УЧЁТ ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЯ ВИХРЕВОГО ПОТОКА В ПЕРФОРИРОВАННОМ РОТОРЕ Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

РПА, подтверждающие удовлетворительную сходимость предложенного математического описания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Юдаев, В.Ф. Исследование гидродинамической сирены [Текст] / В.Ф. Юдаев, Д.Т. Кокорев // Известия вузов. Машиностроение. - 1969. - № 10. - С. 72-77.

. Юдаев, В.Ф. К вопросу о расчёте геометрических параметров аппарата типа гидродинамической сирены [Текст] / В.Ф. Юдаев, Д.Т. Кокорев, А.И. Сопин // Известия вузов. Машиностроение. - 1972. - № 6. - С. 80-85.

3.Юдаев, В.Ф. Гидромеханические процессы в роторных аппаратах с модуляцией проходного сечения потока обрабатываемой среды [Текст] / В.Ф. Юдаев // Теоретические основы химических технологий. - 1994. - Т. 28, № 6. -С. 581-590.

4. Карепанов, С.К. О нестационарных гидродинамических процессах в аппаратах химической технологии [Текст] / Карепанов С.К., Юдаев В.Ф. // Нестационарная гидромеханика: теория, эксперимент, практические приложения. -М.: СВС - Технология, 1997. - С. 44-49.

5. Зимин, А.И. Прикладная механика прерывистых течений [Текст] / А.И. Зимин. -М.: Фолиант, 1997. - 308 с.

УДК 004.942:66.06

УЧЁТ ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЯ ВИХРЕВОГО ПОТОКА В ПЕРФОРИРОВАННОМ РОТОРЕ

А.Б. Евграфова, В.А. Плотников, П.Т. Петрик

Представлены результаты теоретических исследований гидродинамики вихревого потока в перфорированном роторе с газовой полостью: зависимость коэффициента проскальзывания от интенсивности вдува; относительный радиальный профиль окружной скорости в роторе; распределение относительного давления в роторе. Решение позволяет получить в явном виде выражения для расчёта коэффициента проскальзывания жидкости на границе раздела фаз.

Ключевые слова: проскальзывание, вихревой поток в перфорированном роторе, расчёт коэффициента проскальзывания

Одним из факторов, снижающим эффективность работы фильтрующих центрифуг, является проскальзывание жидкости в перфорированном роторе, приводящее к снижению давления фильтрования и уменьшению производительности.

Эта проблема свойственна и статическим аппаратам с закрученными вихревыми потоками, в которых тангенциальная подача определяет гидравлическое сопротивление и эффективность разделения дисперсий.

Одним из перспективных методов решения гидродинамических задач разделения дисперсных потоков является анализ уравнений движения несущего вихревого потока и получение на его основе безразмерных зависимостей, определяющих показатели разделительного процесса.

Применение методов вычислительной гидродинамики позволяет углубить понимание работы соответствующих аппаратов и выбрать наилучшую геометрическую форму и размеры конструкции. Использование этого метода особенно эффективно для мно-

гофазных гетерогенных систем и аппаратов со сложной геометрией.

Гидродинамика вихревого потока в перфорированном роторе во многом определяется условиями и интенсивностью подачи рабочей среды. В простейшем варианте обрабатываемая среда подаётся в ротор через трубу питания с последующим разбрызгиванием её на внутренней свободной поверхности. Взаимодействие потока питания с вихревым потоком перфорированного ротора приводит к торможению граничной поверхности вихря и отставанию жидкости относительно стенок ротора.

Рассмотрим идеализированную схему подачи рабочей среды в перфорированном роторе (рис.1,б), когда на поверхность раздела фаз равномерно подаётся радиальный поток питания. В силу высокой скорости вращения перфорированного ротора свободную поверхность жидкости будем считать цилиндрической. Будем также полагать, что влияние торцевых пристенных слоёв пренебрежительно мало.

Рисунок 1 - Расчётная схема перфорированного ротора: а) реально, б) схематично;

Я, Н - внутренний радиус и высота ротора; еЯ - радиус газовой полости; w- угловая скорость вращения ротора, £ .- объемный расход жидкости через ротор

В этом случае движение вихревого потока в перфорированном роторе может быть описано следующей системой уравнений, записанной в цилиндрической системе координат:

- радиальный профиль давления в перфорированном роторе:

1 с1Р

р (Лг г

- радиальный профиль окружной компоненты скорости рабочей среды: (1)

К

ёг

= и-

ёг

1

г ёг

- условие сплошности радиального потока, при условии, что осевая компонента скорости равна нулю:

— екУо-.

аг

- допущение, которое приходится принять с тем, чтобы иметь возможность аналитического решения задачи:

К2 -0 ;

- граничные условия:

(2)

при г = аЯ

р-о-

Ь

к=-

2 п-еК-Н

ёг

при

г = Я

V,, =-

г г

ь

Уф=со-Я.

Первое граничное условие обозначает, что свободная цилиндрическая поверхность испытывает касательное напряжение, вызванное потоком орошения. Второе граничное равенство вытекает из условия прилипания жидкости на цилиндрической стенке перфорированного ротора.

Отсутствие осевых перемещений в перфорированном роторе однозначно определяет радиальный поток как поток расширения. Действительно, интегрирование уравнения сплошности приводит к выражению:

кг

в котором постоянная интегрирования С находится из первого граничного условия:

С-еК- 1

2тг-вЯ-Н 2-ж-Н .

Результат можно представить в безразмерном виде:

г ■ К. /,

к = -

= Ш„

, (3)

и 2-ж Н ■ о где показатель к определяет число Рейнольдса, характеризующее интенсивность радиального потока в перфорированном роторе. Заметим, что в качестве вязкости среды здесь принят коэффициент турбулентного обмена, оценивающий интен-си вность турбулентности вихревого потока.

Используя результат (3) преобразуем второе уравнение системы (1), получим (4)

й

г ёг ^

ёг

1. ^г-у

^ г у ф г аг

1 ¿7

Введение переменной 7 = — • — ■ V,

г с/г

позволяет понизить порядок уравнения (4) и свести его к классу дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными при условии, что показатель к величина постоянная:

- к ^ Г ~ г . Интегрирование последнего уравнения приводит к результату:(5)

Г = Сггк

аг

2 тг • Я-Н

г

г

Проведя повторное интегрирование, получим искомое решение:

С С

К ] /,-—1 4 9

V,

■гк+1+-

к + 2 г

где значения постоянных интегрирования С1 и С2 можно найти из граничных условий (2). Предварительно преобразуем выражение для касательных напряжений на границе раздела фаз. Покажем, что производная:

гАА)ААЛАА+]1.2ААА{.у^2А

Г I йг г йг г г г йг г

Поэтому выражение для безразмерных касательных напряжений можно представить в следующем виде:

1

сЛг

г ■ Г,

V

со

-2-

V,

со-г

р-о-со

Принимая во внимание результат первого интегрирования (5) можно записать:

р-о-со со-г со (6)

Касательные напряжения на внутренней границе вихревого потока возникают в результате тормозящего действия радиального потока питания. Передача кинетической энергии потоку питания приводит к появлению граничных касательных напряжений. Математически это запишется так: р -Ь-4цс-со-

2

■ = те ■ 2ж ■ еК ■ Н ■ ф: • со ■ е ■ Я тс к- а

откуда -2— =-. (7)

р-о-со 2

В выражении (7) параметр а определяет степень проскальзывания жидкости относительно ротора на границе раздела фаз. С его учетом выражение (6) можно представить следующим образом:

2 со ^

-2а

откуда

Г, •

а--

4 + 4

со 2 .

Подставим найденное значение постоянной интегрирования в уравнение (5) и выполним второе интегрирование:

' гА

ёт

т ■

V

= а-

<+к2

т

к+1

В итоге получим:

со-г 2-^ + 2 Постоянную интегрирования С2 найдём из второго граничного условия:

1 = а

/ . \ к

откуда

Окончательно, функция проскальзывания жидкости в перфорированном роторе будет иметь вид: (8)

]А = а.ЛАI

со-г 2 • С* + 2~

еЯ) +[ т

к +

2 • С + 2 ~

1

Выражение для коэффициента а найдём из первого граничного условия:

1

1--

« + Р 2-4 + 2'

■е2 +

(9)

« + Р 2-4 + 2

С 2 V'

Vе У

Из результата (9) следует, что степень проскальзывания жидкости в роторе определяется интенсивностью радиального потока и размером газовой полости.

Численное и аналитическое решение системы уравнений производили на ЭВМ с помощью таких программных продуктов как МаШсаС 11.

Получен результат, который представлен далее графически.

Коэффициент проскальзывания: 1

а =

Рисунок 2 - Зависимость коэффициента проскальзывания а от интенсивности вдува к при известном размере газовой полости £

к

Относительный радиальный профиль окружной скорости в роторе:

Ч1

1 + a t, £

' 2 • A" + 4 As

и «

:

Рисунок 3 - Относительный радиальный профиль окружной скорости в роторе и, при текущем радиусе х и интенсивности вдува к

Распределение относительного давления в роторе:

ЕЩх)

Рисунок 4 - Распределение относительного давления в роторе Еи, при текущем радиусе х=г/Я

Влияние радиуса газовой полости на

^ 2-k+ 4

1 EUm{s)= ^l-x-U{x,e)2 dx Е

Рисунок 5 -Влияние радиуса газовой полости на перепад давления в роторе

Отметим, что перепад давления в роторе с радиальным питанием практически не зависит от размера газовой полости, если последняя не превышает некоторого предельного размера.

Построенные математические модели и методы расчета, предложенные алгоритмы составляют основу решения задач оптимизации и управления процессами разделения суспензий для широкого класса центрифуг. Результаты выполненных теоретических и прикладных исследований, выработанные рекомендации могут быть использованы в профильных научно-исследовательских и проектных организациях, промышленных предприятиях, связанных с разделением, фильтрованием и очисткой жидких сред.

Данный вариант решения позволяет получить в явном виде выражения для расчёта коэффициента проскальзывания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лагуткин, М.Г. Оценка действия силы Кориолиса в аппаратах с закрученным потоком / М.Г. Лагуткин, Д.А. Баранов. - ТОХТ, 2004, т.38. №1.

2. Плотников, В.А. Течение жидкости в цилиндрическом роторе с проницаемыми стенками / В.А. Плотников, О.А. Трошкин. - Тез.докл. Ill Всесоюзной научной конференции, М: МИХМ, 1983.

3. Соколов, В.И. Проблемы теории центрифугирования. - Известия вузов. Пищевая технология, 1981, №1.

4. Трошкин, О.А. Приближенная модель вихревого потока, ограниченного проницаемыми стенками. - ТОХТ, 1988, т.22, №5.

2