Учет вязкости в математической модели движений твердого и жидкого ядер Земли, вызванных приливным деформированием Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 51-72

УЧЕТ ВЯЗКОСТИ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО И ЖИДКОГО ЯДЕР ЗЕМЛИ, ВЫЗВАННЫХ ПРИЛИВНЫМ ДЕФОРМИРОВАНИЕМ*)

Ю, М, Григорьев, О, Е, Скрябина

Введение

Движения жидкого и твердого ядер Земли играют существенную роль в различных геофизических процессах. В частности, по теории «геомагнитного динамо» магнитное поле Земли образуется за счет этого движения проводящих масс. В 1996 г. [1] открыто явление дифференциального вращения твердого ядра Земли и приведена оценка явления — ядро проворачивается относительно мантии примерно на 2 градуса за год. Изучению этого и других явлений, происходящих внутри Земли, посвящено множество работ. Есть три подхода к изучению проблем динамики внутренних масс Земли. Первый — обработка сейсмических данных. Именно этим подходом получены данные, которые интерпретированы как результат дифференциального вращения твердого ядра Земли (X. Song, P. G. Richards [1], В. М. Овчинников, В. В. Адушкин, В. А. Ан и др.). Однако возможны и другие интерпретации этих же данных [2], из которых не следует факт дифференциального вращения ядра Земли. Ряд авторов придерживается мнения, что имеет место западный дрейф твердого ядра Земли. Второй подход — упомянутое выше лабораторное моделирование [3]. Такой метод

Работа выполнена при поддержке РФФИ (код проекта 12-01—00507—а). © 2013 Григорьев Ю. М., Скрябина О. Е.

позволяет получать только качественные результаты. И наконец, третий подход — метод математического моделирования (В. М. Овчинников, В. В. Адушкин, В. А. Ан, М. Ю. Решетняк, А. Ф. Ревуженко, Ю. М. Григорьев, В. Е. Жаров, В. Е. Пасынок, В. Г. Вильке, Ю. В. Бар-кин, В. В. Шайдуров [4-11]). Только такой подход может дать какие-то количественные результаты по данной проблематике. Для получения полной картины ситуации представляется необходимым учитывать результаты всех трех методов как взаимодополняющих друг друга. Судя по последним публикациям, оценка величины скорости дифференциального вращения ядра Земли, получаемая сейсмическими методами, упала до долей градуса в год [12]. Теоретических оценок данного явления практически нет. В связи с этим актуальной является разработка математических моделей приливных деформаций Земли, которые вызывают перенос ее внутренних масс. В [6-8] построены плоские и трехмерные математические модели переноса внутренних масс Земли приливными деформациями для случая однородной Земли. Вычислительная реализация этой модели показала качественное совпадение с результатами лабораторного моделирования А. Ф. Ревуженко. В [9-11] разработаны аналогичные кинематические двумерные модели, которые описывают вклад приливных деформаций в величину восточного дифференциального вращения твердого ядра Земли. В этих моделях на границе твердого и жидкого ядер Земли задавалось условие полного прилипания. В данной работе с целью учета вязкости жидкого ядра развивается математическая модель с условием частичного проскальзывания на границе твердого и жидкого ядер.

1. Математическая модель

Опишем математическую модель, которая аналогична [9-11], отличие будет в граничном условии. При построении математической модели считаем Землю тонкой оболочкой с твердым внутренним ядром, между которыми находится вязкая несжимаемая жидкость (жидкое ядро). Для описания движения масс жидкого ядра при достаточно

малых высотах приливной волны и малой скорости движения можно ограничиться ползущим приближением. Тогда уравнение Навье — Стокса линеаризуется и сводится к системе Стокса:

где у(г) — вектор скорости, р(г) — давление, ^ — динамический коэффициент вязкости.

Применяемый кинематический подход для моделирования приливных деформаций сводится к следующему. Пусть наблюдатель находится на вершине приливного горба и движется вместе с ней. Тогда он наблюдает неподвижную область в виде вытянутого тела, граничные и внутренние точки которого плывут под ним с некоторыми скоростями. В этом случае необходимо заранее задать форму деформированной приливными силами внешней оболочки и решать краевую задачу для системы Стокса внутри такого тела с полостью в виде формы внутреннего твердого ядра.

Форму оболочки в кинематической модели выберем в виде эллипса Ь с малым эксцентриситетом. Внутреннее твердое ядро моделируем круговым отверстием с радиусом Е1 в центре эллипса, большую полуось эллипса обозначим Е2. & внешней границе (эллипсе Ь) заранее задается граничная скорость, имитирующая направленное движение приливной волны:

т. е. нормальная компонента скорости равна нулю (условие непроникания), касательная скорость равна постоянной величине. На внутренней границе жидкость — твердое ядро задаем граничное условие в следующем виде:

где ш — неизвестная заранее угловая скорость вращения твердого ядра, а — безразмерный параметр, 0 < а < 1, в — коэффициент пропорциональности, имеющий размерность (Па - с)/м.

(1)

гот = щ = сопв^ = 0,

(2)

ав'от + (1 — а)апт = — а[ЗшЕ\ при г = Е,

(3)

а,

пт

Условие (3) при различных значениях параметра а принимает вид: апт = 0 при а = 0 (полное отсутствие трения на границе), ут = — шК\ при а = 1 (условие полного прилипания).

Следовательно, при 0 < а < 1 условие (3) можно принять как условие частичного проскальзывания.

Тензор напряжений апт выражается через тензор скоростей деформации следующим образом:

= ог$ = = + - . (4)

Подставив (4) в (3), получим условие проскальзывания в следующем виде:

а(3у$ + (1 — а)/л( — + г--— ] = — а.ри)К\ щтг = К\. (5)

уг ' ' г /

Таким образом, в рамках принятой выше кинематической модели необходимо решить первую краевую задачу для системы Стокса внутри эллипса с круговым отверстием:

— Ур = 0, V ■ V = 0, уп = 0, ут = щ = сот^ па Ь, (6)

а{Згот + (1 — а)апт = — а[ЗшК\ при г = Отметим, что полученная задача является задачей с неизвестным заранее параметром — угловой скоростью ш вращения внутреннего ядра. Эта величина должна определяться из условия стационарности задачи, т. е. равенства нулю полного момента вязких сил, приложенных Ь

М = ^гх (аг#п#) 3,1 = кЙ1 ^ аг$ 3,1 = 0. (7)

В свою очередь, тензор вязких напряжений можно выразить через тензор скоростей деформации е, зависящий только от угловой скорости внутреннего ядра ш:

аг# = (8)

где

_1(1дуг(ш) дув(ш) Ув(ш)\

М дг г )■ {)

Подставляя (9) в (8), а затем получившееся выражение — в (7), получаем уравнение с одним неизвестным, решая которое находим неизвестную угловую скорость вращения ядра ш.

2. Метод малого параметра

Для решения задачи (6) применим метод малого параметра, разработанный в [9—11] для модели с полным прилипанием. Изложим вкратце метод для случая нашей модели с частичным проскальзыванием. Решение задачи (6) ищется в виде разложения по малому параметру:

v(r) = ^Лпу(п)(г),

п=0

или в полярных координатах

«г(г,0) = ^лп«Гп)М), «*М) = Х)лп(Ю)

пп

п

ме Стокса. Малый параметр Л связан с эксцентриситетом е эллипса 2

соотношением А =

Далее используется аналогичная с предыдущей моделью схема: в ряд по малому параметру разлагаются краевые условия, уравнения эллипса в полярных координатах и т. д.. Подробности можно найти в [9]. Отличие от [9] будет только в краевом условии на окружности. В итоге решение исходной задачи сводится к решению последовательности краевых задач внутри кругового кольца, ограниченного окружностями радиусов Й1 и Д2 • Для каждого приближения краевое условие строится с помощью предыдущего приближения

Для нулевого приближения имеем следующую задачу системы Стокса в круговом кольце:

мДу(о) - ур = 0, у ■ у(0) = 0,

^0)и2 = о, 40) \г=й2 = —пЩ, (11)

((ав — а — амдг1 + (1 — амиг+ ( 1 — а)м4°г)\г=Д1

= —авшЩ.

Здесь Л — угловая скорость вращения мантии Земли, равная одному-обороту за сутки, щ = ПД2.

Решение задачи ищем в виде комплексного представления общего решения системы Стокса [9,13]:

м(и + ъу) = <(г) — (г) + ^(г), р = —4Т1е<'( г), где и и V — декартовы компоненты вектора скорости, <(2) и ^(г) — аналитические функции комплексной переменной 2 = х + гу. Введенные аналитические функции разлагаются в ряд Лорана:

(р(г) = 71п 2; + акгк, ф(г)=^1пг+ ^ Ькгк.

Далее, проделав выкладки, как в [9], получаем выражения для комплексных потенциалов в нулевом приближении:

ЩЩавЯ1 + (а — 1) 2м) — арЩ_ш0

<(г) = —''г ф(г) = -

2авЩ(Щ — Щ) —4 мЩ(а — 1) арЩЕЦП — ш0)

(12)

2 авИ (Щ — Щ) — 2мЩ(а. — 1)'

Угловую скорость ядра определяем из уравнения (7):

/ Д2Д2(П — ш)

М = кН1ф ¿1 = I £ ' = 0. 3 г- (Щ — Щ)

ш

порядке приближения равна угловой скорости внешней оболочки П. Для первого порядка приближения краевые условия имеют вид

М11 „ . ч .,дví/S

V

(!)| = Д2П вш 219 + Дзет2 д—^—, г/Я р = Д2 вт2 г 1г=я2 " дг " 1г=д2 дг

^ и = о, («/*£> + (1 - +- )

,

г=Пг

(13)

где и — определенное в нулевом приближении поле скоростей. Таким образом,

-Г1)) =Д2Пшп2^

т \т = Н2 '

(14)

((«в - а - а^дг1) + (1 - а^дг1 -Э + (1 - а^Т) ий1 = о.

Эта задача также решается при помощи комплексного представления. Можно показать что из всех коэффициентов разложения в ряды Лорана комплексных потенциалов ненулевыми будут только 6 комплексных неизвестных аз, аг±, Ь±, Ъг±, 6—, остальные коэффициенты равны нулю. Ввиду громоздкости выражений их не приводим. Уравнение для определения угловой скорости ядра имеет вид

авпК\ а — 1

{р,{К\ {К\ + й|)ав + 2Д|(а —

1)^) - 2Щавш)

М =

2Rw - ARl{aP{r2 - R) +2r2(a - 1

r(R (R - R)a,3 + 2R(a - 1 2(R {a[3R\ — r2(af3Ri + 2(a - l)/x))fi + R (r2 - R)a/?w) ГЙ1 (R - R)a/3 - 2rR(a - l)/x

= 0. (15)

Отсюда получаем выражение для угловой скорости ядра в первом приближении:

apRi [R(A -2) + R(A+2)]+ 2R(a - 1)(A + 2)М

W = 52---?-^-. lb)

2a[3Ri [R + R(A — 1)] + 4R(a — l)/x V ;

Теперь можно оценить скорость вращения твердого ядра. Для это-A

u = il(l + \iy (17)

Выражение (17) аналогично разложению из [9-11], полученному в первом приближении в модели с условием полного проскальзывания на

внутренней границе. Тем самым можно сделать вывод о том, что в рамках нашей модели значение вязкости жидкого ядра Земли не оказывает влияния на угловую скорость дифференциального вращения твердого ядра. Высота приливной волны для реальной Земли составляет около 0,4 м, но так как областью нашего исследования является жидкое ядро с твердым внутренним ядром, эту величину берем порядка 0,2-0,25 м. Тогда малый параметр Л получается порядка 10-7. Согласно формуле (17) получаем, что опережение внутреннего твердого ядра составляет 0,39 минут в год. Это число хорошо согласуется с теоретической оценкой из [4], полученной другим методом, и последними оценками, полученными обработкой сейсмических данных [12]. Заметим, что вязкость жидкого ядра Земли — один из наименее известных физических параметров Земли. Имеющиеся в литературе оценки вязкости ядра различаются па много порядков и лежат в диапазоне 10-3-10п Па-с [14].

Заключение

В работе разработана двумерная модель переноса внутренних масс Земли приливными деформациями с учетом наличия ее твердого ядра и условием частичного проскальзывания на границе твердого и жидкого ядер. В предложенное граничное условие входят вязкость жидкого ядра Земли, один размерный и один безразмерный параметры. Вычислительная реализация модели проведена методом малого параметра до первого порядка малости. Выявлено, что в этом порядке приближения вязкость жидкого ядра Земли не оказывает влияния на угловую скорость дифференциального вращения. Оценка величины дифференциального вращения твердого ядра Земли модели с условием частичного проскальзывания составила 0,39 мин/год в восточном направлении.

ЛИТЕРАТУРА

1. Song X., Richards P. G. Seismological evidence for differential rotation of the Earth's inner core // Nature. f996. V. 382. P. 221-224.

2. Souriau A., Garcia R., Poupinet G. The seismological picture of the inner core: structure and rotation // C. R. Geoscience. 2003. V. 335. P. 51-63.

3. Бобряков А. П., Ревуженко А. Ф., Шемякин E. If. Приливное деформирование планет: опыт экспериментального моделирования // Геотектоника. 1991. №6. С. 21-35.

4. Вильке В. Г. Об относительном движении ядра и оболочки планеты в гравитационном поле точечной массы // Прикл. математика и механика. 2006. Т. 70, вып. 4. С. 617-630.

5. Исаева, С. И., Шайдуров В. В. Математическая модель движения твердого ядра Земли // Изв. вузов. Поволжский регион. Физ.-мат. науки. 2011. №1. С. 4046.

6. Григорьев Ю. М. Плоская задача о переносе масс приливными волнами // Мат. заметки ЯГУ. 1999. Т. 6, вып. 2. С. 9-20.

7. Григорьев Ю. М., Ревуженко А. Ф. Пространственная задача о переносе масс приливными волнами / Препринт № 8. Новосибирск: НГУ, 1999 г.

8. Григорьев Ю. М., Ревуженко А. Ф. Пространственная задача о переносе масс приливными волнами // Вычислительные технологии. 2000. Т. 5, №4. С. 4054.

9. Григорьев Ю. М., Скрябина О. Е. Математическое моделирование относительной динамики твердого и жидкого ядер Земли // Вест. СибГАУ. 2008. Т. 21, №4. С. 68-72.

10. Григорьев Ю. М., Мохначевский А. Н., Скрябина О. Е. О вкладе приливного деформирования на дифференциальное вращение внутреннего ядра земли // Вест. Нижегород. ун-та им. Н. И. Лобачевского. 2011. №4, ч. 5. С. 2118-2119.

11. Григорьев Ю. М., Мохначевский А. Н., Скрябина О. Е. Оценка вклада приливного деформирования на величину дифференциального вращения внутреннего ядра Земли // Сб. тр. Всерос. науч.-практ. конф. посвященной памяти чл.-кор. РАН М. Д. Новопашина «Геомеханические и геотехнологические проблемы эффективного освоения месторождений твердых полезных ископаемых северных и северо-восточных регионов России» (г. Якутск, 13-15 сентября 2011 г.). Якутск: ИМЗ СО РАН, 2011. С. 237-238.

12. Deguen R. Structure and dynamics of Earth's inner core // Earth Planetary Sei. Lett. 2012. V. 333-334. P. 211-225.

13. Григорьев Ю. M., Скрябина О. E. Математические проблемы моделирования направленного переноса внутренних масс Земли приливными деформациями // Динамика сплошной среды. Вып. 122. Новосибирск, 2004. С. 57-62.

14. Secco R. A. Viscosity of the outer core // Mineral Physics and Crystallography: a handbook of physical constants (AGU Reference Shelf) V. 2. Washington, DC: Amer. Geophys. Union, 1995. P. 218.

г. Якутск

18 января 2013 г.