // Вестник СибГУТИ. 2013. № 3. С. 63-69.

13. Aroca J.A., Anta A.F. Bisection (Band)Width of Product Networks with Application to Data Centers // In: Theory and Applications of Models of Computation. Springer Berlin Heidelberg, 2012. P. 461- 472. (Ser. Lecture Notes in Computer Science; vol. 7287). DOI: 10.1007/978-3-642-29952-0 44

14. Zhang P., Powell R., Deng Y. Interlacing Bypass Rings to Torus Networks for More Efficient Networks // IEEE Transactions on Parallel and Distributed Systems. 2011. Vol. 22, no. 2. P. 287-295. DOI: 10.1109/TPDS.2010.89

Science and Education of the Bauman MSTU, 2014, no. 10, pp. 273-283.

DOI: 10.7463/1014.0728878

Received:

16.09.2014

Science ^Education

of the Bauman MSTU

ISSN 1994-0448 © Bauman Moscow State Technical Unversity

Regular Network Class Features Enhancement Using an Evolutionary Synthesis Algorithm

O.G. Monahov1*, E.A. Monakhova1

1 Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB

RAS, Novosibirsk, Russia

.1

monakhov ffrav sscc.ru

Keywords: hypercirculant networks, evolutionary algorithms, parallel cluster systems, toroidal

structures, circulant networks, diameter, average diameter, bisection width

This paper investigates a solution of the optimization problem concerning the construction of diameter-optimal regular networks (graphs). Regular networks are of practical interest as the graph-theoretical models of reliable communication networks of parallel supercomputer systems, as a basis of the structure in a model of small world in optical and neural networks. It presents a new class of parametrically described regular networks - hypercirculant networks (graphs). An approach that uses evolutionary algorithms for the automatic generation of parametric descriptions of optimal hypercirculant networks is developed. Synthesis of optimal hypercirculant networks is based on the optimal circulant networks with smaller degree of nodes. To construct optimal hypercirculant networks is used a template of circulant network from the known optimal families of circulant networks with desired number of nodes and with smaller degree of nodes. Thus, a generating set of the circulant network is used as a generating subset of the hypercirculant network, and the missing generators are synthesized by means of the evolutionary algorithm, which is carrying out minimization of diameter (average diameter) of networks. A comparative analysis of the structural characteristics of hypercirculant, toroidal, and circulant networks is conducted. The advantage hypercirculant networks under such structural characteristics, as diameter, average diameter, and the width of bisection, with comparable costs of the number of nodes and the number of connections is demonstrated. It should be noted the advantage of hypercirculant networks of dimension three over four higher-dimensional tori. Thus, the optimization of hypercirculant networks of dimension three is more efficient than the introduction of an additional dimension for the corresponding toroidal structures. The paper also notes the best structural parameters of hypercirculant networks in comparison with iBT-networks previously proposed by other authors.

References

1. Monakhov O.G., Monakhova E.A. Parallel'nye sistemy s raspredelennoi pamiat'iu: struktury i organizatsiia vzaimodeistvii [Parallel Systems with Distributed Memory: Structures and Organization of Interactions]. Novosibirsk, SB RAS Publ., 2000. 242 p. (in Russian).

2. Monakhova E.A. Structural and communicative properties of circulant networks. Prikladnaia diskretnaia matematika = Applied Discrete Mathematics, 2011, no. 3 (13), pp. 92-115. (in Russian).

3. Bermond J.C., Comellas F., Hsu D.F. Distributed loop computer networks: a survey. Journal of Parallel and Distributed Computing, 1995, vol. 24, iss. 1, pp. 2-10. DOI: 10.1006/j pdc.1995.1002

4. Hwang F.K. A survey on multi-loop networks. Theoretical Computer Science, 2003, vol. 299, iss. 1-3, pp. 107-121. DOI: 10.1016/S0304-3975(01)00341-3

5. Martinez C., Beivide R., Gabidulin E.M. Perfect codes from Cayley graphs over Lipschitz integers. IEEE Transactions on Information Theory, 2009, vol. 55, no.8, pp. 3552-3562. DOI: 10.1109/TIT.2009.2023733

6. Nesterenko B.B., Novotarskii M.A. Cellular Neural Networks with Circulant Graphs. Iskusstvennyi intellect = Artificial intelligence, 2009, no. 3, pp. 132-138. (in Russian).

7. Muga II F.P., Saldana R.P., Yu W.E.S. Building Graph-Based Symmetric Cluster. NECTEC Technical Journal, 2001, vol. 2, no. 9, pp. 195-199.

8. Monakhov O.G., Monakhova E.A. A Class of Parametric Regular Networks for Multicomputer Architectures. Intern. Scientific Journal "Computing and Systems", 2000, vol. 4, no. 2, pp. 85-93.

9. Monakhova E.A., Monakhov O.G. Evolutionary synthesis of optimal two-dimensional circulant networks families. Vestnik SibSUTI, 2014, no. 2, pp. 72-82. (in Russian).

10. Jha P.K. Dense bipartite circulants and their routing via rectangular twisted torus. Discrete Applied Mathematics, 2014, vol. 166, pp. 141-158. DOI: 10.1016/j.dam.2013.09.021

11. Watts D.J., Strogatz S.H. Collective dynamics of "small-world" networks. Nature, 1998, vol. 393, pp. 440-442. DOI: 10.1038/30918

12. Monakhova E.A., Monakhov O.G. Some characteristics of circulant and toroidal structures of computer systems. Vestnik SibSUTI, 2013, no. 3, pp. 63-69. (in Russian).

13. Aroca J.A., Anta A.F. Bisection (Band)Width of Product Networks with Application to Data Centers. In: Theory and Applications of Models of Computation. Springer Berlin Heidelberg,

2012, pp. 461- 472. (Ser. Lecture Notes in Computer Science; vol. 7287). DOI: 10.1007/9783-642-29952-0 44

14. Zhang P., Powell R., Deng Y. Interlacing Bypass Rings to Torus Networks for More Efficient Networks. IEEE Transactions on Parallel and Distributed Systems, 2011, vol. 22, no. 2, pp. 287-295. DOI: 10.1109/TPDS.2010.89