Улитка Паскаля предельный цикл кубичной системы дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.925

УЛИТКА ПАСКАЛЯ - ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ КУБИЧНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

© 2010 г. Т.А. Дружкова, Е.А. Сиротина

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

[email protected]

Поступила в редакцию 07.06.2010

Построено все множество кубичных дифференциальных уравнений, в семействе интегральных кривых которых присутствует алгебраическая кривая четвертого порядка - улитка Паскаля. Выделено однопараметрическое семейство таких уравнений, для которых улитка Паскаля является предельным циклом.

Ключевые слова: кубичное дифференциальное уравнение, улитка Паскаля, частный алгебраический интеграл, предельный цикл, круг Пуанкаре.

В 1878 году Дарбу ввел понятие частного алгебраического интеграла и предложил метод построения без квадратур общего интеграла дифференциального уравнения, обладающего достаточным количеством таких частных интегралов [1]. С середины XX века в печати стали появляться статьи, авторы которых проводили качественное исследование полиномиальных дифференциальных уравнений

Рп (х, у)ф - (х, у)Л = 0 , п е N (1)

(п - степень многочленов Рп (X, у), 0п(X, у) ),

с теми или иными частными алгебраическими интегралами. Одной из первых публикаций такого рода явилась статья Цинь Юань-сюня 1958 года [2], в которой изучен весь класс квадратичных уравнений (п = 2) с алгебраическим предельным циклом второй степени - эллипсом. В 1966 году впервые были обнаружены квадратичные же уравнения, для которых предельным циклом являлась алгебраическая кривая четвертого порядка [3]. В 2004 году в фундаментальной статье [4] приведен обзор исследований квадратичных систем с алгебраическими предельными циклами четвертого порядка: указаны все семейства алгебраических кривых четвертой степени, которые только и могут служить предельными циклами. В 2005 году получены квадратичные системы с алгебраическими предельными циклами пятой и шестой степеней [5]. В работах [6, 7] приводятся примеры уравнений (1) с произвольно зафиксированной степенью п многочленов Рп (х, у), 0п (х, у), обладающих изо-

лированной алгебраической интегральной кривой сколь угодно большой степени, не зависящей от п.

Результаты и методы изучения полиномиальных динамических систем, обладающих алгебраическими инвариантными кривыми, изложены и в многочисленных работах сотрудников кафедры дифференциальных уравнений и математического анализа Нижегородского госуни-верситета, например [8, 9].

Авторы настоящей статьи изучали квадратичные и кубичные (п = 3) уравнения (1), среди интегральных кривых которых находятся так называемые знаменитые алгебраические кривые [10]. Кривые эти в свое время были введены в науку и изучены как самостоятельные объекты многими известными математиками прошлого. Нами рассмотрено восемь таких кривых. Выяснилось, что три из них - овалы Кассини, лемниската Бернулли и конхоида Никомеда - вообще не могут являться интегральными кривыми квадратичных дифференциальных уравнений. Для каждой из пяти других кривых - улитка Паскаля, декартов лист, трисектриса Маклорена, кубика Чирнгаузена, строфоида - построен и изучен весь класс квадратичных дифференциальных уравнений [11, 12]. При этом каждое из полученных уравнений оказалось алгебраически интегрируемым, т.е. обладающим целым семейством алгебраических интегральных кривых, а значит, не имеет предельных циклов.

В настоящей статье приводится построение и изучение кубичных дифференциальных уравнений (1) с улиткой Паскаля в качестве одной из интегральных кривых. Показано, что при определенных значениях параметров - коэффициентов многочленов Рз (X, у), 03 (X, у) -

улитка Паскаля является предельным циклом. Построены фазовые портреты.

Построение класса кубичных дифференциальных уравнений с улиткой Паскаля в качестве интегральной кривой

Рассматривается кубичное дифференциальное уравнение

Рз (х, У)Лу - Qз (х, у)йх = 0, (2)

где Р (X, у), Qз (х, у) - многочлены не выше третьей степени от действительных переменных и с действительными коэффициентами, взаимно простые над полем действительных чисел, причем хотя бы один из этих многочленов имеет степень, равную трем:

3 2

р = Р3(х, у) = РзоX + Р21х у +

2 3 2

+ Р 2 ХУ + Р03У + -Р20х +

2

+ РЦХУ + Р 02 у + Р10 Х + ^01У + ^00 >

3 2 2

б = бз(X У) = 4зох + 421хУ + 412 хУ +

3 2 2

+ 4оз У + 420х + 4пхУ + 402 У + 4іох + 4оіУ + 4оо-

Алгебраическая кривая четвертого порядка -улитка Паскаля

f = f (X У) = (x2 + y2 - ax)2 -l2 ( x2 + y2 ) = 0, a > 0, l > 0, a Ф l,

(3)

является интегральной кривой уравнения (2) тогда и только тогда [1], когда существует такой многочлен

2

R = R2 ( x, y) = r20x + r11xy +

2

+ r02 y + r10x + r01 y + r00 > что выполняется тождество

SLp f =/r.

dx dy

(4)

(5)

В рассматриваемом случае (5) представляет собой тождественное равенство двух многочленов шестой степени переменных х, у. От приравнивания друг другу соответствующих коэффициентов в левой и правой частях этого тождества получается система из 28 нелинейных алгебраических уравнений с 26 неизвестными -коэффициентами многочленов Р, Q, Я. Непосредственное решение этой системы позволяет следующим образом однозначно выразить 15 из

20 коэффициентов многочленов P и Q и все 6 коэффициентов многочлена R, например, через коэффициенты р03, q03, q2l, qn, q02 дифференциального уравнения и два параметра a и 1 улитки Паскаля :

3 1 г

Рзо = 4чоз + 4чи Р21 = 5Роз+4qi2>

7 з

p12 = ~ q03 - 4 q21,

p02

3a2 +12 a2 -12

'403 +■

4a

4a

”q21’

l2 - 3 a2 l2

p\ 1 =----Роз +—qi2+4qo2=

aa

3 1

-Р20 = - 2 aqo3- 2 а^2і,

3(a2 -12 ) a2 -12

-403 +—;— 421=

Р10

4

4

/2

72 l

Р01 P03 +— q02 >

a

(6)

Poo = ° qoo = ° qoi

(34оз + ?2i)>

q10 -■

a2 -12

a

(q02 - ajP03 ) ’

4 a2 -12 a2 -12

q20 = A)3 + q12 - 3q02’

aa

q30 = -4^03 - 3q12’

qii

8a 2 -l2 l2 - 4 a 2

4a

■q03 +■

4a

-?2i;

r20 = 3q03 + ?21> r11 = 4 A)3 + 4qi2 =

r02 = 4q03’

3

r10 = -2a(q21 + 3q03)> r01 = -2ap03 + 4q02j (7)

r00

a2 -12

(3q03 + q21)-

Таким образом, имеет место Теорема 1. Улитка Паскаля (3) является интегральной кривой кубичного дифференциального уравнения (2) в том и только том случае, когда 15 из 20 коэффициентов этого уравнения могут быть представлены как функции пяти произвольных его коэффициентов р03,

403> 421, 412, 402 и двух параметров а и I улитки по формулам (6).

4

2

Подчеркнем, что при нахождении коэффициентов дифференциального уравнения (2) принципиально важно, что улитка Паскаля не вырождается в кардиоиду, т.е. в уравнении (3) а ф I. Для кардиоиды дифференциальное уравнение получается иное, как это уже отмечалось и в других работах с улиткой Паскаля [11, 12].

ложим I = 2а - при этом условии овал улитки уже выпуклый;

2) из пяти коэффициентов-параметров дифференциального уравнения свободным оставим лишь один д02 = д , придав остальным четырем коэффициентам следующие конкретные значения: Роз = доз = 0 д21 = 4 912 =0 •

Таким образом, дальнейшему исследованию подлежит следующее дифференциальное урав-

нение:

4 х3 + 4 х2 у — 3дх2 + ду2 + 3(1 — д) х — 3 у

б

Зх х3 + 5х2 у — 3ху2 + у3 — 2 х2 + (1 + 4д) ху — 3 у2 — 3х + 4(д — 1) у Р

(8)

Построение класса кубичных дифференциальных уравнений с улиткой Паскаля в качестве предельного цикла

Понятно, что начало координат плоскости ХОУ является особой точкой построенного дифференциального уравнения при любых значениях пяти его произвольных коэффициентов Роз, 903, 921, 912, 902 и указанных в (3) значениях параметров а и I улитки. Корни характеристического уравнения для этой особой точки,

1 2 2 I ¡2 2

^1,2 =Т (а -1 )(<?21 + 3<?0з) (<?02 - аР03Л а -1 ,

4 а

свидетельствуют о том, что если (^21 + 3д0з) х

х (9о2 - аРоз) ^ 0, то точка эта является фоку-2 2

сом при а < I , что согласуется с формой самой улитки Паскаля, для которой (0; 0) является либо точкой самопересечения, либо изолированной, в зависимости от соотношений между параметрами а и I (рис. 1).

Однако полное исследование построенного пятипараметрического семейства дифференциальных уравнений, да еще с произвольно взятой кривой из двухпараметрического семейства (3), не представляется возможным ввиду трудностей даже с нахождением формул для вычисления координат особых точек дифференциального уравнения как функций всех семи параметров. Поэтому настоящая работа ограничивается доказательством утверждения, что в построенном семействе дифференциальных уравнений существуют такие, для которых улитка Паскаля является не просто интегральной кривой, а предельным циклом.

Наложим следующие ограничения, упрощающие решение поставленной задачи:

1) пусть в уравнении (3) улитки Паскаля а = = 1, что не сужает общности исследования, ибо к этому случаю можно прийти линейной однородной заменой переменных х и у, а также по-

для которого при любом действительном значении параметра д улитка Паскаля

/ = /(X у) = (%2 + У2 - х)2 - 4(х2 + У2 ) = 0 (9)

является интегральной кривой, а (0;0) - особой точкой типа фокус или узел.

Тем не менее, и для однопараметрического семейства уравнений (8) нахождение координат особых точек как функций параметра д весьма затруднительно. На помощь приходит единственно известная интегральная кривая этого уравнения - улитка Паскаля. Как следует из тождества (5), особые точки любого уравнения (1) с алгебраической интегральной кривой f = f (х, у) = 0 располагаются только либо на этой алгебраической интегральной кривой, либо на кофакторе [13] - вспомогательной алгебраической кривой Я = Я( х, у) = 0, вообще говоря, интегральной кривой не являющейся. Для дифференциального уравнения (8) и улитки Паскаля (9) кофактор имеет следующий конкретный вид:

Р = Р( х, у) =

2 (10) = 4 х + 4 ху — 6 х + (4 д — 2) у — 6 = 0.

Поэтому для нахождения координат всех особых точек уравнения (8) необходимо и достаточно исследовать следующие две системы, каждая из которых состоит из трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными х, у, д:

Р = х3 + у3 + 5х2 у — 3 ху2 — 2 х2 — 3 у2 + + (4 д +1) ху — 3х + 4 (д — 1) у = 0,

Q = —3дх — 4 х + 4 х у + ду —

— 3(д — 1) х — 3 у = 0,

/ = х4 + 2 х2 у2 + у4 — 2 х3 — 2 ху2 —

— 3х2 — 4 у2 = 0;

а) б) в)

Рис. 1. Зависимость формы улитки Паскаля от соотношений между параметрами а и I: а) 0 < I < а , б) а < 1 < 2 а , в) 2 а < I

Р = х3 + у3 + 5х2 у - 3ху2 - 2х2 - 3у2 +

+ (4q +1)ху - 3х + 4(д -1)у = 0,

Q =-3qx2 - 4х3 + 4х2у + qy2 - (12)

- 3^ -1) х - 3 у = 0,

= 4 х + 4 ху — 6 х + (4q — 2) у — 6 = 0.

Система (11) связывает с параметром д координаты особых точек уравнения, находящихся на улитке Паскаля. Заметим, что точка (-1;0), принадлежащая улитке, не является особой точкой дифференциального уравнения (8) ни при каком конечном значении параметра д. Пара чисел х = у = 0, напротив, удовлетворяет этой системе при любом действительном значении параметра д. Кроме того, система (11) имеет следующие два семейства решений:

д = 92 (*2) соответственно. Приводимые ниже графики функций д = д^ х) и д = д2 (х) позволяют проследить появление этих особых точек А (х, у!) и Л2 (х2 , у2) на улитке Паскаля, их продвижение по улитке и исчезновение в зависимости от изменения параметра д (рис. 2-4).

Рис. 2 дает возможность утверждать, что при д = -да точка (-1; 0) улитки является особой точкой дифференциального уравнения, которая с ростом параметра д монотонно перемещается

= 3/

точки

вверх по улитке, достигая при q

(0; 2) (рис. 5). При q = -1 в точке (3; 0)

улитки появляется еще одна особая точка, которая с ростом параметра q тоже перемещается по верхней части улитки, достигая той же точки

мі( хх, у і, ді) =

1 < х1 < 3,

Уі (Хі) = ^2 + Хі - Хі2 + 2у]хі +1;

Уі =.

ді = ді( хі) = ■

1

2 хі( хі +1)

(Хі — ^ 2 + Хі — Хі + 2д/Хі +1 )(2 Хі + Хі — 1 + Хі +1)

М2 ( х2»У2> 42 ) =

— 1 < Х2 ^ 3,

У2 = У2 (х2 ) = (—\2 + х2 — х22 + 2УІ х2 +1»

42 = 42 (х2 ) = —“---:------77 (х2 + д/2 + х2 — х22 + 2>/ х2 +1 )(2х22 + х2 — 1 + V х2 +1)

2х2 (х2 +1)

Точка А (х, у!) - произвольная точка верхней половины овала графика улитки Паскаля, точка Л2 (Х2 , У2) - нижней. Каждая из этих точек является особой точкой дифференциального уравнения только при значении параметра д, вычисляемого по формулам д = д^) или

(0; 2) при том же значении параметра д = 32 -

Таким образом, по достижении параметром д

значения 32 две особые точки, находящиеся на

верхней половине улитки, сливаются в одну, (0; 2), и при дальнейшем увеличении д на верх-

ней половине улитки Паскаля действительных особых точек нет.

Аналогично по рис. 3 прослеживается динамика поведения особых точек дифференциального уравнения (8), находящихся на нижней половине овала улитки Паскаля. Таким образом, доказана следующая лемма.

Лемма 1. При любом конкретном значении

на овале улитки находятся

параметра д <

нению кофактора (10), и имеет семейство решений

м 3 (Х3> Уз > Ъз) =

-да < Х3 < +да,

Уз = Уз (хз) = 3( хз + О,

Чз = Чз(хз) =

3 - 4 х

з

3( хз +1)

от одной до четырех особых точек дифференциального уравнения (8); при д > овал улит-

ки Паскаля от особых точек свободен.

Система (12) содержит информацию о тех особых точках дифференциального уравнения (8), координаты которых удовлетворяют урав-

Следовательно, точки А3 (х3, у3), координаты которых удовлетворяют кофактору (10), на плоскости ХОУ находятся на прямой

у = 3( х + 1) и являются особыми точками дифференциального уравнения лишь при значении параметра д, вычисленном по формуле д = д3 (Х3). График функции д = д3 (х), гипер-

2

Рис. 6. Картины поведения семейства интегральных кривых: а) < Ч < 4 ; б) д = 4 ; в) д > 4

бола, представлен на рис. 4. Этот график дает возможность проследить перемещение особых точек дифференциального уравнения по прямой у = 3(х + 1) с изменением параметра д от - да до + да.

При д = 43 уравнению кофактора удовлетворяют координаты единственной особой

. При любом q е (-да; 4^

на

точки (-12 ’32) прямой у = 3(х + 1) находятся две особые точки дифференциального уравнения (8), которые с убыванием д разбегаются по этой прямой от точки (-12 ’ 32) : одна - к точке (-1 ;0) , другая -

2’/2^

вверх по прямой в бесконечность (см. рис. 5).

Если

д е (4з’4) , на прямой у = 3(х + 1)

действительных особых точек нет. При значении параметра д = 4 на кофакторе вновь появляется особая точка дифференциального уравнения (- 32; - 32). Если д е (4;+да) , на прямой у = 3( х + 1) находятся две особые точки, с ростом д расходящиеся по этой прямой от точки (-32;-32) к точкам (-1;0) и вниз до бесконечности. Таким образом, доказана следующая

Лемма 2. При любом фиксированном значении параметра де (-*^43) ^(4;+да) уравнению кофактора (10) удовлетворяют координаты двух особых точек дифференциального уравнения (8), и располагаются эти точки на

прямой у = 3(х + 1); при д = или д = 4 на кофакторе - единственная особая точка

соответственно.

(- У-У)

( /2’/2>

или (— — 32

Непосредственные вычисления показывают, что при любом д > 4 из двух особых точек дифференциального уравнения (8), находящихся в третьей четверти плоскости ХОУ на прямой у = 3(х + 1), нижняя особая точка - седло, верхняя - фокус или узел. Начало координат (0;0) - фокус при любом д Ф 1.

Таким образом, поскольку, координаты особых точек дифференциального уравнения (8) удовлетворяют только (9) или (10), доказана следующая

Теорема 2. Кубическое дифференциальное уравнение (8) при любом значении параметра д

из интервала (32?+да) имеет алгебраический

предельный цикл - кривую четвертого порядка, улитку Паскаля (9).

При любом д < 32 на овале улитки Паскаля

имеются особые точки, и (9) перестает быть предельным циклом.

Вопрос о единственности предельного цикла остается открытым. Поэтому на рис. 6 изображены с точностью до количества предельных циклов все три различные качественные картины поведения семейства интегральных кривых уравнения (8) в зависимости от значений параметра д из интервала (32? + да) («в бесконечности» особых точек нет).

Заметим еще, что при q = кубичное уравнение (8) вырождается в алгебраически интегрируемое квадратичное дифференциальное уравнение [12]:

Су - 3х2 + у2 - 3х

Сх

4 ху + 4 у

(13)

При д е (/У; 4) действительных особых точек

'3

на кофакторе нет.

с картиной поведения семейства интегральных кривых в круге Пуанкаре, представленной на рис. 7.

(©).

Рис. 7. Качественная картина в круге Пуанкаре уравнения (13)

Улитка Паскаля уже не является предельным циклом и вливается в бесконечное число интегральных кривых уравнения (13), примыкающих к сложной особой точке (-1; 0).

Список литературы

1. Darboux M.G. Mémoire sur les équations différentielles algébriques du premier ordre et du premier degré // Bulletin des sciences mathématiques et astronom. Paris. 1878. P. 60-96, 123-144, 151-200.

2. Цинь Юань-сюнь. Об алгебраических предельных циклах второго порядка для дифференци-

Z aij x‘ У1

ального уравнения

dy _ o<i+у<2 // Шусюэ сю-

dx Z bix ‘ y1

o<i + 1<2

эбао Acta math. Sinica. 1958. Т. 8, № 1. C. 23-25.

3. Яблонский А.И. О предельных циклах одного дифференциального уравнения // Дифференц. уравнения. 1966. Т. 2, № 3. C. 335-344.

4. Chavarriga J., Llibre J., Sorolla J. Algebraic limit cycles of degree 4 for quadratic systems // J. Differential Equations. 2004. 200. P. 206-244.

5. Christopher CJ., Llibre J., Swirszcz G. Invariant algebraic curves of large degree for quadratic systems // J. Math. Anal. Appl. 2005. 303. Р. 450-461.

6. Дружкова Т.А. О порядке алгебраической интегральной кривой дифференциального уравнения // Дифференц. уравнения. 1975. Т. 11, № 7. C. 1338.

7. Jine J. On some open problems in planar differential systems and Hilbert's 16th problem // Chaos, Solitons & Fractals. 2007. 31. Р. 1118-1134.

8. Алексеев А.А. Об одном классе кубичных систем дифференциальных уравнений с сингулярным интегрирующим множителем // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2009. № 1. С. 94-98.

9. Долов М.В., Павлюк Ю.В. Инвариантные алгебраические кривые полиномиальных динамических систем // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39, № 8. C. 1038-1043.

10. Савелов А.А. Плоские кривые. М.: ГИФМЛ, 1960. 293 с.

11. Дружкова Т.А. О квадратичном дифференциальном уравнении с алгебраическим интегралом // Дифференц. и интегральные уравнения: Межвуз. сборник. Горький, 1977. C. 3-6.

12. Дружкова Т.А., Сиротина Е.А. Улитка Паскаля как интегральная кривая квадратичного дифференциального уравнения // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2008. № 3. С. 120-125.

13. Singer M.F. Liouvillian first integrals of differential equations // Transactions of the American Mathematical Societi. 1992. V. 333, № 2. P. 673-688.

PASCALS LIMACON AS A LIMIT CYCLE OF A CUBIC SYSTEM OF DIFFERENTIAL EQUATIONS

T.A. Druzhkova, E.A. Sirotina

The whole class of cubic differential equations, which have a fourth-order algebraic curve, Pascal's limacon, in their set of integral curves, has been derived. A one-parameter family of equations, which have Pascal's limacon as a limit cycle has been studied.

Keywords: cubic differential equation, Pascal's limacon, algebraic particular integral, limit cycle, Poincare cycle.