Учет влияния слоистой неоднородности при расчете на устойчивость сжатых цилиндрических оболочек из композиционных материалов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XIV 1 983 № 1

УДК 624.074.4-419

УЧЕТ влияния СЛОИСТОЙ НЕОДНОРОДНОСТИ ПРИ РАСЧЕТЕ НА УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

И. Б. Мишулин

Исследуется влияние эффектов, связанных со структурой многослойных композиционных конструкций, на величину критического напряжения потери устойчивости цилиндрических оболочек при осевом сжатии.

Критические напряжения и параметры волнообразования, полученные в рамках теории многослойных оболочек,сравниваются с ре^ шением по теории монолитных ортотропных оболочек. Показано, что с уменьшением относительной толщины оболочки погрешность решения для монолитной оболочки уменьшается.

Исследовано влияние механических характеристик армирующих и связующих слоев, числа слоев, коэффициента армирования на величину погрешности решения для монолитной оболочки. Получены данные о погрешностях для оболочек, изготовленных из известных композиционных материалов: углепластика, боропластика и др.

Рассмотрим многослойную круговую цилиндрическую оболочку, состоящую из чередующихся п слоев с повышенными механическими характеристиками (армирующие слои) и п—1 слоев с пониженными характеристиками (связующие слои). Срединные поверхности эквидистантны. Отнесем каждый армирующий слой оболочки к системе цилиндрических координат х, <р, С,- (/= 1, 2, . . . , га), связующий— к аналогичной системе х, <р, С/ (J = 1, 2, 3, ... , га—1). Координатные поверхности С, = 0, С/=0 совпадают со срединными поверхностями слоев. Индекс j обозначает номер слоя, нумерация слоев ведется попарно (армирующий со связующим) от внутренних слоев к внешним.

В дальнейшем будем рассматривать оболочки регулярного геометрического строения, у которых все армирующие слои имеют одинаковую толщину h. Связующие слои также имеют одинаковую толщину s. Толщины слоев bus считаем малыми величинами по сравнению с радиусом срединной поверхности оболочки. На толщину оболочки в целом 8 такого ограничения не накладываем.

Предполагаем, что напряженно-деформированное состояние оболочки описывается системой кинематических гипотез, описанных

в [1]. При этом предполагается, что жесткости армирующих слоев существенно превосходят жесткости связующих слоев. Для армирующих слоев справедлива гипотеза Кирхгофа — Лява, а для связующих существенными являются деформации поперечного сдвига и удлинения нормали.

Пусть армирующие слои изготовлены из ортотропных материалов С упругими ПОСТОЯННЫМИ Е{, £{, 612, Ал, У21 (Е{ч12 = Е^21, 7=1,2, ... , п). Главные оси ортотропии отдельного армирующего слоя могут не совпадать с главными осями ортотропии материала оболочки как монолитной. При этом материал монолитной оболочки обладает как отдельный армирующий слой свойством ортотропии. Кроме того, для упрощения примем, что пакет слоев набран симметрично относительно срединной поверхности оболочки, т. е. для всех упругих характеристик слоев выполняются условия

где — расстояние от срединной поверхности у-го армирующего слоя до срединной поверхности оболочки в целом.

Связующие слои представляют собой трансверсально-мягкие слои [1] с упругими постоянными (і), Егі, у (У = 1, 2, ... , п— 1). Здесь обозначено: б,- — модули поперечного сдвига слоев, Егі— модули упругости в направлении нормалей слоев (трансверсальные модули). Все эти предположения описывают оболочку -из композиционного материала, изготовленную намоткой или прессованием.

Рассмотрим устойчивость невозмущенного безмоментного состояния такой оболочки под действием осевых усилий. Исходное состояние оболочки будем отождествлять с недеформированным. Под безмоментным состоянием здесь понимается безмоментное состояние каждого армирующего слоя, в то время как система осевых усилий, неравномерно распределенная по армирующим слоям, вообще может давать суммарный момент. Уравнения нейтрального равновесия при таких предположениях получены

(1)

в [2]:

— Ві-1 (11і - и/-1 — г ди'!— ■ — г

дх

(2)

и1

■ 6і К)!

дхі

+ 2ДІ

Э4 Ч!)-!

я) дх2 д»2

г)1 ®/ д®4

+

+ А{

чші і -ьч ' 1 V/ 1 да і \

щ 21 Яу- дх )

Л_______д... м- -ъ<+') —і - г2

Л>,- % ^ дл:2

5^

»,/ +1

дх2

дх

+

(Ш

Г

~^7

-и/+1) +

^2 да/

(?ір2

■ +

+

()2

г+1

(*р2

+ С' (гг/+1 - та7)} (і + -^г) Vіп +

+ [В'-'

д2 ч$)і'

! да/

2 щуУ—1 / Г \

(Й2 \/?2 ^

Г \2 <Э2

- Г2

Здесь обозначено:

02 щ;/-1

У

х 11

<Э<р2

я

у'-1 1 **“1

дх*

+ С7-1 (да7 — ку-'-1)!- х

_М . .,,• д* да-/ л

; г1;1 + N1 — 0.

м = -

£-{л

1—V/.

м

Е{к

12 у2\

о{ =

е{ Л3

12 (I ^2 М2і)

/% =

* И ^21

£;2 Л3

Л12= 26^;

12(1 N^2 ^21)

/У-=

'12

0{2

12

= 2АІ >12 4- -А12; £)^ = І)і V(г + 20і2>

в} = Оіі8- г=

й+я

Под N1 (/ = 1, 2, ..., п) понимается осевое усилие, приложенное к /-му армирующему слою и отнесенное к длине окружности у-го слоя (погонное усилие). При этом предполагается, что осевое усилие воспринимается только армирующими слоями. В дальнейшем примем, что распределение усилий по слоям происходит пропорционально жесткостям слоев, так что справедлива приближенная формула

М=-^Р—2М. (3)

ХЕі/=1

1=1

Рассмотрим локальные формы потери устойчивости. Решения системы уравнений нейтрального равновесия (2) ищем в виде:

IIі = и’ сое кх соэ гщ] и'= Vі зіп кх эїп іщ\ ТО1’ = БІП Ь.х соз /я?,

(4)

где й, т — волновые числа. Число т соответствует числу волн в окружном направлении при потере устойчивости и может принимать целые значения (т = 0, 1, 2, . . .). Волновое число к связано

с длиной волны в осевом направлении Хх формулой & = -^- .

В результате подстановки (4) в (2) получим систему однородных алгебраических уравнений порядка 3га, которые не выписываем ввиду громоздкости. Критерий устойчивости можно сформулировать в виде

тт Д (IV{) > О,

к, т

где Д—определитель системы алгебраических уравнений порядка 3/г.

Алгоритм вычисления критических параметров потери устойчивости Л/*, /га* был реализован на ЭВМ БЭСМ-6 на алгоритмическом языке ФОРТРАН.

Система уравнений (2) в частном случае нёдеформируемой нормали оболочки приводится к уравнению монолитной ортотроп-ной оболочки. Решение для монолитной ортотропной оболочки широко используется в практике [3, 4].

Уравнения многослойной оболочки (2) переходит в уравнения монолитной оболочки, подчиняющейся гипотизе Кирхгофа-—Лява, если жесткости связующих слоев устремить в бесконечность.

Используя прием, изложенный в [1], получим известные уравнения, описывающие устойчивость ортотропной цилиндрической оболочки:

1

АС2

1

д2 V

+

Ас

12

дх2

+

СИ да дх4

+ 2Язм-^г

лс

л3

2 /?

д4 ив дх2 г)а2

д2 и

1

/ да 1 ду 1 ди

VЖ~ /?2 (Эср 21 дх

дхд^

■\-№

Я2 д4 ив

дер4

д2 да дх2

+

О,

■ о.

(5)

Здесь обозначены „монолитные11 жесткости- оболочки:

п п п п

Ау = У. Ал\ Лг = 2 А{\ А\2 — ^ А{<й

/=1

1=1

/=1

/=1

/=1

1=1

(6)

Аз — У, [Рз +2/ ^12 Ч- -^12)1-

;=1

При этом принято для упрощения, что коэффициенты Пуассона слев V/ мало отличаются по величине от коэффициентов Пуассона материала монолитной оболочки у12, у21. Под величиной А^с понимается осевая сила, действующая на оболочку, отнесенная к еденице длины окружности срединной поверхности:

П

/=1

(7)

Изгибные жесткости О”, Рз в соотношениях (6) можно выразить через мембранные жесткости монолитной оболочки

52

12

52 Щ ~12—

ох=*12а;

В2

12

112 ■

12

(В)

В случае оболочки регулярной структуры,когда механические характеристики слоев не зависят от номера слоя, соотношения (9) принимают вид:

где Л — коэффициент армирования,

По физическому смыслу коэффициент армирования близок к понятию коэффициента объемного наполнения композита.

Методом разрешающих функций система (5) сводится к уравнению

и разрешающая функция Ф введена соотношением да = ДлФ. Форму потери устойчивости ищем в виде, аналогичном (4),

Подставляя (12) в (11), получим выражение для бифуркационного усилия /

Критическое значение усилия N. определяется как наименьшее бифуркационное

(10)

Здесь обозначены дифференциальные операторы

Ф=Фл эш кх соэ тср.

(12)

где

(13)

Л/'-= тіп Мс.

Условия экстремума (14) для бифуркационных усилий (13) можно записать в виде уравнений (при т ф 0)

где

д(т*)

2

Я2

д-Пр д(т2)

дт)р

д(£3)

03м + 02м

А\АЦ\ - уі2 '•'зі)

/?2 ї)2 а (И«)

^2 (1 —^2^1)

= 0;

Я2'']*

/Я*5

<Э(£2)

А2 Я2 т*

д{&) ЙТ1Л 2

= 0,

(15)

= Аи+0?^;

д(т?) дг1 А

д(Р)

^ И"+л2с

Л5 — Л2

/га2

*2 Д2

) =

(И /?<

В случае осесимметричной формы потери устойчивости (т = 0) первое уравнение (15) удовлетворяется тождественно. Используя второе уравнение (15), найдем значения критических параметров

Л/° = V О? Л| (1 - у12 У21) ; = у -

Л'(1

• "'’ІЗ ^2і)

/я“ = 0. (16)

В случае неосесимметричной формы потери устойчивости (т = = 1, 2, 3 ...) совместное решение уравнений (15) приводит к результатам:

N

X

Г=тг}/л5л§( 1-у12у21)^±^Х

л? + л'к + 20^ /с + а? л^ + ^ а:

+ 1

(17)

А\ + 2А£К + Ас2К2 Е% + 0%'К Ьт — л[ А1АЮ ~ ^12,<2^

* ~~ V ЯЦА1 + 2А^К + А\К2)г + £>“ /С ’

= Л‘Л5(1-*цу)/?2/р < + 4/С

Г (^ + 2Л§/С + ^/<-|)2 0^ + 02/С'

Условие, при котором реализуется осесимметричная форма потери устойчивости, записывается в виде

л; £>3м + /)2м/с/ О}1 + 2£$ К + о" к2 А% + А\к

ог л3м + л^ \ л^ + 2л3ма: + а\ к2 + а? к

+ 1 >1- (18)

В формулах (16), (17), (18) обозначено

/С-

Л§ -ЩА\± V(О? Л‘ + £>“ Л')* - 4 (Л“ Щ - Л§ ДУ) (Л” 0“ - Л? />3М)

л“

2 (Л“£»'-Л^03м)

(1 — у12%) — ^12 Лі-

Полученные формулы существенно упрощаются для оболочек регулярной структуры, удовлетворяющих условиям (10). Используя (8), формулы (16), (17), (18) запишем в виде:

«4,1/

г

7?М р М

3(1 — ^12 ^21)

т

У/?8 ’

т.

/— :-----------

-щ/ УьоЪУЁ*Ё«{\-\

У ц; У V£“ £“ + 20“2 (1 -

^12 ч21>

/•т-

(19)

где % = 1, Ч*=1, ^)т = 0 при ричная форма),

2<512 О + ''21)

У £“ ££

> 1 (осесиммет-

ъ-

У

[ 20“2 (1 -)- 1^'^12 ^21 )

У £“ £2

Г КЕ“ £” Ч

0“ ]/£“£

2(1 ~ЬУ~Ч 12 ■'зО

20“ (1 -*Ч2^1)

т)т=1 при

20^*2 (1 + У ^12 '■'21)

Ущ £“

< 1 (неосесимметричная форма).

Здесь введены модули упругости материала монолитной оболочки

= £% = -£-£&■’ С'12 = 4-2<&-

у=1 /=1 /=1

Эти модули измеряются при испытаниях образцов на растяжение.

В случае оболочки регулярной структуры имеем

£Г = ф£{; Е“ = ; 0?2 = <ьО{2.

Формулы (19) при ^ = 1 совпадают с широко распространенными формулами теории ортотропных оболочек, приведенными, например, в [4].

Сравним результаты расчета критических напряжений исходя из „слоистой“ модели (2) и по теории ортотропных оболочек (19). Рассмотрим отношение критических параметров, рассчитанных по различным моделям

ДГ°Л £СЛ |Л1?

£ — * £ — *

" ¥л?грт ’ * *2рт ’

где Л^сл, — критические параметры, полученные на ЭВМ в результате решения уравнений (2), А^рт, &°рт — расчет по формулам (19) при ¥ = 1.

Выясним основные закономерности поведения коэффициента на примере оболочек регулярной структуры. В этом случае уравнения (2) приводятся к безразмерному виду путем введения параметров

А К 1 Г°п (! + /«) £м,(1 +

^==0’5]//^г; ё=——; хж=-

где

О'(1 + УЧг ^21) /

£м — Ег,

Ом — О!

И п{п — 1) ’

(к-ф)3 г/ л (/г — 1) (1 — ф)

(п - ф)3

£*/ . 1 - 6 ’

п(п - 1) (1 — ф) 1 — ф •

На рис. 1 изображены отдельные зависимости коэффициента от безразмерных параметров. Расчеты показывают слабую зависимость коэффициента \ от трансверсального модуля связующих

слоев, количества слоев п и модуля сдвига армирующих слоев б“2 в практически важном диапазоне их изменения (£з/>0,1 £Т, 4).

Рис. 1

Кроме того, с погрешностью —5% можно пренебречь зависимостью от коэффициента Пуассона. Зависимостью от параметра [а можно также пренебречь.

Таким образом, существенными являются зависимости коэффициента от модуля сдвига связующих слоев 0"м и относительного радиуса оболочки 8//?.

На рис. 2 и 3 приведены зависимости коэффициента от параметров х и /?/Ъ. Эти графики с достаточной точностью аппроксимируются аналитической формулой

1 + 0,32

(20)

°М О + 'У'И ^21) ^

6—„Ученые записки* № 1

81

Аналогичным образом 'можно показать, что коэффициент %к можно представить в виде аппроксимации

-—'

1 + 0,32-

V Е™ Е\

_ . ......................._ (914

Щ у ’ о'м(1 + г^21) я •

Последние формулы справедливы с погрешностью ~5% при значениях параметров

X >0.1; ^12 <0,5; н- < 0,5; п> 4,

Зависимости (20), (21) имеют достаточно универсальный характер и могут быть приближенно использованы при расчете оболочек нерегулярной структуры. На рис. 4 изображены графики, построенные для оболочек нерегулярной и регулярной структуры. Видно, что различие между кривыми несущественно. В связи с этим возможно представление формул для расчета критических параметров в виде:

Коэффициент $ учитывает слоистую неоднородность оболочки и приближенно рассчитывается по формуле:

1 +0,32

V £“

Более точно расчет \ может быть проведен на ЭВМ.

Примеры зависимостей критических параметров от относительной толщины оболочки для различных наиболее употребительных композиционных материалов приведены на рис. 5. Кривые в верхней половине графика показывают влияние слоистой неоднородности на величину волнового числа, в нижней половине — на критическое усилие. Сплошные линии получены на ЭВМ при точном решении уравнений (2), пунктирные линии соответствуют приближенным вычислениям по формулам (22).

Проведенные расчеты показывают, что эффекты, связанные со слоистой неоднородностью, проявляются в основном при большой относительной толлщне оболочки. При сжатии такие толстые оболочки могут разрушаться до потери устойчивости. Вопрос о том, что произойдет раньше — разрушение или потеря устойчивости, должен решаться отдельно в каждом конкретном случае. Для примера^на рис. 5 зачеркнуты те части кривых, для которых

Рис. 5

1,4

V

V и

0,9

°’Т0

И , 1 Кр 1

<- !

А Н- Вороал ! Углепл 1боро ж!\ ч/миний астик чласти анбпла 0;±45°;0 Г ±45°; Ж; ±45°; 0 к ±45°;0;±45° тик 0;±45°;90°;±45°; 90°; ±4-5°; 0

.. 2

м 1 ■

ю

И чм:р

100

200

Я/6

разрушение произойдет раньше потери устойчивости. Видно, что для рассматриваемых пакетов слоев углепластика и бороалюминия поправка на эффекты, связанные со слоистой неоднородностью, не является существенной при расчетах. Такой результат не является общей рекомендацией для произвольно ориентированных материалов. Так, например, расчеты показывают, что для оболочки из однонаправленного углепластика коэффициент на границе, соответсвующей разрушению композита без потери устойчивости как оболочки, составляет 89% (для композита рис. 5 —94%).

Изложенные результаты позволяют приближенно определить области параметров оболочки, для которых погрешность теории ортотропных оболочек невелика:

-щ- <0,01; п> 4;

V£,м . V Е? Е\

£*>0,1 ■ -I 2- ; б.и> 0,1- 1 2

(23)

Расчет на устойчивость оболочек, не удовлетворяющих (23), следует производить по теории слоистых оболочек. ,

ЛИТЕРАТУРА

1. Болотин В. В„ Н о в и ч к о в Ю. И. Механика многослойных конструкций. М., „Машиностроение11, 1980.

2. Мишулин И. Б. Расчет на устойчивость многослойных цилиндрических оболочек и пластин при нестационарном нагревании. Труды ЦАГИ, вып. 1744, 1976.

3. В о л ь м и р А. С. Устойчивость деформируемых систем. М., „Наука", 1967.

4. Б е л о з е р о в Л. Г., Рубина А. Л. Устойчивость стеклопластиковых оболочек при осевом сжатии. „Ученые записки ЦАГИ“, т. I, № 1, 1970.

Рукопись поступила 15\УП 1981 г.